장음표시 사용
61쪽
Cum vero mente intellecto super figurii BMAMC, eylia elaico recto ,. cuius altitudo GC,. intellecta erecta super B eum toto triangulo BGC, secto diagonaliter plano trankun- re per G, dc pet Β, semper rectangulum MPN, sit aequale re- F τ
62쪽
trinis nostrorum operum, figuram BOAOC, & truneum priΓ dictum, qui erit dimidium cylindrici praedicti, fore quantit res proportionaliter analogas;& idcirco , secari aequalitera centris aequilibrii ipsorum. Cylindri cum praedictum,cumstrunco , non exprimimus schemate, sicuti nec etiam ex priamemus in sequentibus propositionibus, in quibus sunt semis per intelligendi,ad fugiendum nimi uin laborem necessarium in talibus schematibus formandis. Sed lector assuetus do trinis nostris , praecipue in lib. a. de in .parab.notatis ciruca tales truncos, facile imaginationem iuuabit. Sed bene re colat pro . a. de Insim visat, huius tractatus. Cylindrici enim
di trunci, sunt intelligendi ipsorum ad normam. Porro quo talium semicylindrorum pol nus habore talia centra aequi Iibrii, patebit perlustranti nostra opera ι praecipue ρartem Ad eundam nostrι Misceli. Geomet. Habebimus ergo etiam infiniatarum figurarum BOAOC, centra aequilibrii in B C. Quibu cognitis,obtinebimus quoque mensuras infinitorum solidourum ex ipsis reuolutis tam circa KC s quan circa HB-. Hare consideret lector . Nos quippi haec solum tetigimust. vepraemitteremus uniuersalia haec ad solutionem duorum,qugnobis aliquando proposuit vir eximius, ac nulli Geometrae secundus Renatus Franeiscus S lusius Leodiensis, ut nostrae methodi periculum faceret . Pi imum propost uua era .
Sis data recta A B, ct in usa quaelibest punctum D; si atque. νι
quadratum AB, ad rectangulum ADB, si quadratum BD,aa quadratum DC; orsis semper quoarisque describ.uur cur ua ACB. Propon/tur inuenienda quadratura huius spatii
genitum ex Vsius reueluti die circa A P.
63쪽
Figura A e B , est aqualis dimidio semicirculi diametri
SVper diametro AB, fiat semieiretillisi & quadratum A F.
& dueatur E B ι D C , autem producatur usquo dum secet circumferentiam in G, rectam E B, in H, & rectam E F, in Κ. unia EA, AB, sunt aequales, ergo semper aequales BD, DH. Pariter semper rectangulum ADB, esta quale quadrato D G. Cum ergo sit semper ut quadratu ulla AB, seu ΚD, ad rectangulum ADB, seu ad quadratum D sis quadratum D B, seu DH, ad quadratum DC s erit etiam vi m, ad D G, sic MD, ad DC. Sed ratio ΚD, ad DC,componitur ex ratione ipsius ad DH, de huius ad DC ; & vtDMad DC, sic KD, ad DG. Ergo ratio m , ad DC, compone
64쪽
ε DE INFINITIS WPER LIT, quoque componitur ratio quadrati Κ D , ad rectangulum GDH. Ergo ut KD, ad DC, sic quadrarum KD, ad rectangulum GDH; nempe mente intellectis super quadrato A F.& semicirculo AGB, cylindricis rectis , quorum altitudo aequalis EA, sectis diagotialiter per puncta superius,&B , ut triangulum EAB, intelligarur eleuari supra AM sequadratumerectum super D , ad rectangulum GDH. Et hoc semper . Ergo ut omnia quadrata cylindrici super AF ,. ad omnia rectangula trunci dimidij cylindrici super semicire Iuuii nempe ut ipse cylindricus sirper AF,iata em truncum, se AF, adfiguram ACB. Sed cum prisara dimidium cyli driei super AF. sit ad tala truncum, ex senerali pror. Im ib. a. de infinit, ut cylindrus ex AF irca FB, ad annuis sum ex semicirculo circk eandem F B; iv consequenter i tus cylindricus ad dictum truncum, ut duplus cylindrus, aldictum annulum, μ' : et L. eiu Ii,.slataliscylindrus ad talem annulum, ut quadratum AF , ad semic irculum; & eo seq: uenter duplus cylindrus ad dictum annulum, ut duplum AP, ad semicirculum. Erit etiam AR ad ACB ut duplum AF, ad semicirculum a nempe vet idem: AF, ad medieratem semicirculi. Erit ergo ACB , aequalis medietati lamicisci uia Quod&c..
