장음표시 사용
51쪽
o. IECTIONUM CONICARUM H coniugata illius diametri, ad quam ipsalutordinata resertur; sie coniugata ejus di aerarim .mi-unctam ignoscit tamquanisu in
id iis iam est 'tu ara diametri primis a meis taliamini ad reruti ulliui minem
mentis o natae eram,aut quadratu illa in ad Fadratum suae .conjugatae. . ::. :. II Tetti si rodis,isId iiivicem secantes, sine ordinatae duarum hyperbolae diametrorum copinatariini, non aliaris uni coniugatae diam
iniremium o alis velut ordia,etisse. remuntur quam arilem diametri , in verio otinire suinptae. Unde per theorema κω mralaues inola. contentii sub sin ut ea
rum ordinatarum, erunt Iniuione reciporax, duplicata suarum diametrorum Denique, si una ex iis rediis sit diameter,i at altet si Ordinata alterius diametria erit ipsa prior recta conjugata illius diametri ad in meadem velut ordinata refertur. Unde,ob theorema generale,rectangulum sub segmeotui
prioris diametri erit ad re tangulum sub se mentis bini natae alterius diametri , ut est qua, dratum diametri prioria ad quadratum corio.
gatae alterius diametri IX Fieri autem potest, ut una ex feram, to Mema su tibus tangens evadat: nimirum, quum punctas duo sectionis coeunt in unum an isto casu προ uiuui rectangulum sub Jus legmentis vertetur intquadratum ipsius tangentis . Unde inter quadratum istud, iecta inulum, sub altortui sis, icantis portionibus contentum, radem adhuc ratio obtinebit
52쪽
-- γλωπι Et quum id mittingit, ambo
quidem octangula sit iurantium portioitibus contem bibunt inruiradrata ipsarum 3ngen, tiunt. Ex quo fit, ut inter quadrata , quae ex tangentibus fiunt , eastem uost beat locum hahere
rum AB EF. Ad illud vero quod attinet nec etiam dissicile urit, veritatem qjua speciatim0ste 4 re . Sed distinguendi fum x-o duo c*siis, et ramus est , quum sei alia est, disset dism tro , quae pertin Uiunam equi ius. Ab tersit,quuin eadem viam ei diametrio ita quam est parallela. Ponamus itaque primo , focaute es. paraue esse diametro . quae pertinet ad puπ- mu -- ροι contactuc adeo nempe, ut existente H ' et tangente secans sit recta Hoe, paraliςIa dia. metro EF. Jamque in hoc easu diameter , ad πα-
quam recta is velut ordinata refertur , erit ρ' --
illa eadem, quae est conjugata ipsius EF. 1s Sit igitur AB coniugata diametri EF Quumque vicissim EF sit conjugata ipsi ta AB, jam liqd ostendendum nobis erit, ut ΕΗ
quadratum sit ad rectangulum Ho, veluti est AB quadratum ad L quadratum. Istud auteni nullo negotio omnd qmus sequemi rati λ
53쪽
is sunt aequalasa erit etiam CR quadratum quale quadrato,quod fit ex NM.Sed CR quadratum est aequale rectangulo ER ulla tum C E quadrato a NM quadratum est aequale rectangulo H una cum NH, sive eodem CDquadrato. Quare, detripto communi qua
Quia autem aequalia sunt quoque quadrara, quae fiunt ex ipsis M, EH; erit , ut MR quadratum ad rectangulum ERF, ita ΕΗ quadratum ad rectangulum HO . Sed Rquadratum est ad tectangulum ΕRP, ut AB quadratum ad EF quadratum . Et igitur ex aequali in eadem ratione, quam habet AB qu
initum ad EF quadratum, erit quoque Hquadrarum ad rectangulum m. XI. omimus seeundo , μα-- μή quidem paratulam es diametro , quae perrimo
zzzz stente ΕΗ tangente secans sit recta HS , quid ' oecurrit diametro EF damque, si Κusit di pratam meter, ad quam recta TS velut ordinata e sertur, ostendendum erit, Eri quadratum e F φ se in resangulum HS , ut est quadratum conjugatae diametri EF ad quadratum eos eat e diametrio . Ducatur e puncto luseratis alia D. quae ipsi EF sit parallela; sitque AB diameter,
quae ipsam M velut suam ordinatam agni adit. Itaque,quum secans Ho parallela sit di
54쪽
rius erit m quadratum ad rectangulum
Mido, ut est quadratum coniugatae diametri EF ad'iradratum conjugatae diametri AB. Quoniam autem Hin, HS sunt secantes duae, quae velut ordinatae referuntur ad dia metro AB, KL erit, ex superius ostensis, rectangulum Milo adrectangulunt HS , ut est quadratum coniugatae diametri AB ad qua.dotu' conjugatae diametri L . Quare ordinalido erat , ut H quadratum ad rectanorum HS , ita quadratum ex coniuga. D diametri EF ad quadratum ex coniugata diametri KL.
