장음표시 사용
301쪽
ma totius progressionis i 28 eatq; eodem modo summam cuiuscunqueprogreysionis Geometri
I QV E, ut vides, satis est, ut cognoscatur primus terminus, dr νltimus, νna clim denominatore proportionis, ad inuenisndam summa 1 totius progressionis, etiamsi interm si term ignorentur. Quo pacto autem in cognitionem vi. timi termini peruenire possimus, licci non continuetur tota progressio, sequenti regula raptic bimusa Patilenta. IN progressione autem Geometrica dupla; --,' ' proportionis,cuius initium est i facillimo negotio fiessionis' pumma totius progressionis quotcmque termino-I: ., ,r strep rietur , si ultimuirminus duplicetur, cuius ini- a duplo ab ciatur i. Vt hic.
δ' l. F ό si ultimas terminus 3I1. duplicetur a duplationis du- IOIq. reiiciatur I. habebitur pumma totius proia ab Titi gres ionis Io 23. Abet num η E X quo fit, quemlibet numertim in huiuμο-
i: .. di progressi Gabiecta prius unitate,essesumma
te, est sum' omnium numerorum antecedentia, cum quiliber,nteeeden ημmerus sit proaime pracedentis numeri duplas.
REGULA II. IV omni progressione Geometrica, qua ab I. iocipit, quiuis numerusse sum multiplicos Signit
302쪽
ignit numerum, quid ab eo abes tanto interuallo, quanto ipse ab unitate distat: quiuis autem ntimerus alium maiorem multiplicaris producit nume-νuri i a maiore lato interuallo diriat, quato ipse minor ab unitate abest . Haec regula clarissime
ex propos i l .lib. 8. Euclidis colligitur, ut in scholio eiusde propos declarauimus. Exepli gratia in hac egressione dupis proportionis, quasequitur,
si In proogressione Geometri ta ineipiente ab i. numerus, ali
um, vela. lui numerum multiplicet, quε
si numerus I . qui quintum lactim ab unitate occupat n seipsum multiplicetur producetur nume rus 236. qui quintum etiam locum a numero I 6. Occlipat,nempe nonum. Sic quoque si numerus 32. sextum locum ab unitate occupans seipsum multiplicet, procreabitur nAmerus ior . qui siextum etiam locum a numero 32. occupat nimirum Vn' decimum. Ita etiam numerus 8. quarti loci multi
plicans numerum 6 q. producit numerum II 2 numelu, quarto loco a numero 6 q. repoηζη μm- ίbris c. I TA QV si hanc licebit regulam collucre. meitiea ita Si in progressione Geometrica, clitus initiueti t. numerus aliquis quemcunque Iocis occκpans sej multipli- sum multiplicet , procreabitur numerus in duplo P . μ' maiore loco minus una νnitate, quam sit locus nu tum indumeri multiplicantis,ponendus. Ut si numerus se ipsum multiplicans occupet tertium locum, gi' nus uni-gnetur numerus in quinto loco reponendus et si occupet septimum locum, producetur num rus mutupli
303쪽
qum pacto 1dleel, tuo in loco qui tibet numexus prodia. ctas collo. dus sit in Pgressione
aperte Uenphm est in progressione superiori proportionis dupla, idems clarissme in hac altera progressione proportionis quadrupla apparet.
1. q. I 6.6q. 2 6. IO2 A. AD 96. I 6384. 63 36. Num si numerus 6 . in quarto loco positus,seipsum multiplicet gignetur nu crM os 6.inseptimo loco ponendus. Ita quoque nomeruN 2 3 6. quin rum occupans locum seipsum multiplicans producit numerum 6s s s 6. in nono loco reponendum. U T aut em facilius sciatur, quo in loco qui i-bet numerin productus sit collocanduT, subjcri uda es progressioni Geometrica progressio nattiralis numerorum hoc ordine. Sub I .hoc es,sub primo numero , scribatur o. subsecundo numero ρει natur i. sub tertio a. sub quarto 3. ct ita dei
ceps , Ni in hac progressione proportionis dupla Dctum s.
