Archimedis De iis quae vehuntur in aqua libri duo

41쪽

A RCHIMEDIS

pia est,aut minor, quam dupla. Sit autem p t dupla t i.erit centrum grauitatis eius, quod est in huntido, pulictium t.

Itaque iuncta t f producatur; sitq; eius, quod extra humidum grauitatis centrum gi & a pluieto b ad rectos angu lo ipsi ii o ducatur br. QSod cum p i quidem siti aeqvii

dii aias diametro n o: br autem ad diametrum perpendicularis .& fb aequalis ei, quae usqtie ad axem: persi icti uiri est f r productam atqtiales facere angulos cum ea, quae sectionem a pol in puncto p contingit. quare&cum a S:& cum siti perficie litimidi . lilaeae autem ductae per i g aequi- distantes ipsi s r, erunt&ad humidi situperficie pC pcndicularcs : δc solidia pol magnitudo, quae si intra humidum sursunt feretur secundum laCTpCn

dicularem per i duetam;

quae hiero extra humiduin secundum eam,quae pergΓ deorsiuna feretur. reuoltIeriar ergo sblidum apoll& basis ipsius nullo modo humidi superficiem con-ringet. At si pi lineam hodnon secet, ut in secunda figura; manifestum est punctum t , quod est centrum grauitatis demeris portionis, cadere inter 1' & i: &reliqua similiter demonstrabuntur.

COMMENTARIVS.

A Demonstrandiim cst non manere ipsam portionem, seducta oliti ira, ut basis iii illo modo stuperficiem humidi con tingat . J Haec nos addidimus tauquam ab interprete omisa. Itaque

42쪽

DE IIS QUAE UEΗ. IN AQUA . I8

Itaque quoniam n o ad f o maiorem thabet proportio nem, ἰἰ2m ad Cam, quae iis que ad axem.) Habet erum diameter psi tionas n o ad ses proporsiouent caius m 7; et in quindestim ad qt ansor; ad eam Mero, qIue usque ad axem niniorem propo, tronem habere ponitur, quam quindecim ad quatuor. quare n o ad fet 1 naiorem habebit proportionem,qrsam ad eam,quae t qae ad aXem: edi propterea quae usque ad axem ipsa f ω maior erit. Quoniam ergo in portione a pol, quae continctur ΓOcta lutea, & rectanguli coni sectione, quidem ί equidi stans est is,si a l; p i uero diametro aeqtudistat; si Catiirq; ab ipsa ho inli : & a c aequi distat contingenti in p: Iaucessarium est ipsam p i ad p ii uel eandem proportionem habere,qtiam liabet ia D ad G o, uel maiorcio. hoc enim iam demonstratum est J Vbi hoc demonstratuan sit uel ab ipso Archimede, uel ab alio, numulum apparet, quo fit canos demonstra tionem aferemus,posteaquam non nulla, qme ad eam pertinent explicat erimuS.

LEMMA I. Sint Iineae ab, ac angulum bac continentes: G apuncto d, quod in linea a c sumptumst, ducantur d e,ds utcunque ad ipsam ab . Sumptis uero in eadem Itanea quotlibet puntiis g l, ducantur g b, Im ipsi d eaequidissamesi in aequid tantes j d. deinde a punctis d, g usque ad lineam m l ducantur, do ρ quidem Iesians eb in O g q, quae aeqvidι;sent ipse b a. Dico lineas, quae inter aeqvidi sanies iψ f d ad eas, quae inter aequi iij antes d e interilaiuntur, uidelicet L nadg q,

i . quinti

43쪽

adse,ita a I ad kies per conuersionem rationis ut af ad a e, ita a ad ab . eodem modo Glendetur , ut af ad ae,ita an adam. D. quInti cum igitur an ad am sit, ut a ad ab; erit

reliqua Di ad reliquam b m hoc est ad g q, uel op , ut an ad am; hoc est ut a fati ae. rurgus, a ad ab en, ut af ad a e. ei go reliqua s ad e b reliquam , uideliset ad tio, ut af ad ae. Similiter demonstrabi-Imus ita fefn ad d p. quod quidem demonstra

re oportebat.

