장음표시 사용
331쪽
V OMI M cum numerus propositra c non es quadratus nuenta radix inse mutio tiplicata producit numerum minor numero so, quemadmodum in posteriori exemplo patuit, τbi radix in sie multiplicata gignit numerum, qHd numero proposito superathr toto hoc num ro 16 6 2 8. monstrabimus hoc loco duplici mπiam, qua radix propinquior inueniatur, ita ut eius numerus quadratus a proposito numero non quadrato insensibili fere disserentia distet. vera enim radix numero exprimi non potest,sed solum per lineam,ut in pleniore nostra Arithmetica d monstrabitur.Priori via reperietur radix propim quior quidem in infinitam des tamen minor, quam Nerg; adco νt eius quadratus numerus semper a numero proposito superetur. Posteriori via inue metur radix propinquior quoque in infinitum, sed qua Neram excedat; ita ut eius numertis quadrarus maior semper sit numero proposito. utraque porro via demonstrata est Geometrice ct a Theo- uiso mo.. ne Alexandrino in lib. I. Almagesti Plotimci, t z. Federico Commandino in lib. Archimedis opinquior, de dimensione circuli. PRIOR ergo via ita se habet. Inuenta radi quam να mg imi quadrati in proposito numero compre-
332쪽
1ensi, adaiciatur ad eam fractio, cuius numerator est residuum extractionis, qo nimirum propositus
numerus quadratum numerum proxime minorem
quem radix inuenta producit in se multiplicata,
excedit, denominator vero duplum radicis inuenta, ct praeterea νnitas,qua nimirum radix numeri quadrati, qui proxime maior est proposito numero superat radicem inuetam numeri quadrati, qui proxime minor es numero proposito. Hac
enim ratione composita erit radix multo propim quior , quam inuenta, minor tamen, quam Nera.
Ad quam si addatur id. quod prouenit ex diuisione eacessiss, quo propositus numerus non quadratus excedit quadratum radicis propinquioris iam ιnuentae,per numerum compositum ex duplo eiusdem radicis propinquioris, ct excusu, quo radix, quadrati numeri proxime maioris superat radice propinquiorem inuentam, exurget radix adhuc propinquior,minor tamen,quam Nera. Ad quams iterum apponatur id, quod prouenit ex dissi ο- ne excessus, quo propositus numeruU nan quadratus superat quadratum radicis propinquae vitimo loco inventa,per numerum compositum ex duplo eiusdem vitima radicis propinqua, ct cxcessu, quo radix quadrati numeri proxime maioris excedit radicem eandim ultimam propinquam,si cietur adhuc propinquior radix, minor tameη, quam Nera. Atq; hoc modo licebit semper i eiuι- re radicem propinquiorem in infinitam,nunquam tamen vera radix inuenietur, sed simper radix aliquanto minor, quam νera. EXEI
333쪽
3ao EXTRACTIO EXEMPLUM. Sit propositus numerat ron qua ratus 1o Radix quadrati proxime minonii eri .quae in se m. iplicata producit i super Utque Α, Si ergo ad radicem q. addatur fractis cuius numerator es residuum illud, enomina por vero duplum inWnta radicis q. oe puterea 3 set propinquior radix q--. Huius enim quadra. μι humerus est rueπ-.qui minor quide est, quapropsim numerus io sed minus ab eo disserti
sim Dadratus numerus i6, dicis primae q. - ij AT O hoc quadrato ex nu meroproposita non quadrato et o superjunt P. ἐς ix 3 quadrati proxime maioris numero proposito, cedit radicem propinquam .proxime inventam hac minutia v. quae addita ad du
μή radicςm pruinquam qu. proxime inuentam faciet radicem propinquiorem ἄν hoc est, o F. Huius enim numerus quadratus is qui minor quoque est,quam num propositus a Q. non quadratus, sed magis ad ηm occedit, quam quadratus I9πτ. radicis
4 . ante banc radicem η γ. inuenia.
