장음표시 사용
441쪽
Quando positis x ,st minimis, evanescit respectu aequatio subsistet in terminis
- ρ ιν mo. Quoniam autem ex aequatione pa
a qm o . Ut aequatio trasseratur ad abstissis
u , quae est ad parabolam apolloaianam. Igiis
tur eurvatura in omnibus punctis cujuscumque parabolae, excepto vertice, est eiusdem generis ae curvatura verticis parabolae apollonianae, hoc est ae curvatura circularis. 3s. .Verum ut harum eurvaturarum ideam essormemus clariorem, ponamus p minimam ita, ut punctum , in quo quaeritur curvatura parabolae, sit vertiei Inlinite proximum. Patet ex natura para lae, ρ sore minimam, atque adeo nurulescere respectu ρ. Ergo nascetur aequatio
α u . Si ρ sit ejusdem .gradus ac ρ , ut evenit in parabola apolloniana, parameter parabolae ostulantis finita est. Si p sit minima respectu quod accidit quotiescumque est n a,p rametur parabolae evadit infinita. Quapropter si accipias minimum arcum A B. ς ) est vertex parabolae; tum sumas arcus B C, Be, qui ad arcum A Bbabeant minorem ratioaem quacumque data; tum ducas B H tangenti normalem;
442쪽
postremo circa axem B H, parametro infinita, eujus valor dependet ab areu AB, deseribas Drabolam apollonianam D Bd, arcus DBd osculabitur arcum CBq& ordinatae horum arcuum normales B H non different inter se nisi' quantitate relate ad ipsas minima. Si vero ρ infinita sit respectu ρε, quod accidit, quoties is sit α ι, tuas parameter parabolae apollonianae osculantis minima evadit. Itaque si aeeipias areum minimum AB, Fig. Io tam sumas areus BC, B c, qui minimi sint respectu A B, parabola apolloniana. cujus vertex sit B,& parameter infiat te parva dependens ex quantitate arcus AB, Olculabitur in B parabolae arcum CB c. Ex his colligas velim, puncta illa, in quibus arcus curvatura diversa est a curvatura verticia parabolae apollonianae, sive a curvatura circulari, esse puncta prorsus singularia . Etenim in quibuslibet aliis punctis, quantumvis volueris , proximis, curvatura est ejusdem generis ae curvatura verticis parabolae apollonianae, seu circuli, tametsi radius circuli, aut parabolae parameter augeatur, Vel
De figura linearum curvarum in spatio finito.
r. GAeilus est cognoscere, & determynare positionem ,& naturam ramorum in Γ infinitum extensorum, quam figuram curuarum in spatio finito. Etenim ad hanc definiendam haee una sup=etit methodus, ut scilicet pro quacumque a scissae valore singuli ordinatae valores inveniantur, & reales secernantur ab imaginariis; quod identidem vires cognitae analyseos excedit, praesertim si sit altioris
gradus aequatio. Nam si determinatus valor abscissae tribuatur ., ordinata vicem tenebit incognitae in aequitione, eujus gradus pendet a numero diu ensionum . , quem obtinet eadem ordinata. Juvabit saepenumero mutare Iineam, & initium binaarum. ut in aequatione curvae alterutra ex coordinatis, quae tamquam or- habenda erit, minimam .obtineat dimensionem, & expeditissima evadat rein
labitio. Postquam autem hoe perfeceris, quo pacto figura curvae definiri possit, ostendam gradatim, ineipiens a casu maxime simplici, ubi ordinata F uatus estriciensionis. - a. Quotiesiis εν line, em obtinet dimensionem,& aequalis statuitur sunctioni rationali x, manifestum 'est, curvam haberi ita continuam , ut cuicumque valori Ν una tantum y respondeat vel negativa , vel positiva. Si s aequalis stla actioni non solum rationali, sed etiam integraex, quam voco P, docuimus Cap. 6 Num. 4, curvam praeditam esse duobus ramis infinitis generis parabolici. Si P. nullum habeat factorem simplieem realem, quod contingere non potest, nisi maximum exponens κ in P sit par , nusquam secabit lineam .ab eisiarum. Si vero adsint factores simpliees reales, quot isti sunt, tot in pustistis secabitur linea abscis. sarum; quibus determinatis da operam, ut quomodo inter haec puncta progredi tur curva, cognostas, atque ad maximas minimasque ordinatas, & ad diversia contactuum genera attende. Ustico exemplo casum hune maxime simplicem ill
mos statim insalios BF, CG Fig. x j determino generis parabolici , quo M
445쪽
