장음표시 사용
311쪽
rum duae inde terminatae quantitates contianeantur facile quidem erit, iis mediantibus, unumquemque eorundem locorum subinde determinare, ut exhibeat , vel datam ellipsim, vel datam hyperbolam non aequilateram
Nam, quemadm*dum indeterminata, usui nobis esse debet, ut ellipsis, aut hyperbola datum habeat axem; scandetermis at altera inserviet nobis , ut idem ille axis ad sum
parametrum datam habeat rationem.
xi I. Et, ne ullus supersit dubitaudi locus,
z m: am: illiusmodi determinationem Ui .. suscipere possit . Nimirum in ea ratjo axis ad' parametrum est aequalis et , quam habet, ad anum item ipsa axis longitudo est a. μό--i4a 'dum mi asio inmm: Mari ccmm an ldram iis . Quare , si in data ellipsi sit axis ad parametrum , ut cada in a longitudo ipsius axis Lerit , tumo: a me zs, cum s
312쪽
ostendamus deinde , quomodo aequatio ad hyperbolam arae . - ον ' πηο:allim acrimas mi amis eandem illam deter 'minationem subire queat . igimirum in ea ratio axis ad parathetruiti est aeq'aiis et,quam
habet, ad is tuni item est a 43bmm: qaa --δnmm: aathnnmm: commi an ' dmmra Dipsa axis longitudo. Quare , si in data hyperbola sit axis ad parametrum utar ad frictas longitudo ipsius axis erit, tum ne a-ri
Fieri autem hic potest,ut sit ces major, quam byss . et abrrchaar ' adras . Et tunc, ne valor ipsius m prodeat imagiliariuS, explicandus est locuSper hyperbola coiri gatasa quia sic erit in m ainor Uiccs3Mris fisa ri aar adnix sed nihil vetat, quin habeatur quoque m -- aa,r laaνὸρ adris . Et in isto easi, mcuti valor ipsius, evadit infinitus , sic nec
313쪽
possibile bret. Plane vero, ellipsis, aut iners u non aequilaura A diei esse simius
dumtaxat astis datae 1 tune data etiam esse posset, vel parabola , e circumferentia irinculi , vel BFperbola sequitateνi; quandoqui- dein , ad adstruendam similitudinem illam, nonnisi uni rituatilitas indeterminata requisxitur.
Dicuntur quila e duae essἰpses, aut duci
hyperbolae non aequilaterae miles inter sit, quotiescumque eaden in utraque est ratio axis ad parametrii in . Unde non aliud exigit quaesita illa similitudo , qtiam ut axis ad parametrum datam habeat rationem . Profecto autem spe datae hujus rationis , tam in loco
ad ellipsim, quam in loco ad huperbolam non aequilateram, dumtaxat deterinitiatur valvi ipsus, . Quare, muni maneat indeterinitiata alia mn ieebit, ope huius, eisceres, ut data sit , vel parabola , vel ircumferentia circuli, vel hyperbola aequi latera.
Obiter auten notetur hoc loco velim, de similitudine se et ionum conicarum fuse
egisse Apollonium in libro sexto suoruni mnicorum;&prrate des nitionesti eius milia tudinis, quam ipse Apollonius ibidem assumpsit , plures alias , a subsequentibus Geonie- tris excogitatas, passim circumferri . Huius
modi argumentum, velut parum utile, in nostris hisce Elementis omisinus omnino . Sed,
s de eo agendum esset , posthabitis alior inn
314쪽
des nitionibus , vocarem libenter simitis eon; fi Cmnes, quae ex uno, eodemquo a te plana Ex hac vero defitutioue ultro liquet, parati,ias omnes debere esse sinites iliter se; quum omnes, quot quoi fuerint ι possint per
Plana parallela ex eodem dono deduci patetque etiam , tali ellipses , quam hyperbolas tunc demum eandent similitudinem sortiri. quotiescumque eadem in iis est ratio axis adparaitaetrum . Nam , ob eandem istam ratim diem , licebit quidesti, eas eruere ea uno , e
denui te cono ritati isquidistantia XIII. meretur inierim , the iis Me ui Leessendatur , quod si duarum ellipsium,aut
hyperbolarum axes eandem habeant ratio nem ad suas parametrosa omnino necesse sit, a ut et an diametri, quae aequaliter ad suas Or .dinatas inclinantur, eandem servent rationem tur.
