장음표시 사용
455쪽
P o, aequationem praebant, quae utramque radicem habet im1ginariam . Quare contingera potest, ut ordinatae duae aequales, quae in duabus curvis res. pondent eidem abscissae reali, sint imaginariae, ae proinde ut nulla ibi habeatur interiectio realis, ubi realis est abscissae valor. Constructio itaque, quae per has Curvas peragitur dubia est, quum numerus intersectionum minor ut numero radicum realium. Verum si per methodum toties usurpatam , eliminando stilitat potestates 3 iaeipiendo ab altioribus devenire possis ad aequationes duas, is quibus η linearem teneat dimensionem, atque hujusmodi aequationes nullum habeant factorem communem, aecidere non poterit, ut ordinatae aequales sint Im ginariae. At si alterutrum aecidat, de constructione dubitare debemus. 3. Quamquam methodus ejciendi potestates ν incipiendo ab altioribus , Ainveniendi aequationes duis continentes solam 9 explicata est saepius; tamen non
pigebit hic addere exemplum, ne quid obscurum relinquatur. I. P Qν -R3' o Assumo duas aequa-- - tiones, in quar*m
νὴ detraho a seeunis da multiplieata per R & orituri ertia. A- tertia multiplieata
VI. PN--QN-κm.3 m . t per R demo primam ductam in Ie - Q r. F, ut oriatur quarta , quae simplicior fiet, si laetasPRν - Q. R in m. M. A prima multiplicata per M deduco quartam ductam in R , ut oriatur quinta, quae simplicior evadet iacta P Μ p ra ma M P R . Rε - υν α N. Quintam multiplicatam per Rν detraho a prima multiplicata per N, ut demum oriatur sexta. Si in aequatione quinta fuerit Nmo, prodibit etiam m m o, ex qua aequatione determinantur omnes v lores reales κ. Hi si introducantur in aequationem primam, aut quartam, dat reperietur 3 in aequatione secundi gradus, atque adeo accidere puterit , ut sit imaginaria. in hoc casu plures esse possunt radices reales N, quam intersecti nes, neque constructio numerum radicum realium tuto determinat . Si ncn stNmo, adverte, utrum in aequationibus quinta, δέ sexta factor communis reis periatur. Si adsit, quum ad inveniendum valorem radix realis , quae oritur ex hoc iactore aequato o, ponenda sit in aequatione secundi gradus. prodire potest 3 imaginaria, & dubita adum de conii ructione. Si nullus sit duarum aequationum L. or communis, tot grunt intersectiones reales curvarum, quot radices reales aequationis, quae eliminata 9 exoritur, Sc per interseestiones numerus radicum realium tuto determinatur.
4. Quod dictum est de aequatione ineludente F , idem dieendum de illis ,
456쪽
Iati quadrati radiee, duae curvae adhibendae sunt, quarum gradus unitate superet gradum a radice indicatum. Ita in aequatione gradus II auaeratur maximum qu dratum ρ. ut residuus sit numerus z, qui .st minor 3 radice quadrati ρ οῦ aequatio it que construitur per duas curvas alteram gradus tertii, alteram gradus quarti . In a quatione vero gradus decimitertii, dempto a I 3 quadrato maximo ς, remanet , qui est major radice ς,' duae curvae igitur adhibendae erunt ambae gradus quarti . 8. Ut haee regula utilitatis laudem aliquam ubi vindieet,aaalystae doceant oportet, quo pacto aequationes omnes cujuscumque gradus servata regula conis struantur. Quantum spect i ad aequationem sexti gradus, ad quam reducetae aequatio gradus quinti facta multiplicatione per π, res caret omni difficultate. Nam sit aequatio no construenda per duas alteram secundi, alteram tertii gradus. Fiat re factaque opportunia substitutione orietur π--eκ-- fmo , quae est tertii gradus, neque difficilia constructionis, quia n linearem solum obtinet dis mensionem. Si adhibuisses substitutionem κ' F, quae pertinet ad aequationem
tertii gradas, orietur 9 --ay P-- by - cs --dκ--eκo, quae pariter est teitii gradus. Verum si aequιtio proposita secundo termino careret, quod se in pre obtinere nossumus. & a m o, ultima aequatio esset lecundi gradus. Stad lectionem coni eam pertineret . Igitur utroque modo sexti gradus aequatio co stru tu' per duas curvas te cundi, & tertii gradus ἀν Progredior ad aequationim gradus noni, ad quam facta multiplicat oneper κη. aut m redaeitur aequatio gradus septimi,&octavi. Haec debet construi per duas curvas tertii gradus. Sit aequatio H- ω -bύ--eκ -dκ - - e κ' fm 3ceia moia Pone κ'αν, ut ortatur ν' - ΛΗ κ- by κ--ey dyκ ess FG Reia m σ, quae est quarti gradus. verum si secundus terminu arceatur, & a o, gradus tertii, A constr ct o perag tur