Nam quilibet numeruta progresionis Geometrice seipsum multiplicans producir numerum supra illum numerum progresionis naturalis numerorum collocandum,qui duplus est istius, quissubscribitur numeroseinum multiplicanti: quilibet vero numerus alium multiplicans procreat numerusupra illum numeris progresstonis naturalis numerρm reponendui qui componitur ex duobus numeris
304쪽
GEOMETRICAE. a9 Iris, qui numeris multiplicotibus subscribuntur. ut si numerus Σ .in se multiplicetur procreaba
tur numerus Io Eq.supra Io. collocandra, quod numerus io. duplus sit numeri, qui numero set. subscribitur. Item ex multiplicatione 8. in 116. producetur numertas 2o 8. supra II. repone din, quod numerus II. componatur ex s.ct8.qui
numeri sub Σ36. scripti sunt. E T quoniam, quot unitates sunt in quolibet numero progressionis naturalis numerorum, triplocu νno amplius occupat in progressione Geometrica numerus illi suprapositus, vi insuperiori exemplo perspicue apparet; facile inueniemus nu- incrum cuiusq; loci in progressione Geometrica, et iasi noscribamus omnes numeros intermedios . Sit enim inueniendus,verbigratia,numerus in vigesimo loco supradicta progressionis collocandus. Primum scribo quatuor, aut quinque, Nel plures numeros protressionis, νna cum progressione naturali, vi bis vides.
I. 2. 4. 8. I 6. 32. 6q. O. I. A. 3. q. S. 6.
Quo pacto numet' euiustunque loel in pr gressione
Geometriis in incipie te ab I. in uestigetur sine in Iez .
Deinde multiplico.νί. 8. inse,scio' 6q. numerum septimi loci, sub quo nimirum positus est numerus 6. νna Nnitate minor numero locors; quod numerus s. sub 8. duplicatus faciat 6. Quod si multiplicemus 8.in 6 . faciemus sir. numerum decimi loci, sub quo nimirum scriberetur numems 0. Vna unitate minor numero locorum, quod
305쪽
numeri 6. 'b quarto O septimo istas ciant '. Rursusse si a. merum decimi loci, sub
quo ponitur numerus s.multiplicemus in se pro ducemua numerum 162IAE . in loco decimonono scribendum sub quo nimirum poneretur numemus
I 8. a Mitate minor numero loco ,propterea
qu)d numerus 'sub decimo loco duplicatus facit I 8. Iam vero quia ex i8. qui numeru4 sub demonono loco scribitur,ct ex i . subsecundo loco positasent i 9. si multiplicemus numerum 2.μ pra I .positum per numerum 2 62Iq supra I 8. positum, conficiemus numerum s aq283. in νιcesimo loco, sub quo videlicet numerus I9. ponitur Oribendum.
R V RS V S, si quis velit in eadem progressione numerum in decimoOctauo loco repone dum, multiplicabimus numerum 3 et sub quo ponuntur1.iu stipsum,producemuseque numerum Ioaq. in undecimo loeo scribendumsub quo numero poni 'tur numerra i o. qui duplus es numeri 1 .Et quoniam ex I o. qui numerus sub vndecimo loco ponitur,ct ex 6.qui numerus ponitur sub septimo locosunt i s. qui numerus sub loco decimoseptimo scribituri numerum 6 . septimi loci per num rum io2 q. undecimi loci multiplicemus, pr creabimus numerum 603 6.loci decliniseptimi. Tande ga ex i6. qui numerus sub decimoseptimo loco ponitur,et ex I.qua subsecsido loco ponitur, fit numerua 17. qui sub decimooctauo loco scribitur ,si multiplicemus numerum inuentu 61636.
ec septimi loci per numerum a. secundi loci, signemus
306쪽
xignemus numerum I 3 ro 72. in loco octavod
cimo scribendum, sub quo videlicet ponitur numerus IT.