cum parametris suis. Hunc in finem sint ΑM, s-- dirue istae ellipses , aut hyperbolae, quae ita
quidem disponantur , ut habeant . tum coniis mune centrum C , cum axes AB, ab sibi inu-
tuo coincidentes Ducatur ex centro C recta quaevis CE, secans utramque earum curvarum in punctis
E, cte. Tum ex punctis istis demittantur ad axes ordinatae EG, .Et quoniam in utroque curva eadem est ratio axia ad aram trum; erit, ut rectangulum Am ad m qu dratum , ita rectangulum M ad et quadratum. Sed EG quadratum est ad CG quadratum, ut eg quadratum ad Q quadratum Itaque erit ordinando, ut rectangulum AGB ad
315쪽
hi SECTIONUM CONICARUM CG quadratum, ita rectangulun ον ad
Hinc erit pariter, ut CA quadratum ad CG quadratum, ita C quadratum ad gquadratum sive etiam, ut CA ad G , ita CG ad'. Et permutando erit quoque , ut CA ad a. ita CG ad'. Sed G est ad se,
ut Uad Ce. Qitare erit ex aequali, ut GA ad m, ita Ε ad Ce Sc propterea duabus iis ellipsibus, aut hylaerbolis illud etiam accidet ut omnis recta , quae ad eas ducitur ex centre C, eetur ab ipsis in data ratione.
Extendatur iam recta GE ad partem ab teram versus Fa ita ut EP, 1 sint duae orian. dem curvarum ilia metri; sitque porro Auordinata una diametria M. Et quoniam, uncta M , fit , ut C ad C , ita C ad Caue eritum ipsi AM parallela . Sed , o AM bise.. Etam in O , etiam am bisecatur in o . Quare erit a similiter ordinata una ipsius estproindeque duae dumetri EF, efaequaliter ad suas ordinatas inclinabuntur. Denique, quum in eadem ratione ipsi-rum A, Carat, tam C ad CD quam Coad Coa proportionalia erunt quadrata , quae fiunt ex ipsis CD, CO , CH Co . Unde critquoque, ut redi angulum Eo F ad C quadratum , ita rectangulum eos ad C quadratum.
5ed C quadratum est ad A quadratunt,ut m quadratum adiso lindratum. Quare erie ordinando, ut rectangulum OF ad Ao quadratum, ita retiangulum σοὶ ad D q-dratum in propterea diametri EF ad parametros suas eandem rationem habebunt.
316쪽
i. ,r Idamus praecedenti capite, ex ae . V quationibus probleniatum soli 2 Diar
dorum omnes secundi steneris locorum spe a vi M' ιcies eruere licere. Inde auten adunc laquet, a, .. em.
eonstructiones eorundem probleniatum , tam dic duabus coni sectionibus , quam circulo ,- . Wrina coni sectione peragi posses sed , ut ibi z 'ac
dem innuimus , praeferendae sunt eae constru ctiones , quas circulus ingreditura quum ci
cuius in plano longe facilius describatur , quam quaelibet sectio coni. Quamquam vero cum ireuio conjungi posit quaecumque sectio conica, non omnis tamen sectio coni,unita circulo,Hegantiorem nobis suppetit problematis ostructionem,
Unde , quia in construendis problematibus, non modo vitandae sunt eae constructiones , qtiae natura problematum consonae non sunt, sed in id etiam sedulo incumbendum , ut fac
ciliores , simplicioresque eligantur illud iam oportet inquiramus is e coni fecti ci Hreuis sit cinisuris, sit problematis c-- frumi, quoadfieri potes, elerans orium . . Hunc in finem meminisse oportet , si ei initatem, simplicitatemque constructionis e . .
317쪽
metricae generaliter ex duplici capite aestimara debere a primo nempe e faciliore ratione. qua lineae, loca terminantes, deseribuntur;
secundo e simpliciore apparatu, qtio opus, pro deturniinatione earundent linearunias sine iiiiii sit , ut sectio conica , cum circulis conjungenda, Eae debeat ellipsis, si deseriptionis facilitae consideretur parabola vero, ii simplicior eam deterivinandi ratio inspiciatur
Primo siquidem dubitari non potest, quin ex conicis sectionibus ellipsis sit illa, quam paulo secilius in plano deseribere licet. Naiit,ubi ad eius desertiuionem soci adhiben. tu , describitur eaden sere facilitate, quaeirculus ipsi delineatur a deinde nee etiam
in dubium vetti potest , quin ex curvis omni bus, quae ex aequatione problematis solidi eruuntur , parabola sit ea quae simpliciore apparatu determinatur . Nam liquet ejus quationem non esse adeo compositani, 4uemadmodum aequatione, aliarum curvarum.
