Opuscoli di Leonardo Pisano

81쪽

usque in ι, scilicet 0, erunt passeres. Vel aliter ponam pro prima parte quincuplum deo , pro quo habebuntur perdices , et pro secunda parte ponam duplum do 27, pro quo habebuntur columbe 2 , et ex ipsis 288 remanebunt 24, que sunt duodecuplum de , pro quo duodecu-pl habebuntur turtures 2, relique uero que Sunt Sque in Caues, scilicet , erunt passeres et sic possumuSin similibus etiam et in consolamine monetarum et bigantiorum operari, quod quandocumque vel placuerit dominationi uestre liquidius declarabo. De compositione penιagon equilaιeri in triangulum

equi urium datum. Lim etiam solutionem subscriptae questionis, quam nuper inueni lime uestre correctionis transmittere. Vid licet cum in triangulo quicruri noto protractum sit pentagonum equilaterum, qualiter inueniatur longitudo ipsius lateris demonstrabo. Est trigonum a b c ηὶ, cuius unumquodque latus a b et ais sit 40, mensura et basis bis sit 42, et in ipso trigon protractum sit pentagonum equitat rum a. d. e. f. g, et uolo inuenire longitudinem uniuscuiusque lateris pentagori protraham primum in triangulo ab operpendicularem ara, que erit nota, cum nota sint latera

a b et bis, et erit longitudo eius , et li punctora superlatus bra protraham cathetum, i, que equidistabit catheιο ara quare triangulus similis est triangulo a bra, quare proporti os sicut proportio D ad bis , nec

82쪽

non et proportio ita ad di est sicut proportio his ad ara; sed his ex ara est l, quam et ita est b. Et est bra ex a , cum bis sit 30 et sit , scilicet me-

, Π dietas oc o, erit et ira Et quia latera pent gori a distisi sunt sibi inuicem equalia, si auferatur a d B ab , et a Dexi e remanebunt recte dis et me sibi imuicem equales sunt enim g fet de equales duo ergo recte e et C duabus b, et dis sunt equales, et angulus est angulo e b d est equalis, cum equicrurium sit trigonum ab G quare basis bis basi e fost equalis est enim braequalis ea unde si ex bra auferatur bis, et ex cra auferaturis , rem nobi fra qualis De His itaque omnibus intellectis, ω nam unum quodque latus pentagon rem, et erit era, dietas rei quare be erit 6 minus medietate rei, et aulamma dis a b scilicet rem de 40, remanebit dis 40 minus re, de quibus accipiam . et habebo pro catheto Graminus t ei Et accipiam rursus ex di et hah o ω nuc rei pro linea bri, est enim et bis 6 minus medietate

rei quare si auferamus bri ex bis remanebit mi, et sic erunt latera triangoli det nota, et quia angulus, s est rectus, erunt quadrata laterum equalia quadrato linis dis, quod quadratum est census, eum, esit res o quare multiplicabo, i, scilicet 8 minus 3 reicia se . uenient dramem et g census, minus rebus 2 et multiplicabo iis, scilicet i, rei in Se et ueniet ibi census, quam addam superri census et dragmis 64 diminutis e bus 3 2. et habebo , , census et draginas 4 diminutis rebus ' M, que equantur censui, scilicet quadrato lateria e unde si addidero utrique parti res rari et tollam ab utraque parte 4 census remanebunt census et res ν 2.

83쪽

que equuntur dragmis 64. t ut hec reducantur ad censum unum , multiplicanda sunt omnia que habentur per dira, et erit census et res 36, que quantur drag-mis V 82, et sic reducta est questio ad unam ex regulis algebre. Vnde si ad solutionem quesiti liquidius uenire uolumuS, ponam pro censu quadratum in cuius unumquodque latus sit equale lateri pentagoni supradicti, et ducam secundum rectitudino latera A, et m in puncta et sit unaqueque rectarum n metm 36, et diuidatur recta m o ad punctum in duo equa, et erit m 8; et quoniam quadratum , est

