장음표시 사용
341쪽
SECTIO Nu CONICARUMgnita' in aequatione 3 ac ad se a cch fa abaesari innotescet quoque vasor , quem habet incognita alia, ita aequatione principa. IV. U. Et sane,quin hujiismodi reductio reis .. Set 'in procedat, quum aequatio problematis in
est dubitandum. Tunc enim incognita dein cum v lorem realem, eumque positivum ad-2 immittitiquem semper determinare licebit,adii μ- quatione 3-aac alo Moc: εaaba et ), quum nihil impedimento esse poDst inventioni eius.Et par est ratio,si aequatio
problematis accipiat hanc aliani formam, a falx saac, o, ubi etiam incognita, unicum Jalorem realem, eumque negativum admittit.
Sed non perinde res est, si aequatio problematis si hujus formae, ab saac M. Nam in hoc casu procedit reductio tunc tantum , quum incognito unico valore mus, eoque negativo potest explicari; deprehenditur omnino impossibilis , quotiescumque,
praeter valorem illum negativum , alios duos positivos admittit . Nec aliter se res habet , si aequatio fuerit ab - aac mi , ubi etiam incognita, praeter valorem unum ρο-
stivum , potest quandoque duobus aliis ne- tivis pariter explicari. Ut auten id liquido constet , meminis se oportet ejus , quod in Alubra demonstratura nimirum in duabus hisce aequationi,n:
342쪽
selemis tertii termini mitior est quadrato. quod sit ex ultimo termino dimidiato , hoe
est quum a 3b Da minor est , quam auec cr4ἔexplicari vero tribus valoribus realibus,
admodum in ista valor incognitae di tunc tantum oritur realis, quum minor est. quam a cc sic etiam in aequatiinae princi pali xῖ - Mawhaac, o tun tantum adhi-tita ejui reducta, reperire licebit valorent iii cognit*4,quum fuerit a 3ba a minor,quamlim: ψ, hoc est quum ipsa in sitit x xiiii- cum valorem, lem omittit. Et similiter , quum riuallo problematis
ducta estis in . aac; a cc ra 3,3 27 . Unde adhuc , sicuti in ista Morincognitae, tunc demum realis deprehendiatur , quum a3b3 a minor est, quani o cc se pariter in aequatione principaliis 3 -- aac emi tunc demum, mediante eius reducta, determinari poterit valor incogni a x, quum erit a 3b3 a minor , quam a D4, hoc est, quum ipsa incognita nico tantua yalor reali potest explicari. Id quum ita sit liquet , per invetriis nem duarum mediarum proportionalium,eas .ia probismata tertii reueris, instrui poste,qu rima virione unicum tantam va em reo
φω minuat; quum in solis hisce aequatio
343쪽
a o SECTIO Nu Ce NICARUM nibus reductio rite procedat . Sed supersunt problemata illa , in quorum aequationibus tres valores reales Occurrunt. Unde,quorsum istorum constructiones reducenda* sint , nunc oportet ostendamu .
- Et quidem constructiones probum
ε- - - Dnt. Nam , si oporteat, datum aliquem ar--: zz. cum tripartito divideres invenietur aequatio
reo/υος 'r' cubica , cuius omnes radices erunt reales.
Quod ut liquido constet , detur circulus Pin. , cuiu centrum sit punctum Fu Ἀμi ai sumpta in ejus circumferentia portione qαμ' Vis Ap sec mussit ea in tres partes aeqv xles. Ponatur jum Actum , quod quaeritur,sntque AB, BC, CD partes quaesitae. Ducantur radii AR BR, CD DF unctis chordis AB SC, CD , agatur per punctum tecta BG , parallela ipsi CP , quae conveniat cum chorda arcus dati AD in punctos ponaturque radius dati circuli AF tr choris da arcus similiter dati AD-p, ct chinda reus quaesiti AB -- itaque , quia angulus BFD duplus est, tam anguli BAD , quam anguli B erunt duo anguli AD , BF aequales inter se, adeoque , ob triangula aequiangula BFA, B AH, erit, ut Fad AB, ita AB ad H. Et quoniam , propter parallela BG , Rangulus B aequalis est angulo BFC, sive BFAa erit idem angulus BF aequalis quo
344쪽
gula quiangula ABAE, BGA, eest, ut AH
ad AH, ita BH ad HG. Hinc quatuor rectae AF AB min, H continue proportionales erunt: propterea erit BH αα xx: HGUlterius quum triangula duo BFA, RAHostensa sint aequiangula ad trianguli BFAqualia sint latera AF,BF;erunt quoque triam guli BAH aequalia latera AB, AH.Undriquinii eadem ratione ostendantur etiam aequalia I tera CD, DK trianguli CDM; erit Dinaeum GH aequalis tribus AB ia, CD intulsumptis , sive etiam triplo unius Am. Quare, instituta aequalitate inter valores istarum inearum , fieti hae M r in auri, hoc est x Vr 'prrrmo, quae est eiusdem forme cum aequatione ea labar lancino. Jam oro, quod in ista aequatione x3 3rr 'prrum radicies omnes sint reales fa . ile erit ostendere suum enim Ainsit linea in eireulo inscripta , ea diametto A L aequalis quidem esse potest , major autem esse non potest. Itaque, omisso casu aequalitatis , velut