RURSυ S subtracto hoc quadrato numero δ9 ex proposito numero 2o.no quadrato,sρος 3μμιτ v. Item dis s. quadrati proii 'memgioris numero proposito ea cedit radicem propinquam ultimo inuetam minutia hac
334쪽
pinqua hoc 3θου. μιt numerum ivra . per que si diuidatur residuu istud γπ., fiet Quoties-τη .' ἀ-ς. qui additus ad radicem propnqua q---. vltimo inuenta facit radicem . propinquior hoc est, - . , Huius enim numer' quadratus est i qui minor quoq; est lposito pumero et O. no quadrat O ,m gis in ad eum accedit, quam quadratus I9 -- -- . radicis lρinquae q- . antehac radice q- - τ . iuuetae. Atq; in huc moda licebit semper magis ac magis ad veritate accedere,ad qua tu nunqua pumi mus,sedsmp ab ea deficiemus. P O ST ERI OR autem via haec est. Inueu Quo modo
tu radice maximi quadrati in proposito η mero b
comprehensiaduciatur ad eam fractio, curus nu- pinquior,q. merator est residuum extractι0ηιs, quo ηιmirum tot sit, si propositus numerus quadratum numerum proa
me mιnorem, quem radix inuenta producit in se multiplicata,exci dit, denominator νero duplam radicis inuentae. Componetur entim hac ratione radix multo propinquior, uam inuc a , maior tamen, qua Nera . A qua si auferatur id, quod prouenit ex diuisione excessus, quo quadratus num rus radicis propinquioris iam inuentae excedit numerum propositum, per duplum eiusdem radicis propinquioris, relinquetur radix adhuc propin quior, maior tamen, quam νζra. A quasi rumsus detrahatur id, quod prouenit ex diuisione ex cessus,quo numerus quadratus radicis propinqua ultimo loco inuetae superat numeru propositnm,
pyr dulum eiusde radicis vltima propinqua, Ictae manebit
335쪽
manebis adbuc propinquior radix, maior tamen, quam tra. Atque hoc modo licebit semper inudinire radicem propinquiorem infinitum, nunquam tamen vera radix inuenietur,s d semper radix aliquanto maior,quam Nera.
EXE M P Lυ M. Sit propositus idem numerus non quadratus 1o. Radix quadrati proxime minoris est . qua in se multiplicata facit i6 . siversuntque . Si ergo ad radicem A. adiiciatur fractio-P. cuius numerator est residuum illa d nominator vero duplum inuentae radicis q. fiet propinquior radix q-τ. hoc est, ql. Huius enim numerus quadratus est zo . qui maior quidε est,
qua propositus numerus zo. sed minus ab eo di fert,qua quadratus numerus i6.radicis primae q. I AM veros --excessua nimirum, quo m merin quadratuU ro . radicis ηπ. proxime inuenis superat numerum propositum zo.diuidatur
per duplam radicis propinqua η .iam inuenta, hoc est, per s. fiet quotiens . qui ablatus ex radice H .proxime inuinta relinquet propinquiorem radicem ηπυ. hoc es, 4 Huius enim numerus quadratus est Σο-- 3 P. qui maior quoque est numero proposito 1 o. sed minus ab eo distat, quam quadratus et o . radicis q-r. ante hane inventa. QV O D si rursus πωπτ. excessus
4ππ.prorime inuenta superat propositum numerum 2o.diuidatur per duplum radicis
336쪽
ce Δ-τὼ. proxime iuuenta relinquet radice pr
pmquiore H YπWz-θος 6, γγ π Hujus enim quadratus numerus est sequens qui maior etiam Gnu mero proposito zo.sed minus ab eo distat, quam quadratus 2Oπουπτ. radicis 4 π. aute hac inuenta. Atque in hune mod*m licebit semper magιs ac magιs accedere ad veritatem, ad quam r*men nunquam perueniemus i sed semper eam
excedemus. QMG EN DV M iam esset de extractione radicis cubica, ct aliarum radicum, qua infinitae Μnt; sed quoniam tractatio haec discilior est,inuentios radicis quadrata magis en necusaria ad libros Archimedis, Ptolemaei, caeterorum , amithematicorum intelligendos , consulto a nobis in pleniorem nostram Arithmeticam dissertur. In
ea namque non solum omnes radices, cum earum
appropinquatione tractabimus, sed innumera alia, a quibus in hoc com endio dedim opera ab stinui uri exponemus. F I I S.
337쪽
Capitum huius Arith-χ meticae.
I numeratio intexrorum numerorum.
3 Subtractio integrorum numerorum. 264 Nultiplιcatio ιntegrorum numeror*mas Diuisio integrorum numerorum.
ε Numeratio franorum numerorum. - et Asimaiiodiae lorfractorum numerorum. E Fra tiones fractorum numerorum. 9o Reductio fractorum numerorum ad minimos nume. ros iue terminos. 9rao Reductio fractorum numerorum ad eandem de nominationem M ad intexra,necnon integrorum adfraetionem quamcunque, ae denique fractionum fraociorum numerorum ad simplices fractiones. 93rr Additio fractorum numerorum. Iorix Subtractio fractorηm numerorum. IIo a 3 Μ-ltiplicatio fractorum numerorum. a4 so fractorum numerorum. II 6 Insitio fractorum numeror.marao 16 Quaesiuncula nonnulla rvmerorum integrorum , ac
338쪽
in singulis capitibus continentur.