cenSus, erit latus mi res, et unumquodque laterum n metmo est 36 quare tota superficies nis est res 36, cui superficiei si addatur quadratum his, erit tota superficies

rectiangula census et res 36 que, ut Superius M. uer o inuenctum est, quantur dragmis j 82 ergo superficiesco est dragme j 82, que superficies prouenit ex stra in o sed i nequalis est recte , ergo ex ductu , in ι proueniunt 482, quibus si addatur multiplicatio ex qin se, hoc est ex * 48, egredientur ἰὴ 5 7 pro quadrato linee 4 de quorum radice, que est secundum propinquitatem 2 et minuta . st secunda 33 et tertia 5 et

quarta , si auferatur linea q, scilicet φ 8, remanebunt pro quantitate rei ι' , hoc est pro quantitate unius cuiusque lateris pentago et minuta 27, et secumda ι, et tertia 40, et quarta 50. Inueni etiam his diebus alias solutiones super similibus questionibus , quas dominationi uestre quandocumque placuerit destinabo.

84쪽

Modus alius soluendi similes quesιio S.ITem pono solutionem sequentis questioni per quemdam pulchrum modum. Nam questio talis est. Quinque homines denarios habent, ex quibus primus cum medietate denariorum secundi habet 42. Secundus cum k denari rum terti hominis habet 5. Tertius cum denariorum quaru habet 8. Quartus cum Menariorum quint habet 20. Quintus cum donariorum prim habet 23. Ponam hos quinque homines in ordinem, et sub unoquoque Ponam suam petitionem, ut hic cernitur.

45760 4 4268 3046 7428 493823 20 48 5 42

Quintus, Quartus, Tertius, Secundus, primus,

Et incipiam lira, qui sunt sub virga primi hominis, et multiplicabo 2 por 2 qui sunt super ipsum primum erunt 24, de quibus tollam multiplicationem de , quod est super 2 in b, remanebunt , que multiplicabo per 3, que sunt sub virga secundi hominis, erunt 27, quibus addam multiplicationem de quod est super 2 in quod est super 3 ductam in 8, que sunt super tertium hominem, erunt 5, que ducam in que sunt sub virga eiusdem terti hominis, erunt 80 de quibus tollam id quod prouenit ex ducto , quod est super 2 in quod est super 3 in quod est super , quod i 20, rema-

85쪽

nebunt 360, que ducam in , que sunt sub virga quarti hominis, erunt 800, quibus addam 23, que proueniunt ex duci quod est super 2 in η quod est super 3 quod N iamin 3 quod est supero, quod in quod est super , quodi 23, erunt 23, que multiplicabo peris, que sunt sub virga quint hominis, erunt 4938'. que seruabo super primum hominem, et operabor similiter in reliquis quatuor hominibus, uidelicet multiplicabo , que sunt sub virga, per 5, et tollam semel 48, et residuum multiplicabo per ι, erunt 08, quibus addam multiplicationem dera quod est super 3 in η quod est supero, ductam in 20, erunt 28, que ducam in , et tollam 23, que ueniunt ex uno quod est supero, quod in quod est super , quod i 23, ω manebunt 6 I, que ducam in , que sunt sub virga quinti hominis, erunt 3702, quibus addam 2, quo proueniunt ex , quod est super 3 in quod est supero, quod in quod est super , quod in quod est superi, quod in S, erunt 37 ι, que ducam in , que sunt sub virga prim hominis, erunt 7428, que seruabo super incundum hominem. Rursus multiplicabo , que sunt sub virga, per 8, et tollam semel 20, residuum multiplicabo per 5 et addam 23, que proueniunt quod est supero, in quod est super , quod. in 3, et totum illud multiplicabo peris, que sunt sub virga, erunt 4698, de quibus tollam 2, que proueniunt ex , quod est Supero, inra quod est super . quod in quod est super , quod in 2 reman6bunt 686, que ducam in , que sunt sub virga, erunt 3372, quibus addam i, que proueniunt ex

quod est super ι, inra quod est superi, quod in quod est superi, quod ii quod est super , quod in G, quod in

