장음표시 사용
401쪽
gitudo 'quanta latitudo Esto pro longitudine ii, latitudo erit 1 areat' a qua 188. ergo rq aequabitur 78 , cujus quadrati latus est 18 pro longitudine. latitudo igitur eritar: ut enim ad 3 sc 18 ad xi:&αῖ per ii faciunt 188.
comites duplos , quivis comes milites quadruplos habet ad
principum numerum. Militum autem -- principum numerum novies continet. dic numerum principum, comitum S
militum. Esto pro numero principum it, ergo unus princeps habebit ri comitum, & unus comes Al militum : ideoque ilprincipum habebit 2q comitum,& 2qcomitum 8 cubos militum. sed cuborum 8&9l aequatur ex thesi: ergo i q aequabitur ris,cujus quadrati latus est is pro numero principum. Jam vero is per 3o faciunt qyo pro numero comitum, & sopor 6o faciunt 27o oo pro numero militum. . Murus longitudine tripla sesquialtera ad latitudinem, altitudine vero quintupla ad longitudinem, redimitur in singulas perticas tot coronatis quot perticae sunt in latitudine: summam universi pretii est98o coronatorum: quaenam h
ius aedificii altitudo: quae longitudo 'quae latitudo ZEsto ii pro
longitudine, erunt igitur is pro latitudine&1lpro altitudine: ideoq; totum etdificium erit H . Jam vero I pertica redimitur ergo redimuntur-quae aequabuntur 98 o. ergo Ibq az-quabitur et oi,cujus biquadrati latus est 7 pro muri longitudine ,ergo ejus latitudo erit et altitudo 3I.λ8. Dux militiae quadratam aciem instruit,& milites reliquos habet 28 . deinde in singulos ordines militem adjicit, sed desunt ad quadratum explendum: quot igitur milites habet Esto pro uno latere primi quadrati ii, S quadretur. erit
igitur numerus militum i q 28 . Jam quadretur il I, quadratus erit i q-2l i. inde sublatis 2I, reliquus Iq-2l a. &Iq-284 aequabuntur. utrisque adde 24, aequabuntur Iq il
402쪽
&Il 3o8.utrinque tollesq,manebunt at & 3os aequa. Ergo Il&is aequabuntur. Jam quadratu se is est 237I6, ergo numerus militum erit 23716 28 hoc est 2 ooo, qui auctus αἴ erit quadratus C IFI.9. Dividantur si quadrifariam, sic ut additis quidem pri
mae parti 4,secundae ue: subductis autem,e tertia 2, C quartar,
compositi&residui subduplam rationem continuam habeant:quaeri tur quae sit pars prima Z quae secunda'quae tertia quarta ZEsto pro prima parte ii, cui si addantur 4,erit Ii q. sed reliquae partes in subdupla ratione continuae sunt 2l 8, i I5,8 4 32. ergo propositae partes secundum hypothesim erutil,2l s, i i8 & 8l- 33. earum summa est IIl - 16 aequa 9I. utrinque tolles6, manentis i & ues aequa. ergo Il& 24, 2l & l & si l & i8 aequabuntur. Quare prima pars fuerit et , si cunda mi, tertia 27 , quarta si . Hae enim partes simul additae sunt si: si primae addas , secundae 3: subducas autem e tertia 2, c quarta I, compositi & residui propositam rationem habebuntia Io Duo statuunt anulum emere so aureis,primus ait secundo, si dimidium numorum tuorum mihi dederis,solus c-mam: imo, respondet secundus, si tertiam partem tuorum mihi dederis,totum persolvam: quaero quot uterque numOs
habueritὶ R. Esto pro numis primi it, ergo numi secundi c-runt so- Ergo as s& so aequabuntur . utrinque tolle rhmanebunt &is aequa. Ergo il&3o aequabuntur. Quare pecunia primi erit 3o,secundi o. Nempe c3o est io,c o est
a Q. & so 2o sunt so, quam summam etiam constituunt o Io. Exempla superiora numerorum explicabilium fuerunt,
sequentia sunt inexplicabilium. II. Quadratus temporis multiplicatus pers facit 6o,quodnam est illud tempus 8 Esto pro tempore it, cujus quadratus multiplicatus per 1 facit sq ς qua 6o: go i q & i 2 qquabuntur: quare tempus quaesitum erit lia. huius quadratus cst Ia,qui
403쪽
multiplicatus per I facit 6o. 42. E duobus temporibus secundum primi triplu est, primique per secundi facit 3o, quantum est utrumque tempus' Esto It pro primo, ergo prosecudo erutuel. Jam ' per L facit uaequo 3o: ergo Iq & 2co aequabuntur. Quare tempus primum erit l2oo,&secunduli Sco.Jam et zoo& cli8oo sunt le&l72, a quibus factus est l9oo hoc est 3c.
