장음표시 사용
381쪽
ij Lib. II. De Angulo contingentia.
Angulis segmentorum singulorum. Ergo per Propositionem . quam cap. 1. de Natura Rar affert P. Aynsco velut Corollarium Propos-tionis i 6. Libri . Oper. Geomet aequales sunt Anguli semicircul tum CL BG, D OBF. Quibus sublatis ex Angulo rectora BG, sequitur Angulos etiam contactus ABLC , ABO esse aequales. Cum ergo si Angulis Quantitatis ius aliquod concedatur , Anguli duorum inaequalium semicirculorum aequale sint, ut proxime ostensum est,i sint in aequales eoqub Angulus maioris semicirculi CL BG, includat Angulum Di BF semicirculi minoris quod foret ab- sui dissimum absurdissimum etiam essc necesse est illud , unde hoc sequitur , Auerere nimirum Angulos quantitate non carere.
Haec est Ratiocinatio, qua citati Geometrae peritissimi probasse sibi videntur nullos Angulos quantos esse posse Vertim dissicultates patitur vix ac ne vix quidem soluendas tam haec Assertio noua quam eius allata probatio. Ac in primis certum ac per se notum Principium apud Geometras hactenus habitum est, Angulos reuera quantos esse: Quid enim in Geometricis crebrius personat, quam Angulos Angulis aequales 3 Angulos Angulis maiorcs, aut minores consulantur ipsa prima Geometriae Elementa In iis, qui appellatur Angulus rectiis,
niti qui deinceps sibi appositum aequalem Angulum nancistitur, qu Aacutus nisi qui rccto minor quis obtusus, nisi tecto maior est intaequalitas, cxcessus,i desectus inter Angulos quomodo reperiri possisunt, si quantitate careant, cum hae sint quantitatis passiones maxime propriae. Ad haec. Quis tot inter ac tantos Geometras qui ab ipsa Geometria parta floruerunt sciit aliquando repertus, qui Principium hoc tanquam certum Meuidens non supposuerit, adeoque manifestum, ut ne eius quidem mentionem aciendam censilerit. Quod cum ita sit. Quid de Assertione qua Anguli quantitate carere dicuntur quid de eiusdem Assertionis probatione aliud censeatur quam quod a Geometris dici non raro contingit 3 eam scilicet impossibilem esse Mabsurdam icum cx ea absurdum quid, Mimpossibile consequatur, quippe quod Principiis per se notis opponatur. Nunc porro quaeras quonam vitio elegantissima iuxta ac subtilissima Argumentatio illa laboret 'Illud Lib. 2. Examinis Quadrat. Propia, . apertissim h declaraui. Atque utinam illa mea solutio Patri Ayn- scom venisset in mentem,quando ad ea quae a me contra hanc P. Gr ror ij de Angulorum quantitate sententiam obiiciebantur, parabat responsionem vel enim mihi fuisset assensus εἰ vel saltem aliquid de nouo protulisset, unde, quae citato loco a me allata sunt, confirmare li
382쪽
Liber II De Angulo contingentia.
eeret. Dixi igitur ibidem, in eo paralogismum committi quod Au
thor operis Geometrici, dum partes dimidio Angulorum tum semita circuli, tum deinceps reliquorum segmentorum , non minore dc mi
iuberet ad lineis rectis, B G, KL c. perfici vellet nec ab ea mente fustus est alienus P. Ayns m. Verlim , pace triusque dicam , id sane ex aequo non praecipitur. Cum enim in mixti lineis versemur, cur
palles illas Angulorum dimidio maiores, per curuas lineas auserendi facultas mihi denegetur 3 Deinde, si absque omni effugio intentum velis colligere aduersari arbitrio iniri debet omnis illa subtractio Angulorum dimidio non minorum, hoc enim ad eum ius pertinet: quo Ego nunc iterum hic uti volo Volo scilicet ex Angulo semicirculi a BG partem dimidio illius maiorem demere descripto circulo in B reliquos tangente, Minter utrumque posito, qualis est BLT:
dematur itaque semicirculi Angulus TZB ex semicirculi Angulo G CB G, cuius dimidio ille maior est cum Angulus rectilineus C BG, quo maior est angulus Tam rimaior sit dimidio eiusdem anguli semicirculi G C B Go hoc possito. Qua ratione demi poterit ex semicirculi Angulo F DBF Angulus TZia , maior scilicet ex minore Clim ergo demi non possint ex utriusque semicirculi Angulis GCBG,
FDBF aequales Anguli dimidio maiores,Vt exigit Propositi I. cap. a. de Natura Rat vel Prop. ii 6 Lib. 1. Oper. Geom. haud quaquam colligi poterit per citata, Propositiones, aequales esse duos semicirculorum Angulos GC BG, FD BF neque quod ex eo sequebatur absurdum,aequales scilicet essecos Angulos ut probabatur; dc inaequales, ut supponebatur, dum quanti supponebantur Anguli Certum igitur est, ac manifestum duorum inaequalium semicirculorum An gulos,riduos item contactus Angulos, quos linea inaequales circulos tangens constituit, inaequales esse iuxta duas proxime antecedentes Propositiones neque ex iis ullum consequi vel impossibile, vel absurdum. Quod idem inferius confirmabitur, nec paulo euidentius exponetur, cum Vallisio respondebitur , Angulos contactus nulla constare quantitate suadere quoque conanti.
