장음표시 사용
81쪽
SIt triangulum A B G stela cujus uterque eorum qui ad basim A B sunt, angulorum, duplus sit cli- qui angilli BCA,& basis
B sit semidiameter i culii Di.Dico circulum
ctilus Bis crura B, C A ccet, est mani inum nam ccus an ullis C B Acsset rectus vel obtusus,&latus Ac minus se rate reo B, quae sunt absurda . Sccat igitur circulus B DE crura B, C A . Dico
ne ea secare Ducatur AT .Quoniam igitur angulus A FB aequalis est angulo Fit,ol aequalitatem laterum AF, A L. Leidem angulo Fim aequalis est angulus C AB erit angulus Aa B, trianguli BT A aequalis angulo C A B trianguli B AC cst autem angulusit A com munis orgis reliquus angulus Fini reliquora C A er
aequalis equi gula sunt igitur triangula BAC, BF A: Rursus quia aguli in B, A FB sunt inter se aequales,&angulus AT B aequalis est angulis, C A, F A C intcrinis, oppositis; erit angulus C A B eisde angulis F C A F AC aequalis sed angulusa in pars dimidia si anguli A B: igitur altera medictas erit angulus a F; aequales sunt igitur anguli FG A,C AT inter se ideoq; latus Plateria A erit aequales sed eide lateri P aequale est latus B A: igitur i, di inter se qualia erunt.Quapropter,cu triagula C B A,UB A sint aequiagula; erit Bad B A,ut B A;hoc est CT ad F B. Itaq; tota C B est ad maius segmentu C F, ut majus segmctum CS ad minus se H FB:
82쪽
IUB Divisa est igitur et extrema,ac media ratione in F. Quod etiam latus in sectum sit X trem , ac media ratione in D, sic demonstramum Latus C A aequale est lateri CB,& segmentum Am aequale semediametro AB; hoc est segmento C R; erit propterea reliquum sego mentum m reliquo F B aequale Quo circa latus in sectum erit in D, ut B in F; sed i sectum est in F extrema, ac media ratione igitur in extrema, ac media ratione sectum erit in D. Quare circulus, cujus semidiameter est basis, ci Quod erat demonstrandum
Si circulus, cujus semediameter est basis trianguliis stetis,secuerit ipsius trianguli crura cXtrema, ac media ratione: triagulum habebit utrumque eorti,
qui ad basim sunt, angulorum, duplum reliqui. BAsis trianguli
is scelis BAC sit se- mediameter circuli BDE qui secet crura B, CA
ne in F, m. Dico triangulum BAC habere utruque eorum , qui ad basim di sunt, anguloruuli duplum reliqui dia . Ducatur Ai.Quoniam igitur angulus Aa B,trianguli AB F, aequalis est angulo FB A; hoc est angulo a B, trianguli B A C, angulus Fari est communii erit reliquus angulus B Aa reliquo angulo B in aequalis. Et tul
83쪽
Et rursus quia latus aB sectum cst extrema , ac media ratione in F erit,e coroll:propos. o. hujus majus seg-
metu a aequale basii A est aute eidem di aequalis recta AT ergo FG, F A inter se aequales erunt. Idcirco angulus P C angulo F in erit aequalis Atqui ostendimus angulum in F eidem angulo F C A est aequalem igitur totus angulus B Ac duplus erit anguli CA; ideoque ejusdem anguli BC A duplus erit angulus CS A,ut pote qui aequalis angulo C A B. Itaque si
circulus , cujus semidiameter est basis trianguli is sce-lis,3 c.Quod erat ostendendum.
TIlTOR. X. PROPOS. LV. Si di tantulum iso sceles habuerit utrumque eorum , qui ad basim sunt, angulorum,duplum cliqui, cuterque bifariam sectus fuerit cicctae incar, quae angulos secant producta ad opposita latera xti clara , ac media ratione mutuo se se intersecabul. TRiangulum isos celes At C habeat utrumque eorum, qui ad basim B C sunt, angulorum duplum reliqui a C.& rectae B D mi secent aequales angulos A B AC B bifariam. Dico, recta BM,C E ad opposita latera C in B productas extrema,ac medic ratione se se mutuo in F intersecare. Quoniam igitur latus A C sectum est cxlpetna , ac media ratione in in erit majus segmentum A D, ex coroll propos. o. hujus, aequale basii Cis quare erit A D ad D ut B C ad idem GD, sed utra C ad GD,ita est etiam B F ad D ergo ut AD ad DC, ita erit BF ad FD; estati
84쪽
tem A C extrem δε ac media ratione secth in igitur B I e X trema, ac media ratione secta crit in . Non secus ostendemus i extrema, ac media ratione sectam csse in F ergo igitur rectae BD, CE extrema, ac media ratione in F se mutuo intersecabunt. Si igitur triangulum iso sceles habuerit utrumq; eorum, qui ad basino sunt,4 Quod ostendendum erat.