De secunda aequatione. Cap. III. is Esse uatio secunda e tribus heterogeneis notam con
tinue proportionalium duos aeqzat uni, ut quadrato dimidio numeri medii valorem unius medii inveniat. Hic igitur medii figurati numerus semper dimidiatur,&& dimidiatus quadratur: tandemque valor unius medii quaeritur. Si maximi valor quaeratur, quoniam hic tres heterogenei notarum continue proportionalium sunt, cognito valore medii valor maximi in promptu est. Etenim aequati fuerint 72q&ibq 72o, & inventus unius quadrati valor fuerit 6o. Hic quia i ad 6o,hoc est per inventionem tertii continue proportionalis 6o ad 36oo est per thesim N periversi cap. ilib. sicut v ad q, hoc est ex thesi sicut q adbq,ideo erit ut 6oad 36oo sic q ad bq. aequalibus igitur q & 6o ex thesi, aequabu
tur quoq; bqS 36oo. Quare cognito valore medii, valor maximi in promptu est.
a. Hic unitas S minimi figurati nota, oe maximi num
Uerus est. Unitas minimi figurati nota est: sic eni a medii valor opora minimi cogi oscitur. Eademque maximi figurati numerus est:e tribus enim datorum figuratorum numeris aliquis unitas fieri debuit,ne eadem inventio pro Musdem medii valore infinitos numeros diceretidatis enim tribus inaequalibusn meris
404쪽
meris infiniti proportionales esse possunt. Nunc neque medii neque minimi numerus semper unitas fieri potest, quia tota haec secunda aequatio propter medii varietatem instituitur, & medius opera minimi cognoscitur. Hic igitur maximi figurati numerum unitatem facimus, auia sic eadem inventio ciusdem medii eundem semper valorem dicet.
3. Itaque imaximi figurati numerus unitas non erit, quoti numerorum per maximi numerum qivis pro figura
torum numeris sumentur. Sic pro aequatis 4q3l ri 7 eis proportionales sumemusiq-VS pro aequatis iri & eis proportionales sumemus I l &0Il.
De secunda ae litatione primi generis. Cap. IIlI. i. AEQuatio fecunda duorum generum e l. Primige
neris erit quae unum extremorum cateris aequat;
minimo ad quadratum dimidiati addito, latus additorum exquirit: Tumque a. Figuratis majoribus aequatis minimo, dimidiatum medii numerum tollit ex additorum latere.
Quippe inventus reliquus erit valor unius medii. Etenim aequati sumo i l. 8l & 6s. Hic dimidium ex 8 est ,cujus quadratus est i6: deinde i6 6s sunt si, cujus quadrati latus est si; unde subducto reliquus est y pro latere a quati quadrati. Quadrati enim si diagonalia sunto is & a qu tus quadratus: ergo latus quadrati si minutum latere quadrati i6, hoc est y ut diximus, erit latus aequati quadrati mam diagonalium latera partes sunt lateris totius quadrati.