383쪽
i Lib. II. De Angulo contingentia.
PROPOSITIO VIII. Theorema. DVae magnitudines inaequales, quarum discrimen tale est, ut quantumlibet multiplicatum , neutram possit vel superare , vel adaequare nullam inter se Rationem habere possvns.
-- Duae sint magnitudines inaequales, Almaior, Let minori; si autem I excessus maioris supra minorem huiusmodi, ut in infinitum multiplicatus neutram earum possit superare vel adaequare qualis seret, si, ut Prop. 3 explicatum est, supponeretur esse earum quantitatum particula paruitate infinita. Dico magnitudines A B, C D nullam inter se rationem habere posse. Si quam enim haberent, ea necessario seret, aut Rationalis, aut Irrationalis. Sed neutra esse potest. Non Rationalis; cum enim haec reperiatur tantum inter magnitudines , quae se habent ut numerus ad numerum: numerus autem quilibet altero quouis maior hunc non nisi numero superare possit excessus DB ad utramque quantitatem A B, C D se habere , ut numerus ad numerum. Sed numerus quilibet alium quemlibet per multiplicationem aptus est superare. Ergo contra suppositionem, excessiis I B superare, vel adaequare potest utramque
magnitudinem Assiri M. Neque etiam dici potest Rationem A B ad Ct esse Irrationalem.
Nam cum ea Ratio reperiatur tantum inter quantitates, quarum nul la est communis mensura excessus I B maioris supra minorem, neu
tram metietur forent alioqui contra suppositionem magnitudines B, C D inter se commensurabiles demi tamen ex eo quidpiam nihil vetat, quo dempto utrique commensurabilis euadat. Tunc vero reliqua facta ex Al ad minorem CD , Rationem habebit rationa. lem dc ut numerus ad numerum; excessus earum, qui minor est post subtractionem illam, quam LB, numerus quidam erit : qui multiplicatus excedet, vel adaequabit ipsam Ct numero expressam. Ergo multo magis totus excessus I multiplicatus excedet utramque B CD quod est absurdum, contra suppositionem. Cum itaque nec Rationalis, nec Irrationalis inter magnitudines A B DRatio
384쪽
Lib. II. De Angulo contingentia. s
Ratio intercedere possit, intercedere nulla potest : cum Rationem omnem aut Rationalem, aut Irrationalem,esse necesse sit.Quare duae magnitudines inaequales,quarum discrimentc. Quod erat probandum.
