장음표시 사용
471쪽
I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX
Quoniam a est prima continue proportionalium, κ seeunda, efit tertia Sihanc retinerem tu eticulo, necessario expressio quartae proportionalis includeret stertiam potestatem. Quam pono πιν, ti spectans F tamquam tertiam p- portionalem invenio quartam, quae per duplici modo exprimi potest, tum
Fer - , tum per-; deinde quintam α - , in quibus sormulis nihil superat
potestatem seeundam. Sed si his retentis ealculum produceremus, tertia & sup riores potestates obviam venirent. Quare quartam proportionalem facis mi , atque determino quintam & sextam, prout in tabula superiore notatur. Si po nam quintam α determino sequentes usque ad nonam. Atque ita deinceps caboulum promovere poteris, quousque libuerit. 17. Nunc quo pacto hujusmodi substitiones eleganter ad tonstructionem per. ducant declarandum. Si ponas quintam proportionarem esse ultinum , & aequalem b - κ, assume eius expressionem maxime simplicem - , quae non eget nisi
nna substitutione; ergo erit 33 a. β - Μ, quae est ad parabolam . Praeterea substitutio dat - α ay, quae pariter est ad parabolam ejusdem parametri. It qne oritur haec constructio. Posita parametro AB m .s, x x s.) describatur pa
472쪽
describa parabolam CD ejusdem parametri, quae secabit priorem in D .
Ordina D E . abstita A E α κ erit secunda in proportione eontinuλ- . Ad methodum illustrandam praemisi solutionem hujus problematis, quod ca teroquin non superat gradum quartum. Si velis sextam proportionalem esii aequalem b-κ, assuma ejus expressionem ut sit ννα,κ - κκ, quae est ad circulum. Primum delinea parabolam AD Fig. rοὶ aequationis,mquam dat substitutio. In tangenti AB sitae erunt AE m κ; huic normales sint ordinatae ED m=. Fae ubique ut AB M a: AE m ω, ita DEmy: FE ν, A per omnia puncta F tranteat nova curva AF; demum sumpta AC m b, super diametrum AC describe circulum AF C, qui seeabit curvam AF inpun. Eio F, ex quo demissa FE determinabit A E secundam proportionalem quaesi. tam . Adnota quomodo eurψa AF inserviens solutioni problematis deliaeeturope parabolae apollonianae primum descriptae. Hoc problema ad methodum i dicandam unice sibi proposuit Comes Riceatus, atque hanc ipsam tradit sol
λου. idem problema alio modo solves, si alia usurpata expressione facias - - b quae exhibet hyperbolam inter asymptota. Primum ut supra describamus parabolxm AD aequationis αδ ασν. - quum in. fiat
ut in re sumpta E F Fig. 1 tertia proportionali post AB, DE
per omnia puncta F transeat curva gradus superioris. Postremo ducta AGma.& clauso parallelogrammo AC H G, productisque ejus lateribus in M,N desertiabatur hyperbola inter a lymptota transiens per punctum C, quae secabit curvam A F ia puncto F. Ordina F E, erit A E lacunda proportionalis quaesita. Si o. Etava propotionalis simul eum secunda debeat m laventes aequationem θα, - 'quae est ad ei reulum diametri rab. Si vero velis nonam cum secunda rab, inis vestes quae est ad parabolam. Quapropter intersectio harum curvarum, & eurvae AF determinabit secundam quaesitam. a . Quamquam in solutione superiorum problematum dedimus operam, ut aquatio ultimo prodiens non contineat nisi duas in determinatas, tamen methois dus non deficeret, si tres pluresve contineret, licet non parum de sua eleganistia deperderet. Exemplum praebeamus in septima proportionali, quae exprimitur per - ς igitur habebimus et sma a. b - ποῦ ergo =:ar: b - Descriptis ut
antea curvis AD, AF ordinatarum ubique ut R P mst : AB in is: : CB α b-κ:RS. Per omnia puncta S rranseat curva M SC, quae secabit AE in F; ex quo puncto demitte ordinatam FE, abscissa A E erit seeunda proportionalis quaesita. go. Problema duodecimum Circuli arcum datum in quinque partes secare. Problema hoe idem eli ae septimum; sed ad praetens artificium indicandunta praestat novam ejusdem solutionem adornare. Areus secandus sit B id quem divide in quinque partes in punctis D, E, F, G. Ex puncto B duc ei
culi diametrum BCA, & ex A age ebordas AD, A E, A F, AG, AH, quas produc quousque opus fuerit. Ex punctis D, E, F, G duc UM,EN.