ita AEquationes decimi, & undecimi gradus redueuntur ad duodecimum , multi olieando per x ,&κ. aequatio duodecimi ex regula tradita construenda est per duas curvas tertii, & quarti gradus. AEquationem suntemus secundo termia
aiisset y ay π - νὴ N ey -aΗΝ - ey π --0κ &e. - o quae pariter est quarti gradus. Quare hoc modo non obtinemus duas curvas Mam tertii, a liam quarti gradus, sed ambas quarti . ai. Hae servata regula tradita construuntur, sed superiorex non item . . quatio gradus decimi sexti secando termino carens sit
esset per duas quarti . Fiat κ' y ut oriatis Disilired by Corale
457쪽
abds'κΤ e DL Ste. m o quae est aequatio gradus quinti propter terminos ady κ'. Quapropter aequatio decimi sexti
gradus hac methodo tractata non construitur per duas curvas gradus quarti . Diificultas autem vel maxime augetur, si methodus applicetur aequationibus su-Perioribus, ut gradus vigeli mi, vigesimi primi, trigessimi, & reliquis. Neque methodus atra adhuc tradita eli, per quam aequationes gradum duodecimum su- Perantes generatim resolvantur per i uter lectio arin earum cuivarum, quas e igitregula proposita. Quare illi analysiae nisi generalem hanc methocum c Oceant, fruitra petunt, ut regula ab ipsis statuta custodiatur. a. Verum hoc nihil mihi molestum aecidit , quia utrum superior analysiarum regula sit omnium optima, vehementer ambigo. Namque ea itin datur in hoc principio; ea constructio max me simo ex judicanda est, qilae perἀgitus per ut v s, qu rum aequationes sint maxinie simp :ces, & in infimo gradu polrtae fiat. Verum simplicitas constructionis nullo modo videtur dependere a simplici- twto aequ tionis earum cur garum, per quas peragitur. Certe aequatio pλrabolae π - θν simplicior est aequitione ei reuli a an -κκmyy. Attamen 'uis um qu 3m in conitructione praeferet parabolam cireulo λ Etenim non simplicitas aequationis attendenda est, sed facilitas descriptionis. Quum autem facilius , Sctutius delineetur circulus, quam parabola, circulus eligendus est ac constructionem, imo ob hanc caussam ei reuius saepe prae bonitur lineae rectae, licet hujus aequatio sita sit in primo gradu. Quae quum ita sint primum illae curvae teli gendae lunt ad construct . onem, quae tuto instrumento possint delineari ; deinde si his careamus, illae, cujus puncta singula facilius determinantur in praxi.
II. Existunt problemata ejusmodi conditiones in eludentia, quae determinatam calvam ad elegantem tui constructionem videntur postulare. Hoe in praetentia unico exemplo praestat explieare. Solutum dedimus libro secundo per duas sectiones conicas is intersecantes hoe problema. Intra angulum rectum BC D F. ιδ
dato puncto A ducere lineam AMN ita, ut pars MN intercepta inter latera anguli datae sit aequalis . Si naturam problematis eonsideres, videbis, illud ad legantiam constructionis eonchoidem Nieomedis quodammodo postulare. Demitte An normalem in BC, in eaque producta aeeipe BF BE aequalem datae M N. Puncto B iter faciente per lineam BC, deseribant puncta F, E conchoidem ni- comedeam, quae iecabit lineam DC in N; due A M N, haec erit linea quaesita, R ivl N ex natura conchoidis datam aequabit. Licet conchois sit curva qu-rti gradus, tamen quum iacillime per instrumentum describatur, constructio est elanihil videtur illi concedere, quae perficitur per conicas sectiones. Nihil hic cicam de radicum numero, sed tantum paucis attingam , quam late pateat g nuῖ hoc constructionis . Etenim tametsi linea C D non sit perpenditularis C B, tametii ea non recta sit, sed curva; tamen ejus intersectio cum conchoide nico medea problematis solutionem praebebit. Imo etiamsi linea BC non recta, sed curva suerit, genus constructionis no a defiet et : quia si punctum B moveatur super curvam BC, non describetur a punctis F, E conelio .s ni comedea , sed a jusmodi curva delinea bitur, quae interseeans lineam DC determinabit puncta, quae jungenda sunt eum A ad problema solvendum.14. verum licet aut non adsint, aut nobis cognitae non snt curvae hujusmodi, quae expeditissimam problematis solutionem per fietant, & necessario confugiendum sit ad aequationem analyticam, quae ex datis conditionibus invenitur. tamsa rbitror non esse atteadeadum graduin eurvarum, sed earum facilem dς-linc