sunt asymptota rami parabolae aequationis y m. - . Primus habet ordinatas ἐ
&abscissas postivas, alter negativas. Quoniam iunctio integra κ tres habet factores simplices reales, hoc est κ, ω - a, α - b, facto A abstularum initio , abscindo ad partes κ positivae A B b , ad partes negativae AC ma, curva transibit per tria puncta A, B, C. Quaeramus tangentes tu hisce punctis. Tangens puncti A essiciet angulum eum AB, cujus sinus est ad cosinum ut tangens puncti B concurret in angulo, cujus sinus ad cosinum ut b. a in puncto vero C sinus ad eosinum anguli ut a b: a. A puncto A usque ad B ordinatae sunt negativae, a B deorsum positivae usque in infiniatum , ab A ad C positivae, tum usque in infinitum negativae. Si abscindas AK m- a -- ώ-j aa in ab -- b b
ta erit flexu contrario, vertex autem parabolae primae cubicae osculabitu eu vam in. puncto I. Relio uorum punctorum curvatura, n. hil habet pecu iare. Sibia, punctum flexus 1 transiret in A. Si , meto, pars NDA evaneidit , &ramus F Fig. λὶ tanget lineam CAI linea AL, cui respondet flexus coa-trarius erit m - , linea AH ubi maxima est ordinata, erit m --
4. Sist aequet constantem divisam perfunctionem rationalem x, quam Ioco qui sit A - , vel Q. factores simplices reales, vel secus. Si nullas habet, nullum erit curvae asymptotum ordinatis paralle um. Si habet aliquos , tot erunt atymptota ordinat s parallela, quot factores reales. Haec asympto λdctermina, tum quid inter haec asymptota accidat e vae, diligenter inquiret, Glejus figuram invenias. Exemplum habe in aequationa ct m s
qua, quum divisor habeat duos reales factores simpliees, duo eurva habebi t asym-Ptota parallela ordinatis. Sit A initium abs eissatum , seca AB m a Fie. 33δd partes N positivae, ad partes negativae AC b, & per C, B duc mi, Nuordinatis parallelas, quae erunt asymptota . Inter A, & B, pariter inter A , C ordinata provenit negativa; quare nascetur ramus NFM, cui una minim ordinata convenit. Haee determinabitur si CB di .idatur bifariam in D; ordinata enim in hoc puncto est omnium minima. Post punctum B , item poli Punctum C ordinatae inveniuntur positivae: prope puncta B, C sunt insaltae, tum decrescunt, & abscissis in infinitum auctis, ipsae in infinitum minuuntur. ita qu* orientur duo rami L Κ, ΙΗ, utrique est asymptotum ΚΗ, primo B L, alteri Cl. Genera asymptotorum aliis determinanda relinquo. P, Q sunt functiones integrae, & rationales m, obseretandum
ςst, quot factores reales adsint in quantitatibus P, Z. Quot sunt Dissilired by Coost
446쪽
hentur puncta, in quibus curva lineam abscissarum feeat; quot sunt in Q, tot definiuntur puncta, per que transeunt asymptota parallela ordinatis. Exemplum
sit in aequationes m zzzz M. Sit A Fie. in initium abscissarum, abstinde
A Crabra AE, AB M AD m a. Per puncta E, B due lineas parallelas oris dinatis LG, IL; eurva transibit per tria puncta D, A, C, & erit lineis ΚG, IL aiymptotiea. Quoniam facta X vel pontiva, vel negativa infinita ,s infinita est politiva, & negativa, existunt duo rami in infinitum recedentes, quibus .erit asymptotum rectilineum. Determinatur autem hoc asymptotum , si abscindatur AF mxa ab, 3c ex puncto F agatur linea FH essiciens angulum B FH semitectum. Intra angulum G NH progreditur curva GH, cui utrumque crus est asymptotum. Intra alymptota IE, ΚΒ progreditur pars IACK, quae transit per puncta A, C. Demum per D transit pars. ad partem Laccedit ad asymptotum E L, ad partem Μ ad asymptotum PF M. In aequatione F '- propono aliud exemplum, in quo neque
numerator, neque denominator hactionis habet ussum iactorem simplieem rea. lem ἰ quare curva nusquam secat lineam abscissarum, neque habet ullum asymptotum ordinatis parallelum. Adverto F a, si fiat vel x α o, vel λ α Sit initium abscissarum A FQ. s) I ad utramaue partem abscinde AC AD a. Ordina 'B α CE DF m α; curva transibit per puncta B, E, F . Si sum tur vel positiva , vel negativa minor , quam a , fiet si V a ; imo secta AG AH m a V -a-- a, ordinata fit omnium minima, & inveniturm a ad 1 - 1 a. In puncto A ordinata AB est maxima. Quapropter curva aB, ubi habet tangentem parallelam abscissis, eisdem obvertit concavum, tum post flexum contrarium in aliquo puncto M abscissis obvolvit eonvexum eisdem semper appropinquans usque ad I , tum reaedit, & fertur ad punctum E. Idem die de altero ramo BNK F. Demum post puncta E, F in infinitum recedit
