Joannis Baptistae Palmae Neapolitani In geometriam exercitationes illustriss.mo & excellentiss.mo domino Carmino Nicolao Caracciolo Castelli de Sangro duci, ..

71쪽

pendicularis. In quocunque igitur triangulo acutangu lo,rectae a duobus angulis,&c.Quod erat demonstrandu

THEOREMA IL PROPOS. XXIV. In quolibet triangulo rectangulo , quadratum de

scriptum a quo vi latere eorum , quae rectum angulum comprehendunt aequale si rectangulo comprehenso a composita ex hypothenus , 5 reliquo latcre tanquam ab una linea ac ab excessu quo hypothenus idem latus superat. I triangulo rectangulo A B quadratum desciit

tum a quovis latere eorum, quae angulum rectum ABC comprehendunt , puta a latere A B, aequale est ei quod sub composita ex hypothentis A C,& reliquo latere C B tanquam a. una recta linea,&sub excessu,quo hypothenus, C superat idelatus i continetur, rectan Agulo Facto centro C, intervallo vero C B describatur circulus D E, producaturque C in E . Quoniam igitur B perpendicularis est ad semidiametrum C B erit tangens circulum B Di; ac prop-Bytcrea quadratum tangentis AB erit aequale ci, quod sub secante AE,& terius alsumptam Acontinetur, rectangulo: sed secans Assi composita est ex hypothenus A C,4 ex C hoc

72쪽

E hoc est ex reliquo latere B, exterius assumpta AD cst excessus, quo hypothentis A C idem latus aB superat igitur quadratum lateris A B aequale est rectangulo contento sub composita ex hypothcnus in C,&reliquo latere C B in sub excessu Am, quo hypothenus a C idem latus aB superat. In quolibet igitur trian gulo rectangulo,quadratum descriptum a quovis latere eorum, c. Qu9d erat demonstrandum

THEOREM A X. PROPOS. XXXV-

In triangulo is scele rectangulo, quadratum ab uno aequalium laterum descriptum aequale est et,quod ab hypothenus i. a dimidia hypothenus a comprehcnditur rei ingulo. I triangulo isoscete rectangulo A BC quadratum

descriptum ab uno aequalium laterum Ara aequat est rectangulo contento ab hypothe βnus A C Ma dimidia ejusdem Describatur circulus DBC, cujus diameter sit C,jungaturque B D. Quoniam igitur angulus B D C rectus est, eritim ad hypothenusam A C perpendicularis adeoque A C divisa erithiseriam in D . Cum autem angulus βαν rectus sit erit recta Aa tangens circulum BDC Quare quadratum At aequale erit rectangulo CAD; hoc est quadratum ab uno aequalium laterum Ai , trianguli is scelis rectanguli A B C aequale erit rectangulo comprehenso

ab hypothenus A C,4 ab ipsius dimidia A D. Itaque

73쪽

qst in triangulo i scele rei langulo quadratu ab uno aequa lium laterum,fcc. Quod erat demonstrandum

THEOR. XL PROPOS. X XVI.

Si ab angulo recto, trianguli rectanguli perpendicularis ad basim ducta fueriti, rectangulum quod subhvpothcnus , de uno segmentorum contincturaequale erit quadrato jusdem segmenti ei, quod sub ambobus segmciuis continctu rcctangulo AB angulo iecito ABC, trianguli rectanguli BAC,

demittatur ad basim C perpendicularis BD. Dico, rectangulum contentum sub hypothenus AC,&alte rutro segmentorta, lxae itialec si quadrato dicti segmenti D, d et,quod sub ambobus segmentis AD, DC continC-itur, rectangulo Circa dianae Atrum DC adscribatur circulus B Cm,qui necessario transsibi per punctum D . Quoniaigitur Ai perpendicularis est ad diametrum erit tangens circulum DC, quare rectangulum C AD quadratorii crit aequale sed eide quadrato A B aequalia sunt quadrata AD, BD igitur rectangulum in quadratis A D, B D erit aequales cst autem quadratum B D aequale rectagulo ADC ergo rectangulum C A aequale erit quadrato D,& rectangulo A D C. Si uiam ab angulo recto,trianguli rectanguli,perpendicularis ab basim ducta fuerit, M Quod erat demonstrandum

74쪽

COROLL ARIUM. EX ujuipropositionis demo/i ratione patet Fab angulo recto, trianguli re Iaugulis erpendicularis, ad basim durifafuerit; et Iangulumfu i a , unos mentorum comprehensum aequale esse quadrato dictisegmenti quadratoserpendicularis.

