Archimedis De iis quae vehuntur in aqua libri duo

51쪽

ARCHIMED Istur ex parte l . Quod si ii o non secuerit ipsam α, k, eadem nil illotuinus demonstrabulatur.

PRO DOSITIO VIII. RECTA portio conoidis rectanguli, quando axem habuerit maiorem quidem , quam sesquialterum eius, qinae usque ad axem; minorem uero, quam ut ad eam, quae Usque ad aXem propo tionem habeat, quam quindecim ad quatuor: si in grauitate ad humidum habeat proportionem minorem ea, quam quadratum, quod fit ab excessu, quo agiS maior es quam sesquialter eius, quae

usque ad axem, habet ad quadratum, quod ab axe: de milia in humidum, ita ut basis ipsius humi

dum non contingat; neque in rectum restitu tur, neque manebit inclinata, nisi quando axis

cum superficie humidi 'angulum fecerit aequale ei, de quo infra dicetur.

SIT portio qualis dicta est ; si tque b d lectualis avi: &bic quidem dupla ipsi tus Kd: r Ic uero aequalis ei, quae usque ad axem :& sit c b scsqilialtera br. erit& cd ipsius A siesquialtera. Qtiam uero portionem habet portio ad humidum in grauitate, habeat quadrati titi sq ad quadra tum d b: &sit f dupla ipsius q. perspicitum igitur esst sqad db proportionem minorem habere ea, quam habet ch ad bd. est enim ci, excessiis, quo axis maior esst,quam B sesquialter eius, quae usque ad axem: quare fq minor est

ipsa

52쪽

DE IIS QUAE VEH. IN AQUA. 13 ipsa b c :& idcirco finitior ipsa br. sit ipsit saetitialis r Cducaturq; ad b d perpendicularis 4. e, quae possidclimidiu eius, liuod illacis r,4 b continetur :&1ungat urbc. Demonstrandum est portionem in humidum demissam, si1 Cu- , ii dictum est, contistere inclinatatii ita, ut axis cuna superficie humidi angulum faciat angulo eb arqualem. demi latur enim aliqua portio in hiimidum, ut basis ipsi ius humidi superficiem non Contingat: si fieri potest , axis cum superficie humidi non faciat angulum aequalem angulo et, 4 ; sed primo maiorem .secta aute portione plano per

perficiem humi di, sit sectio a pol rectanguli conisectio : sit perficiei humidi sectio Ys: sitq; axis portionis , & sectiois dia

n o perpendicularis. sit praeterea br aequalis o m. itemq; Dr k ipsi tue :& perpendicularis ad ax m. Ita illo quoniam ponitur axis portionis cum sit perficie litimidi facere angulum maiorem angulo b: erit angulus pyi angulo b Emaior . maiorem ergo proportionem habet quadratum

p i ad quadrataim y i, quam quadratum e 4 ad 4b qua- Fdratum. Sed quam proportionem habet quadratum piad c Hadratum i y, eandem linea k r habet ad Eneam i y i ,

53쪽

G & quam proportionem habet quadratum e 4 quadra tum 4 b, eandem laabet dimidium lineae 4 r ad linea 4b 73 qx in quare maiorem babet proportionem adi y, qtiam di

ε midium h r ad 4 b: & idcirco i y minor est, quam dii a

d. b. est autem ipsius o i dupla. ergo o i minor est, quam K Q. b: & i uinior, quam 4 r. sed 4 r est aequalis ipsis maior igitur est i D, qu:im f.& quoniam portio ad humidum in grauitate eam ponitur habere proportionem, quam qua dratum f q ad quadratum b de quam uero proportionem habet portio ad humidum in gratuitate, cam habet pars ipsius demersia ad totam portionem: & quam pars ipsius de mersa habet ad totam, candem habet quadratum p in ad quadratum o n: sequitur quadratum p m ad quadratumo 11 eam proportionem habere, quam quadratum sq ad

b d quadratum . . t L atque ideo 1 qae

qualis est ipsi p I11. M deniostrata est autem p h maior , quam s. costat igitur pin minorem

esse, quana sesqui altera ipsius p h:

iorem, quam duplam 'lim . Sit 1 g. ipsius χ m dupla. erit i quidem ce-tru grauitatis to- tius solidi: centruetus partis,quae intra humi .lum,punctuna 2: reliquae Irero N partis centrum erit in linea At producta usque ad g. Eodemodo demonstrabitur linea th perpendicularis adstipe

siciem laumidi. portio demersa in humido feretur extra. humidiim

54쪽

humidum secundum perpendicularem, quae per g adhu midi superficiem ducta fuerit: quae autem est extra hirmi dii in secundum eam, quae per g intra hu1Didum seretur. noergo manebit portio sic inclinaca, ut ponitur: sed neque restituetur recta: quoniam perpendicularium per χ g dtietarum, quae quidem per et ducitur ad eas partes cadit,in quibus est I;&qine per g adeas,in quibus est a. quare sequi tur centrum et sursum ferri: & g deorsum. ergo parteS totius solidi, quae sunt ad a deorsum, quae uero ad l sturtium serentur . Ruris alia eadem ponantur: axis autem port1onis cum superficie humidi angulum faciat minore eo, qui est ad b. minorem igitur proportionem habet qua

diatuin pi ad quadratum i y , quam quadratum e ad 4 b quadratum: quare kr ad i y minorem proportione habet, quoim dimidium h r ad Q. b: de propterea i y maior est, quina dupla Q. b. est autem ipsius o i dupla. ergo o iipsa vi h maior e

sit aequalis, Costat p in maiorC esse, quam sesquialtera o

duplam h m. Sit p a ipsius Z m dupla. Rursus totius quidem sblidi centrum grauitatis erit puctum t; cius uero partis, quae intra humidum Z: & ius acta a t inueni

55쪽

tur en reum grauitatis ciuS, quae extra limini dum in pro P tracta, quocuit g. Itaque per zg ductis perpendicularibus ad hiunidi superficiem, qtuae ipsit th aequi distent,sequi trir portionem ipsaminon manere, sed reuolui adeo, u ta diis cum superscieiunitidi angulum faciat maior C eo, quem nunc facit. Et quoniam criantea posuistem' facere angulii maiorem angulo b , portio neque tuC

Cliti est ipsiain con a si silere, si angulum1Ccerit angulo b

aequalem. Sic C . .

partis, quae est ii 'humido, per eandem perpendicularem, re 1 sta sursum,& quae extra est feretur deorsum . mane biti igitur portio ; quoniam altera pars ab altera non re pelletur.

COMMENTAR IV S. A E T sit c b sesquialtera b r. erit & c d ipsi iis Ic r se'iii

altera. J Intranslatione ita legobatisi . sit autem e ' ob quidem hensiolui situs br: c d autem ipsilas X r. Sed nos quod potir oloco it gitur, idcis corrigendum duximus, quoniam illud non ponitur ita esse sed ex iis, quae positasunt, necessario colligitur. y euim

56쪽

vlahepaen br, sequi 'reli psam c d ipsius Q r, hoc ductus,qus quintitisque ad axem sesqui, iteram esse . quare b c crit excesμs , quo axis maior est, qnim si 'Mialter cil , qt ce usque ad axem . . Quare fq i Dinores ipsa b c. J Nam cum portio ad hi i- Bdt ingrauitate proportionem habeat eaudem , qIιὰm quadratum fm ad quadratum db: habeatq, minorem proportionem, quamqHadratumDLIimal excelseu, quo axis maior est,quimbes nitur eius, quae usque ad axem, at quadratum ab axe; hoc est minorem, qua u. quadratum cb ad quadratum id : ponitur enim linea b d aequalis axi: quadratum D ad quadratum d b proportionem miuorem ba . . bebit, qu2m qu dratum,cb ad idem bd qmidratis Mergo quadra S. quinti.

t/ιm fm minus erit quadrato cb: Oprqpterea linea Ira ipsa b c

minor . .

ipsi brminor erit. i

Itaque quoniam ponitur axis portionis cum stiperficie L, luimidi ficere angulturi maiorem. angulo b: Crit angulus .pyi angulo b maior. J tmcu; nilitea py superficisi humidi . . .equidistet uidesit et ipse X s: angulus p 3ti squalis erit angulo, qΗi. 19. prim i

