장음표시 사용
462쪽
valoribus, expurgataque analogia
oritur, ' - 1 . . Analogia naec, n m sit numerus integer, sufficit aequationem curvae quae θ', Pti ormulis ad potestatem integram m, imaginaria abeunt, δε sese offert aequatio curvae . Exempla aliquot proleramus . Sit m m 2 ς fit
s . a DA N a --3aκ --2κ , quae est aequatio tertii gradus. Si m- , fit π:: . a in x .s - 4.a--κ. 9 : a - κ=-o .a- .9'--θ', e qua aequatio quarti gradus 3 - Η .s --- Iaa κ-lo π α 3 a'-- 4 a 'κ - o a'κ - Iaa ΜΤ- s atque ita deinceps in aliis casibus. s. Quod si m non fuerit numerus integer, sed hactus, vocetur m - exi. stentibus m, n numeris integris inter se primis: tum hae methodo progredi licet. Analogiae, quae babetur num. 3. , primus, & tertius terminus multiplic tur per j a , tum componendo, ac dividendo proportio ita disponatur
ergo dividendo, & componendo fiet
463쪽
- sa -κ-F -I - a - α-s d i , ex qua in fingulis ea fibra m integri aequilionem eruemus. Si m a, erit atra - κζ: altis a se I a--Μ qua aequatio sty m 3 aa--χaκ - MN, quae est ad ei gulum, cujus centrum Η, radius BA, quod etiam ab elementis eruere potui Dos. Si m 3, exargit proportio
tes multiplicentur per V - 1, mutentur signa consequentium , demum com ponendo & dividendo invenietur
Demum dividendo R componendo, tum antecedentibus divisis per se I exurget analogia
464쪽
oritur aequatio quarti gradus I -4aκ-IOaa α - κV aκ sa ruta a)ω sis 1. Angulus externus CBF aequat duos internos C AB, AC BI ergo Bra m I. M. Igitur solutio problematis propositi exhibet solutionem esimus. Data AB quaeritur carva transiens per apices omniis una triangulorum A C B, in quibus angulus C A B fit ad A C B in data ratio a. m 1. Nam haec eadem est eum curva transeunte per vertices triangulorum in quibus angulus internus C A B est ad externum C B F in data ratione a .m'ς. Problema quartum. Dato ei reuli quadrante A E B ductoque v. hicumque radio CE, qui determinat areum B E, cujuscosinus CD. sinus DE abscindatur arcus BF, qui ad B E sit ut 1: m, & la radio CF secetur CG 'quae data sit per CD, aut DE; quaeritur eurva transiens per omnia puncta G' Radio C B agantur normales G Η , F L. Voeetur C Η α κ , G His radius CB, seu sinus totus m a. ue FBi x. D - m μ. Ex tormulis jam probatum habemus '
in hypothesi datur per fiet α .supponatur esse numerus integer, elatis binomiis ad potestatem integram m, im ginaria Abibunt, & substituto pro p ejus valore dato per η , A pro ζ posita Ν π 33, aequatio quaesita obtinebitur.
AEquationi huie quarti gradus eurva respondens vorari solet lemniscata, quae constat ramis quatuor similibus & aequalibus CGB, C a G B, C 3Ga B, C Gι Fig. sin clausis intra circulum radi j ma, & sese intersecantibus ad angulum semirectum in centro C. 11. Si adhibuisses formulam sinus, voeato DE α ρ, Fig. invenisi a
465쪽
tea substitutis valoribus . . me primum addatur, deinde detrahatur a superiore, ut sit
quae eleventur ad potestatem int gram n , ut habeamus.