IN PRAEFATIONE. ARithmeticae praestatia, atq; utilitas. pag. 3. IN NU MERATI ONE
. Numeratio quid. 8. . Valor decem figuraru Α-rithmeticarum quo pacto cognoscatur. Ibid. . Quot loca sint in quoli t
1bid. Prima figura , & vltima in quovis numero quae sit. Ibid ordo locorum in quovis
numero cura dextra sinistiam versus procedat. 9. 3Quid quaelibet figura inruouis loco posita signicet. Ibid. Loca in quovis numero superat 1 e ordine in decupla proportione. Ibid. Quid obseruandum sit, ut datus num crus facile exprimaturi Ibid. IN ADDITIONE
Additio quid. 13. Numeri addendi quo pacto sint collocandi. . Ibid. Additio quo pacto sat.Ibi. Quid agendum sit,quando
ex figuris unius ioci colligitur numerus tribus figuris scribendus. I . Quid faciendum sit, quando multi numeri addendi sunt. I s. Probatio additionis per se quomodo fiat. I 6. Qua ratione ex quovis numero reiiciatur facile s. quoties feri potest.Ιbid. Novenarij mirabilis proprietas. Ibid. Probatio additionis per fallax est,& quare. I 8. Probatio additionis per 9. cur ab Arithmeticis adhibeatur, cum fallax sit.
Probatio additionis per . quomodo fiat. ibid. Quo pacto reiicienda lint ex quolibet numero. 21. Probatio additionis per 7. i fallax est,& quare. 12. Probatio additionis per . cur ab Arithmeticis adni beatur eum fallax sit.et Probatio additionis per I. i minus fallax est, quaes per ς.& quare. Ibid.
339쪽
probatio additionis per ad 7 ditione quo pacto hat. 2 Probatio additionis per subtractionem quo pacto
- subtractio quid. 26. v Vter duorum numerorum maior sit, quo pacto co- n oscatur. ibid. - Subtrahedus numerus quo, pacto locandus sit sub eo a quo sit subtractio. ibid. . Subtractio quomodo fiat
. In subtractione quid agendum sit,quando figura in in ferior maior est,quam superior. Ibid. . facilior ratio subtractionis. quado figura inferior su. periore maior est. go. i In subtractione quid agen- . dum sit, quando plures sunt numeri. ' 33. Irobatio subtractionis per. 9.& 7. quo pacto fiat 34. Probatio subtractionis peradditionem,&subtracito - nem quo pacto fiat. IN MULTIPLI CAis
Nultiplicatio quid. Tabola Puthagorica. 37. Tabula Pythagorica quo. pacto construatur. ibid. vias tabulae Pythagoricae 8 V. . had cognoscendum, quid faciat multiplicatio Γ ni figur in alia figura .ibid. Regula multiplidandi figuram in figuram. Numeri in multiplicatione quo colloca di sint go, Numerus quiuis per unam figura quo pacto multi plicetur . 41. Numetus quiuis Per numerum pluribus figuris scriptum quo pacto multipli
probatio multiplicationi per 9.& 7.quo pacto hat.
Probatio multiplicationiqper diuisione quo pacto
Numeri habentes in princilio cistas, quo pacto: facie multiplicentur. 6 IN DIVISIONEo intexrorum nu
Quotiens quid. ibid. Numeri in diuisione quomodo sint collocandi. 49. Diuisio quomodo fiat. so. In uotiente no potest po- ni maior numerus quam 9. Ibid. Residuus numerus in diui sone semper minor esse debet, quam diuisor. ibid. Numerus per unam figura
340쪽
. Probatio diuisionis per Τ. quomodo fiat. 7s. Probatio diuisionis P multiplicationem quo pa fiat. 77. Diuisio nondum absoluta diuisorem positus. ibid. Vsus tabulae Pythagoricae ad cognoscendum, quoties figura diuisoris in supraposito numero contineatur. ibid.
Quotiens quot possit figuras habere. sq. Numerus ter plures figuras
quo pario ciuidatur. ibi. Qui numerus dicatur supra quamcunque figuram diuisoris positus. ibid. Quomodo ducenda sit figura Quotientis inueta in diuisorem. ss. Quid agendum sit cum numero ex diuisione relicto. 39- Quado numerus minor per maiorem proponitur diuidendus, quid agendum sit. ibid. Quomodo nonulli durant figuram Quotietis inuentam in diuisorem. 6O. Difficultas diuisionisi quo consistat. 61. Qiud agendum sit, quando in Quotiente sumpta est figura nimis parua vel
Diuisio ab alijs quo modo fia t. 72. Comoditas in modo diuisionis, quo alij utuntur Ibid.
Alius modus absoluendi diquo pacto examinetu . ibid.
Facilitas diuisionis,quado diuisor in principio habet aliquot cistras. 78. Facilis aliquado fit diuisio quando diuidendus numerus habet aliquot cistas in principio. 8o Additio, Subtractio, Multiplicatio, &Diuisio sundamenta sunt omnium, quq in Arithmetica traduntur. ibid. IN NUMERAT Iosne fractorum uua
Fractus numerus quid. 8 r. Numerator, & Denominator fractionis quid. Ibidis Fractio quae uis quo pacto scribatur, & pronuncie
Fractiones unde oriantur. ibido Qtrado minor numerus Per maiore diuiditur,fit fractio. ibid. Fractio quaevis est pars aliquota Numeratoris a