H AE c omnia quadrant etiam in progres anc dea sonem quamcunq; Geometricam non ab i. sed a Iquouis alio numero incipientem, dummodo quem' prog Getlibet numerum ex multiplicatione productum di iii Ea in ei- nidamus per primum numerum progressonis. yj :: Quotiens enim erit mmerus quaestus. Ut in hac Esn depto progresone proportionis dupla apparet. Nams s . 200'.
numerus 8o. quintiι locum a primo numero occupans in seipsum multiplicetur, pro creabitur numerus 64oo. quo diuiso per primum numerum, Nipote per s. fiet suotiens a 28o. in quinto loco a numero So.collocandus,nempe in nono locosis quo ponitur numerus 8. qui duplus est numeri q. sub numero 8o. multiplicantepositi. Vbi vides, numerum 8o. quinti loci, seipsum multiplicat, producere numerum, quo diuiso per primum nu merum progressionis, fit Quotiens ia8 o. in duplo maiore loco,minus unitate, quam sit locus numeri multiplicantu, reponcndus. Sic etiams numer o. quarti loci multiplicet numeru 6qo.er productus numerus 2s 6oo.per primis numeri diuidatur,fiet quotiens 1 leto. quarto loco is numero 6qoscribedus, nepe loco undecimo, sub quo ponitur n merus Io. costatus ex stub Ao. σ
307쪽
ex . sub 6 o. Quod si numerum I 28o. multiia plicemus per si 1 o. procreabimus numerum 6s 1 3 6oo. quo diuiso per primum numerum s.
rep eriemus suotientem Isi 72 o. reponendum in loco decimonono, quι nimiru νnitate fuerat numerum Imconflatum ex numeris 8. ac IO. positis sub numeris multiplicantibus. IT A quoque ut in alia progressione exemplum etiam ponamus. in bac progressione propor
rionis septuplae,se numerus q8o 1.quintum locum
a primo numero occupans sei sum multiplicet, procreabitur Inmerus et o 39χo . quo diutisper primum numerum, nempe per et ire Quoties It 3296o2. in quinto loco is nhmero q8or .locaudus,in nono videlicet loco,sub quo numerus 8. oonitur. Sic etiam,si numerus 98. tertis loci multia plicet numerum 164 o 86. O productus num rus Isil I4 2 8.per primlim numerom 1. diutidatur,fiet Quotiens Sono 2I . tertio loco d numero I 6q7o86.scribendus, nimiru loco decimo sub quo ponitur numerus v. conflatus G 2. sub 98. ex 7.*b 36 7o86. c. E X his facile inueniemus numerum cuiusque
ioci. Si namque in priori progressione inuenien aus
308쪽
GEOMETRICAE 29 sdus sit numerus tricesimo loco ponendus, 'niatim 2 I ..
icabimus numerum FI 2o.mse,produc Hsque numerum 2623qqoo. 'odire operis et asso sioriho o tiens 11 8 8 o. ponendus loco vicesimo primo, qui videlicet unitate superat numerum 2D- qμὴ .ioovist na duplus est numeri io. sub 3I xo. positi, ponitu aue sub vicesimo primo loco. Et quoniam λο- termediis
primi loci,sub quo numerus 1 o.ponitur,multiplιcemus per 23 6 o. sub quo numerus 9 scribitur, sitiemur numerum,quo diuisio per 3 . et Quotiensa 68 3 s 16o. locandus in loco tricesimo, qui Iumirum vnitate superat constatum illum nume
UIDES igitur, nos reperire pose extremum numerum cuiuslibet progressionis Geom trica, etiam si non scribantur omnes numeri i termedi istius progressionis: pluribus tamen operationibus, quam supra in secunda regula progressionum Arithmeticarum adhibuimus. si v O N I AM vero in prima regula dixi-m s, numerum qu mcunque in progressione Geometrica proportionis duplae incipiente ab I. abre cita prius unitate, summam esse omnium antece dentium numerorum; in hac autem fecundar gula docuimus , quemlibet numerum progressi
nis Geometricae ab i. incipientis, si seipsum
multiplicet, qignere numerum duplo mature loco,minus unitate quum sit locus numeri se mutiriplicantis, ponendum si, ut si summa quotcumque numerorum progressionis Geometricae ρ
309쪽
ό ό portionis duce ab i. iucipientis addatur r. Q intre inoi si gregatum infe svin multiplicetur, producatur I e bes. Amma,abiecta prius unitate, duplo plurium nutricae Ipor meroru er aem progressionis: quia priorsumma, ,ra ici, crita tale,consiluit proxime sequentem n .ita' '' iii, merim in eadem progressione, qui numerus stimvnitale. se. sum multiplicam producit numerum in duplo maipsam mul iore loco, minus unitate, quam sit locus numeri
dueit nu- multιplicantis, ponendum; go proinde, abiecta .bi a fit. Vssit te Nem numerus siumma erit omnium ante- unitate, su- cedentium numerorum, qui quidem duplo plures
i. 'hiiis . si,' qiam priores, quorum summa accepta fuit.
