De infinitis spiralibus inuersis; de infinitisque hiperbolis; ac alijs geometricis. Authore F. Stefano de Angelis Veneto, ..

51쪽

PROPOSITIO VIII.

Figura A e B, es aqualis dimidio semicirculi diametri

SVper diametro AB, fiat semieireultis; I quadratum A F.& dueatur E B ι D C , autem producatur usque dum secet circumferentiam in G, rectam E B, in H, & rectam E F, in Κ. unia EA, AB, sunt aequales, ergo semper aequales BD, DH. Pariter semper rectangulum ADB, est aequale quadrato D G. Cum ergo sit semper ut quadratu uia AB, seu ΚD, ad rectangulum ADB, seu ad quadratum D sis quadratum D B, seu DH, ad quadratum DC; erit etiam ut m, ad D G, sic MD, ad DC. Sed ratio ΚD, ad DC,comis ponitur ex ratione ipsius ad DH,&huius ad DC; & ut . ad DC, sic KD, ad DG. Ergo ratio ΚD, ad DC, compone tur ex rationibur Κλ ad DH ,&ΚD, ad DG . Sed ex his - quoquς

52쪽

Quum ergo detur ratio Omnium quadratorum ED, ad Omnia quadrata ABD ; quae est eadem eum ratione cylindri ad conoides; dabitur ratio biquadratorum BC, ad biquadrata DBC. Sic si DBC, sit semihyperbola cubica , paleis bit eodem modo dari rationem omnium cubocu Ortiniam, ad omnes cubocubos DBC. Et sic in alus.

SCHOLIUM V

Porro ulterius procedentes consideremus infinitas hyperis holas initio expositas. siue semihyperbolas ABN, quae intelligantur rotari circa secundam coniugatam diametrum ΚM. Iam inpνυ. 3. assignauimus rationem tubi cylindrici ex rectangulo GN, circa GB. tam ad annulum ex trilineo GAB, quam ad annulum ex semihyperbola ABN. Collegi

mus Diuitigeo by Corale

53쪽

mus enim has propoς ones ex iis,quas habet restingusum PN, ad trilineum APO, & ad si mirarabolam MN, eiusden e adus cum hyperbola . Nunc cogitemus rectangulum P E ω cuius ET ALIIS GEOMETRICIS.

54쪽

yROPOSITIO IT

Reaia Aom funt in sinit a fem/parabola unius intermedi de quibus loquati fumus initio lib. D de Insarab.

ociam quadratum N O, siue I p, est aequale rectangi

lo NBV, siue UT;& quadratum RF,est aequale recta gulo H S a; ergo ut quadratum NU, ad quadratura FR, sic rectangulum NBU, seu ENB, ad rectangulum HSa, sue Ea B. Sed, ex natura hyperbolarum . ut rectangulum ENB, ad rectangulum E 3 B, sic potestas AN, congruens hyperbolae , ad similem potestatem H 3 I nempe similem potestatem R ducta-R , parallela AN, quia aequalis IN, seu Ha. 9 Ergo & yt quadratum NO, ad quadratum FR, siue O , sic potestas AN, congruens hyperbolae, ad similem p testatem R 4. Sed ut quadratum NO, ad quadratum O4, sic potestas ordinatim applicatarum in dictis infinitis parabo: iis, ut experienti patebit,&iytς plicabitur. Ergo &c.

SCHOLIUM.