405쪽
cia valor unius medii tunc non crit s. Etenim multiplica tq- 8l S 6, per 3, facies 3 4 - α l 5 i9I. Jam dimidium e 24 est i . cujus quadratus est i : deinde s i9; sunt 339,cujus quadrati latus est lues', unde subducto iὶ reliquus est major quam 1. Rursum si aequatos iq-8l& 6s per q,s, 6, 7 multiplices,eadem inventio totide Musdem medii valores dicet, quod at surdum est. Idem in sequentibus aequationibus demonstrari potest: quare ut eadem inventio ejusdem medii eundem semper valorem dicat, maximi figurati numerus in secunda a quatione semper unitas sit. Hoc ideo hic repeto, quia exemplum antea proponere commode non potui.
i. Qui sunt duo numeri rationis 3 quorum planus ipsis additus erit 1 2 Esto pro primo ii, inde concludes pro secundo, ut r3 ad sices addi am planus utriusq; erit J,&hu cadditis i totus erit aequalis i 2 , hoc est per 3 vers. 3 cap. tq l aequa 634. Nunc dimidius medii est 24, cujus quadratus est qui additus ad 634 est cujus quadrati latus
est unde tolle a 4 reliquus erit pro valore, unius lateris.
A tqui ut is ad 4 sic ad 6: & 6 per faciunt , cujus plani
additi ad 6&- summa est I 2 .et. Quidam peregro profecturus,i37o milliaria conficere statuit, primo autem die sesqui milliarium conficit, secundo amplius, & deinceps reliquis diebus simili differentia progreditur, quanto tempore totum iter absolverit' Esto ii pro quaesito tempore. Jam ii i per facit 'Pl. huic facto adde Atotus erit 2 pro ultimo progressionis termino. Item ad
addo , totus est b, qui perti facit VH qua j, hoc est
per 3 vers. 3 cap. tq- iri aequa i6 o. Nunc dimidium e i 7 est , , cujus quadratus 7: additus ad i6 o est i6ssa . a cujus latere si tollas q, manent hoc est iro pro quaesito terna, norum numero. Exemplum quod deinde habet P. Ramus de eo qui peregrinationem instituit tot dies quot is aureos habebat,
406쪽
bebat, falsum es meque enim hic summa per Algebram invetacum data convenit. Quare ad aliud transeo. 3. Quis est numerus cujus quadratus&auctus 8 S minutus 3 facit planum 69 ri Esto ii pro quaesto, ejus quadratus eritiq. tum exl l . 8&cXIq-3 planus erit Ibq--jq-2q aequa 69 2. utrique adde 2 , aequabuntur ibq sq&6966. Nunc dimidium medii sest an ejusquequadratum est : quod additum ad 6966 est cujus latus est . Praeterea est hoc cstri pro valore unius quadrati:&deniq; si 8, itemque 8r 3 sunt 89&78, quorum planus est 69 2 . numerus igitur quaestus est 9. Sequentia sunt αρ η'.
. Quas in partes secandus est 6 ut planus totius & segmenti sit arq ualis reliqui segmenti quadrato ' Esto ii pro uno segmento, reliquum segmen tum erit 6- il. quadratus primi segmenti est i l. planus totius & secundi segmenti erit 36 6la qualisi l. Adde utrisq; si, aequabuntur 36& i l sit. Nunc dimidium e 6 est 3 cujus quadratus 9 additus ad 36 cst 4s,cujus latus est i s. Quare valor unius lateris est i s 3. hujus quadratus est y li6eto,quem divide per 6,quotus erit 9-lqJ. quaesolae igitur partes erunt i qs 3α 9-lqs. s. In quas duas partes secandus est is ut earum planus per differentiam divisus faciat i7 ξ Esto pro majore parte l, minor erit i9-il:& planus ex iis eritisi i q. partium differentia est 2l-i9, perquam planus ibi iq divisus est aequa Q. Ergo per reductionem ad integras l- rq & 7ol 66s quai tur. Utrisque adde aq: aequabuntur igitur 3 l & 7ol Σq - 6 Rursum utrique parti adde 66s,aequabuntur inter se uer . 66s&7ol. 2q. utrinque tolle 38l, manent aequalia sit Σq&66s. Jam dimidium c is est 3,cujus quadratus 6 additus ad se ca396u, a cimus latere sublatus 3 est l396 pro majore parte. minor itaq; pars est a lis . Harum disterentia est li186 3s:
planus vero est i Deniq; si lyri ι ioer; dividas per
407쪽
3. Figuratis autem minoribus aequatis maximo dim diutum medii numerum ad Itius additorum addit.
Quippe inventus totus erit valor unius medii. Etenim a quati sunto 5 l. o S i l. hic dimidium z6 est 3,cuous quadratus est y. deinde 9 o cst 9, cujus quadrati latus est et, cui si addas 3,totus erit ro pro latere quati quadrati. Etenim χη ti quadrati diagonalia sunto 9 & 9, ergo ejus latus erit 3 7 hoc est io ut diximus: hujus causa est quia diagonalium latera partes sunt lateris totius quadrati. I. Quis est numerus cujus pars ignota si quadretur primum, deinde cadem cum parte cognita multiplicetur,eX utroque plano totus sit ii7 'Esto pro quaesto numero ii, pars ignota erit il- , cujus quadratus est iq l i6. tum rursus Cadem pars ignota il per ψ partem notam facit planiatri l-a6,quo ad quadratum addito habes rq laequa ii7. adde utrique part l,habebis l it 7 aequa i q. Nunc dimidium E est z, ejus ii quadratus Deinde iir est micujus latus esti 1,quod additum ad 2 est is pro valore i l. Jam seca Isin ' & 'hic quadratus e 9 est ii,deinde ' per facit ;6,& 8s 36 cst tir.
2. Duorum mercatorum serici primus o ulnas habet, secundus 'o. primus uno coronato vendit ulnae plusquam secundus : tumque venditione peracta ambo numerant coronatos 2,quaestio est quot ulnas singuli coronato vendiderint i Esto ii pro ulnis quas secundus coronato vendidit:pro primi itaque ulnis coronato venditis erit il- . Jam si uin ruin il venditur coronato,crgo ulnae o venduntur vel reductione ad integra F coronatorum: hqc pecunia est primi. Item si it ulnae venditur coronato, ergo 'o ulna: venduntur coronatorum: haec secundi pecunia est. utriusque
pecunia simul addita est aequa . Ergo 3so po&n6q- 1l aequantur. Utrinque tolle l, aequantur igitur 3 si so
408쪽
& osq: vel per 3 veri cap. &iq. Nunc dimidium est cujus quadratum est , quod additum ad Sest 3 pro valore unius lateris. Ergo secundus 3 ulnas uno coronato & primus 3 eodem pretio vendiderit Jam si 'et venduntur uno coronato, ergo o venduntur Iz:& si 3 vcnduntur quoque uno coronato,ergo 'O Venduntur so:denique ueo iunt 2. Hic
item inexplicabilis figurati quaestiones sunt,ut 3. Quis est quadratus cujus lateris quadruplo additis ri, totus ad ipsum quadratum sit ut 9ad Estoiqpro quaesto, erit igitur il pro ejus latere. Jam ut 4l xi ad q sic ex thesi s ad , ergo 'q & i6l aequantur, vel per 3 versa p.rq&Ρ aequantur. Nunc dimidiumve est cujus dimidii quadratuest tumque sunt cujus quadrati latus est th Ergo l- erit pro valore unius lateris, cujus quadratus csti Jam quadruplica imis facies , quibus si addas
2. I,totus erit i H, qui totus divisus per l-- dabit in quoto a nam ii dividas, per ,quotus erit et similiter si dividast per i quotus erit laboc est , veri .Ergo -- crit quadratus cimus lateris quadruplo &c. . Eduobus viatoribus primus quotidie io milliaria conscii : secundus triduo potaequitur, primoque die milliare iconscit ecundo et, tertio 3, & sic deinceps uno plus: q uanto tempore primum assequetu Esto ii dierum pro quaesto tempore, ergo it milliarium erit ultimus progressionis terminus: patet hoc pers Vers. cap. et lib. mes arithm. nail Iperi facital i,qui factus auctus a est i l. quare primus terminus M ultimus additi erunt ii i,a quibus facius per diseriti Is pro summamilliariorum a secundo confectorum. Primus item triduo antecedente confecit 3o milliaria r sed& deinde quot die decem milliaria conficit, ergo uno latere dierum tot milliariorum confecerit: quibus adde io, cruntiol 3o pro milliariis primi sic ' aequatur Iol bo. Utrinque tolle - , tua
409쪽
nebit u aequa 9 Hl 3o. Nunc dimidium eis este, cujus quadratus cst . qui additus ad6o est--,cujus latus esti' quod additum ad est l- - ergo quaesitum tempus crit fere dies ΣΣ. nam latus quadrati- est majus quam it,& e sunt set.
