In hoc opere haec continentur. Libellus Iannis Verneri Nurembergen. super vigintiduobus elementis conicis. Eiusdem. Commentarius seu paraphrastica enarratio ... Eiusdem. Commentatio in Dionysodori problema, ... , alius modus idem problema conficiendi

61쪽

ie sc

angula, latera proportiori ia quae subtenduntur aequasibus angulis per pro post iiii. i. vi elemen similiter duo triangulidb c. d l . proportionaliu sunt lateruigitur ut d . ad a. sic ib. seu aequalis a b as c. similiter erit ut et ad a. sic e b. seu aequalis ab . ad Fh sedi cohucitione inter ala g.mediae pro

portionales sunt; l. e. igitur bl erit secunda mediarur proportionalium inter a b.hi. Et si per decima tertia propositione i. vi .elassi ipsi h b.b c. mediam fecerimus proportionalem ipsa tertia erit proportionalis, fiat itaq;: sit . datis igitur duabus rectis lineis a b. b c.binae medie continue proportionales inuesta sunt.bi.&m. rectae lineae.

Datis duab ectis lineisbinas mediasupportionales inuenire. Sint datae duae resisto lineae inaeqUasles a b.b c. oportet itaq; ipsaru a b. b c. hinas medias prosportionales inuenire in continua pro portione. Ex h. ipsiab. ad rectos angulos ducaturia he.

et cetrob. interuata .

lo autem hi semicirculus describatur stare. 8 ex .m c. recta linea coitincta Bducatur in Lec ab ipso d. producatur que piam recta linea, ita ut sit aequalisam ipsi A. Id enim fieri potes ducaturq; ex ipsis gru in dae. p pediculares Cl. kn m. Quonia dic est ut eh. adit sic mi. adci . peripo .ii. h. vi. elame. EU. Est aute per costructione; h. ipsi ha aequalis,igit etiam P. io sit Leuuallis,ato; ex comuni sententia. Si equalibus demant qualia creti me ipsi di .existit eqlis. Proinde etia tota dis os toti l e erit aequalis Ex comuni sententia bi aequatit,' etddant qualia e cetera. Et ob hoc est ut m d. ad ini ita re ad em Atqui vim d. addi, sic km. adit. Ut aut te. adem1ic gl. ad

62쪽

n .Rursus quoniam est ut d . ad in inti Em ad me dc ut d m. ad k sic db adb h. vi igitur dira ad me ita siti Od exdm. ad id quod est ex in k laoc est quod ex ah ad id quod est ex bi. aequalis nacp est ab .ipsi a re Praeterea quonia est ut m d. adla b. sic te ad eb. at vim d. addi, sic k m. ad bli vi aut et Cadeb. ita gladi c.Et igitur ut Em. albi si gladi c. vicissim igit seu per propo. XULli. v. eleme. Eu. ut em ad Cl. si h b. albi. at vissim . ad grata M. ad di hoc est lim ad Q. Hoc est saeut quod tu ex at ad id quod exit. Et igie vi id. quod ex a b ad id quod ex bi. stat h. adlla. Et per propo. xlitas Ui. cle ipsasht.b c. media sumatur proportionalis, Qtioni Lauic in est ut quod ex ab ad id qtiod ex bi. ital h. ad b. Atqui per primucorolarati propositionis XXI i. vi. eo. Eu Similes rectilinea fit tme adinvicem in dupla sunt ratione, simillis rationis laterum igitur quod est eca b. ad id quod ex bi duplam ratione habet quam a b. albi. Sed quia piissinitione li. v. elemen. Eu Ua do tres magnitudines proportionales fuerant prima ad tertiam duplicem ratione habet, quam eadem prima ad secunda,igitur hi adi c. duplam habet rationem quam lib. ad x. Et ut igitura di ad hi tali ad x. verum Ut l, h. ad x. 8 x. adlla. Et virigita di ad hi stat b. ad x. et x. adlla Inter datas igitur duas rectas lineas a b h c. binae mediae proportionales uente sunt l, h. X. Perspicuus eniq; est v datis duabus rectis lineis binae medis proportionales a Diocle Papon Poro similiter inti estigantur, quavis inter eos in demonstratione sit diuersitas Propter de monstratio is itaq; huius varietate libuit has tres binarum me diarii proportionaliti inuentiones sigillatim enarrare.