458쪽
lineationem per puncta singula. Hanc ob rem puto, seligendam esse eurvam a jusdem gradus, in quo est aequatio eonstruenda, & conjungendam cum linea recta. Hoc obtinebis si ultimum terminum aequationis , qui datus est , lacias mst, ut facta substitutione ιν in uno tantum termino reperiatur , in quo gelinearem dimensionem tenet, neque per x multiplicatur. Hujus curvae , dato quocumque valore κ. ordinatae singulae per solas lineas rectas , & circuios deis terminantur, adeoque etiam puncta singula per quae curva transeat . Hac curva delineata agatur recta parallela abscissis, in data intervallo, atque haec r dices omnes aequationis suppeditabit. I s. Facili exemplo theoriam illustrabo. Inveniendae sint radices aequationis N --aL- ab o, quae ex resolutione problematis orta est. Pono χω atque ita aequationem disponos se H N. Curvam quinti gra-
dus, cui aequatio convenit, inveni s punctis singulis delineo . Ea autem hane larmam habet. Ad plagam abiciliarum positivarum progrediens habet omnes o di natas positivas, ad plagam oppositam habet negativas. ln A Fig. 1 habet
flexum contrarium, secat lineam ab eis Iarum ad angulum semirectum, ejusque. cur ψatura cohaeret eum curvatura verticis parabo'ae primae cubicae. Ad utram qua pariem progrediens recedit a linea abicitiarum utque ad certum terminum, tum
iterum accede es, & sese flectens in R, S, ubi AI m AL a P l, ad ejus
contactum venit in B. C, ubi A B i A C α a : tum per duos ramos BD, CE in intini tum recedit. Iam vero, hae descripta, ponamus AM parallelam ordin iis & parallelam abscissis due MN. interceptae inter punctum M & puncta lectionis cum curva, ut M P, Q, NI N dabunt reares aequationis radictis. io. Genus hoc constructionis magnam affert utilitatem in determinandis liam it.bus, quibus a realibus separantur radices imag nariae. Nam ii inveniantur va. lores max: marum, & minimarum ordinatarum, limitis 1latim sunt determinat .
In exemplo adducto maximae ordinatae habentur quum AFmΑGm quos valore in aequationem introducto obtinemus maximas ordinatas F H , G Κα - Itaque si sit , -, una taenium radix realis habetur, reliquae zsos as somnes quatuor imaginariae. Si b m -- duae ex imaginariis reales fiunt, Se
aequales; quare tres radices reales, quarum duae aequales . Si b , tres Us radices omnes inaequales. Demum si brao, quinque sunt in hoe tantum casu
radice S, una mo, duae aequalis possit tuae, duae aequales negativae, omnis - Iocm dicendum, si b loret negativa. Haec satis elle arbitror, ut ana yleos studium
459쪽
CAT UT DUODECIM V M. Superiorum graduum problemata aliquot tum determinata,
tum inde terminata solvuntur. r. DRoblema primum. Ex puncto A s Fig. 1ὶ posito in eireumferentia cire
A ii, cujus diameter est AZ, ductis infinitis chordis A F, bisecentur ar-.cus A F in D, & ex punctis D demittantur DG normales uiametro AB, quae secent chordas in E , quaeritur curva transiens per omnia puncta E. Quoniam ducto radio CD, qui chordas AF secat bitariam, & ad angulos recto, triangulum AGE est simile AH C. atque hoe simile est D GC, erit AGE simile DG C; ergo Aor GE:: DG: CG. Iam vero vocetur radius CAAG π κ, GE I erit ex natura ei reuli DG αν ax- κου; CG autem
a. Problema secundum.1jsdem positis ex D ca biseeante arcum Ariparallela diametro A B agatur D E seeans ehordam in E ; quaeritur locus mnium lectionum E. Iuncta ex centro CD, quae & bisar am & ad angulos rectos dividet ehordam A F, ducantur normales diametro EG, DI. Triangulum
r α---. Ducta diametro MN normali ΑΒ per M , N agantar RP,
SQ parallelae AB. Curva quarti gradus nostrae aequationi respondens praedita erit quktuor ramis, qui omnes in infinitum hinc inde abeunt, & habent pro asymptotis rectas R P, S Q. Problema tertium. Deseriptis super AB Fig. 3 infinitis triangulis, in quibus angulus A ad angulum B sit in data ratione et em, invenire curvam transeuntem per apices C triangulorum. Demittatur in basim normalis CE, &d, visa AB bifariam in D, voretur DEακ, CE ras, A D α BDma, BE a - π, A E m a x , A C in Q -- , angulus Am is, B ra m M. Ex trigodo metricis a se me: : Ce .mμ, sive positis valoribus tam sinus, qvλm