Si hyperbola fit Inearis, ve quadratum No, ad quadraῆtumo . sic AN, ad R 4. Sed sic in trilineo parabolieo qua draticos ergo AON, est tales nempe prima parabola ilIius seriei. SibyperboIa sit secvada, est yt quadrati NO, ad qui dratu

55쪽

ET ALIS GEOMETRI IS

ΑON, triangulum,& secunda illius seriei. In tertia, ut quadratum NO, ad quadratum o 4, sic cubus AN,ad cubum R 4,' ut in parabola intermedia inter triangulum, & parabolam quadraticam. Cum enim in ipsa sit No, ad O , in sesquialtera proportione AN, ad R 4; erit quadratum NO, ad quadratum O , in triplicata proportione AN, ad R ; nimirum yt cubus ad cubum. Et sic in aliis, Amantissimus Praeceptor noster Caualerius in exercit. q. schol. 4. adprop.34. fatetur non constare sibi rationes omnium cuborum quadrati circumscripti quadranti circuli, ad omnes euhos ipsius quadrantiS, illis verbis . De ratione tuborum nihil mihi eonstat. Constabit autem nobis, si sequentem uniuersalissimam Propositionem praemittamus.

PROPOSITIO V.

Sit rectantulum DC, eum qualibe emi stara ABC, qua roten λ tur circa BCiosolida rotu da genita secentur plano tram seunte

56쪽

sunt e per BC , erecto supra rectangulum DC , se femieuin dos ex DC, eu emisoodo ex ABC, obrentur ex BC. Momeniarum femi findri, ad momentum femi solidi, erit ut omnes ba rectanguli DC, regula AC, ad emaes cubos iam Grais is a eandem retulam.

recatur arbitrarie EGE, dc intelliantur semielacuIiriadiorum EF, FG, erecti plano DC, appensi eit F, secundum horizontalem EF ; de semicirculiradii ER, sit centrum

grauitatis in semicirculi vero radii GF, si celtrum πrausetatis Κ. Ostendunt communiter Mechaniri, qhorum' unux Caualerius emercis. . prop. s. duorumcunque enauiam a qui-ιuslibet distinιν s Doeno um momentariore in ratione composta ex ratione dissantiarum, se grauitae-U. Em rario mos

menti semicirculi rad ij EF , ad momentum semicirculi ra. dii G F c si hi sint suspensi secundum sua centra grauitatis Η Κ composita erit ex ratione grauitatis uni ad grauitatem alterius a seu magnitudinis ad magnitudinem s nempe quadrati EF, ad quadratum FG; & ex ratione HF, ad pKVed vi HF, ad FK, sic EF, ad FG quia HF, KF, sunt partes mortionales EF,FG, quia centra grauitatis in semicircuiant similiter posita. Sed hae duae rationes componunt mistionem cubi ad cubum .. Ergo momentae haec sunt ut dicti cubi .. Et sic in omnibus . Ergo & momentum sem scylindri ad momentum semisolidi, ut omnes cubi ad Omnes cubosis Quod &c..

Qotiescumne ergo' habebimus rationem' omnium cub rum rectanguli DC, ad omnes cubos semifigurae ABC, ne non rationem cylindri ex DC, ad solidum ex ABC, circa BC, si haec subtrahatur a priori,. reliqua erit ratio distantiae centri grauitatis semicylindri a recta BC,ad distantiam cenui grauitatis sumisolidi ab eadem. Et si subtrahatur ratio dista

57쪽

IT ALIIS GEOMETRICII

distantiarum tentrorum , reliqua erit ratIo solidorum Cumque ex supposita quadratura circuli detur distantia . centri grauitatis semicylindri, dabitur & reliqua. E contra si dantur rationes solidorum. & distantiarum , si hae addaatur simul, consurget ratio cuborum . Quam uniuersalis ergo sit praesens propositio, & quot centra grauitatis medietatum solidorum circa axim liceat assignare in infinitis conoidibus. & infinitis aliis solidis, ubdeat lector; nos enim breuitati consulentes, circa hoc nonuimoramur. Solum ex hac eliciemus sequentem notitiam Caualerio incognitam.

PROPOSITIO VI. 3

Omnes eubi rectantuli sunt ad omnes cubos quadrantis eirtuti sumptos , ut dictum est, ut rectangulum ad L qu.triantis.