Notetur autem,quod dicta figura ACR quae est medietas figurae in prop.6.consideratae,est e meum ipsa proportion liter analoga i di cum semicylindro super semici De tante secto diagonaikeruvzsupra dictum est. Quarecentrum aequilibrii figurae appensae secundum; AB , secatit ipsiunitia eodem puncto, in quo seratur1Kentro maestuae figurariat grae, seu praefata semicylindri. i λI MDC
65쪽
FIantomnia, quae supra. Quadratum ex KD, ad quati tum ex DC, habet rationem compositam ex ratione irta, ad quadratum ex DH; siue quadrati AB, ad quadratum DB ι &quadrati DH, siue DB,ad quadratum DC; nempe ex datis, quadrati AB, ad rectangulum ADB. Sed ex his com ponitur quoque ratio biquadrati AB , ad factum sub oebo BD. ia AD. Ergo quadratum DK, erit ad quadratum DC. ut biquadratum AB, ad factum sub cubo DB, in D Ar nimiarum erit in ratione composita ex ratione cubi AB, ad catam DR,& AB ad AD. Bassi EA, & diametro A B , sit trilineum parabolicum euis bicum
66쪽
bicum EOBA . Ergo ut cubus I D, ad cubum DII ; siue ut cubus AB, ad cubuin BD, sic KD, ad Do . Quare ratio quadrati ΚD , ad quadratu in omposita erit ex lationibus
rationibus componitur ratio quadrati R D, ad rectangulum sub DO, HKl; ergo quadratium KD, ad quadratum DC, α ad rectanguium DO, HK, habebit rationes aequales. Quare haec plana erunt aequalia Sed intellectis ruper Ap, & super trilineo EOBA, cylindricis rectina quealiis altitudinis EA, sectis per FB, inferiorem, & superiorem parallelam EA, &in ipsis intellecto erecto super AB, trianguli3 EAB, rectan gulum ΚΗ, DO, est aequale re tangulo in trunco superiori. Ergo ut quadratum KD, ad quadratum DC, sic idem qu dratum KD, erectum in cylindrico super AF, ad rectangulum sub A H, DO, in dicto trunco. Et sic semper . Ergo ut omnia quadrata AF, regula EA; ad omnia quadrata ACB asiue ut cylindrus ex AF, cirea AB, ad solidum ex ACB, circa eandem, sic omnia quadrata cylindrici super AF, ad omnia rectangula praedicti trunci s nempe sie cylindricus ad truncum. Sed cyliudricus est ad dictum truucum ut duplus clalindrus ex F Α, circa EA, ad solidum ex trilineo EO BA, cita
ea EA, ex prop. a ciuib.a. de Ins parab. nempe ex prop. II, eius lib. ut o. ad a. siue via o. ad x. Ergo & cylindrus ex
Sed adnotetur. ostensum esse quadratum DC, semper sore aequale rectangulo sub OD, de sub KH, in trunco. Ex quibus elicietur truncum ipsum. & solidum ex ACE, fore quoque magnitudines proportionaliter analogas. Idcirco ce trum aequilibrii trunci appensi laeundum AB , & solidi secare AR . in eodem puncto . Sed ex pari. 2.Misceas eom. prost. a. fchol. r. centrum aequilibrii talis trunci in trilineo cubico sic secat B A, ut pars ad B, sit dupla rcliquae ι ergo sic quoqRQ secabit A A, ce ntrum praedicti solidi.
