장음표시 사용
371쪽
3 I& in hemisphaerio inseribere figuras constantes ex Parallelogrammis, & cylindris, dessicientes ab ipsis desses hi quacumque data magnitudine minori. Cum autem sit parallelogrammum D E, ad semiparabolam BC E, ut cylindrus ex CF, ad hemispha rium, seu hemisphaeroides ex C F E ; erit etiam ut parallelogrammum D A , ad parabolam ABC, sic cylindrus ex AG, ad sphaeram, seu sphaeroides ex C F A. Probabimus secundo, parallelograminum V, g
372쪽
3sa INFINITIS PARABOLIS ETC. L E, esse ad F B M H, segmentum paraboIar ad diametrum, ut cylindrus ex H F, ad segmentum exH RF E; supponendo HE, esse partes proporti nales CA, basis parabolae, & diametri circuli, &ellipsis, quod semper debet intelligi.) Demonstratio
autem non erit diuersa a supra posita ; quia secando HE, in punctis proportionaliter, & faciendo priorem constructionem: nihilominus probabimus parallelogrammum L E, esse ad omnia parallelogramma in segmento hBM H, inscripta, ut cylindrus ex H F , ad cylindros ex parallelogrammis in H R F B, inscriptis. Et tandem probabimus modo Archimedco, LB, esse ad segmentum ipsum, Ut cylindrus ex H F, ad segmentum sphaerae ex seg mento HRFE. Non aliter demonstabitur esse L h. ad segmentum intermedium kOM H, ut cylindrus ex ri in ad segmentum ex segmento HI Sh. Quod etiam probari potest ex proposit. anteced. Qma cum sit ut LE, prima ad EB M H, secundam, sic tertia cylindrus ex H F, ad quartam segmentum ex seg mento HRFE, & cum prima , LE, & tertia cylindrus ex H F, supponantur sectar proportionaliter nam debet supponi e sie L E ad L h, ut cylindrus ex 'HL ad cylindrum ex H Qὶ itemque iiti E, ad segmentum ad diametrum EB OK, Vtcy lindrus ex K F, ad segmentum ex segmento KSFE- Erit ' LK, ad KO M H, ut cylindrus ex Hinad segmentum ex segmento HRS . Eodem
373쪽
Eodem modo patebit , esse DR ad HM C, ut cylindrus ex CP, ad portionem ex portione CRAE Nam DE, est ad EB C, ut cylindrus ex CF, ad hemisphaerium: item LE, est ad EB MΗ, viae lindrus ex HR ad segmentum ex segmento HRFE supponi autem debet esse ED, ad DH, ut CD Iindrus ex EG, ad cylindrum ex CP. Quare D H, erit ad HM C, ut cylindrus ex CP, ad posemionem ex portione CR H. Pariter, cum sit DA, ad parabesam, ut cylin-
374쪽
ut cylindrus ex CP, ad portionem ex portione C RH '. Si supponatur DA, ad AL , ut cylindrus ex AG, ad cylindrum ex AP, erit LA, ad portionem maiorem A B M H, ut cylindrus ex AP, ad portionem ex portione HRFA. Quod si iterum, CA, basiis, & diameter secentur proportionaliter in P, & ducantur parallelae, ut prius: faciliter ex dictis probabitur, LR, e ne ad segmentum Ilia MH, ut cylindrus ex ' P, ad segmentum ex segmento HRI P. Patet ergo Omnibus inodis probatum esse, DA, esse ad parabolam, tam secundum totum, quam secundum partes proportionales, ut cylindrus ex A G, ad sphaeram,
Ergo & per conuersionem rationis, erit D A, ad excessum ipsius supra parabolam , nempe ad trilinea, ut cylindrus ex A G, ad excessum ipsius supra sphaeram, vel latveroides, & hoc tam secundum totum,quam secundum parteS proportionales, m
375쪽
LIBER βVARTVS. . 33 F. togas iuxta sensum definitionis supra expositae. Item
quin eliciatur ex schol. pri. proposit.q. huius, semiparabolam quadraticam esse magnitudinem proportionaliter analogam , cum excessu cylindri suprae
suum conum; unde ex dictis ibidem,sacile post elici , totam parabolam quadraticam, e sse magnitudinem proportionaliter analogam cum excessu cylinis dri R C, in schemate illius proposit, pagina 3 3 ω'supra duos conos RBE, ABC, & duo trilinea, nempe excessum parallsogrammi supra parabola MVy a qua
376쪽
3 1 6 DE INFINITIS PARABOLIS ET
qu id raticam, esse magnitudinem proportionaliter analogam cum ipsis duobus conis R B Z, ABC; sequitur conclua posse, excessum praedictum cylindri supra duo, conos, parabolam, sphaeram,& sphaeroides, esse magnitudines proportionaliter analogas . Item duos conos praedictos, duo trilinea quadratica, &excessum cylindri circum scripti sphaerae, vel sph 1 roidi,supra lisc solida,esse pariter magnitudines proportionaliter analogas. Patet ergo ex dictis, qualiter habita ratione unius ex praedictis magnitudinibus circumscriptis, ad magnitudinem, cui circumscribitur, detur ratio reliquarum magnitudinum circumlcriptarum, ad magnitudines reliquas quibus circumscribuntur. V. Psi detur ratio cylindri circumscripti sphaerat, ad ipsam sphaeram ; ilat im patet haberi rationes, S cylindri ad excessum supra duos conos, & consequenter ad ipsos conos ἱ & parallelogrammi , ad parab
item patet qualiter ex uniuersalissima doctrina, probatum remaneat id , quod Lucas Valerius, &nonnulli alij particulariter probant. Nimirum, excessum cylindri supra conum, esse aequalem hemisis haerio, seu hemisphaeroidi in cylindro inscrIpto.