473쪽
FP G ita, ut sint respective aequales chordis AD, AE, AF, AG; demum due radium C D. Palam est, triangula omnia A CD, ADM, AEN, AFRAG esse similia, quia omata ex constructione iisseelia sunt, & habent a gulos ad basim aequales. Praeterea alo, ME i AB, NF m AD, P G α AE, H i R F. Ut hoc demonstretur, intellige ductas chordas aequales BD, DE, EF &e. aequalia sunt quoad omnia triangula A D B, M DE, Gui ADMMD, BD m ED, & angulus BAD α EAD; ergo AB m ME. Eodem modo triangula A DE, N FE habent AE M NE, DEmFE.& angulos in A, N aequales; ergo ADMNF. Similis demonstratio valet de aliis. gr. His praemissis venio ad analysim . Sit radius C A m a, A D m κ, uis
panda est prima substitutio. Ea autem sit κα - α Quare siet A N& AF - . Producens analysim ex aliis triangulis similibus eruo A C. ADe: AF: AP
Ut hae formulae deprimantur, non est opus novam substitutionem advocare , sed sumsit pro x x ponere ejus valorem a F - 3 a a; quo facto hab*bimu
AP i tu . A A- . Devenimus jam ad ultimum
. Quum haec formula tertiam potestatem includat , utamur secunda substitutione , nempe -- a1-aa az; ergo A H m M b, quae ultima est aequatio pertinens ad hyperbolam inter asym
32. Analysis sequentem praebet eonstructionem . Ita describantur curvae,q suppeditant duae substitutiones, ut indeterminata quae utrique commu- is est, fit earum abscissa. Parabola primae substitutis ais, cujus aequatio est,
474쪽
, ω - 3a amary, ita describitur. Sectis A B m BC m C D DE ma, vertia ce A, s Fig. io parametro ma, axe A E describatur parabola A N . Erunt DM , MN α κ . Alia parabola aequinionis FSaF aa a x, hoc modo eonstrui tui. Divisa CD bifariam in F, ei perpendicularis agarur FGα - ,
3c vertice G, parametro ma, diametro GF, describatur parabola GH, quae erit eadem cum superiore; sed diverso loco posita, erunt ut antea DMmy, MPm et negativae ad partem G, positivae ad oppositam. Per duas hasce euris vas tertia delineetur curva, cujus abscissae m N, ordinatae scilicet parabolae A N, Fg. χοὶ ordinatae vero ran, ordinatae alterius parabolae GK. Curva hujulmodi progressum habebit. Facto initio abscissarum in A seea AB in BC M AD m A Ema . Excita perpendicularem A F α - . Curva discedens ex F secabita, scissas in G, & ultra excurrens converso itinere iterum feeabit in Κ, deinde
in infinitum progredietur. Huic ramo posito ad partes abscissarum potitivarunrespondet ramus alius similis, & aequalis situs ad plagam abscissarum negativarum. Descripta hac curva nihil aliud restat, nisi ut haee conjungatur cum cuma ut 'maraequationis m ab. Quapropter inter asymptota AC, A V describantur hy- verbolae oppositae ΚI U, MLN rectanguli Illae in quinque punct s Κ. l. M, L, N secabunt curvam descriptam . Ex his demittantur normaIes, AEuae deia
terminabunt radices A O, A P, A Q, A R, AS. Ex his quae inter positi uas est omnium maxima ipsa est chorda, quae quaeritur. Haec solutio diversa esl ab ea, quam tradidit Iacobus Riccatus. Methodus produci potest , ut in plures quam quinque partes arcus dividatur.
De inventione curvarum ex datis proprietatibus linearum, quae a pluribus sectionis punctis definiuntur.