o potet hoc pacto Manentibus omnibus ut D: supra transeat secans id per centrum hyper dolor. Dico, Eid quadratum esse ad rectangu FIG.22 Lum Mido, ut est quadratum ex conjugata diametri EF ad quadratum diametri Mo id vero ostendemus in hunc modum. Sit G conjugata ipsius EF , ducaturque ex puncto M ad eandem Ε ordinata R. Et quoniam C quadratum est ad CM qu dratum , ut C quadratum ad CR quadratum subducendo antecedentes ex consequentibus erit ut CF quadratum ad rectangulum H , Lam quadratum ad recta evium ERR. Sed, ob hyperbolam GTqua.dratum est ad rectangulum ERF, ut est Gquadratum ad R quadratum. Itaque erit exaequali, ut C quadratum ad M quadratum . ita H quadratum ad rectangulum
55쪽
quadratum cerit ex aequo perturbando , ut
C quadratum ad H quadratum , ita Mquadratum ad rectangulum M HO pormutando, ut G quadratum ad C M quadratum ita EF quadratum ad rectangulum HO.
Sed CG quadratum est ad CM quadratum, se
GI quadratum ad O quadratum. Jtaque erit ex aequali, ut ΕΗ quadratum ad rectanguluni NH , ita GI quadratum ad Mo quadratum. XIIX HL Atque hinc modo nullo negoti Ο-a stendi potest, quod si duae Θpe frangente sibi mutiis occurrant, eae t inter se, veluti . ..ia coniuratae diametrorum , qua pertinent δὰ iis, sint enim AH, in duae hyperbolae a Fi 3 gentes, quae sibi invicem occurrant in puncto H.Ducantur ex punctis contactu A,Si diametriam EF . Dico esse, ut AH ad Ere, ita conjugata diametri AB ad conjugatam diamectri EF. Ducatur namque diameter alia Mo, quae transeat per punctum H . Et quoniam AH est tangens, vi est secans, transiens per centrum; erit, ut AH quadratum ad rectangulum
MHO , ita quadratum ex conjugata diametri AB ad quadratum ipsus o. Similiter,quia Einest tangens, Mo est
secans , transiens per centrum; erit, ut recta
gulum Ho ad ΕΗ quadratum, ita Mo quadratum ad quadratum, quod fit ex conjugata diametri R.
Hinc ex aequo ordinando erit, ut AH
56쪽
lo I. Em a quadratuit ad Eli quadratum , ita quadratum ex contu Ma diametri AB ad quadratum ex conjugata duimetrio & propterea tangentes duae AH , ΕΗ erunt, ut conjugatae diametrorum AB, EF XIV. aeterum ex iis , quae hactenus iv. Ostensa sunt, prono alveo suunt sequentia
mentis contena sint proportionalia quod sit, Urae ex tangent/bus sunt. Nam diametri, ad quas duee secantes velut ordinata referuntur, sunt illae eaedem, quae pertinent ad puniit contactus Asiare in eadem illa rationes, quam habent inter se quadrata tangentium, erunt quoque in sua, quae sub secantiunt segmentis continentur.
Alterumaheorema est, quod si data iri cantiri s hypersia paramiae fuerisistrae iis Iscames, O conoeniant inter se, tam illae,' quam si rectangula sub segmentis illarum sint proportionalis rectavusi , quae sub Q-Mestis Varum consinentur. Nam diametri, ad quas duae posteriores secantes velut ordinatae reseruntur suntinae . eaedem, quae agnoscunt velut suas ordiuvat s secantes priores. Qu3re in eadem illa ratione , quam Sabent inter se rectangula sub segmentis primarum secantium, erunt quoque rectangula sub segmentis aliarum. .
57쪽
C A P. V. Proprietates, quae verbo Moomptotis competunt, in medium asseruntur
-- punctis extremis, infinite a centro di tibus. Primo igitur ostendemus, qua ratim definiantur retiae istae , qua hyperbolae asymptoti dicuntur . Tum proprietates , quae eis competiuit , more nostro prosequemur.