86쪽

5 sicin erunt 387, que ducam inra, que sunt sub virga, erunt 3046 , que seruabo super tertium hominem. Et cum eodem modo operatus uero in inuenctione quaru et quinqnumeri, habebo super quartum hominem 4 268, et super

quintum 45760 deinde multiplicabo 2 per 3, que pero, quo perra, que peris que sunt sub virgulis, erunt 20, et multiplicabo 4 , quod est super 2 in quod est smper , quod in quod est super . quod in η quod est super , quod in quod est superis, uenient 4 , quod

addam cum 20 , cum propositorum hominum numerus sit inpar, quia si esset par tolleretur, erunt 2 , in qu rum regula, que est j de 403, diuidendi sunt suprascripti numeri per ordinem, et habebo quantitates uniuscuiusque eorum, ut Superi u in questione cernitur. In sι0aιio unde proeeda inuentio suprascripta. M . - Ε si unde talis inuentio procedat' habere uolueritis, uobis illud tanquam domino uenerando, mittere procurabo. Soluuntur etiam similes questiones aliter, ut in libro meo denominato uestra Sapientia poterit inuenire. Et si super denarios unius cuiusque adderetur eadem pars denari rum reliquorum qu4tuor hominum, que additur in dicta questione unicuique de suo consequente, et haberet primus 2 Secundus 5 et cetera ut supra , tunc questio

esse insolubilis, nisi concederetur primum habere debiatum, quod . debitum esset 3. Secundus haberet

87쪽

Incipit liber quadratorum compositu leonardo M. ι-ω

pisano Anni. v. CC. XXV.

Cv Magister dominicus pedibus celsitudinis uestre, princeps gloriosissime domine F , me pisis duceret preSentandum, occurrens Magister Johannes panormitanuS, questionem mihi proposuit infrascriptam, non minus ad geometriam quam ad numerum pertinentem ut inuenirem numerum quadratum , cui quinque additis uel diminutis. semper inde quadratus numerus oriretur Super cuiuSquestionis solutione si me iam inuenta considerans, uidi. quod habebat originem solutio ipsa ex multis que quadratis et inter quadratos numeros accidunt. Nuper mlem cum relationibus pisis positis, et aliorum reddeuntium ab imperiali curia, intellexerim quod dignatur uestra sublimis maiestas legere super librum quem composui de numero, et quod placet uobis audire aliquotiens

subtilitates ad geometriam et numerum contingent , rememoran in mestra curia, it a uestro phylosopho su-

88쪽

prascriptam mihi propositam questionem , ab ea sumpsi materiam, et opus incepi ad uestrum honorem condere infrascriptum, quod uocari librum uolui quadratorum, ueniam postulans patienter, si quid in eodem plus uel minus iusto uel necessario continetur, cum omnium habere memoriam, et in nullo peccare, sit diuinitatis potiusquam humanitatis, et nemo sit uiti carens, et undique

circumSpectus. CONSIDERAvi super originem omnium quadratrorum numerorum, et inueni ipsam egredi ex ordinata imparium RScensione. Nam unitas quadrata est, et ex ipsa essicitur Primus quadratus, scilicet unum, cui unitati addito te nario facit secundum quadratum, scilicet L, cuius radix est , cui etiam additioni si addatur tertius impar num rus, scilicet , tertius quadratus procreabitur, scilicet , cuius radix est 3 et sic semper per ordinatam imparium

collectionem ordinata consurgit et Series quadratorum. Vnde cum uolumus II. quadratos numeros inuenire, qu rum additio faciat quadratum numerum , accipiam qua

lem uoluero quadratum imparem, et habebo ipsum pro uno ex duobus dictis quadratis, reliquum inueniam ex collectione omnium imparium, qui sunt ab unitate usque ad ipsum quadratum imparem. Verbi gratia, accipiam pro uno ex dictis duobus quadratis, reliquus habebitur ex collectione omnium imparium qui sunt ubi , scilicet do et 5 et quorum summa est 4 6, qui est quadratus, quo addito cum s egredientur 25, qui numerus est quadratus. Et si geometrica uti uolumus demonstratione, adiaceant quotcumque numeri impares ab unitate