THL OR. XII. PROPOS. XXXVII Si a duobus extremis punctis lateris cujuscunqui trianguli duae perpendiculares ad idem latus erigantur, reliqua latera producatur donec perpendicularibus utcunque producti Occurrant: rectangulum comprehensum sub lateribus productis aequale erit ei, quod ab adjunctis comprehenditur,

rectangulo. ADuobus extremis punctis A,B lateris A B, trianguli A B C erigantur perpendiculares A D, B, id idem latus QR reliqua late es Sra AC, BC producantur do s

nec Occurrant perpendiculari

bus in F, G Dico rectangulum contentum sub lateribus AC, BC aequale cis ci , quod sub adjunctis Ι continetur, rectaragulo . Adjungatur recta FG myoniam igitur triangu

te ierit adessistat

75쪽

CI, trianguli Axia tibiis FC, CG, trianguli G CF erunt reciprocaci hoc est crit ut A C ad C G, ita DC ad CB ac deo rectangulum contentum sub extremis C, B aequale erit et,quod sub medijsita CG con tinetur,rectangulo. Itaque si a duobus extremis punctis lateris cujuscunque trianguli duae perpcndiculare S, c. Qu9d erat ostendendum

THEOR. XIII. PROPOS. XXXVIII. Si ab angulo recto, trianguli scaleni octanguli, per

pendicularis ad basim ducta sueri secans eam in parte ina riuales, majus vero segmentum minori lateri eorum, quae sunt circa rectum angulum, sit aequale; basis extrema, ac media ratione a perpendiculari secabitur AB angulo redio ABC, trianguli caleni rectanguli BAC, ducatur ad basim M perpendicularis

B D, dividens eam in palles ilLE- quales, sitque a1us segmentiNT D C aequale minori lateri A B Dico,basim A C exilema ac media ratione sectam esse in D. Describatur circa diametrum B

circulus qui transibit per punctum D. Q a'niam igitur angulus Am C rectus est erit AB tangens circulum DC B; adeoque quadratum At aequale erit recta gulo in D: est aute rectam C aequalis re ii igitur quadratum C aequale erit etiam rectangulo Cim quare erit tota

AC ad majus segmentum D C , ut majus segmen tuu

76쪽

D C ad minus segmentum D A. Extrema igitur,ac in dia ratione secta est basis AC in D a perpendiculari B D. Quare si ab angulo recto, trianguli scaleni rectanguli,perpendicularis,&c. Quod erat probandum

THEOR. XIV. PROPOS. XXXIX. Si ab angulo recto, trianguli scaleni rectanguli,perpediculatis ad basim ducta fuerit, dividens eam ex trema, ac media ratione; majus segmentum a clua te erit minori lateri eorum, quae sunt circa angulum rectum.

SIt ab angulo recto ABC, trianguli caleni rectanguli AB a, ducta ad basim A C perpendicularis

dia ratione dividat in D. Dico majus segmentum D C minori lateri Aa esse aequales De- .scribatur circulus D Cra,cujus diametersiit BC transibit igitur circulus D Q per punctum. Quoniam igitur angulus Aa C rectus est;recta Ai tanget circulum D CAE: Qua resquadratum At aequale erit rectangulo Cam; sed eidem rectangulo in D aequale est quadratum D C; extrema enim , ac media ratione secta est A C in D igitur quadrata A B, DC inter se arqualia erunt adeoq; re a B, D C inter se aequales erunt . Si igitur ab angulo recto,triangulis caleni rectanguli,perpendicularis &c. Quod demonstrandum erat .

77쪽

SI COROLLARIUM. HI cIeqoitur , se ab angulo recto, triangulifcaleni rectanguli ei pendicularis ad basim ducta fuerit, diυiadens eam extrema, ac media ratione ortauratum majoris figmenti aequale esse quadratis , quae sunt alterum a minori segmento, alterum vero , perpendiculari Ostendimus enim g adratum majoris segmentio aequale esse quadrato Bo, cui aequaliaiunt quadrati, quae sunt alterum a minor eg-mento A B , alterum vero is perpendicularita si ergo qua dratum majori egmentim C aequale erit quadratis , quae sunt alterumta minor egmentora si alterum vero a perpendicularita D.