Maiorem igitur in oportionem habet quadratum p i ad Equadratum i y, quam quadratum b quadratu .J . . . . Describanturseorsum triang ιla piγ, e δ b. 9 cum angulus p Ii maior sit angulo ebo, ad lineam i3 iate Mad puncimn F mea da tum sat angulus uγ i aequalis ai gulo e D 4 . est autem a1mdus adi renus aequalis recto ad 4. reliquus igitur 3 ut reliquo b c aequalis . quare linea ui ad lineam i3 eandem proportionem ba- ψ. sexti. bet, quam meae ad 4b. Sed linea pi, quae χ Hrefit a ui ad Equinis

lineam in maiorem habet proportionem quam u i ad candem. ergo is quin piadi y maiorem proportionem habebit, quὰm c. ad brpropterea quadratum pi ad quadratum iI 'iaiorem habebit, quam

57쪽

Sed quam proportionem habet quadratum pi ad quadratum ly, eandem linea Ir habet ad lineam ly.J enim ex in decis primi conicorum quadratum p i aeqMala re tangulo contento linea io, o ea, iuxta quam possisnt quae a sectione ad diametrum ducuntur, uidelicet dupla ipsius gr. atqueen ly di sila io, trigesimatertia eiusdem: quare decimas ta sexti elementorum,re Iangulum, quod lex O i3 aequale est rectangulo contento linea io O eo ta quam possunt: hoc est quadrato pi . Sed ut reditan b-- Κ rj iI ad quadratum iγ, ita linea κr ad Orn i7 .e ollaea x radi3 eandem proportionem habebit quam re tangurim ex Kroe iγ, hoc est quadrati pi ad

quadratum i3 . Et quam proportionem habet quadratu e , ad quadratum b , eandem habet dimidium tine e Κ r ad linea ψ b.J am cum quadratum e 4 positum sit aequale dimidio res Muguli contenti linea K r, O q, b; hoc en ei, qtiod dimidia ipsus'κ rIem.12. O linea . . b continetur: σ ut recta,rgulion ex dimidia M . bdςςimi ad quadra mκ4b , itasit dimidia st Haslmeamabybdbebit dimi, dia κ rad 4' proportionem eandem , quam quadratum e q. ad qμ

. Et idcirco. ly minor est,quam dupla pro ' portion- habe diibeMisisti e rad haheat it rad aliam lineam.

M. quinti erit eam ion,PAmir , nempe ad quam . Rr minorem proportione

habet a tque erudupla Q. b. ergo i minor es, m dupla 4 b. K Fii ob maior,iniam . r. J Cum enim ovi positaset aequalis br exb r dematur 4b, Goas dematur o i, quae minor est 4 b: erit reliqua i maior reliqua in r. L Atque ideo in aequesis cstapsi pm . J decimaquarta quinti elementor ,nam linea O n ipsi odes aqualis. M Demonstrata est autem p h maior, quam L J Etenim d monitrataeuis maior, qu D atqueenph aequalis ipsi iω. iis Eodem modo demonstrabitur i h perpendicularis ad humidi

58쪽

humidi sit perficiem. J En enim t ω aequalis K r, hoc es eii, qua usque ad axem. quare ex iis, quae superius demonstrata sunt, Inedi h ductu erist ad humidis emiciem perpendicularis. Minomes igitur proi,omonem habet quadratum pi Ο ad quadratum i y, quam quadratum e ad 4b quadratuJHaec oe a lia, quae sequuntur, tum in haciti insequenti propositione non aho', 1 ἡ A supra moly demonstrabimus. Itaque per et g ductis perpendicularibus ad humidi B- Pperficiem, quae ipsi thaequidistent; sequitur portionem ip

sam non manere,.sed uolui adeo , utaris cum superficie

humidi angulum faciat maiorem eo, quem nunc facit.J Nam cum perpendicularis, quae per g, ducitur ad eas partes cadat, in quibus est is quae autem permad eas in qui bis ae necessarium Hicentrum g deorsum ferri, O sursum . quare partes solidi, quusunt ad ideorsim; quae uero ad aesumum feremur, ut is cinis perficie humidi maiorem angiarin contineat. Sic enim eritio aequalis ψ b,iteq; ωi aequalis .r,&phipsi f. JHoc in tertia figura, quam nos addidimus,persticue apparen