Istae aequationes de more addantur , &subducantur, ut oriantur
466쪽
pH-q - - ρ ρ 'I πη--d I - , Inquum ρ, dentur per elevatis binomiis ad potestates integras . aequatio cur. vae, eliminatis Imaginariis, reperietur. I 3. Si ponamus m a, n a, ex prima aequatione habebimus
- ε α κ . Ponamus in hac hypothesi se R,& ergo - . Raaz - a a -κ, bstitatoque pro z ejus valore ilκκ - fiet 1M -Has '-I ra A, quae est aequatio sexti gradus. Si adhi
aω - is V a x 's mas , quam eamdem esse cum superiore. saeile demonstrabis. i . Problema quintum . Sit circulus A FB, Fig. 6 quem tangat in Aiadennita ΑΚ, datumque sit punctum E, ex quo ducatur quaelibet E L secans circu'um in F, tangentem ia Κ. Per F ducatur Fl parallela tangenti, ex Katatur ΚI tangenti normalis, quae duae lineae eo currant in l. Quaeritur euris va transiens per omnia puncta l. Age diametrum AB, in quam eadant noris males ED, FG. Vocetur radius circuli ma, DB α b, ED α e, CGrax, GIαν m AK; ergo GFm Uaa-π . Quoniam. est AK: D Er: A Hr D H erit componendo DE AK: DE:: AD: DH, seu analytice
' S, qaae est aequatio quarti gradus.
ID Curva, quae nascitur, pro diversa puncti E positione diversam admodum figuram habet. Quae omnibus hisce curvis conveniunt, breviter attineam Ducta tangente BM, curvae omnes continentur inter tangentes ΑΚ, BMImmnes transeunt per punctum A, in quo tanguntur ab AK; omnes in aliquo
puncto ad contactum veniunt rectae B M. Si recta per punctum E ducta pa. Iaia Diuiti ed by Cooste
467쪽
rallela ta agenti A K seeet, aut tangat eireulum, haec erit curvae asymptotum; secus curva carebit asymptoto, & intra spatium finitum claudetur . Ict Aliquot casus ex simplicioribus evolvamus . Si punctam E Fi: γ cadat extra circulum in diametro AB producta, ex eo ducatur circuli tangens EP, quae producta puncti A tangentem secabit in Q. Huic tangenti aga noris malem Q. R, R parallelam P R . Curva tota, est extra circulum. Ex A pr greditur ad R , ubi tangitur a QR, tum veniet in similis ramus pontus alteram partem diametri. Si punctum sit in diametro ad alteram partem producia ut in a E, facta ut supra praeparatione, curva Aa RB inveni ctur i ta intra circulum . Recedente in infinitum puncto E, aut 2E, curva co tundetur cum circulo. Ad habendas autem harum curvarum aequationea , satis est ponere in aequatione generali emo,& in secunda spectare. β ut negativam, di majorem quam 2 a. 17. Si punoum E eaderet in B, fieret tam e , quam bmo; ergo aequa.
tro curvae - quadratum, quum sit divisibilis per habebimus κ α - a, quae aequatio docet tangentem B M componere. Lucψam quarti gradus, quae proinde constabit & linea primi & linea tertii gradus. Hujus autem aequatio facta divisione prodit -- - s. Figura autem
est hujusmodi. Ex A Fit 8 progreditur extra circulum, & concavum obvertit i incae B M, tum post flexum contrarium eonvexa ad eamdem accedat tam quam ad alymptotum AEqualis ramus existit ad alteram partem diametri A B. Haec curva vocatur vertoria. Si punctum E cadat in centro C, fiet c o, ergo aequatio curvae in hac mutatur
gehi rectae AK, B M Fig. ρὶ in punctis A, B, & eonstabit duobus ramis in
qualibus positis ex utraque 'parte lineae CN parallelae A Κ, primum concava verius CN, deinde convexa habebit eamdem CN pro asymptoto . Rami duos miles & aequales ad alteram partem diametri AB jacebunt. Reliquos casus lectoribus evolvendos relinquo. 13. Problema sextum. Ex madiis proportionalibus inter datas a, b, qu rum numerus est ram, invenire eam, quae tenet sedem ; ut sim a Rn m 7, invenire septimam ex deeem mediis proportionali fius inter a , b. Vo cata prima ex mediis proportionalibus m κ, inspice sequentem seriεm