THEOR. XV. PROPOS. L. Si triangulum is sceles habuerit utrumque eorum, qui ad basim sunt, angulorum, duplum reliqui, Scalteruter aequalium angulorum bifariam iectus

fuerit; recta linea secans angulum secabit latus oppositum extrema, ac media ratione Titiangulum A BG i sceles habeat utrumque eorum, qui ad basim BG sunt, angulorum , duplum reliqui in rectat

secet bifaria alterutru aequalium angulorum, B Dicorcistam B D secare latus oppositum A C cxtrema,ac C-dia ratione in D. Circa triangulum Amidescribatur circulus B A D. Q i'niam igitur angulus DG B duplus est

anguli B A C, tangulus D B cnxaequalis est angulo D AB; erit angulus DG B aequalis

78쪽

lis angulis DBA, BAD; sed eisdem aingulis DBA, BA D equalis est angulus DB igitur anguli CDB,

D C B inter se aequales crunt adeoque latus B C lateri B D erit arquales atqui eidem laterim D aequale est latus Am, ob aequalitatem angulorum Di A, B A D; igitur latera B D A inter se erunt aequalia . Cum autem angulus Cim aequalis sit angulo BAD; erit C B tangens circulum BAD quare quadratum B C aequat erit rectangulo AC D; est autem, ex demonstratis, Daequalis redis BC; igitur quadratu Am eidem rectangulo AG D erit aequale ac ideo erit tota Ac ad majus seg- metum AD, ut majus segmentum Am ad minus segme-

tum D .EXtrema,ac media ratione sectu est igitur latus C in D.Si igitur triangulum is sceles habuerit utrumque eorum,&c.Quod probandum erat.

COROLLARIUM. X hujus propositionis demo= ratione manissum es, si

unum aequalium laterum trianguli ij celis,cujus uterque eorum , qui ad basim func angulorum , duplus es reliqui, extrema ac media rationefcctum fuerit majusfegmentum aequale esse basi

THEOR. XVI. PROPOS. XLI. Si triangulum is sceles habuerit utrumque eorun qui ad basia sunt, angulorum, duplum reliqui, dc

alterutrum aequalium laterum extrema, ac media ratione sectum fuerit recta linea a puncto sectio

nis ad angulum oppositum ducta dividet illuntabifariam

79쪽

Abeat triausula is sceles Ai utrumque coru , qui ad basim BG sunt,angulorum,duplum reliquin A C. alterutrum aequaliulaterum, C sit sed in extrema, ac media ratione in D Dico , rectam Di secare anguli uini iniseriam . Circa triangulum A BG ,eire ulli, B A D describatur . Quoniam igitur,per coroll propos prae

cedentis,recta A D, B C inter se sunt aequalec erunt ipsarii δε quadrata inter se aequalia; sed quadratum Amisi tale est rectangulo AG igitur quadratum B C eulano rectangulo AG D erit a quales; quare B C tanaens iit circulum H ac propterea angulus Cim angulo B A C erit aequalis est autem angulus B A C subduplus anguli igitur angulus C Bi subduplus tiam crit; hoc est pars inradia ejusdem anguli A B C Quapropter angulus A B C divisus erit bifariam a recta Di . Itaque si triangulum iso sceles habuerit uti umque eorum,qui ad basim sunt, c. Quod probandum crat.

THEOR. XVII. PROPOS. XLII.

Si alterutrum aequalium laterum, trianguli soscelis, cxtrema,ac media ratione siccium fuerit, de quae a

puncto sectionis ad angulum oppositum ducitur recta linea dividerit illum bifariam trianguluha bebit utrumque eorum, qui ad basim sunt, angulorum,duptuni reliqui.

80쪽

D,& rectam B secet angi hi bifariam. Dico triangulum At C habere

utrumque corum, qui ad basim BC sunt, anguloru,

duplum reliqui

Circulus B Am circa tri sulum At D describatur. Quoniam igitur angulus

B C divisus est bifariam B Ca recta B D ; erit ut AD ad D C, ita Ai ad BG seclut eade m ad D C,ita est tota A C ad AD; igitur erit ut A C ad AD,ita Ai; hoc est AG ad B C; Itaq; A C ad duas A D, BG eandem habet rationem Quare A D,BC aequales inter se erunt est autem quadratum A Da quale rectangulo AG extrema enim , ac medi:' ratione secta est A C in D igitur quadratum B iidem rectangulo AG D erit aequale quare B C tangenserit circulum B Am; ideoq; angulus C B D angulo B AC erit aequalii atqui anguli Cim duplus est angulus no igitur duplus erit etiam angulus A B C anguli BAC. Ac propterea angulus ACB ejusdem angulin C duplus erit, ut pote qui aequalis angulo At C. Si

ergo alterutrum aequalium laterum trianguli is scelis e X trema , ac media ratione sectum, c. Quod crat probandum.

THEOR. XVIII. PROPOS. LIII.

Circulus, cujus semidiameter est basis trianguli so-scetis,cujus uterque corum, qui ad basim sunt,angulorum, duplus erit reliqui secabit ipsius trianguli crura extrema, ac media ratione. sit