Fiaee quum ita snt , duo nobis hoc ca-ψi praestanda sunt . Prinio eniti oportet
ostendamus , qua ratione problemata solida parabola is circulo construantur. Deinde explicandum nobis erit, quo pacto eorundem tiroblematum constructiones ellipsi, Se circus peragi debeant a quamquain , ad haec ostendenda , exemplis prinium utentur specialibus;deincem tamen non eravabimur , ut regulas generales rem omnem revocare. 1L L Ut igitur ostendanities primo loco,qusu, ia ratioue problemata solida parabola, ct circu-
318쪽
uae aad o problemati aequati . quae . Θοουηνωan. secundo termino caret. Sumpto itaque loco
' ex ,--a locus ad circulum . Unde --.uuobus hi se locis construm froblemati, est peragenda , quo parabola, circulo construi possit. Sit ergo positione data recta quaevis AB. m.
Et quoniam aequatio ad parabolam est xx ii i , designandi sunt per portiones ejubvalores incognitae, inde , erecta super e perpendiculari a sent huieiquidistante,
valores alter uis incognitae, proindeque, ab scissa ex A portione AD M. oportebit, eam describere axe quidem AB, parametro vero AD. Ad circulum vero quod attinet, quia
- adtini, invenietur centrum ejus , abscilla
sitam AG in cris Nam completo deinde rallelogranimo rectangulo FG,fiet incentrum
Radius porro ejusdem circuli est Isaar l. ' Mi 4 4' ad . Unde,quum propter triangulum rectangulum AFFl sit AH
que circulus describendus erit centro H, Sintervallo HI.
319쪽
316 SECTIONUM CONICARUM Describatur itaque hujusmodi circulus. Et siquidem ex punctis, in quibus idem para- holae occurrit , perpendiculares demittantur
super Ast dabunt em valore, quos habe incognita, in aequatione , -- ais, auxaad meo uec dubium esse potest, quin
occursus fieri debeat in totidem punctis,quot sunt valores illi. Nam , si quaeiatur aequatio, desiliens eum occursum Pnon alia no his sese
offeret,quam ilia ipsa , de qua agitur abis' Me ---3d - οι insim ergo hujus miliationis tres dices sint positivae, una negativi; fiet M. cursus in quatuor punctis,quoruin tria erunt in portione Ac, unum in portione An
umque duae ex radicibus positivis possint quandoque , vel aequales fieri , vel etiam imaginariae hinc etiam est, ut ex tribus punctis, in quibus circulus secat portionem Ax, duo interdum, vel in unum coire queant, vel nullii libi etiam reperiri. c. is in III. Neque vero dissicile tit Decialem .. ,τ2 - 'πει-- σου omnes casus extende
re, suamq;ei uni versalitatem conciliare. Quae- eumque enim sit aequatio quarti gradus , secundo termino carens ue per constructiones problematum primi generis , fieri semper potest . ut sit ab coefficiens tertii termini, alcoessiciens quarti de 3 ultimus terminus. Quare, nulla habita signoruni ratione im ierunt aequationes ramnes quarti gradus,quae secundo termino carent, exhiberi per istam
Hincisi quae mutatio facienda sit in conis
320쪽
rum terniini, tota prosci scitur . Quare scutili allato exemplo ibi erat .ahxx , portio
EF id a sumpta est in directum cum ΑΕ, sc capienda erit ad partem oppositam , quum
habetur rabis . Atque ita quoque, quemas modum in eodem exemplo ibi erat fasscx, portio AG Oc a sumpta es ad partem ait ram rectae AC rac oportebit, eam sumere super ipsa AC quum habetur Oocx.
Non perinde autem se res hahet, si ultimus aequationis terminus a 3 signo Lameia tur . Tunc enim haud quidem ducenda erit
ΑΙ- ad ad plagam oppositani , sed oporte-hit, talem ei positionem tribuere, ut angulti Hl rectus oriatur. Ne obscura est hujus xei ratio . Nam, sicuti quadratum radii circuli deseribendi est aequale summa quadr torum, quae sunt ei ipsi AH in I, quum ultimus
sequationis terminus assicitur signo sic ejusdem radii quadratum aequale fiet disserentiae eorum quadratorum qiium idem ultimul
terminus ligno fassedi ua reperitur Fieri autem potest,ut in aequatione non omnes ii termini reperiantur at tunc nullρς evadunt redita illeti, qua per cocssicientes d sieientium terminorum definiuntur . Sic, sciente tertio termino abo iusta et ips EF adeoque punctum Flaccedet ad D. Ρariterque , deficiente quarto termino acx, ad nihilum reducetur ipsa G, sive trici unde punctum H coincidet cum puncto R. Et quoniam , quum dςest ultiniuct*rminus id,