Propositionis huius veritas ex eo etiam constare potest,iquidem, ut videtur a priori cuius iam aliquoties contigit mentionem fieri. Quia scilicet Ratio , siue habitudo inter duas quantitates mutuam quandam dicit mensuram , qua una alteri vel aequalis dici possit , vel,
si unam altera maiorem esse constet, tanto, aut tanto maior innotesiacar. Hoc enim ipsum est, quod Euci defin 1. Lib. s. exigit, praeter id , quod defin. 3 ad Rationes constituendas necessarium esse pronunciarat ut scilicet magnitudines eiusdem generis serent,vi secundum
quantitatem hoc est, secundiim maius d minus, aut aequale conserrentur in genere quod lassicit ut una dicatur maior vel minor altera At ut tanto vel tanto maior,aut minor una,quam altera statuatur;& ut certa intereas maioritatis,in minoritatis habitudo, siue Ratio definiatur necesse est, ut quaedam inter duas magnitudines mensura intercedat: qua in specie tanta vel tanta maioritas unius, vel alterius
minoritas constet. ubd si omnis ratio mensurae ab huiusmodi quantitatibus sit aliena, hoc est, si una saepius repetita alteram superare, vel aequare nequeat, in quo sta est mensurae applicatio nullam habere possunt magnitudines huiusmodi Rationem iuxta defin 1. Lib. 1. citatam ilicet una dici possit maior altera.At eodem modo omnis mensura ratio tollitur inter duas magnitudines eiusdem licet generis, si earum differentia utcunque multiplicata neutram possit superari, nec quidem adaequare. Hoc cnim in casu et si noueris duarum quantita. tum alteram reliqua esse maiorem; qua tamen sui parte maior sit, nequaquam pronuncies cum excessus ille nulla unquam pars esse possit
earum quantitatum determinata denominationis, sue speciei esto constet eum viri utque partem esse , cum utraque quantitate sit reuera minor. Quae inseterminatio omnem praescindit Rationem, dum omnem venuirae modum respuit ad Rationem aliquam constituendam necessarium.
Ex hac, 8 Propositione 3 euidenter constat ad quas pertineat magnitudines tum Postulatum Libricio, Euclidis, tum eiusdem Libri Piopositiori utrumque enim iis solum i gnitudinibus conuenire potest, iisque solum applicat Geometriae Parens, quae Rationem aliquam inter se habere possunt. Dum enim eo Postulato concedi peti
385쪽
is Lib. II De Angulo contingentia.
tur quolibet magnitudinem toties posse multiplicari, donee qua Me ma. gnitudinem eiusdemgeneris excedat. An non manifestum est multiplicatam illam magntudinem , magnitudinem ex ea multiplicatione conflatam metiri Λ ex ea saepius repetita mensurae applicatione cerram,ideterminatam habitudinem inter quantitatem multiplicatam,& ex multiplicatione genitam, constitui, quae Ratio dicitur 3 umit, ter Cum prima illa Propositione Lib. io. asseritur duab- magnitudi sus inaequalibinpropositis fla maiore auferatur maius quam dimidiam, ab eo , laad reliquum est, rus detrahatur maim quam dimidium, ef hoe semper D ,relinqui tandem quandam magnitudinem, quae mim erit pro- ρομά minore magnitudine. Haud quaquam supponi Euci duarum propositarum inaequalium magnitudinum minorem huiusmodi, ut non possit saepius repetita aequare, vel superare maiorem ut patet ex Praeparatione ad Propositionis huius demonstrationem necessaria. In ea siquidem iuxta Postulatum paulo ante adductum,minorem magnitudinem toties iubet assumi, donec magnitudinem constituat maiorem altera datarum magnitudinum, quae maior est. Ergo ex mente
Euclidis minor data magnitudo illa alteram maiorem , iure multo potiori superare poterit, si saepius repetatur. De iis ergo solis magni udinibus agit Eud.quae Rationem inter se habere natae sunt: quas defin. s. Lib. s. ea apposita conditione determinauit, ut possent multiplicatae
Ex his responderi facile posset non tam Peletario huic enim Cla uius lauio digna responsione cumulate satisfecit quam Vallisio , qui Peletariivestigiis insistens aut Euclidem in apertam contradictionem
lapsum esse s aut Angulos contactus carere quantitate pronunciauit.