Fio.a mune in finem relarat Maxem hyper-- , sique L ejus coniugatus. Describatur circa duos istos axes AB, o parallelograminii EFGH . Et diagonales hujus parauis trairinii G, FH , transeuntes per centrum C, hyperbolae asymptotos nobis exhibe bunt Sortitae sunt autem diagonales istae tale nomen , quia productae in infinitum . etsi con tinuo ad hyperbolum accedant , numquam tamen cum ea conveniunt me dissicile ierit ostendese Mani, ducta ex puncto quovis hyper tam ad axem AB Oidinata N; erat . ut MN quadratum ad rectangulum ΑNν, ita Cς, sive AE quadratum ad A
Jam vero, si eadem ordinata MN eonvin
58쪽
quini tum in Q rit ea quin, ut MN quadratim ad rectantulum ANs, ita Noquadratum ad C quadratum: Sc propterea, quemadmodum rectangulum ANBmmutest C quadrato, a quoque MN quadratum minus erit quadrato, quod fit . NO,
que punctum O erit uitrii punctum M. it. Quod autem οβmptoti iis . . necto. Eximicitur eadem utilii m MN , usquq a. α'
donec conveniat cum asymptoto ait o m in puncto M. Et quemadmodum Ela ficta est Fio.a hisariam in A . ita quoque o bis Ei erit in Ne proindeque differentia quadratorvm MN, N erit aequalis erungulo PMR. Et quonesam in eadem ratione, quam ii Betis quadratum ad C quadratum , est,
vini quadratum ad rectangulum ANB. Quam No quadratum ad in qu di tum eris quoque, ut AS quadratus adcin qu es tum , ita rectanguilam M ad idem Aquadratum. Unde rectangulum OMR ariu is etrit quadrato, quod fit ex AE. Hinc quocumque in loco capiatur ordiunata MN , si ea producatur usque donee secet
Utmptotos in puncti O in M, erit rectaris tum M ejusdem ubique maritudinia uinis per recessum ipsius ordinatae a verti A, madmodum augetur unisumimuli.
M .necessi est, ut minuatur latus alterum Moci . propterea asymptoti in bymebolam
59쪽
et minuatur ut tandem ladat in signabia s. iiii r, si me minor quacumque data recta linea. Rio.24. Capiatur enim super ΕΗ portio El, quae fit minor recta linea data . Tum extendatur
eadem versus S , ita ut EI sit ad AD ut est AE ad IS. Diicatur porro per punctum sis insim parallela, quae conveniat eum H in puncto M. Ac denique compl- riir parualesurammum So.
Quia igitur El est ad AT, ut AE adisieritice tangulii EIS aequale quadrato , quoa st ex D. Sed eidem AE quadrato est etiam aequale rectangulum M R. Quare duo re-εtaiigula EIS, OMR aequalia erunt inter se litteruis quemadmodum Riecta est
bifariam in m ita ES bisecetur in T. Et ob aequiae ES, O , erunt etiam aequales' duo TR NO. Unde erit , u quadratum ad rotiatio lum Elnata No quadratum ad remi
gulum OMR; convertendo, ut E quadra tum ad I quadratum, iram quadratum ad N quadratum. Hin quum sit, ut TE ad T Ita Noad MN;erit rursus convertendo, ut Eladas,
MN ad Mo. Sed duae TE,NO sunt olo uiter se sua re . etiam Et ipsi MO maiiussis erit; ct propterea , quemadmodum viae, inino tecta linea data, ita quoque eadem vita tecta linea minor erit ipsa aerim. IV. Ostendemua modo proprietates, quu
60쪽
hix, et A. 'hys,erbolae' a ymptotis eoinpetunt . Et prima ram, quidem proprietas lim est , quod se H alia axibus paralista suae cum utr/que o Imptot pio.xa conveniat rectangulum ab e M segmentis sit aequale quadrato , quod fit ex dimidio axis pr. Sint enim AB ML duo axes hyperbolae. finique etiam EG, FH binae eius asymptoti. J inque,si per aliquod hyperbolae punctum M . . duratur recta OR, patrallelii ax RL, quae cuiuatraque asymptoto conveniat in punctis , in R; erit , ex super iis ostensis, rectangulum
OMR aequale quadrato ex AE conseque o- ter aequale etiam'tradrato , quod fit ex Κ. Ducatu porro per idem punctum M recta PQ, parallela ax AB, quae conveniat cum
utraque asymptoto in pundiis P, Et Q. Ostemdendum est , restantulum PMQ esse etiam qirule quadrato, quod fit ex A. Id vemnes-lamegotio ostendemus sequenti riatione. . Rectangulum M ad remitulum PMQ est in ratione composita ex Mo ad MΡ - ex Mad Min Sed Mo est ad P, ut A Ε, sive CK ad A. Et xest ad Q ue AH sive CK ad C . Quare ratio rectanguli OMR ad tectangulum PMDuplicata erit uius, quamdiabet CK ad CA m . Hinc exies, ut C quadratum ad Aquadratum, ita rectangulum oMR ad rectan
sum est aequale quadrato, quod fit ex CK. Quare etiam iectaneulum PMQ erit aequale quadrato, quod fit ex in