67쪽
Seeundum propositum a Slusio erat. sis data A P, is ini a quodlibetpunctam D, sitque ut qualibet potestas AB, ad somogeneam BD, sic qualibet alia potestas AD, ad homstgeneam DC ἷ ct cfemper quoad que riscriba-sur cursa BCA. Proponitur reFerienda quadratura huius Da-
αaadratum ex AR, est ad patiuis ACB, υρ rectangulum sub aggregato exponentium AB, AD, se sub aggregato exponentium' AB , o dupli AD, ad quadratum exponent ι AD.
V. G. si sit ut quadratum B A, ad quadratum BD, sie euisbus AD, ad cubum DC, aggregatum exponentium quadrati AB, & cubi AD, est 3.& aggregatum exponentium quadrati AB, & dupli exponentis cubi AD, est 3:& horum rectangulum est o. Sic quadratum exponentis cubi AD, est s. Est ergo quadratum A Q. ad dictum spatium, ut o. ad s. Et sic in aliis. Fiat ex M. quadratum AF, In quo ducatui diameter BE& DC, producatur in Κ, ut in schemate. Iam patet KD, AB aBD, DH; AD,ΚΗ, aequales fore. plat ut A siue ΚH,ad DC. ita ΚD, ad aliam DΟ, ad quam eam proportionem habeat , quaesit ea pars proportionis potestatis AB, sue KD, ad p testatem BD, sive FID, quae pars est simplex proportio Κ H . ad DC, proportionis potestatis ΚΗ , ad potestatem DC Explico in nostro exemplo, ut quadratum k D, ad quadratum D H, sic cubus h H ad cubum DC. Cum ergo simplex ratio h H, ad DC, sit subtriplicata proportionis cubi kH, ad cubum DC; nempe eius triens, habeat kD, ad D O, subintriplicatam proportionem quadrati v D , ad quadratum DH; nempe sit eius triens, siue subsquialtera proportionis . radicalis L D. ad DH. Et sie fiat semper;& per omnia puncta O,& per B E, transeat curua BOE. Patet figuram AEOB. Dre , vel unam ex infinitis parabolis, Vel unum ex infim-G tis
68쪽
se , DE INFIMTIS mPERROLIS, tis iii lineis illaro in infinitarum serierum, quas explieau mus in noctro tib. 3. deos Parab Si namque potestates AB,BD. e runt minores pote libus AD, DC ; BOEA, erit semipar la; si vero maiores trilineum. In nostro exemplo, erit se miparabola, in qua ordinatim applicata A E, siue KD, aia. DO, sit in subsesquialtera ratione AB, ad BD. Tunc. Ratio . KD, ad DC, componitur ex ratione DK , ad m, de huius ad DC. Cumque sit vi K H, ad , sic ΚD, ad DO; ergo rettio ΚD, ad DC componetur ex rationibus DK, ad ΚΗ . &DK , ad Do . Sed ex his rationibus componitur quoquo ratio quadrati DK ad rectangulum sub KH, DO; ergo erit. quoque ut ΚD, ad DC, sic quadratum KD, ad rectangulum sitit, ΚΗ , DO . Sed si mente super A F, & BOEA, concipiamus cylindricos aequealtos rectos , altitudinis aequalis EA, sectos diagonaliter per punctum inferius B,&in stipe riori per parallelam EA, in quibus etiam intelligamus erectum super A B, triangulum AEB, sit rectangulum ΚΗ, DO, aequale rectangulo in trunco superiori. Ergo ut ΚD, ad D C. sic quadratum ex R D, in cylindrico super AF,ad rectangulum
in trunco. Et sic semper. Ergo ut omnes lineae ad omnes incas, sic omnia quadrata ad Omnia rectangula. Ergo etiam
vi rectangulum AF, ad figuram BC A sic cylindricus addictum truncum . Sed ut cylindricus ad truncum, sic , ex tepaerat. prop. IO. generati ob a. de Insi Paras. duplus cyli
oriis ex L A, circa A E. ad solidum ex BOEA, circa AE . Et duplus cylindrus est ad solidum in ratione praedicta, ut elisitur ex nostris doctrinis Δε .de ina. Parab. Ergo patet Pr rosium. Quod&c.