RgcTA portio conoidis rectanguli, quando axem habuerit maiorem quidem, itiam sesqui auterum eius, quae usque ad axem; minor m uero,

quam ut ad eam, quae usque ad axem proportionem habeat, quam quindecim ad quatuor ; 8c in grauitate ad humidum proportionem habeat maiorem, quam excessus, quo quadratum, quod fit ab axe maius es: quadrato, quod ab excesul, quo axis est: maior, quam sesquialter eius, quae usq; ad

aAem, habet ad quadratum, quod ab axe in lim

59쪽

i nidiam demissa adeo, ut basis ipsi uue tota sit intuimido,& ppsita iii clinata in ec conuertetur ita, Ut axis ipsinis secudum perpendicularem sit, nec manebit inclinata, nisi qliado axis cum stiperficie Mimidi 'angulum fecerit aequalem angulo similiter ut prius assumpto.

I 'SPT portio, qualis dict1 est: ponaturq; db aequalis αν potetionis :&, quidem sit dupla ipsit is kr autem aeqIrali Sei, quae iisque ad axem & ch sesquialtera b r. Quam luero proportionem habet portio ad humidum iii grauitate, eam habeat excessus, quo quadratum bd exce dit quadratum sq, ad ipsum bd qiuadratiihi:&sit sipsitisq dupla . cqnstat igitur excessum; quo quadratum b d ex-

cedit quadratum si cad quadratum b d,minorem ha- Υ '

hila dictum . cst Craim b c excessiis quo aris portisiis maior est, quases qui iter eius,qIIae iistitie ad axem . δε quare quadratum i eb d magis excedit ' ' . . quadratum 1 , quam b c quadratum: & idcirco linc a sqnainor est, quam be: itemq; fminoriquam br. Sit ipsi f

60쪽

aequalis id h& micatur 4 r perpendicitiaris ad b d hii ppossit dimidium eius, quod ipsis kr,4 b,cO11 cinctili . Dic portionem in humidum demissam adeo, ut basis ipsinis to ta sit in humido,ita consistere, ut axis cum stiperlicie inuni di faciat angulum angulo b aequalem. Demittatur enim

portio in humidum, sicuti dirium est; & axis cum h umicli sit perficie non faciat angulum aequale ipsi b, sied primo maiorem: siccita autem ipsa plano per axem, recto ad supersi ciem humidi,sectio portionis sit al3 o l rectanguli coni se filo; stiperficiei humidi sectio c i; sitq; asis p or tionis,& sectionis diameter n o, quae secetur in punctis G t, ut prius: ducantur yp quidem ipsi ci aequi distans, contingensq; sectioneni in p; m p uero aequidistans n o: p s ad axem perpendicularis .. Quoniam igitur axis portionis cum si perficie humidi facit 0guturi. maiorem angulo b; erat re angulus S y p angulo b maior . quare quadratum pS ad

quadratum sy mδiorem habet proportionem, quam quadratum 4 c ad quadratum 4 b: & propterea Κr ad S y ma Biorem laabet, quam dimidium ipsius cr ad 4. b. ergo S yminor est, quam dupla 4. b; 'I S o minor, quam in b. quare C s 5i maior, quina r d.; & P h maior, quam f. Itaque quoniaportio ad latimidum in grauitate eam habet proportione, Dquam CXCUsuS, qtio qMadratum b d cxcedit quadratum sqad quadratum b d: quam uero proportionem habet portio ad humidum in grauitate, eandem pars ipsius demersa habet ad totam portione: sequituP parte demersiam ad totam portionem, eam proportionem habere, qua excelliis,

quo/quadratum b d excedit quadratu f q, ad quadratu b d.

habebit ergo tota portio ad eam, quae est extra humiduin Eproportionem eandem, quam quadratum b d ad quadra tum sq. Sed quam proportionem habet tota portio ad cii, quae cli extra laumic tun, eandem habet quadratum n o ad quadratum p m. ergo Pinipsi finaequalis erit. denion strata cst autem p h maior, quam i: quare ni h minor erit,