LEMMA I L. Sint in eadem linea a b punctἰa duo r s ita di posita, ut as ad areandem proportionem habeat, qMamas ad ae: Q per r distatur ri ipsi ed aequidi flans; per s uero ducatur si aequidiflans f , ita ut cum ri int punicto conueniat . Dico punctum teadere in lineam a c.

Sa enim fieri poteti,cadat citra O producatur ri usque ad ipsam ac in v. demd per uducatur ux ipsi fis aequi lisans. Itaque ex ijs, quae proxime demonni auimus ax ad ar

44쪽

eam proportionem babebit, quam a s ad ae. Sed O eandem habetas ad ar. quare as ipsi a x est aequalis, pars toti, quo fieri non potest. Idem absurdumsequetur, seponamus punctum t cadere ultra lineam a c. necessirim i igitur est , ut in ipsam ac cadat. quod demonsrandi proposuis s.

LEMMA I I I. Sit paraboli, cuius diameter a bet atquε eam cotingentes re blae lineae ac, bd a c quidem in podio c, bd uero in b: V per e ductis duabus lineis; quarum altera C e

aequidisantes bii: per m uero ducatur m no ipsi aeae quidi lans, quae diametrumsecet in o: σπ pern du Elan ρ usque ad diametrum, ipsi bd aequi liniet. Dicobo

ipsius g b duplam esse.

VEL igitur linea mno secat diametrum in g , uel in aliis puniactis: O si quidem fecitim g , unum atque idem pun tum duabus f toris g o notabitrer. Itaque quoniam ID, pn, hem sibi ipsis aquidi tanto est ipsi ac aequi distat mno: sient triangula asse , opn, obm inter se similia. quare erit ob ad hm, ut af ad j c: O permulando o h ad af, si h m ad se. en autem quadratum h m ad quadrat gi, ut linea bb ad lineam bg, ex uigesima primi libri conicorum: quadratum gi ad quadratum fc, ut linea gb ad ipsam bs: funtq; bb , b g, bflineis deinceps proportio uales er goedi quadrata hui, gl, D, est ipso Π latera proportionalia erunt . atque idcirco ut quadratum bm ad quadratum gi, ital

45쪽

conicorum. ergo

est dupla. quod demonstrare oportebat. LEMMA III I.

Iisdem manentibus, V apnnesio inducta mq usque ad diametrum , quae bellionem in puncto m contingat; Tico hq ad qo eandem proportionem habere , quam bab t gh ad cn.

FIAT enim br deqstalis g f. cum triangula assiopn similiasint, Op n sit aequalis f c; eodem modo demonstrabimus po, fainter se aequales csse. quare po ipsus I b dupla erit. Sed G bo dupLig b. ergo Od reliqua p b reliqua: fg; uideli et ipsius r b est pla

46쪽

DE IIS QUAE VEII. IN AQUA .

uersionem ratio

nis erit b h ad

His igitur explicatis, tam ad id, quod propositum' a

rat, accedamus. Itaque dico prim in ne ad c k eandem proportionem habere, quam bg adab. ut 'niam enim b q ad qo est,us h g ad c ii, hoc est ad sto ipsi

47쪽

b a demantur, remanentia aequa lia erunt . ergo

dempta h g ex duabus lineis hb, b g, relinqui tur dupla ipsius h g; boces o hi dempta ps f h, reliqua enb p . quare o hadbp, est ut g qad q a. Sed ut

Stimatur deinde aliud quod uis pun tam in fictione, quod sit se ου per s duae lineae ducantur: si quidem aequidi,tans ipse d b, diametrumwin punctio i secans;

s u uero aequi distans ac, G secans c e in v . Dico u c

ad c majorem proportionem babere, quam t g adgb.

48쪽

DE IIS QUAEVE A. IN AQUA .