speciali in major est , quam ΑΠ proindeque, quum sit Ause ar, Ἀγα ' erit major, quanis adeoque, maior, quanis a. Est igitur in aequatione x, Pr ' premo
cubus e triente coeffcientis tertii ternihil major quadrato, quod sit e ultimo termino dimidiato G idcirco erunt in ea tres radices reales
Vi Sed non ita liquido patet peris r se Ii
rectas in schemare tres suae radices reales exhia ad quam orbo . Eae igitur habebuntur, secetur intitatam. a tres
345쪽
I ' et tres partes aequales , an arcus M , qui, est complenientum ad circulum ipsius ABD, υτ quam arcus D tu, qui est complementum ad semicirculum ejusdem ABD. Si enim DM, MN MA sint partes arcus prioris D MA DO, OI I sint partes arcus alterius DIL; desgnabit recta AB radicem unam, re'. radicem alter reeta AI radicem tertiam. . Quumque in tribus radicibus aequationis x areae irremi duae quidem sint positium, una negativa Perunt rectae Am Amradices positivae in recta Al radix negativa. Et quidem , rectam AN esse radicem quationis 3rr formam o perinde , ac est recta AB facili negotio suaderi potest,
quia quotiescumque trifariam secandus μέ
ponitur arcus AD , potest hie esse tam arcuM ABD, quam arcus AND quum uterque istorum punctis terminetur . Sed,
quod eiusdem aequationis radix sit etiam recta Al quae nec si h tendit trientem arcus ABD, nec trientem arcus AND id equid eninon ita facile concipitur; quia, quam relationem habeat recta AI cum problemate de ul- sectione arcus Ain, sane non apparet. Constabit id autem, si sedulo considet mus , quo pacto procedimus in resolutione problematis, in quo arcus duobus datis punis
ctis interceptus, in certum aequalium partium numerum dividendus proponitur . Nimirum, quum in resolutione ejus problematis procedamus , inveniendo valorem chordae , quae
unam ex iis partibus subtendat per sincuum
est , problema iiDum eo quidem redire, utc
346쪽
E ME M E N T 3 43 invenlatur valor redita lineae, quae Incipiendo ab uno puncto , toties aptari possit in circuneircumserentis donec perveniatur ad pumctum alterum , quot sunt partes, in quas di videre oportet arcum, qui inter duo illa puncta intercipitur. Atque hac ratione facile modo intelligimus , cur aequatio 3 arr lsrrimi tres habeat radices reales, designatas per rectas AB, AN, Al. Orta est namque aequatio ilia me resolutione problematis, in quo arcus, punctis A, i interceptus, in tres partes quales proponitur dividendus Itaque, ut illi aequationi satisfiat,rectam oportet invenIre, quae a puncto A ter aptari'iteat in circumferentia circuli donec ad punctum alterum DPerveniatur. Unde , quum id praestari possie per quamlibet rectarum AB, AN, AL consequens est, ut valor incognitae, in aequationexa arx f sit unaquaeque rectarum AB, AN, ALVII. Ne aliquid hi omittamus cim vim etiam ostendendum nobis est, quod in eadem Σιλ-t
aequatione 3 - 3νr 'orrimis reserant ra quationis
dices positivas redhae AM, AN AEt designet et Iradicem negativam recta AI. Id autem facile μή-
constabit , si utique ostendi possit , rectam AIIpsis AB, AN simul sumptis aequalem esse. Fio. Deest enim in aequatione illa secundus termia 'annus Lademiue , per ea, quae in Algebra domonstrantur, debet radix negativa eiusmodi esse , ut adaeque summam ex duabus radietiabus positivis
347쪽
ση SECTIONUM CONICA RuM summae ipsarum AB, AN, praemisso prius hoc lemmate . Nimirum, quod si in circulo aliquoxio ABC deseritatur triangulum quis terum BCD in ex uno trianguli angulo, veluti C, ducatur recta AB , quae terminata ad circuli circumferentiam . secet latus oppositum BD in puncto E quod, inquam, recta ista C ipsis AB in insimul sinuptis sit aequalis. Hujus lemmatis veritas ostendi potestia hunc modum . Angulus AC, velut aequalis angulo DBC, adaequat angulum BDC It
que duo triangula CDE GAD aequiangula erunt cadeoque erit, ut CD ad DE, ita ad Α . Eadem ratione angulus BAc velut
aequalis angulo DC , adaequat angulum DBC . Itaque duo triangula CBD. AB quiangula erunt; adeoque erit, ut CB ad BE, ita CA ad AB.
Jam , propter triangulum aequilaterum BCD , duae CB, CD inter se sunt aequales.
Quare erit quoque, ut CD ad Br, ita Aad AB. Sed ostensum est pariter, quod CD sie ad DP, ut C ad AD. Itaque erit, ut CD ad summam ipsarum ΒΕ, DE, ita C ad summam ipsarum AB, AD Unde, quemadmodum CD ipsis BD, si simul sumptis est aequalis, ita C ipsas AB, AD smul ad aequabit.