per duos ramos generis parabolici. 7. Si in aequatione 3 ad seeundam potestatem ascendat, ut nusquam pol sas prima reperiatur, tunc extracta radice aequatio hanc formam induet y m P, in qua P est siunctio rationalis x vel integra, vel fracta. Perspicuum' est y hique habere duos valores aequales alterum positivum , alterum negativum. Quare linea abscissarum bifariam partietur chordas omnes parallelas, atque adeo erit diameter , imo ax:s si angulus sit rectus. Curva non erit semper continua, quia pluribus in locis contingere potest, ut P evadat negativa, quo in casu 9, atque adeo curva fit imaginaria. Caeterum quoad puncta, in quibus curva seeat lineam abscissiarum, aut habet asymptota parallela ordinatis. eadem ac antea reis gula tenenda est. Exemplum lassiciat sequatio
Per At Fig. 6) initium abscissarum due parallelam ordinatis isdcfinitam ΚΗ, haee
erit asymptotum curvae. Abscinde AB ra a, per punctnm B curva transibit, in quo puncto tangens erit normalis AB. Si A sit minor AB α a, & . curva
447쪽
realis est, & quo κ est minor, ν est major. Abscinda AD α Aa, eui tenpondet γα DE m 2, in puncto E habebitur flexus contrari . Quare eurva
obvertens abscisiis eoaeavum progredietur a B ad E; rem sese flectens.& obvertens convexum aceedet ad asymptotum AH. Pars BFK prorsus similis exi-Hat ad plagam ordinatarum negativarum. Si π sit aut a, aut negativa, o
dinata F, & curva evadit imaginaria. Quod si aequatio proposita suisset --, secta AB ra AC m A Fig. ductisque per C indefinitis HE, L F, quae sint parallelae abscissis, curva ab A ad B erit im
ginaria; deinceps incipiens a B in infinitum progredietur per duos ramos B E. a1r, quibus sunt asymptota CE, DF. Ad plagam autem x negativae, praedita est ramis duobus HG, LI sitis inter angulos H CG LDI . quorum alvMPtot sunt erum angulorum I I8. Aliud exemplum praebeat aequatio F
qn qu quum tres sint factores simpliees x, ω - a, Ea - ος, in tribus puncta linea ableidarum feeabitur. Sit A initium absia rum , seca ABm BC m a. Si sit m unus tantum ex tribus factoribus negativus est; ergo adeoque
curva imaginaria. A puncto A ad punctum B nihil existit curvae Si m sit , ' 'factores omnes sunt positivi ;existente igitur 9 reali orietur ovalis B ECF primi factores sunt positivi, tertius negativus; ergo omnia imaginaria. Si π ponatur negativa, in A hine inde descedunt duo rami infiniti A H. A K generis paraboliei, qui primum coaeavi sunt ad abscissas , deindst conve tuntur in convexos. Maximam Ovalis ordinatam habebis, si abscindas BDα- . flexum vero contrarium, si seees A Gma ι 1-
9. Si in aequatione praeterra adsit uel resoluta sequatione secundi gradus , hujus sermae occurret aequatio ' de in qua P, si sunt iunctiones ratio nares vel integrae, vel fractae . Ut formam curvae detegas, hanc sequere methodum. Pone zm P, um Q, ut sit reuia Curvarum hisce aequationibus respondentium figuram detege Eae autem sint A E, C F, Fig. vl in quibus A B C D BE R., DFαDGrau. Singulis ordinatis B E, adde, Sedeme E H, & E K M DF, & puncta Η, Κ erunt in curva quaesita. Hoc si iasingulis punctis emetes, curvae figuram patefacies. Ex hoc operandi modo colligas velim, lineam A E dividere bifariam omnes parallelas ΚH. Exemplum sussiciat aequatio maxime simplex ν -- κ2 Lao - κη . AEquatici
est ad lineam rectam, quae ita construitur. Sume AB M b, BC at Horo junge AC, hie erit loeus; & existente ΑΚ α Μ, erit KLας AIt
448쪽
Quare sectis ubique ΑΚ m FH, due ordinatam Κ L, in qua ad utramque par
tem sume LM LN HI, puncta M,N erunt in curva quaesita, quae invenietur esse ellypsis conica. In hoe artineto fundata est methodus construendi locos geometricos, quam proposuit Iacobus Hermannus, quamque perfecit Vincentius Riccatus in primo Opuc Tomo opusculo ultimo.