Producatur enim /ss ad lineam qm in x: ω ὰ pancto Y ducatur ad diametrum xy ipsit bii teqstiditios . erit gi minor quamg7, quoniam us minor est quam Isae: ω primo lemmate 3 ad ut erit,ist bg ad n c ; uid licet ut Ab ad ch. , quod proXime demonstraui ιs: perinlitando 'g ad gb, ut v c ad c L . Sed i gcumsit ipsa γ g minor, babet ad Ab proportionem minorem, qHὰm Fg ad eandem. ergo uc ad c K Maiorem proportione habet , quamig ad x b. quod demonstras eo portuat. Itaque positione data x Kunnm duntaxat erit iu sed tione podium, uidelicet ni, a qΗo duo lis duabus lineis Mob, mno, habeat nc ad c Κ proportio rem ean dem, qu hg ad Ab . nam si ab alijs omnibus ducantur, semper ea, quae ini r ac, ct lineam ipsi aequidis tautem interjcitur, ad c Κproportionem maiorem habeb Gquὰm qitie inter g Κ atque ei aquidistantem, ad ipsam g b. Consat igitur id, quod ab Archimede dia tumen ; nempe lineam pi ad ph uel eandem, quam nod ad Mo , uel Maiorem habere proportionem.

Quare ph ipsius hi aut dupla est, aut minor quam dupla. 4 Siqi ideminor, quam tu

ἰI. Prit centrum grauittitis eius ,

quod in humido αen, punctum t. si

uero ph sit ipsius h i dupla ,

erit b grauitatis centrum: du laq;

b f, ct producta

ad centrum eius, uod en retra humidum, uidelicet ad g , alia milliter demonnra initur . atque idem intelligendum eri in propositione , quae se

ps itur .

Re uoluetur ergo Elidum a p o i , de basis ipsius nullo

49쪽

modo hum idi superficiem continget. J In translatione Iergebatur ut basis inius non tangat superficiem humidi secundum

a uallo G, alia eiusmodi. PROPOSITIO VII.

R g c T A portio conoidis rectanguli, quando leuior litimido axem habuerit maiorem quidem quam sesquialterum eius, quae usque ad aκem ;minorem uero, quam ut ad eam , quae tisque ad axem proportionem habeat, quam quindecim ad quatuor: in humidum dem illa, adeo ut basis ipsius tota sit in humido; nunquam consistet ita, ut basis contingat humidi superficiem: sed ut tota in humido sit,& nullo modo eius superficiem

contingat. SIT portio qualis dicta est: & demittatur in humidii,

ut diximus, adeo ut basis ipsius in uno pu11cto contingat humidi superficiem. Demonstrandum est nΘn manere ipsam: sed reuolui ita ut basis superficient humidi nullo modo contingat. Secta enim ipsa plano per axem, recto ad si1 perficiem humilli, sectio sit a p o l rectanguli coni sectio: iuperficiet hii iiii sectio sit st: axis portionis, & sectio nis diameter p f: seceturq; p f in r quidem ita ut rp sit dupla ipsius rf ; in ia autem ut ps ad rω proportionem habeat, quam quindecim ad quattuor:& ivli ipsi ps ad re

ctos angulos ducatur erit Psi minor, quam qine usique ad axem.Itaque accipiatur et,quae usque ad axem a qualis r h: dcc Ο

50쪽

D E IIS QUAE VEH. IN AQUA. 2 a

dc c o qtii deducatur Col tinges siectione in O, qum ipsi s I aequi dis et ;n o autem aequi di

que in pu et oi similiter ut insiti periori bus demonstrabitur no, uel sesquialtera ipsius o i, uel maior, quὰm sesquialtera. Sit autem o i minor, qu am dii pia ipsi iis i n: sitq; o b dupla b 1a: & disponantur eadem , quae supra. Similiter demonstrabimus, si1 ducatur linea r i, facere eam angulos rectos cum linea c o, & cum superficie humidi. quare a punctis b g lineae ductae ipsii r t aequi distatos, ctia ad humidi stipersa

cie perpedicularcS erunt. portio igitur quae est extralium idii de orsi in seretur secundum eam perpCndi Cularem, quae per l, trala sit; quae uero intra humi dum secundum eam, qlim per g si arsiam feretur . ex quibus constat reuolui se

lidium , ita ut basis ipsius nullo modo humidi uiperficiem contingat: quo 13 iam nunc in uno puncto contingens deo tum se io. quinti