rarimnotu Eaempli gratia,summa βρtem terminorum, ad dita unitate, constituit octauum terminum, qui multiplicatus in se producit terminum decimi quintim, nempe num rum in duplo maiore loco, quam sit octauus, minus Nuitate, ponendum; qui quidem, aluecta unitate, summa erit quatuore cim antecedentium terminorum, nimirum duplo
pia tum, quam septem, quorum summa accepta fuit. Eademque ratio es de cateris. pαcto IT A QT E si quis breuiter cupiat inuenire nisi uisum fummam 6q. terminorum progressionis Geometrima 64. lo, caproportionis dupla ab i. incipientis, quot nimi- , ὀ bd ' ro' loca μnt in ludo latrunculorum, quem scac-Eἡ d. hi, sibi 'r m ἰμdum νscant, accipienda erit primam
propriitio . summa borum quatuori minorum I. a. q. 8. nem
310쪽
tum 2 6.inscivi fiant 63136. ac proinde summa I 6. termιnorum 6 1 33 3 . si rursus,addita I .aggregatis 63 36.mse multiplicetur, procreabitur numerus 429 967296. qui,abiecta prius unitate,dabit summam 32. terminorum. Postre mo si 29 4967z96.i' ' multiplicentur et numeruis 18qq67 o7 37o9 3 3i616. qui, abiecta prius unitate, bit summa 6. . terminorum. st -nta paque tot quatrini requiruntur, ut quis replere posse omnia 64. loca dicti ludi latrunculorum, ρο- impleatinendo I. quatrinum in primo loco; r. quatr-i's e z:r: cudo; an tertio . in quarto, sic deinceps pro' eulotu. uagrediendo per duplam proportionem:qui esciunt aureos, ctribue singulis aureis qoo. quatri nos) natue r. 46ii 686o I 8 173879 ππ. p Riψ Euhab, in vix in toto oo regno, vel etia pluribus,aut toto lettio a Ninudo, reperitur; quod multis incredibile videtur. IM M O vix tot grana frumenti in Nniuer- diendo peeso orbe terrarem existunt, quot in dictis 6 q. tocii titia duε lacontinerentur,si in primo poneretur igranum, insccando 1 . in tertio A. c.quod ita perspicuum faciemus, licet multis omnino incredibile videatur. Secudum Medicos, ct pharmacopolas grana 6o.esciunt 1. drachmam, id eΗ, unius νncm, ac proinde 48o.grana I. νnciam, 176o. grana rilibram. cum ergo coo. librae communiter constituant I . mensuram, quam Romani Rubium dic ut, h, sum εα
ω qua parum ab illa mesura dissert, quam UAM 2ta in Italia Salmam appellant; constabit I. Ru Rubium. bius granis 3 3 6o oo . Quare se grama 34ε 744073 O93 316i 3. qua in dictis 6 .locis