quati --- a m est ad hyperbolam apollonianam , quae ita describitur . Accipe CG m G M in a, Fig. it & inter asymptota CG, CH describe hyperbolam. Prodae H C in I, donec Cl α a, & duc IL paralleliam C G , runt IN α π, NQα - - a. Secundae aequationis ti m 1 -- curva de scripta est N. 7, & exhibita est a set s. Seea ubique I Nm AD, Fig. 6 due aque Nmaeeipe QP m DE. puncta P, O erunt in curva quaesita, quα ait cudet a puncto M, in quo tangetur a recta GM, 3c per duos ramos M P H , Μ Ο H progrediens aeeedet ad asymptotum C H . Si abscindas ΙN M aa, Sc ducas ordinatam No P; in utroque puncto O, P tangens curva erit parallela abscissis. In o habebit minimam ordinatam No, in P prae
II. Tertium exemplum praebeat aequatio y re Ua. a se . Facta
m καa ζhabetur parabola F AG, F. Iχὶ cujus vertex A, parameter rara, tangens A B, in qua sumuntur abscissae Ad aequationem timet a. a--κ construendam abscin. de Cia, 3c vertice C describe eamdem parabolam CE, cujus vertex C,ax sCAB. Demum singulis punctis t parabolae F A G ad utramque partem accomoda in , is aequales ordinatae ur; puncta n, s erunt in curva quaesita. Haec Praedita erit ramis duobus, quorum uterque initium habet in punAo F, in quo tangitur a CF. Alter est Fm In DP, qui seeat rectam FH parallelam ablcisess in punctis I, D, tum in infinitum progreditur per D P. Alter venit ad contactum parabolae in puncto E. seeat FD in H, & abit in infinitum.1α. Quod si is aequalis inveniatur duabus radicibus quadratis, eadem est tenenda methodus. Fac enim unam radicem ma , alteram mu . Duas curvas construe , utriusque abscissae ram, ordinatae vero in una inn, in altera m M. Tum lingulis ordinatis unius curvae adde, & deme ordinatas alterius. &Puncta determinabis curvae qu sitae. Exemplum da a x -Ν Ν ' a X- Ν . Describe circu um AGBH Fig. t aequationis zm 1aκ-κΝ, cujus r dius C Ama, erunt AFrax, FG g. Item deseribe circulum A IC aequa tionis um jam-κκ, cujus diameter CA a. Tum singulis punctis G primi Circuli ad utramque partem applica GL, GM m FI ita, ut ordinatae FG au Leantur, & imminuantur per ordinatas FI, puncta L, M erunt in curva qum sta. Quae curva dubbus soliis continetur, nempe ALDMA, AOENA. R mi omnes tangunt circulum in A. Di ameter autem ECD tangit curvam i
punctis D, E. Si accipias AP αλ a, & ducas ordinatam PS I P Q.