Sed ut haec uniuersalissima doctrina clarius pateat, optumum erit exemplificare in uno , vel altero casu. Prius in priori supra polito. lain constat BOEA, fore parabolam, in qua ratjo ordinatim applicatarum sit subsesquialtera radicatIS. Ergo ex coraul. pyos. 8. tib. I .de Insin. Parab. FA ,
69쪽
DE INFINITI mPERBOLIS 3 est ad ipsam vi s. ad 3. Cumque erestre p. 2.lib. . . de In Parab. supposito D, centro grauitatis ipsius duplicatae sit quoquo BD, ad DA, ut . ad 3.&consequenter B A, ad AD, ut 8. ad 3. & dimidia B A, ad ipsam ut 4.3. et exprop. 3.eiusae ob. ratio cylindri ex FA, ad solidum ex BOE A. circa AE , componatur ex rationibus FA, ad ipsam BOEA: siue s. ad dedimidiae BA, ad AD nempeq. ad 3. & ex his eomponathrratio ad. ad s. Sic etiam erit unus cylindrus ad solidum . Quare duplus cylindrus erit ad soIidum di consequenteris , ad ACB, ut 4ο.ad s. Quae est ratio su pra tradria o. Mesupponamus sepe cubum AB ad cubum BD, ut qua dratum D, ad quistarum 1 CP gregariun exponentium potestathm AB, -exponentis AB,&dupli Eri est . Horum rectangshimhs. Quadratum AD, est . Erg debet esse ad figuram ut 3s.ad 4. Quoniam proin portio potestatum AB, B D, siue KD , DH , est sesquialier: proportionis potestatum AD, DC; ergo propor No aequalis simplici proportioni AD, ad DC, erit sesquialtera radicalis .ad DH. Et BOEA,erit trilineum parabolicum, in quo ra-
70쪽
s, DE INFINITIS WPERIOZIAtio BA, siue KD,ad DO, erit sesquialtera proportionis ad DH. Ergo exprop. 8. lib. s. ae In .parab. F A, erit ad diactum trilineum vis. ad a. Et danidia BA, erit ad AD sup posito D, centro aequilibrii trilinei ut 3 L ad a. Et cyli drus ex FA, erit ad solidum ex trilineo circa EA, ut x - aci . Et duplus cylindrus ad solidum; nempe F ad figuram. Π3I. ad . Sic experiemur in reliquis.
Sed adnotetur quoque truncum praerati cylindrici Belliter constare proportionaliter analogum cum figura ACB. Unde BA, secabitur in eodem puncto a centro aequilibrii di trunci, & figurae. Ex hoe haurietur haec generalis.
Centrum a uilibri,Mura AC b, aveo seundi- , Λ, sic se famorat in D, ut bD, sit ad DA, ut aggregatam exponem tinm , A, AD, cd duplum exposentis AD. V. G. si sit ut quadratum AS, ad quadratum BD. sic e bus AD, ad cubum DC. Aggregatum exponentiuma BA, AD, est s. duplus exponens AD, est 6. Ergo BD, est ad DA. vis. ad 6. Et sic in reliquis. 9 . Nam centrum praedictum D, idem est eum centro praediacti trunci. Sed exproρ. a. art. a. miseeli. Geom. ct ex pro' 3 ιγλ3.deIQ. Parab. elicitur fore in trunm BD, ad DA, WFA, ad duplam BOEA. Et cum exprop.8.6b.f. deInfra L pateat manifeste fore FA, ad duplam BOEA, ut aggrega in exponentium AB, AD, ad duplum exponeatis AD , Lin p*ςbis quoque propositum. is