ALITER ex traditione PLATONI datis duabus re

elis lineis binas medias sub eadem ratione cotinue proportio nates inuenire. Sint ergo dato duo rectae lineae ais, ad re ctos angulos colunctae a maior b c minor sis oporteat binas medias cotinue proportionales in Uenire. Pi o ducatur tam a Ll, con parte mi. Ula. d. Et super bd compertus sit puctus quo&a. per regiam lineam a d. conne X is ex ad ad rectos angulos exciteturia secans a b. productam e Parte b. super e . atq; cos

63쪽

ltasta

nexae c. sit parallelus ipsi a d. his ita construceti s aios, ipsarum ib. h c. sub eade ratione binae medio ab Ne sint continue proportionastes.Et a ex hypothesi angulus a de .ree 'est, Nad. ec per constru cstionem paralleli, igitPLc,ppo.XXix. O. ele. Eu. angulus cela.rem est ato angulo a se aequalis qui ex hypo. quod recitiis est. Sed per construetione diu perpendicularis est ad ah e.similiter eb. perpendicularis est,ad cla d. igitur per corolariu propositionis viii Ii.vLelemetosubd. media proportionalis est inter a b. die. similiteri e media est pportionalis inter ab.dic comuni ita posita ratione ipsius diu ad be. erit ab ad bd sicut e diadb c. utram nam ratio est uti patuit vit d. ad bae. per propo xisi. v. elementotv igitur ut a b. ad bd. sic bd.ado e. o e di ad dic Ergo datis duabus resctis lineis a b bc hinc compersis sui mediae sub eade ratione costinue proportiosnales h d. b c.

EX PLATO

ni sententiacos struere instrumetum edatis dua hus rectis lineis hince mediae sub

eaderatione cos

tinue proportios h

64쪽

nales comperiantur. Sit igitur gnomon fg h. ex duob'dstectis regulamentis ligneis aut seros compositus quo rectilin coma Plectantur angulum fgh. In horum altero regulam e Polyari id quodda accomodetur normales h. quod iuxta l. signia pertUns datur quodam foramine cui comittatur regulamentu Ch. nos monis ii sic ut norniale , adhaerens regulamento h. ad rectos angulos nunc versusae quandoq; versus h. voltii queat. His ita is prae struetis, si datis duabus rectis incis velut a b. b c libeat binas sub eadem medias ratione cotinue proportiosnales inuenire. Data itac rectae linea a b. b c ad rectos angustos adinvicem coniungantcir in punetot Sc reliqua sint dispo sita ut ante, o instrumentu hoc sic accomodetur a b. b..rectis,

ut gnomonis fael. latus es iaceat sup . oves angulus ipsi bi

cohaereat atq; angulus i. consistat stipi d. versatile denignor male ' veniat per a simu sic ut g. punctus superponat ipsie. atq; . signum iaceat super d. his itaq; cocinnatis inter a b b c.

comperta iterum erunt huius officio instrumenti bina proportionales mediaeti d. b e. cui demonstratio cade est cum riore.

v I NICOMEDES in tractatu de conchcidit, Us. Instrumentu fabricare quo innexa quaeda linea si concho des appellata sunt describuntur. Nicomedes huius instrum est fabricam tradidit in quodam libro quem de cochoidibus in cripsit,in quo quidem libro vir ille mathematicari cognitione rerum excellens et venerandus multo plura videt cxcogitastequam Eratosthenes, at let longe argutiora inuenisse. Qua prospter ille ad geometria scientiam aspiratibus haud parum pro aruit ' super propositi fabrica instruincti sic demu locutus est. 'ccipere igitur conuenit bina regulamcnta sub eadem scissutudine accuratius decussatare planata levigatam, sic ut eandenabeant planam superficiem,quo quide regulamenta sint a b. d. deinde m a b. canalis seu timur aut rimula quaedam fiati curas estigie, in qua quidem rimula seu canali cuniculus aptet

quem vir il leunece chelidonii aut chelonarium vocatae, instar

a'. a gulam cto Aptetur inqua alat. lectani linea ut in ps

65쪽

lici

illi

lyssi canali seu ri mula sursum deorsuq vo lui possit. In

regulamento a Item d. ad

Partem Sc mea recta linea quae regula mentiae d. latitudinem bifariam dirimit.

cylindr parsiaulus hium

graece cylin drium dicitur eidem regula

meroe d. co seratur. Parutame emines

plano regulamentiae d. asssumatur deinde alia quaesda normae Lversus limite seu i parte Lexiguae bres auisus existens si latitudinis .Et ita.cylindrium ita regulamento cM.ad puncttimc sit insertum ut circuire poss1 Praeterea normae L rotundo Quod i pertundat foramine. ale. cui pusillus ilida axis iteres claniculus immittatae cognat secati comissuram conexione Ue habeat cum disclirrete cunicillo seu chelonario securis efflagiem habeterici quide chelonarium in ah. regula cliscurrit. In