Hoc lemmate praemisso, facile modo orIt,
pio ostendere, rectam A ipsis AB, A simuli sumptis aequalem es e suum eniin arcus AB si tertia pars arcus ABD, Marcus AN tertia pars arcus AN D; erit arcus B AN tertia pars, totius circumserentiae . Et rursus, quoniam arcus BD eontinet duas tertias partes arcus
348쪽
quales erunt inter se , verum etiam adaequa
butat arcuit reliquum I MN . Unde si punctatriam , I, mrediis totidem jungantur, sequi . laterum erit triangulum , sub iis comprehensum in consequenter se lemma iam ostensum, recta Al ipsis AB, AN simul impiis aequalis esse debebit. VIII. Quemadmodum ergo in problama vim te de trisectione arcus AD invenitur aequatio misi*ai.
x - arr lor rara , cujus omnes radices sint reales, ita nulli dubium esse potest, qui . . . νή reserant radices duas positivas rectae AB, AN, μ' radicem negativam recta AL. Sed sua ra- ρεπεν , quo.
tunc, per risectimem Iunius arcus, On frui,s ut nobismta omnia tertii generis, ro/-νn quorum aequationibus tres maiores realas, currunt , iam superest, ut ostendamus. sit itaque primo a a 'χω - o Fici.
aequatio problematis, quae duas admittit radi lat. ces positivus , Scinam negativam conseratur aequatio ista cum ea de tri sectione arcus, superius inventa ,- 3rr 'prremo Ericoniparatione instituta habebiturare aride premaac. Unde , quemadmodum ex prima harum aequationum inserturrim Usabis, se ex secunda eruitur 'Maac: Iam in problemate de trisectione Meus erat Hradius circuli, Ses chorda arcus tri se . secandi Gu re, si describatur circulus ABL,
349쪽
ECTIONUM CONICA Ru Meuius radius sibi bibi, in eo aptetur rem ADt De b,erunt propositio aequationis radices positivae rectae AB, AN, quae sitbtemdunt trientes arcuum ABD, AN in radi negativa recta AI, quae ibtendit trientem arciis ABDNABD
tio problematis , ii qua sunt duae radices negativae in una positiva dam ista a praecedet te non in alio differt,quam quod terminorum locis paribus existentium, mutata sint signa. Quare per ea , quae in Algebra ostenduntur, erunt istius radices negativae,quae in illa erant positivae Her contrarium erit hujus radix positiva , quae illic erat negativa. Hinc , descripto rursus circulo ABL, cujus radius sic sali 3J, S aptata adhuc inco recta AD mea ac Lo , oportebit, tripartito divideres, non modo arcus ABD , AN D, v rum etiam arcum ABDNABD. Nam erunt propost aequationis radices negativa rectae AB, AN quae sitbtendunt trientes arcuum
ABD, AND, erit radix postiva recta Al,
quae subtendit trientem arcus BD NABD. IX. Omnia igitur problemata solida, vel
Mema. 1mis inventione duarum mediarum proportiona-
..- . tium inter duas recta datas, vel tri sectione is asa arcus alicujus construere licebit. Sed nolo ημ' lite silentio reticere, quod utrumque hormet ' ' M intra datum angulum si se rectilineum, Me, xtilineam , aptari possit recta datae -
gitudinis , qua comPergat ad punctum datum. porteat etenim primo invenire duas
350쪽
E L E M A. 4'm as proportionales inter rectas AB, in is Jungatur eae ad rectos angulos i completo rasremngulo AC secetur utraque piarum ι- fariam in E, F . Tum juncta DE, producatur eadem , usque donec ipsi BC occurrae in G erecta super BC perpendiculari FH talis longitudinis, ut fiat CH aequalis ipsi ΑΕ, iung tu GH, cui per pulictum C parallela agatur CL Extendatur postea BC veris
sit Κ, ct intra angulum rectilineum KCΙ aptetur recta Ri , eidem AE aequalis, quae
convergat ad punctum H Denique per punctum D ducatur recta L, ipsi AB occurrens in L Ih dico, Cc, A medias esse proportionales inter duas AB in C. Quum enim A secta sit hi fariani ina;
erit BG ipsi AD , seu BC aequalisci adeoque erit, ut AE ad AB cita BC ad G Sed ΑΒ est ad AD ut CK ad BC . Quare . pertu irando, erit, ut AE ad AL , ita CR ad CG;
addendo antecedentes consequentibus,erit etiam , ut AE ad EL , ita C ad GK . Unde, quum CK sit ad Cc, ut est ΚI ad Κin erit ex aequali , ut AE ad EL , ita XI ad in Sepropterea, ob aequales AE, ΚΙ,erunt etiam aequales EL, ΚΗ proindeque erit quadratum ex EL aequale quadrato ex H.
Jam quadratum ex L est aequile re..ctangulo AL una eum A quadrato;
quadratum ex Κε est aequale quadratis P. FH, sive etiam rectangulo BKC una cum H quadrato . Quare erit rectangulum ALB una cum A quadrato aequale rectangulo ΚCun cum H quadrato, adeoque , ablati α-