58쪽

BC, ad momentum quadrantis sphςrae ex ABC, cirea BC Ratio momenti ad momentum componitur ex ratiore seomicylindri ad quadrantem sphericum,& ex distantia eius centri grauitatis a BC, ad distantiam centri grauitatis quadrantis sphaerici ab eadem BC, ex Caualerio ei ato. Sit L, centrum grauitatis semicirculi radi j AC; & conseque ter LC, distantia centri grauitatis semicylindri a BC. Itemst M, centrum grauitatis hemisphcrij ex ABC, circa AC ;& consequenter MC, distantia centri quadrantis spherici cirisca BC, ab ipsa BC. Ergo MC, erit AC, ut ostenditur a plurimis, & a nobis pluribus in locis. Ergo cuborum DC, rario ad cubos ipsius ABC , composita erit ex ratioue semicylindri ad quadrantem sphaericum, & ex ratione LC, ad MC. Cum vero ex prop.3. uniue fetu lib. 3. de In . parab. ratio cylindri ad hemisphaerium , & consequenter semicylindri ad 4uadrantem, sic composita ex rationibus DC,ad AZC, &imidiae AC, ad LC: ergo ratio cuborum DC , ad cubos ABC, composita erit ex rationibus DC, ad ABC: -ΑC: ad LC. &LC, ad MC. Quae duae ultimae cum faciant ra tionem - AC, ad MC; ergo cubi ad cubos erunt in ratione composita DC, ad ABC, & L A C, ad M C. Nimirum erunt ut tactum sub DC, in -- AC, ad factum sub ABC, in ,

MC.Nimirum ut factu sub a DC, in MC, aequale sub DC,&sub AC, ad idem factum sub ABC, & sub M C. Nimirum vi DC, ad ABC. Nimirum ut DC, ad L ABC. Quod &

SCHOLIUM.

Omnes ergo cubi DC, ad omnes cubos ABC, erunt proxime ut i Α, ad 8 I. Sed fi AGBC, esset quadrans ellipsis, quia hic proportio.

59쪽

I P, Qt ductae aequh remotae ab F, parallelae AF Quia h

niam triangula HAB, GAΚι sunt aequalia in omnibus:ldi per omnia; & duae AL, hinc itide sunt aeqnales et ergo &LN, hic inde erunt aequales. Quare additis ipsis N P, Ve sus B, &LP, versus Ciduae LP, erunt aequales duabus N P Cum vero sit ut LP,ad PM,sic NP, ad POι erunt & ut duae LP. ad duas Me, sic duae N P, ad duas ΡΟ. Et permutando. Sed duae LP, sunt aequales duabus N P; ergo&duae MP, erunt

60쪽

SCHOLIUM L

Ingesesi erso huiusce figurae facile cognoscimus, ludu- .las BMAOB, AOCMA, aequales fore, & proportio aliter analogas, adeo ut pVtes ad A,terminantes sint homologae. Centra ergo aequilibrii ipsarum appensarum secundum BR 'F secabunt eodem modo BR FC, ut partes ad F,terminatae, sol aequalas,& homologae. Insuper cum in strop. a. Iuster. δε In D. viris. ostensum sit rectangulum P F, esse ad lunulam BMAOB, ut duplus cylindrus ex HF, circa AF, ad solidum ex BMM. circa AFι erit etiam ut duplus cylindrus ad illud

SCHOLIUM II.

Intelligamus curvae BOA , aliam aequalem in omnibus &per omnii in attera amedietate fisurae AMCF. Sie genita erit quaedam figura AO Aι in quacum semper OM, sit aequalis MQ; curua AMC, erit diameter I & rectangulum F K, erit ad ipsam ut cylindrus ex KF, circa AF, ad solidum ex AMCF, circa eandem. Cum enim, ex supradictis, sit ΚF. ad ADCMA, ut duplus dictus cylindrus ad dictum solidum; erit EF, ad AOCOA,Vt duplus dictus :ylindrus ad duplum dictan solidum suempe ut cylindrus aci solidum.

PROPOSITIO VII.

Insci emate eorim es LP, ad PO, ut quadratum L P, ad rectan gurum MPN. Nam