Verum praestat omisia quae undique colligit in Peletari,sui detensi
nem non tarn numero, quam pondere exigua Argumenta in unum simouocum, quem suo tempore adibo reterre : ut in illud unum impensa tunc opera ec apertius proponantur, Mexcutiantur accura
Constat praeterea ex hac eadem, tertiamropositione nihil verius asseri posse, quam quod apud MP. Ayns m cap. a.de Nat.Rat.Prop. asseruit vir doctissimus, quem tacito nomine Amicum Geometram appellat cuius sententia cum summi sit apud me ponderis, iisque, quae de Angulis hactenus a me allata sunt, vel sunt in posterum asse
renda, adeo sit accommodata nec ea, nec eius nomen hk a me praetermitti debent. Is est R. P. Ioan Bapt Giattenus a me iam se pra cu-
386쪽
Lib. I De Angulo contingentis i 1
tatus qui apud dictum Authorem sic fatur. Propositio Iis. deris effloribus in opere Geom. non est vera uniuersaliter I Ela innititur Propositione . Lib. Lo Euclidis in eo sensu, in quo non dixit Euia in quem etiam errorem incidi Pelestarius coptime obseruauit Clauius in I9.lib. 3. ea enim Prosti solam aut quoties quantitates sunt tales, utinasapia repeti ta alteram aequet. At angulus contingentia, ut demonstrat EucI. cum sit minor quolibet angulo rectilineo minoritate diuersa rationis;non potes aqua re rectilineum. Mare quando assumitur in probatione dicta propositionis, quodsi feranturpartes non minores dimidio tandem deuenisura aBDid
minus nego Oepos eri, nisiquantitatessint tales, ut istud minus silao feribileperiam diuisionem a maiori, quod non euenit in casu praesenti. Et alia, quae addit in eam sententiam accommodatissima, quae ex eius scripto recitat P. Aynseom, ut ea deinde reiiciat Ied non satis firmo,
vi ex superioribus constare videtur, cum tundamento.
Nam nihil verius, ut hic ostendi quam Propositionem I. Lib. o. Elementorum ad eas solum quantitates pertinere, quos sese mutuo superare possunt, si multiplicentur , quaeque iuxta def. s. Lib. s. a tionem aliquam inter se habere natae sun Quod nec Angulis contactus ad Angulos rectilineos relatis conuenit, nec duobus quibusvis Angulis segmentorum inter se comparatis. Quorum discrimen quod est Angulus duabus peripheriis sese tangentibus comprehensus in saepius repetitum neutrum potest superare vel adaequare reorumque propterea mutuam habitudinem, eo quδd indefinitae sit mensurae, omni Rationis iureri facultate priuat: idq; solum iisdem Angulis con seri,ut alter altero maior dici queat. Debuit ergo Propositio illa a sese Progress quae uniuersaliter proponitur, ad eas restringi magnitudines,
quae rationem inter se habere possitnt, tum ab ea, tum a Corolla rio a P. Gregorio ibidem collecto, & a P. Ayscomcap. 1. Prop. I. repetito, quantitates excipi quarum discrimen saepius repetitum ne, tram potest superare, vel aequare cuiusmodi sunt duorum quorum
libet semicirculorum Anguli, si quae sun aliae eius generis quanti tales, de quibus Propositio I. Lib. ira intelligi non potest; nec proinde quae ex ea deducitur, Propositio a 6. de Progress Quod faeiletum a P. Gregorio, tum ab eius interprete P. Aynseo admissum
fuisset, nisi certo fuisset ipsis persuasum quod Propositio 3 QPro positio proxime exposita falsum demonstraui duas quassibet,
gnitudines, quibus competeret inter se comparari secundum maiusac minus, eo iplo Rationem aliquam inter se habere dc quia, quae Ra
tionem aliquam haben debent per definit. D Lib. I sese mutub se Aa perare
387쪽
idi Lib. IV De Angulo contingentia.
perare ita enim debet illa definitio, ut definitiones omnes solent, conuertiysi sepius repetantur ideo etiam censuere duabus quibuni-hee propositis magnitudinibus, quarum una diceretur maior, vel minor altera laici perinde debere, si multiplicarentur sese mutu superare posses adeoque iisdem applicari pota, tum Propositionem: I.Lib.