De secunda AEquatione secundi generis. Cap. V. .i F Quatio siecunda secundi generis e t quae extre
mos medio aequat; minimo subducto e quadra
to dimidiati, latus reliqui pro h pothesi dimidiato medio
Hujusmodi enim totus vel reliquus est valor unius medii. Etenim aequati sunto i l ri & lol. hic dimidium c io est y, cujus quadratus est 2I. deinde as ti est cujus quadrati latus est a. ergo inquam nunc I 2, modo I r, hoc est mod67,modb; erit valor unius lateris. Etenim quadratorum inaequalium 9& 11 diagonalia sunto,in oris quidem 2I- , minoris autem ;& diagonalium latera sunto is & 3 2. Hic quoniam Di diximus esse 3, consequens est ut 3 sints. Itaque μα& 3 2 hoc est r&s quadratorum latera sunt, illud majoris 9, hoc minoris as latera enim diagonalium partessunt lateris totius quadrati. Praeterea 9 est alterum diagonale quadrati ri ex thes, ergo ' quadratum est: nam diagonalia suo toti similia sunt. Ergos 2 hoc est 3 ut diximus, cum sit latus diagonalis sex thesi eritiatus quadrati. Ergo ta s- 2 quam I-2 latus qMadrati esse poterit: ideoque pro conditione quaestion iis liberuerit alias additionem aut subductionem usurpare, alias alteram tantum,ut ex subjectis exemplis apparebit. Hic igitur latus inventum quaestioni prudenter applicabitur, ne quid absurdi ex ea re existat. a. Duorum mercatorum panni ulnas ii habentium primus uno coronato tantum vendit, quanta est: ulnarum secundi.
410쪽
eundi,secundus autem eodem pretio vendit tot ulnas,quantus est numerus ulnarum primi, tandemque ex ista venditione ambo fecere coronatorum: quot ulnas singuli habuere' quot ulnas coronato vendidere Esto ii pro ulnis primi,secundus ergo habebit ii s ulnae. hujus Hest pro ulnis quas primus uno coronato vendit:ergo primus 1l ulnarum vendit Coronatorum. Praeterea secundus il ulnarum vendit uno coronato ex thes,ergo ii it ulnarum vendita Item 1 & sunt ' aequa ab factus igitur ab extremis 726- - 2 13 lfacto a mediis 38 N aequabitur. Utrisque a.
de 3sq, Jam γαμ 77q -i3 ιl & 381l aequabuntur. item utrisque adde i3αl, hic stri & 7r6 7rq hoc est per 3 vers. 3 cap. N - Iq aequabuntur. Nunc dimidium c est cujus quadratus est unde si tollas E, reliquus erit a, cujus quadrati latus cste, Piod additum ad est e pro valore unius lateris. vel etiam cujus latus e subductum relinquit a pro valore unius lateris. Si primi ulnae sinta tumii aeriinta pro ulnis secundi deinde ex a est e quare primus coronato vendet e ulnae: secundus autem eodem pretio vendet a. Si primi ulnae sint z tuas a sunt 9 pro ulnis secundi: deinde primus coronato vendet ulnae,secundus eodem pretio duas ulnas dabit. 2. Duorum mercatorum latici primus o ulnas habet, secundus 9o. primus unos oronato vendit ulnae plusquam secundus, tum venditione peracta ambo numerant coronatos t. quaestio est quot ulnas singuli coronato vendiderines Hoc exemplum antea per secundam aequationem primi generis explicatum nunc per secundam secundi generis explicabitur, ut simul appareat idem exemplum variis aequationi
bus explicari posse. Esto igitur il ulnarum pro ulnis quas pri
mus coronato vendidit: pro secundi ergo ulnis coronato venditis critii . Jam si ulnarum iliano coronato venditur, ergo'