THEOR. XXI. PROPOS XLVI. Si latus trianguli is sicciis, cujus uterque eorum,qui ad basim sunt, angulorum , duplus es reliqui,
basis ejusdem componantur; tota recta linea cX- trema, ac media ratione secabitur.
SI triangulua BG i sceles,cujus uterq; eorum, qui ad basim BG sunt , angulorum , duplus sit reliqui
BAC. Dico , si unum aequalium laterum, B,& basis B componatur
totam rectam lineam eXtrema,ac media ratione secari. Dividatur angulus A B C bifariam per rectam BD productam in puncto D lateris A C. Quoniam igitur rectam D secat angulum a C bifariam Lerit, ut segmentum Am ad segmentum D C,ita latus A B ad latus B Sed C, per propos. o. hujus secta est cxtrema , ac media ratione in D; ergo igitur si latus Aa 4 basi sim componantur , tota recta linea extrema , ac media ratione secta erit in puncto B. Itaque, si latus trianguli is scelis cujus uterque eorum, qui ad basim sunt &c. Quod erat
85쪽
Si recta linea extrema, ac media ratione secta fuerit; rectangulum contentum sub major segmento , sub excessu, quo majus segmentum minus superat aequale erit et,quod a minori segmento describitur , quadrato
SI recta Am extremi ac media ratione secta in a. Dico rectangulum comprehcnsum a majori segmcto A C,3c ab excessu, tuo majus aese nientum Acibi erili minus B aequale esse quadrato mi
noris segmenti Ci.Ad rectum crigatur puncito sectionis quaevis perpendicularis junganturque AD , DB c
occurrens Am in E paralella sit rectaeam, demua puncto Educatur Et parallela ipsim C. Quoniar igitur in triangulo Aim recita Ciparallela est basi D; erunt latera A B, D proportionaliter secta in C, ME.Et rursus quia EF parallela est basim trianguli Cm; erunt latera AD, AC proportionaliter secta iiii, T sed Am divisa est in , ut A B in Q igitur C divisa erit in F,ut eadem A B in C; atqui Ai extrema, ac media ratione divisa est in C; igitura C eq- trema, ac media ratione secta erit in F; quare erit A Cad Aa,ut Aa ad FG; sed ut Aa ad FG, ita est A C, ad QB ergo erit A C ad AT , ut AC ad CB eadem
igitur recta AG ad duas AF, C eadem rationem habet ideoq; F, B inter se aequales erunt;est aute ACcxcessus , quo A C superata P igitur DC excessus erit, quo majus segmentum A C superat minus CS . iiii
86쪽
autent, ut modo demons lavimus, sit AC ad C B, ut AF hoc est CB ad FG erit rectangulum contentum sub extremis hoc est sub majori segmento AC, sub excessu FG,quo majus segmentum A C minus superat CB aequale et,quod a media hoc est a minori segmento C B describitur,quadrato . Ergo si recta linea extrema, ac media ratione secta fuerit, c. Quod erat ostendendum
SEquitur ex hujus theorematis demonstratione si recta
linea extrema, ac me in atroM PHafuerit, imajor egmento minus auferatur segmentum majusfegmentum extrema, ac media ratione quoquesecari.
Si recta linea secta fuerit in parte in equale S, roctangulum contentum sub major segmento, Scsub excessu,quo majus segmentum minus superat aequale fuerit quadrato minoris segmenti recta
linea extrema, ac media ratione secta erit. REcta Ai sit secta in partes inaequales in C in rectangulum contentum sub majori segmento AC sub excessum quo majus segmentum BC minus segmcntum Cisuperat aequale sit quadrato minoris segmenti CB. Dico rectam ' extrema,ac media ratione sectam effem Quoniam igitur C superat Ca excessum C,&eodem excessui superat rectam Amri erunt AD, CB
87쪽
D, C B aequales inter se quare ciuia sit AD ad C B ut Bad DC, rectanguliun enim sub A C, D sub DC quadrato ex C est aequale &AD, CB sunt inter te aequales,ex demonstratis;erit tota A C ad majus segmentum A D, ut majus segmentum Am,adminus DG extrema igitur,ac media ratione secta est Cin D.Est autem AC ad Ci,ut Ct,hoc est AG ad D C; ergo Am similiter secta erit in C, ac secta est AC in D; atqui A C extrema, ac media ratione secta est in D igitur Ai extrema , ac media ratione quoque scista erit in C. Quare si recta linea secta fuerit in partes inaequales, &c.Quod probandum erat.