66쪽

ipso quom cylindrioisi sit foramen eui sit inmissa e regula,

quae cohaereat paruulo axoni, rotundum e foramen traiecto et cognato ipsi chelonario seu dicto cuniculo. Si quis itaq; sum Pserit k. extremitate ipsi regulae e f. moueat* eam siue in pars res a. siue in partes ipsius b. e. quidem puctum semper vertetur in a b recta linea, Ss norma ei penetras sectionem seu foramequod est in cylindri. i. ingredit egreditur* at eiusdem re gulgi f. media recta linea mouebitur dicto motu suo per axem ipsius add. cylindri obseruetur deni , levi. excessus regulae e dem semper eadem maneat longitudine. Quadere ad h. fixerimus stilum acuminatu qui pati intentu attingat describerobliqua quaedam linea, qualis est ipsa Lin n. quam Nicomedes

vocat conchoide prima lineam. Et interuallu e h. quide lineo magnitudine normata Polum autem d. punctum. Huic denissinflexae lineae sine concoides dicitur Nicomedes demonstrauit inesse tres praecipuas proprietates. e Prima proprietas conchoidos prima'. Quo cocholidos ampli' pro

ducitur eo min'

distat a rectaui nec di ipsitis normae a b qcysic stellectitii spicuum scobi

Uiu fiet. Sititassinalia descriptione P cepta das tacti norma ab., Polo aut c. interuallos e. linea den id conchoidest e. producantur a c. di rectae meae, f., g secantes ipsam a b rectam lineam stipi i. Punctis,ipsam aut conchoide in f .at, a puncti P ad a b.

hinae agantur perpendiculares f h. l. Aio, si per dicula, ris minor est perpendicularii l. Nam per proposione xxxii.

67쪽

libri primi eleme. Eu. angulus hi, maior est angulo est De duobus tam rectis reliquus fila,minor est reliquo gi LExcoclmuni sentetia Si aequalibus auferantur inaequalia erit reliquumaioris ablati min residuo minoris ablati Atqui ex hypotheos anguli ad e recti sunt,igitur ex eadem comuni sententia ansgulus est maior est a L angulo igitur ex angulo hii ipsita l. angulo aequalis hi m. augulus auferatur. Recta igitur luneades. seu aeqalisi Ladai eandem habet rationem quaim. ad fru. Et perinde fh adg L minore habet ratione,qua adi . Et quia per propositione X.li. v. ele. ad qua eadem maiore ratisonem habet,ci illa minor est,ergo gi maior est quai k. Quo igitur amplius producitur egi. conchoides in L partem eo masgis appropinqnat ipsi a b quod oportini demonstrasse. Secunda proprietas ipsius conchoidis primae. Si inter conchoide Scregula ab recta quaepia linea aeducatur,ipsa conschoide secabit. Sit ita norma a b. at toto in teruallo autela e descri pia conchoides c inter eam at mormam a dii due a sit.recta quaepiam

linea fili. Aio , rectati sne fest prodiacta secet cochoide iam descripta..pdue a tam lineas h. aut parallel est ipsi ah.

normae,aut non, Sitigii,

tu primu parallelus fi alcivi dg adg c. ita de. ad aliam quampia . Et

centro c. interuallo auteli circumferentia destri

68쪽

ninsit os. cas a b in .est igit ut des adam ita Vf. ad h. Atqui

ut des. ades c. ita erat dae. ad k. hoc est ad c f. aequalis igit est te. ipsi ii quod est impossibile. Nam sic pars toti suo fieret aequa iis,quod patet si ci producatur quousq; descriptam per e conschoideam dispescat in o. Est enim lio reeia linea aequalis ipside per diffinitione conchoidis,igituri t. recta linea secat coichoideas ad easdem producantur partes. Praeterea inter de scriptam conchoidea,at a b. normam producta recta linea nost parallelus ipsi a b si id velut in n. Et pera ipsi a b icta parallelu h. ergo priam ostens fili coincidit conchoidi.