c. tum Propositionem ri 6 de Progres quae ex ea colligitur. Atque hoc est inter quantitates inaequales discrimen quod selidis. simus Clauius contra Peletarium agens obseruauit cum ut P. Ayn- scom refert, asserit Angulos contingentiae dosemicirculorum ita inae quales esse, ut maioritas& minoritas sine diuersi generis quoad Ra tionem, a maioritate, minoritate carum quantitatum inaequalium, quae possunt multiplicatae sic sic superate,& iuxta defin 1. Lib. 1. Rationem habere inter se. At haec Claui,distinctio minime placuit Patri Aynseom. ait enim cap. et pag. I a. male asser angulum contactus esse minorem quouis angulo acuto rectilineo minoritate diuersa rationis siue ste- ciet rauis enim neget lineas rectas, o euruas esse eiusdem seriei Z itemplana rectilinea, ct eurustinea eiusdem es rationis, cum comparari inter se pugni 'Atqui anguli inues cum t essentialiter duarum linearum inclinatio, quae linea qοalescunquesntdecie vindisserunt: in eadem quoque manent stecieinclinationes aeque ae ipsa linea, quarum sunt iuclinationes Euod puerum es,non petes angulus cotingentiae dici minor anguti acuto rectilineo minoratate diuers/m i&c. Verum,neq; Clautus,nequeGiattinus, neq; Leoraudus si tantis viri hic adiungi mematur asserent unquam lineas, rectilinea, a quibus, Ma Neque iidem asserent vel curuas, vel recis aut plana curuin quibus anguli conitituuntur, nere unquam Inclinationem linearum curuarum generis esse diuersi ab Inclinatione linearum rectarum quoad situm, ad quod Praedicamentum pertinet qua uis linearum quarumcunque Inclinatio. Neque etiam asserturi uini maiorem harum linearum Inclinationem cum minori earumdem Inclinatione non posse comparari secundum maiust minus. Negaturi tamen sunt Inclinationes omnes eiusdem esse generis 'quoad Rationem. Aliud enim est Inclinationis genus; cum inter maiorem, minorem Inclinationem Ratio quaedam intercedit, cum scilicet minor Inclinatio multiplicata maiorem potest excedere quales
sunt linearum reclarum Inclinationes omnes, siue Anguli omnes rectilinei vides. 1. Lib. s. declaratur. Aliud, cum duae Inclinationes inaequales nullam inter se Rationem habere possunt cum scilicet minor quomodocunque multiplicata maiorem attingere nunquam potest quo in casu oet eandem defin. Lib., omni Sationis inter se habendae
388쪽
Lib. II De Angulo contingentia. 8
habendaeneultate excidunt, ut iam non semel declaratum est. Nec vero ibi de Inclinationum . vel Rationum genere, vel specie agitur, attendenda est species lincatum inclinatarum, aut genus cum eae ad quantitatem pertineant, dicique possint ecundum quantitatem homogeneae Inclinatione vero pertineant ad situm: qui propriis suis non caret 6 generibus,& speciebus non secus quam rigurae; et si ad eandem speciem pertineant. Quoad quantitatem, ut Tiriangultam, Quadratum,Circulus &c sunt eiusdem generis quantitatis sunt enim planae superficies: tamen quoad terminationcm eia circumscriptioncm, diuerse sunt speciei Triangulum enim specie differt a Quadrato . Quadratum a Circulo,c. Eodem modo Angulos duos planos, si piaeci se spectentur lineae, quibus constituuntur inane eiusdem generis, suae homogeneos esse, dicemus at si Ratio eorum spectetur, specie dit Ferre comperientur, generisque esse diuersi Malios quidem dicemus Rationem aliquam habere inter se, alios nullam. Quare labori parcere poterat Vallisius, quo sese diuexauit ut contra Clauium asserentem Angulos rectilineos alterius esse speciei quam curvilineos quoad Rationem, ostenderet esse homogeneo, ex eo quod quantitates,quibus constituuntur, homogeneae sint homogeneae item sint quantitatum Inclinationes Attendi enim debent Anguli quoad Rationem. Quae Relationis genus quoddam est tum a quantitate, tum alitu ad quem Inclinatio linearum Angulum constituentium
pertinet longe alienum. Atque haec cst, Vallisi, ut illa,
quam neque Clauium ostenderes, neque te somniare posse asteris. Crediderim. Neque enim maturae, sanaeque Euclidis Intcrpretationes qualis est haec celeberrimae illius definitionis 3. Lib. s. somniando occurrunt, vel oscitando. Quomodo autem eam Clauius, latinusque ostendant, euidentc opinor, declaraui ex quibus colligas, etsi Angulis contingentiae sua tribuatur quantitas, nullo modo irr conciliabiles esse definitiones tertiam e quintam Libo Euclidis; ve
cum Saullio, quem retaers arbitraris. .