89쪽

Per ordinem ascendendo, donec extremus eorum quadratus fiat et sint b, b c o , d e, e L et sitis quadratus, et quoniam e Vest quadratus, et a e est quadratus, cum Procreetur ex ordinata collections imparium a bet et Me, o totus a s numerus est similiter quadratus et si ex duobus quadratis a e et e fit quadratus a Item aliter accipiam aliquem quadratum parem, cuius medietas sit par ut 36, cuius medietas est 38, et Ru- .isu r- seram ab eo, et addam eidem egredientur et 19, qui sunt impares numeri et continui, cum nullus impar numerus cadat inter eos ex horum quoque addictione progreatur sic 36, qui est quadratus, et ex addictione reliquorum imparium, qui sunt ab uno usque in 45, procreaturio, ex quibus duobus quadratis procreatur 300, qui est quadratus, et procreatur ex collectione imparium numerorum qui sunt ab uno usque in 9. 2J Vel accipiam quadratum

l2 Nel margine laterale esterno ed inferiore dc rovesci della caris 49 de Codice Ambrosiano E. 5. Paris superiore, Si ad inveniendum ιures quadraιω numeros. Ex hac regula de collectione duorum numerorum quadratorum POS- sumus recolligere plures numeros quadratos et ut hec aperte uideamus, uolumus colligeressi quadratos numeros, quorum primus et secimdus simul iuncti faciant quadratum numerum, et super eorum tertio addito eueniat quadratus numerus, et etiam super addictionem predictorum trium . quarto numero addito fiat quadratus numerus, et superaddito quinto flato quadratus numerus. Ita exerceamus ponamus primus numeru eorum , et per dictam regulam inueniemus secundum numerum isto modo, quod

90쪽

numerum imparem, cuius tertia pars sit integra, ut i cuius tertia est 27 , et accipiam ipsum T cum duobus imparibus numeris, quibus ipse est medius, scilicet 25 et 29 et hi tres numeri coniuncti faciunt 84 , qui est quadratus, et ex aliis, qui sunt ab uno usque i 23, egredientur ιι, cuius radix est 2 additis ergo ιι cum exit summa collectionis imparium numerorum, qui sunt ab uno usque i 29, scilicet 225, qui numerus est quadratus, et est eius radix 45. Simili quoque modo possunt inueniri quatuor, et plures continui impares numeri,

ex quorum collectione procreatur quadratus numerus, et

x colligemus omnes impares numeros qui sunt abra usque in , qui nu- meri impares sunt isti , 3, 5, , et omnes insimul additi aciunt 46 pro secundo quadrato ita quod si addideris cum λ, habebis 25; et por suPrascriptum modum potest inueniri tertius quadratus, quod ponebis i in margine omnes quatuor impares numeros, qui sunt usque in M, qui sunt 3 3, 5 I, 9, 3, 3, 45 M. 49, 23, 23, et omnes additi faciuntu ηι pro tertio numero quadrato, et addo cum summa predictorum duo rum quadratorum, que est 25, habebis 46 pro summa trium quadra- torum, et isto modo inuenies quartum quadratum, ponendo omnes im- Pares, qui sunt abra usque in 69, et inuenies quartum quadratum esse 056, et summa predictorum trium numerorum superaddita, usu est 69, erit eorum summa 225, et isto modo , et ex predicta suma sicinu potest inueniri quintus quadratus, ponendo omnes impares numeros qui i sunt ab Lusque in 7225, et inuenies pro quinto quadrato eorum 43046544, cui quinto numero si addideris sumam isto predictorum quatuor, Mi hebis pro suma sic omnium 5 numerorum quadratorum 3053 69, et isto modo poteris plures quadratos numeros inuenire n. I semento segno uovas pressoria prima parota di questo passo de Codice Ambrosiano sopraccitato a sinistra di hi legge, ne margine laterale esterno tella suddotta cartara uerso di quesio Codice. Un segno a tutio simile trovas anche sopra te re primo lettere dolia parota Met- piamisella linea festa della me sima cartara uerso.