Et perinde multo magis in n. coincidet igit si inter cochoide ah normam a b recta linea ducatur ipsa conchoidem secabit, quod oportuit ostendisse. I Tertia proprietas primo conchoidis. Recta linea a b atque conchoides prima ad eam descriptantistb coincident cocurratu etiam si ad infinitum producant. Id facile liquet. si quis ipsam formulam organi quo concoides scribitur diligentius intueatur. Nam in eade formula regula metiae . media linea in descriptione conchoidos semper secat in c. rectam a b. quapropter Puctus Esuinq; perueniet ad linea ah licet in dies vicinius accedat ipsi a b per prima proprietate conchoidos Igit prima cochoides recta linea ad qua destris Litorium cs coincidet etiam si ad infinitum producant quavis ille magis sibi appropinquent toportebat ostendere. LEMMA seu assumptu Nicomedis utile ad modiarnsequeti demonstrationi Si ad infinitam ex una parte rectam lineam datus costitutus merit angulus a puncto extra dato resta age re lineam tuae secet binas rectas circa cundem anguluin, cuius quidem actae rectae lineae particula comproelienta,duabus datucomphen letibus angulum, sit equalis datae lineat Sit recta lunea a Lex parte b. infinita super eam costillatus datus angu

tu bis et Et petiis extra adi datus datast recta linea d. Et ex

ex, Id a re perpendicula VS, attar cae .ctai in directum ei aequalis ipsis adiici atur. at s officio instrumenti superius constri tipolin interuallo a item et ipsi a b .nqrmae describat concho

69쪽

de linea prima se igitur per sectindam

proprietate conchoi dis primae linea a g. aeducta coincidet ipse conchoidis . coincis detergo ing c actac g. secet in h. ipsam ah. rectae lineari psius

normae Dico UI'. sit aequalis ipsi d. da cla recstar line(,Quod liquidi fit ex eo quo e aniam per diffinitione conchoidi primae se neaeam aequalis est ipsi e . at e Lex hypothesi aequalis est pri vi ex comuni sententia quae viri fuerint aequalia inter se sunt aequalia.reeta linea; h. aequalis est data ipsis i igitur ad

lineam rectam ex altera parte infinitam datus constatutusque 'rit angulus ec reliqua ut supra quod oportuit efficere. UI NICOMEDES in libello de conchoidibus. , Datis duabus rectis lineis binas medias continue proportiost nates inuenire. Sint data duae reetae lineca b.bc. ad rectos a uicem angulos quarum oporteat binas medias continue prosportionales inuenire.Et compleatur abcd. parallelogrammis,

secetur in bifariam utraq; ipsarumcd.da in e puneris Et co iuncta quidem Ne producatur etiam ac coincidat ipse a d. pro ductae in g. ipsi aut ad . ad rectos angulos sit si producatur ah nuae sit aequalis ipsi e .Et coniugatur gi. cui parallelus ho

: ido angulus h. i. sit aequalis ipsi faef. angulo Per prae s

den d mc lemma seu problema ducat cissi recsta linea secasa .quidem in . Sc d a. in partem a. productam super . sic , sit a qualis ipsi sit. Et conexa hi producat id coincidat pissi productae in . Aios est ut a b. ad assi sic ah. ad c .ec et m

e bacioni a d. bifariam secta est in em huic apponitu si Mi

70쪽

tur per vi propositio nem ibi eleme.Eu.qst sub d k a. cum eo quod est ex ad squale est ei quod est ex Ck.Comtisne apponat re est ex

cum eis quae fiunt ex a

d a. ad assi ut igitur i. ad c d ita da. ad ah. At

est ipsius quidem. d.

dimidia se ipsius auatem sta dupla a g. Nam per iiii pro. i. vi ele. Eu ut a b ad se. ita ea ala d. Ex hypothesi autem ba. dupla est ipsius se igitta ea ipsius ad dupla. Erit ergo ut lae ad caecitas a. at h. exaequali oc perturbata proportione per propo. xxiii. i. v. elenia Atqui, g a. at h. xli cadit. per propociis i. vi. ele. Eu. qtria ex hypothesivit. ac sunt paralleli. Et componenti persi opo. xviiis v. ele. Eu igitur ut Le. ad c e. t h. ad k aequalis auteposita est h. ipsi cc. onixi k.ipsi ah aequalis est Nah ipsice Aequalis igitur est ei ipsi h k. Aequale igitur etiam quod ex Le. ei quod exivi. Et est illud quod ex Le aequale ei quod est subri l. cum eo quod est ex ine. propo visibi ele. Eu Ei attatem quod est ex lik aequale esse demonstratu est. quod fit subdin a. cum eo quod exili. Quorum id quod est ex ce qtiale est ei quod ex am. Aequalis nam posita est a' ipsi. c. Sed ex co muni sentetia, si aequalib auferantur aestir alia tiae relinotiti niorqtialia sunt. Igitti quod fit sub xl c. aequale est ei quo fit sub