Alsertum autem hoc patebit unicuique considera ti, eundem cylindrum circumscribere haec solida,&ad ipsa eandem habere rationem. Hoc Vero,patet ex dictis, vel ificari tam secundum totum, quam secum dum partes proportionales . SCH
377쪽
o Praeter autem ea , quae in P senti proposit. pr Bata sunt de proportione parallelogrammi ad par Bolam quadraticam , & cylindri ad sphaeram, &c. etiam facile probari potest , quod si in schem. sequenti, C A, basis parabolae, & diameter semici culi, seu semiellipsis secentur proportionaliter in H, & per H, agantur H M P, HRQ, BE, TF, parallelae, &per puncta M, R, item aganetur EL, NO, parallelae CA; probari inquam Potest, parallelogrammum kH, esse ad portionem
parabolae M CH, Vt cylindrus ex parallelogrammo HN, ad portionem ex portione C RH, reuolutis utrisque circa C A. Qeod patet, quia facile patebit, esse H M, ad E B, seu ad H P; nempe parallelogrammum H h, ad H D, ut quadratum H R, ad quadratum E F, seu ad quadratum
HQs nempe ut cylindrus ex parallelogrammo
HN, ad cylindrum ex parallelogrammo HG. At supra probatum est, D H, esse ad M C H, ut cylindrus ex H G, ad portionem ex portione C R H. Ergo ex aequali, erit kH, ad MCH, ut cylindrus ex HN, ad portionem ex CR H. Eodem modo probabitur esse L H, ad portionem H M B Α .ut cylindrus ea H Ο, ad portionem ex portione HRFA.
Item probari potest, quod si secta H B, proportion
378쪽
DA INFINITIS PARABOLIS ETC. tionaliter in agantur ' s Τkr parallesar A E, , E F , item S X, T V 1 parallelae C Ar probati inquam potest, S in esse ad segmentum intermediuit is SM H , ut cyIindrus ex is V, ad segmentum ex segmento PT RH. Quam vero Decunda st doctrina: supra exposita , & quot possint deduci ex his, & ex traditis in primo libro, patebit in proposit. sequenti, in qua quamplurima explicabuntur circa partes sphaerae, & sphaeroidis. Ex quibus p rebunt quamplurima, quae traduntur sparsim ab AD
379쪽
Rationes cylindrorum ad maria segmenta phaerae, et phaeroidis assignare. - - h
OMnia, quae in hac proposi tio ne tradentur, potui lsent utique proponi per modum theoremarum , sed breuitatis gratia, statuimus ipsa sic ex-
Esto hemisphaerium, vel hem phaeroides BCF, cui sit circumscriptus cylindrus GF, qui cum hemisphaerio , vel hemisphaeroide sit sectus planoMQ, parallelo BF, plano ,& fiat vi CE , ad EO, se EO, ad R. Dico primo, cylindrum Gin esse .as poetionem N CP, ut tripla RE, ad excessum ipsius supra CE, EO, & R. intelligamus.CFL, nobis
representare semiparabolam quadraticam cuius basis CF; diameter EF; vertex F; ¶llelogram-mum ipsi circumscriptum sit CF, quod cm semi. parabola sit serti m linea O PQ, diametro EF, paralicta . Ergo ex proposit anteced erit parallelougraminum C Qi ad aperium C L QP. ut cylli drus Ciuin, ad Ox elauu Ipsius. sipra politos
380쪽
sso DA INFINITIS PARABOLIS ET . ad trapezium CL QP, ut tripla CE, ad CE
E O, & R. Ergo etiam cylindrus G Q, erit ad evi teessiim ipsius supra portionem N C P, ut tripla CE, ad CE, EO, & R. Ergo &per conuersionem rationis , erit cylindrus G Q, ad ipsam portionem
Dico secundo, praedictum cylindrum esse ad pri- dictam portionem N C P, ut quadratum C E, ad rectangulum C OE, cum duobus tertiis quadrati C o. Cum enim probatum sit G Q , esse ad excensum ipsius supra portionem N C P, ut tripla CE, ad CE, Eo, & R. Ergo ducendo omnia in C Erierit G Q, ad praedictum excessum, ut triplum quadratum CE, ad quadratum CE, cum rectangulo CEO, & cum rebangulo CE, R nempe cum
quadrato Eo. Ergo per conuersionem rationis,
erit G Q, ad portionem N CP, ut triplum quadra- tum C E, ad excessum ipsius supra quadrata CE,
E O, & supra rectangulum C EO. Ergo & ut tem riae partes horum planorum; nempe ut quadratum CE, ad tertiam partem praedicti excessus. Sed te tia pars excessus p dicti , est aequalis rectangulo COE, & duobus tertijs quadrati CO, ut statim pro- habitur. Quare &c. Quod &c. Assumptum sic patebit. Nam triplum quadratum C E, excedit quadrata CE, EO, &rectanguintum CEO, tribus rectangulis COE, & duplo quadrato C o. Quorum tertia pars est rectangulum.