Dicat ortasse non-nemo ne quid omittam singularem quempiam Angulum contactus,ut in superiori schemate Angulum A BL C, toties posse repeti, ut Angulorum tanta multitudo coaceruetur vis mul sumpta , eis ex ea Angulus unicus non coalescat, supcret Angulum quempiam rectilineum, ut Angulus AB L. Ergo Angulus ille contactus, Angulus rectilineus Ami Rationem inter se habcre possunt neque enim minus obseruatur conditio definitione . lib. s. requisita , etsi Anguli omnes contactus in unum AD 1 non iCigilias by Orale
389쪽
18 Lib. II De Angulo contingentia.
non coeant Angulum, qui superuret, vel aeque Angulum rectilineum lassicit enim ut tota simul eorum Angulorum coni eluum multitudo et discreta. maior sit Angulo rectilineo ABL. Respondeo tantam vim Angulorum contactus quod admira
quam posse , ut vel minimum Angulum rectilineum AB L possit aequare Ratio est, quia, cum Angulus AB L sit in Infinitum diuisibilis; possibile est illum di. uidi in tot Angulos rectilineo , quot Anguli contactus coaceruati sunt. Tunc autem certum est singulos illos Angulos partiales rectilineo maiores esse singulis Angulis contactus. Ergo totus Angulus ABLremilineus maior est omnibus simul sumptis Angulis illis contactus quod concipi potest aegrius, quam demonstrari.
pROPOSITIO IX. Theorema. Ropositis tribus magnitudinibus, si prima ad secundam
Rationem habeat, habeat autem secunda Rationem aΛtertiam prima quoque ad tertiam habebit Rationem timo&ad compositam ex secunda sitertia.
Sint magnitudines tres M, B, C quarum primae Adicatur Rationem habere ad secundam B, haae verbaationem habeat ad tertiam C. Dico primam A Rationem quoque habere ad tertiam C. Nam cum prima A Rationem habeat ad secundam B poterunt Arum multiplicatae sese mutuo superare per conuersam definit. 1. Lib. 1 eodem modo sese superare poterunt B, C. Si igiriar contingat tam primamin, quam tertiam C esse secundam minores clima multiplicata supereti, potiori iure superabit tertiam C minorem secunda B. In hoc ergo casu percitatam definiti A, C Ratio. se habebunt. Quod si maior supponatur, ciuam secunda B
390쪽
Lib. I De Metuis contingentia. se
eum B multiplicata possit superare C maiorem Rationem enim ha hetit B V ex suppositione possit autem A multiplicata superare B, atque ade omnem multiplicem eiusdem R; quae multiplex superare iam supponitur tertiam C Getiam A eandem C superare poterit e gora Rationem aliquam cum illa habere. Eodem modo, quolibet alio in casu ι ut si 'minor seret quam Α, c minor, aut maior quam B; semper ostendentur A& multiplicata sese mutuo superare posse;
atque adeo, Rationem aliquam inters habere,vd vult prior Propositionis pars. Quod autem eadem prima magnitudo A ad compositam ex secun 'da B,4 tertia C, Rationem habeat eadem seruata suppositione, manifestum est. Nam A si minor est , quam B, C multiplicata superare potest eam B, quam C. Si itaque multiplex quantitatis A se perans B addatur ad multiplicem eiusdem A superantem αι et mul tiplex primae A maior duabus simul quantitatibus Bri C: ad quas pro pterea simul compositas Rationem habebit. Eodem modo, quocumque alio in casu, siue A alterutra , aut utraque Bri C maior ponatur, Rationem ad compositam ex utraque habere demonstrabitur ope de finitionis illius . Lib. s. Elem. Quare propostis tribus magnitudinibus&c. Quod erat probandum. Grassarium.
Minc etiam colligi potest quὁd si magnitudo aliqui Rationem habeat ad aliam
magnitudinem quae diuidatur in C in duas partes quarum una ad alteram Rati nem habeat: eandem etiam magnitudinem Rationem habere ad utramque partem BC&CD. Tunc enim tres erunt quantitates A, BD, d BC, auo CD seruantes hypothesim huius Propositionis,
Amuli segmentorum similium nullam inter se Ratio. nem habere possunt.
Hanc Propositionem, eiusque probationem obiter superius attigi Coroll. 1.Propositionis .sed praestat Idem in ordinem Propositionum reponere ut tota haec Angulorum contemplatio tradatur ordinatior,