- α b. Uides in hac exponentes
re eue numeros indieantes sedes mediorum proportionalium; ergo quae posit --
tqui κ a 4 ergo π a b , sive alat mula exhibet inediam proportioaalem quaesitam. Vocetur haec in x, ut habeatur κ a '
468쪽
xν. Ut ad constructionem veniamiis , ita dispo mira formulama ν m η . Si m esset numerus impar, & m -- 1 par, posita
a o ma 9 , aut o b y , ex qua si inveniatur si, invenietur etiam quae est media proportionalis intera, s. Si Tra sit item par, eadem methodo utere, ut formulam traducis ad tertiam propotionalem post a, y; atque ita dei neeps, donec devenius ad e ponentem imparem. Quamobrem satis ast formulam eonstruere in hypothesim set imparis. Multiplica illam per ut fiat is 'χ αχ ' i'; expoia
nens mina erit par. Fae ast, ut habeis a ' retras ' , existenta - numero integro. Ad axem AD Fig. 1οὶ describe parabolam ΑΒΜ
aequationis a μ' , ' , erunt AD i s; tum describe parabolam a pollonianam ABN aequationis,m Parabolae sese seeabant in puncto B; ex hoc demitte ordinatam B D, erit A D ciet a media proportionalis quaesita. BD vero ras erit tertia proportionalis post a, & hane ab Q. lnv. in Problema septimum. Datum arcum circularem in plures aequales partes dividere. Si numerus partium, in quas arcus dividendus est, non eliet primus, expediret dividere numerum in suos factores, qui sint m, n &e.; tum arcum dividere in partes m, unum ex his in partes n, & se deinceps; ita problema solvetur per aequationes gradus inferioris. Quare partium numerus m n ut primus spedietur. Advoeo formulam cosiaus arcus multipli, quae vocato radio m & arcu dato αμ, est hujusmodi
aequitio a 'M. L . Si duo binomia ad potestatem nareleventur, omata imaginaria abibunt, & si ad potestatem parem elevatam invenies. Quare prost substituto ejus valore, proveniet aequatio gradu u, quae per curvam ejusdem gradus sectam a linea recta non difficulter conti ruetur. I. Contrahamus formulam ad exemplum, & fitnm s Elevatis binomiis d quintam potestatem, substitoque valores', proveniet aequatio gradus quinti a. Iοκ aor κ' s κ. spectemus tamqnam ordinatam AE,&co
469쪽
struamus curvam aequationi respondentem. Initium abscissarem sit C. Sumia
C A C Boeliabscinde CE, CD, CG, CF, s Fig. iij quae fiat aequales 'ςurva transibit per quinque puncta C, E, D, G, F. Dein
de descripto quadrat' Κ H per C agatur a C a C perpendicularis AB. Seca--
Κl, H N in punctis L, N, M, I, & transibit per puncta Κ, H. Descripta
Qtem curva seca AO M a, Sc due o U parallelam AB, quae curvam secabit in qu aque punct: s. Absciuae autem incipientes a puncto C dabunt cosinus a
se . F s stem circumferentiae. Scio, eidem eosinui duplicem respondere a reum, ducto sinu Vel politivo vel negativo, sed in fine ulis casibus non . est difficile determinare. quinam 4x duobus arcubus accipiendus sit. Curva descripta ultra puncta Η, Κ per dux S ra nos infin tos progredietur. Qui rami inserviunt inveniendo eosin uilogariti, mi lubquintupli. Namque problema hoe eamdem prorsus sequationem suppeditat, quod breviter sufficiat indica. isse. Idem prorsus eonstructionis genus valet, quum in plures partes arcus dividendus est .aa. Prob ema olflavum . in rem positione data datis duobus punct: a C. B.