I. Votiescumque data est proprietati quae aut ad eoordinatas Μ, β - pertineat. aut ad easdem reduci possi, per methodos, quas hactenus docuimus, possumus naturam curvae determinare. Verum si proprietas data uni eidemque lineae curvam secanti conveniat, & versetur inter lineas desinentes in plura sectionum puncta, nova aperienda est methodus, qua naturam cur Vae, aut potius curvarum investigemus. Hujus generis esset quaestio . Data linea A B Fig. i) invenire curvam ejus naturae, ut perpendiculares A Meam se. cantes in punctis M, 1 M exhibeant vel summam B M BaM, vel rectangulum B M. B1M constans. Idem dicendum sit lineae secantes non essent parallelae , sed discederent a dato puncto B Fig. 1 Hoc notandum est sedulo, proprietatem eonvenientem sieantibus B M, Ba M, talem esse debere, ut si pro B M ponatur B1M ,& simul B M pro B x M. ea nullam prorsus mutationem patiatur. Ita accidit ex possitis proprietatibus, si reciprocentur secantes BM, Bari, eadem remanet summa, idem reis angulum. Quod si quaeteretur curva, in qua duplex B M simul cum BaM esset constans, ineptum
475쪽
eptum esset quaesitum, quia accepta B M pro B a M & viceversa, eadem non provNniret quantitas. Idem die fi quaererem eurvam, in qua - esset constans. Huiis ste regulae ratio est , quia in curva proprietas singulis ejus punctis debet eodem
modo convenire. Ita proprietas exhibita ab aequatione a a se comm
nis est omnibus coordinatis, atque adeo omnibus punctis eirculi. Quapropter si proprietas, quae data est per secantes pertinet ad unam eamdemque curvam, omnibus ejus punctis communis sit necesse est i Hoe autem non accideret, si praecepta re ciprocatio fieri non posset, quia quae aequatio habetur relate ad punctum ivi, e dem non valeret relate ad punctum a M. Haee animadverso statuit limites, quibus quaestiones propoaendae debent contineri. 3. Notandum est deinde proprietatem involventem seeantes BM, Ba Mexprimi posse non minus per constantes, quam per quantitates variabiles quidem, sed quae eaedem prorsus sint respectu seeantium B M, Bam . Quare si istae Parallelae ponantur, & desinentes in AB, s me. a J sumpto quolibet puncto fi- γ A, proprietas dari poterit per AB abscissam mmmunem duabus ordinatis BM, B a M. Si vero ieeaentes Fg. 1 discedant a dato puncto B, sumpta qualibet B A positione d ., ta . proprietas dari poterit, aut per angulum AB M
communem secantibus B M, Ba M, aut per quantitates ab hoc angulo depende tes, ut sunt sinua. cosinus, alia que . His praenotatis agemus primum desecanti
hus parallelis, deinde de illis quae a dato puncto procedunt. . In primo casu si puncta sectionum duo sint , quis non videt, secantes BM, BiM Fig. esse ordinatas duas, quibus eadem est abscissa AB: ergo
valor ordinatae expressias per abscissam duplex fit oportet, atque adeo F dehet in aequatione curvae dimensionem secundam tenero . Formetur itaque aquati. - 2 my--n m o, in quam , ndari debent per Ν,& per constantes, prout proprietas exiget. Resolvatur aequatio, & inveniant ar duo valores ne mispe y Vmm- n, V m m- Ex istis valoribus efforma in quationem, quam proprietas postulat,& per hane determina aut na, aut n. Acolloca in aequatione supposita, Sc habebis omnes curvas data proprietate
s. Sint primo determinandae eurvae in quibus rectangulum B M. B1M sit constans, aut datum per A B α κ . Uoca P quantitatem, quam rectangu'um debet aequare. Duos valores inventos ν simul multiplica, ut habeas m m - mm--n in m P. Ergo si in aequatione substituas P, quicumque si valor m h ah bis curvam propositae proprietati satisfacientem ς nempe 99 - ams- - P mo. Hoc facilius deducere potuisses. Nam quum ultimus terminus aequationis n sit rectangulum ex duabus radicibus, si hoc supponatur m P, etiam n P. re si P sit constans, rectangulum ex duabus ordinatis BM, B a M constans erit, in qua luppositione fi m ma--bx, aequatio erit ad hyperbolam, quae referetur ad asymptota . Proprietatem hanc convenire hyperbo ae ordinatis in asymptotum desinentibus supra demonstravimus. Verum eadem propiretas non hyperbolae tantum, sed infinitis curvis convenit, quarum aequationes habentur, si pro m qu
libet functio κ ponatur. Maxime autem simplex esse videtur, si sat m I
oritur enim curva tertii gradus, cu us aequatio Xκ --- a.
480쪽
ε. Quod si P rectangulum ex duabus ordinatis BM,
B, Μ hane quantitatem aequabit. Si in hac hypothesi fiat m aut constans, aut aequalis fingx, aequatio nascenu poterit spectare ad omnes sectiones conicas pro effieientium diversivite; quod si a --bκ. ex' possit resolv1 in duos factores reales, linea abscissarum in duobus punctis eurvam secabit. Quare rectangulum ex duabus ordinatis erit ad rectangulum ex duabus interceptis inter ordinatam Seduo puncta sectionum abscissae eum curva in ratione data. Proprietatem hanc convenire sectio ibus conicis jam ostendimus. Nune vero liquet, eam propriam esse infinitarum curvarum, quarum aequationes habebis, sim alio modo supponas datam per N. Sed alias proprietates spectemus.7. Quaerantur curvae, in quibus duarum ordinatarum summa B M B L Maut constans sit, aut data per communem abstigam AB. Haec quoque quaestio faeile resolvitur. Nam quum e fliciens, secundi termini mutato signo aequationis assumptae summae radicum aequale sit, debebit xm i BM- Ba M. Quam lummam pono m P. Verum hoc idem colligimus summatis radicibus inventis, quum earum summa fit mam. Quare curvarum quaesitarum aequationes hac formula sontinentur 93 - α o existenta n quomodocumque data per X. Si P constans sit,& fiat n m a - - ,π--em', aequatio erit ad unam ex sectionibus coniis