Si recta linea extrema, ac incilia ratione secta fuerit: rectangulum contentum sub tota, sesul excessu, quo majus segmentum minus superat aequale erit et,quod sub majori,& minori segmento continetur,rectangulo. SI recta Assi extrema, ac media ratione secta in C,&excessus,quo majus segmentum A C supcrat minus Cis DC. Dico rectanguli aconicium sub tota AB,&sub A sexcessu D quo majus segmetu AC superat minus CB aequale esse ei, quod sub majori segmcto A C,& subminori CB sitinetur,rectangulo.Quonia igitur,ex propos. 7 hujus,rectagulu A GD aequale est quadrato CB;erit
AC ad CB,ut Ct ad D C; sed ut AC ad CB,ita est tota B ad majus segmentum A C; iam Ai extrema, ac media ratione secta est in ' igitur erit ut tota Aiad majus segmentum Ac , ita ininus segmentum in ad
88쪽
excessum Det , quo majus segmentum A C minus Cisuperat Pac propterea rectangulum contentum sub extremis A B, D C aequale erit ei, quod sub mediis A C Ca continetur , rectangulo. Ergo si recta linea secta fuerit extrema, ac media ratione rectangulum contentum, c.Qu' erat demonstrandum.
THEOR. XV. PROPOS. L. Si recta linea extrema, ac media ratione secta fuerit; quod subtota iub major segmento continetur
rectangulum majus erit recitarigulo contcnto sub tota, sub minoi segimento ei tangulo sub ambobus segmentis comprehenso. SI recta Ai extrema, ac media ratione secta in Q. Dic rectangulum contentum sub tota A B, Tubmajori segmento Ac majus csse rectangulo contento sub tota Ai in sub minori segmento i , rectangulo contento sub ambobus segmentis A C. B. Quoniam igitur rectangulum B A aequale est quadrato A a, rectangulo ACB, est qua A c
quale rectangulo Atra cum' extrema,ac media ratione sit secta in Rerit rectangulum B A C aequale rectangulis A BG, C B, hoc est rectangulum B AG majus erit rectangulo ABC, rectangulo AG B. Si igitur recta linea extrema,ac media ratione secta fuerit, c. Quod erat demonstrandum.
89쪽
Si duo latera trianguli soscelis, vel scalcia minimum
angulum continentia proportionaliter secta fuerint, de quae ab uno sectionum puncto ad angulum oppositum ducitur recta linea fecerit cum basi angulum angulo verticali aequalem;quadratum hujus lineae aequale erit rectangulo contento, sub
reliquo latere secto, sub segmento ipsius inter punctum sectionis, de basim interposito.
SInt latera AB, AC,trianguli ABC,cotinentia minimuangulum BAC, proportionaliter secta in D, T, rectam C, ab uno sectionum puncto D ad angulum oppositu C B ducta, faciat culilii Cangulum CB aequalem angulo verticalia A C. Dico, quadratum D C aequale esse rectangulo contento sub reliquo latere A C,& sub ipsius segmento C E inter punctiimi in basim B C interposit, hoc est rectangulo AG E. Ducatur DE, n& circulus Ami circa triangulum Eam describatur. Quoniam igitur latera AB, AC proportionaliter secta
sunt in D, i erit Di parallela basim C; adeoq; angulus Em C angulo in B erit aequalis, sed idem angulo D C B aequalis est angulus Dina; ergo anguli E DC, DAE intcr se aequales crunt:ac propterea C D tangens erit circulum assi quare quadratum D C aequa
90쪽
THEOR. XXVII. PROPOS. LII. Si duo latera trianguli is scelis, vel scaleni, quae sunt
circa minimum angulum, proportionaliter secta fuerint, S quadratum ejus, quae ab uno sectionum puncto ad angulum oppositum ducitur, aequatae fuerit rectangulo contento sub relictu latere secto, sub segmento ipsius , quod inter punctum sectionis,&basim interponitur recta linea adjuncta faciet cum basi angulum angulo verticali
SIn latera A B, C trianguli A B C,quae minimum
angulum B AM continent proportionaliter secta in D, i, jungaturq; cujus quadratum aequale sit rectangulo contento sub AC, sub ipsius segmento EC inter punctuini, lasim B C in terposito . Dico , adjunctam in facere cum basii C angulum in Baequalem angulo verticali B A C. Ducitam ridescribatur circa triangulum D A E circulus ED A .Quoniam gi Et urini, A C proportionaliter feci, 3
sunt in D, T critii parallela basi ideoq; antagulus B M angulo CD E erit aequalis .Et quia quadra tum C inaequale est rectangulo ACE; erit recta C Diangens circulum Et A qua re angulus D A E aequalis erit angulo Di sed eidem angulo CD aequaleri esse