Fig. ia) & extra itum puncto A, dueere ex hoe lineam AM N, ut secta in ea M N aequali datae, & ducta in C B normali NS, rectangulum CSBaequet rectangulum ex data in I S. Quoniam MN debct aequare datam, mani iesium est, punctum N esse in conchoide nico medea, cujus polus A, & intereepta inter curvam & BC ducta ex polo A aequat datam. Describatur it que conchois ni eomedea EN punctum N erit in hae curva. Ut alia eurva determinetur, quae per intersectionem conehoidis determinet punctum N, dividatur CB h. tariam in D, eidemque dueatur normalis DF, in quam cadat normalis N T. Voeetur CD BDia, DT NS α x, TNm DSm νοῦ ergo C S m o-3, B S m a ; igitur rectangul 1m CSBmaa-99ἰ sed ex conditione hoc debet aequare N S m κ in datam α b ς ergo ira 9ymbx, seu sy, quae est ad parabolam apollonianam ho et pacto describendam. Seca P F, quae fit tertia proportioη alis post b, a. Vertice F, parametro bdescribe parabolam, quae transbit per puncta B, C. Punctum intersectionis N parabo ae & conchoidis illud ipsum erit, quod quaeritur. Tot igitur erunt solutiones, quot in punictis parabola conchoidem secat. ἄλη. problema nonum. Lineis re 9:s AC, AD Fig. t 3 ) sese ad angulos rectos decu stantibus determinare in recta positione data P punctum M , ut, jua-eta AM, intercepta C MD eidem perpendicularis sit aequalis datae. Quoniam C D 3: debet aequare datam, & debet esse normalis lineae AM transeunti per punctum A, peripicuum est, punctum M reperiri in curva sexti gradus, quae a nou:s descripta est Cap. o. Prob. 6. num. 19. Hae e itaque curva si describatur. secabit rectam postione datam P Q in puncto M. Hoc erit punctum re- qui ilium, ut proprietas curvae patefacit. Cur τε descripta Sc linea PQ pollunt scare lete vel in lex punctis, ut in quatuor, vel in duobus, vel nusquam ἰ
470쪽
quare problema modo sex, modo quatuor, modo duas, modo nullam solutionem recipiet. Eadem constructio locum habebit, licet PQ non fuerit recta, sed cumva quaeeumque, ut si fuerit circulus descriptus centro dato R, & dato radio RM. ino in casu ita problema proponi potest. Rectri A C. AD secantibns sese normaliter, datoque puncto R, determinare punctum Mita, ut RV aequet datam, & intercepta C D normalis AM alii ditae aequalis sit: quod problema ad summum octo recipere potest solutiones. 24. Problema decimum. In anguli recti latere AT Fig. Iodato puncto Aubicumque puncto R, ita agere A o, ut producta in N, donec Ο N α Ο T , recta RN fiat aequalis datae. Quandoquidem ON debet aequare T O. punctum N erit in curva, de qua loquuti sumus Cap. 6. Prob. Bum. 22. Quare ea curva describatur. Tum centro R intervallo dato circulus describatur, qui s cabit curvam in puncto N. Iunge AN, haec erit linea requisita satisfaciens problemati. Si circulus eurvam letat in solio Aa NT, tum linea A ao nouest producenda, sed ejus pars x NaΟ aequabit Teto. Si punctum N non in circumserentia eirculi, sed in alia quacumque linea recta vel curva deberet reperiri, hujus intersectio eum curva R Τ N praeberet problematis solutionem. Haec autem tria problemata eum ob finem proposui , ut cognoscat Analysta,
multa esis pressilemata, quae ad esseantem sui solutionem certas quasdam curvas postulare videntur. Caetetum R 2- ρο. ad elegantem, facilemque solutionem perducantur.
as. Dum haec thypis parabamus, prodiit tomus tertἰus Operum Comitis Iacobi Rieeati, qui plura opuscula continet. Legi in appendice opustuli duo. decimi artificium construendi problemata tertium , & quartum gradum sup
rantia, quod propter elegantiam, qua saepenumero solutionem ad hornat, non videtur esse omittendum. Artificium in eo positum est, ut pro illis expressionibus, quae si retinerentur in calculo, efferrent ad potestates altiores seeunda aliae incognitae subsutuantur, atque ita multiplicatis incognitis deveniatur ad aequationem secundi gradus. Hae obtenta per vestigia analysis regredientes, ope sectionum e nicarum, quasi novimus delineare, describemus altiores curvas, quae solutionem problematis exh bent. Ut elegantior evadat solutio, attendendum est, ne n merus substitutionum , 3c numerus incognitarum in ultima aequatione magis , quam par est, augeatur. Hoc enim numero crescente semper complieatior fit
solutio. Quae hie generatim tradita sunt vix intelligi pollunt, nisi dilucide per exempla declarentur. Quare sit. 26. Problema undecimum. Data prima ex eo itinue mirortionalibus deteris minare secundam ita, ut summa secundae Sc ultimae aequet datam. Prima voce. tur a, secunda rax, summa secundae, Sc ultimae b; ergo ultima *b - κ