449쪽
ordinata omnium maxima. In puncto S tangens erit parallela abstissis, & eurava praedita erit flexu coatrario. Idem die de curva posita ad plagam ordinatarum negativarum. Quadrans A D dividit bifariam omnes chordas M L, quae eonistinentur intra ramos A LD, AMD. Semicireulus autem AIC dividit hila. fariam cordas omnes o L, quae continentar inter ramos A L D, ΑΟ E. 13. Alterum exemplum praebet aequatio F ΜΝ ao Construe aequationem ti ljκκ- quae est ad hyperbolam aequi laterem. Facto C Fig. ι centro sume CB m CD i a,& verticibus B , D deseribe hyperbolam aequi lateram H BG,NDO. Tum specta aequationem re μιν. . quae est ad parabolam, atque hoc modo construitur . Abseinde D A m b , Severtice A, parametro m a deseribe parabolam Η A G, quae seeabit hyperbolam in quatuor punctis Κ, I, G, H, quae jungantur lineis IK, GH secantibus axem in punctis F, E. Si singulis hyperbolae ordinatis addantur, & detrahantur reia pondentes ordinatae parabolae, determinabuntur singula puncta curvae describendae. Per vertices hyperbolae , & parabolae agantur tangentes MBL, DP, o AN. Curvae figura est hujusmodi supra puncta D, A curva est imaginari -- , intra puncta A, D nodum habet transeuntem per punctum F, nempe N F o F P N, qui taneitur a rectis ON, QP. Intra puncta D. B curva ima inaria. Demum post haec puncta quatuor ramis in infinitum progreditur, qui initium habent in punctis M, L. ubi tanguntur a recta M L. Duo interni sese invicem, & axem secant in puncto E. Si b m o, & vertices D, A coinciderent, nodus desin
l . Si y inveniretur aequalis quantitati rationali additis duabus radicibus,
describatur curva, cujus ordinatae aequales sint quantitati rationali, addita una radice per methodum expositam; tum delineata altera curva, cujus ordinatae aequales sint residuae radiet, hujus ordinatae addantur, & demantur ex ordinatis primae; atque ita determinantur puncta singula curvae deseribendae. Idem dicas velim, si s tribus radi ei bus esset aequalis. imo aucto radicum numero eadem methodus gradatim valet inas. Spectavi solas quantitates rationales, Sc radiees secundas quantitatum rationalium. Uerum eadem applicanda sunt quibuscumque radicibus quantitatum rationalium . Nam si impares fuerint, unum tantum valorem realem seni per habebunt; si pares, vel duos aequales unum negativum, alterum positivum , vel duos imaginarios . Quare eo pacto tractantur, quo quantitates rationales, A r dices secundae.16. Major dissi euitas oecurrit, in invenienda figura eurvae, quum 9 invenitur aequalis radici, quae aliam radicem in eludat. Nam nulla alia methodus suppetit nisi determinare veros valoresy, suppositis pluribus valoribus ποῦ atque hoc modo inspicere quo pacto curva progrediatur. Exemplum propono in formula maxime
450쪽
ν m Tt a. ordinata autem ma Wr-HU 1 est omnium maxima. His inspectis figura curvae sese manifestat. Polito A is 3 abicissarum initio. abscindia, AB ra AC m a. Ex punctis A, B, C ductis normalibus, laea ADαAE BH i ΒΚ m CF CG α a Ua. Demum sumptis A I AL α - fiant
IM IN α Lo i LP m a Vi H da, in quibus seea ΙQmIRm LSmLT a. Curva ex A procedet ad Q, veniet ad contactum B H in H, tum per Miransibit, quo in puncto maxima erit ordinata, demum venies ad D , ubi tangetur a recta AD. In singulis autem plagis quatuor partes habebit similes , Maequales.
II. Quod si eveniat, ut aequatio tam altae dimensionis sit & ejusmodi , quae
nullam re tolutionem ex cognitis analyseos regulis admittat , nulla suppetit methodus cognoscendi, qua figura praedita sit in syatio finito. De proprietatibus curvarum ex aequatione deducendis egr gie scripsit in introductione ad ana-Iylim infinite parvorum Leonardus Ealerus vir ingemollissimus , cujus inventα- magnam nobis attulisse utilitatem fatemur . Dignissimus pariter est , qui lega tur, liber egrecius nisce de rεbus coiis. a Crainero, qui tamea longe diversa utitur m cthoaO.
De resolutione, & constructione aequationum per
inter se mones curvarum , I. π Ibro superiore eapite deeimo eriterium tutum exhibui, per quod cognosci-
mus, quibusnam in calibus tot sat in duabus eurvis puncta inter lectionis, quot in aequatione determinata radices reales, ut tuto, ac sine paralogi rurno per hanc methodum easdem radices determinemus. Criterium, quod potissimum lineis primi, & secundi gradus aptavi, augendum est, atque ad omnes omnino curvas transfere dum. Curva, cujus aequatio eo a tineat solam 3 linearem, conjuncta cum curva cuiuicumque gradus, tot habet inter lectiones , quot sunt radices reatis. Quantitatus P, re &α ρ, ,r &c. datae ponuntur per κ,& constantes. Sit aequatio PH Q 9 m o, & ρ--φ'--νν'....tν πο . Qui non videt, quemcumque valorem realem positum pro x in P, praebere valorem realem y; ergo quaelibet radix realis aequationis, quae prodit eliminata F, posita in praebebit valorem realem; igitur non potest elle imaginaria it Ia ordinata, quae aequalis est ordinatae secundae aequationis: tot igitur sunt in tersectiones , quoi r dices reales. Quare si aequationem conitruas per curvam, in cujus aequatione 9 sit dimensionis linearis, quaecumque sit alia curva, radices emnes per interlectiones obtinebis. a. Hoc idem dicere non licet de aequatione eontinente quadratum yy, ut