장음표시 사용
21쪽
Thoore vivi praeiaminaria da istimaria primis. Detor M ale.. 13.
I IimREMA. Productum e duobus numeris positiris numero primo dato minoribus - per hune primum diridi nequit. ' Sit p primus. et a Pusitivus Q pe tum nullus numerus positivus b ipso pminor dabitur. ita ut sit ab 0 mod. p - Dem. Si quis no t. supponamus duri num ros b, e. d etc. Omnes et p. ita ut ab 0. ac-0. ad 0 etc. lmod p . Sit omnium minimus b. ita ut omnestiumeri ipso b minores hac proprietate sini dostituti. Manisosto erit δ l: si enim b-i . foret se ac p this . adeoque por p non divisibilis. Quare p tam- quum primus por b dividi non poterit, sed inter duo ipsius b multipla proxima inbet vi H l b cudet. Sit p - mb - ν. eritque δ' num rus positivus ot α b. Iam quia supposuimus. ab 0 mod. P . habebitur quoque ma b-0 inrt. 7 . ot hinc. subtrahendo uti ap-0. 'erib a P - mk-ab'-0: i. e. ν into numeros b. e. dotc. reserendu'. licet minimo eorum b Nit minor. Q. E. A.
Ei nee a nee b per numerum primum ρ diridi potest: etiam productum ab per ρ diridi non poterit.
22쪽
Si ut numerorum a, b, secundum modulum p residua minima posuivit a. 6. quorum neutrum erit 0 hyp. Iam Si esset ab m0 lmod. p . foret quoque, propter ab ali. α 6 - o. quini cum theoremate praeo. consiStere nequit. IIuius theorematis demonstratio iam ab Euclido tradita. El. VII. 32. Nos tumeu Omittere Dam noluimus, tum quod recentiorum complures seu ratiocinia vaga Pro demonstratione venditaverunt, seu theorema omnino practurierunt. tum quod indolos methodi hic adlubitae. qua infra in multo reconditiora snodanda utemur. e Casu simpliciori tacilius deprehendi poterit.
es nullus numerorum a. b. e. d etc. per numerum primum p dividi potest, etiam productum ab c d etc. per ρ dividi noti poterit. Secundum artic. Praec. ab per p dividi noqisit; ergo etiam a be: hinc ab e deis.
Dem. Quemvis numerum compositum id sactores primot resolvi posse. exelamontis constat, sed pluribun ni odis. divorsis fieri hoc non Posse Perlierum Ple ιrumque SuPPonitur tacite. Fingamus numerum compositum A. qui sit ina' et est.. designantibus a. b. e Din. numeri s primos ina quales. olio taliuo modo in ta toros Primos esse re olubilem. ' Primo manisostum ost, in secundum hoc factorum Systema ullos primos quaru a. b. c otc. ingredi non posso. quum quicunquP alius primus numerum A cx his compositum metiri uoquent. Similiter etiam in s Cundo hoc se torum systomnis nullus primorum a. b. c etc. deesse Potest, quiPlie qui alias Τpsum A non moliretur sart. prae . . Quaro haci bina in Actores resoluti Des in eo unitummodo difforre possunt. quod in altera aliquis Primus pluries quam in altera habeatur. Sit talis primus p. qui in altera resoluti Ono m. in altera Veron ricibus Uccurrat. sitque m n: Iam doleatur ex utroquo systemate factor p. n ricibus. quo fiet ut in altoro adhuc m . vicibus romaneat. ex altero vero omnino abiurit. I. c. muneri duuo in sactores resolution s habentur, quarum ultem nlactore p Prorsus libera. Rit m vero m - n vicibus cum continet. Contra Pre qum modo demonstra in uR.
23쪽
sint inter suctores numeri A, et quemvis horum factorum toties in B. C, D etc. coniunctim occurrere debere. quotios in A. Hinc colligitur critorium, utrum nu- incrus II alium A. mellatur, nccno. Illud oveniet. si II neque alios fuctores primoου. DUquid ullum Plurius involviti, quum . 1: quurum conditionum si aliqua defluit. B ipsum A non moti tu Fastilo hinc calculi combinationum auxilio derivari potost. Mi A Q b H etc. i signantibus ut supra a. b. e etc. numeros primos divorsos: A liaboro
divisores divorsos . inclusis otiam 1 et A. .
puntur ii. qui omnibus numeris A. B. Cetc. Munt communes ςi tales ison adsunt. nullus divisor orit omnibus communis . Tum quoti x quisque horum sactorum primornm in singulis A. D. V Din. continoutur. Νire quot disi xionex in singulis A. B, C etc. qui, suo habeat. nilnowtur. Tuudem singulis sectoribus primis tribuuntur dimohsiones omnium quas in A, B, C etc. habent minimno . componaturquo productum Px iis. quod erit mensura communis quis Rita. fauundo vero num rorum A, B, C otc. minimus. eb- uis dioiduus deςi ratur. ita Procodendum. Colligantur omnDs numori primi qui numersiain A. D. Core. uliquem motiuntur. tribuatur cuivis dimousio omnium quas in numeris A. D. C utc. hab in maxima. sicquo Px Omnibus productum ponit tur. quod erit dividuus quaeritus. M. Sit A 504- 2'a 7:.B-2SS0 - 2 3 5-: C-,64 -2-a . Pro inveniendo divisore communi maximo lini Mntur . factores primi 2. 3. quibus dimensiones 3. 2 tribuendi: unde fiet ses 33 - 72: dividuus vero communis minimus orit 2 3 5. 7 604S0.
24쪽
Immonstrationes propter sucilitatem omittimus. Cotorum quomodo haec Problematn -lvenda sint . quando numerorum A. D. C otc. in factores resolutio
non detur. Px elementis notum. . ... 19.
Si numeri a. b. e etc. . ad alium k sunt primi. etiam productum eae illis abeetc. ad k primum rat. . . Quia cnim nulli numerorum a. b. e etc. Actor primus cum k est communis productumque ab e otc. alios factores primos habere nequit, quam qui Ruut factores alicuius num rorum a. b, c etc.. Productum ab e etc. etiam cum k --torem Primum communem non habebit. . Quur ex urt. Praec. k nd abe otc. primus. Si numeri a. b. e etc. inter se sunt primi. aliumque k sinsuli metiuntur: etiam productum eae illis numerum k metietur. Hoc aeque lacile ex arti . l7 . l8 derivatur. Sit enim quicunque producti abe otc. divisor Primus p. quom contineati n vicibus, mani&Stumque Pst, reliquem vnumerorum a. b. c Pin. Dundem hunc di iROrem ret vicibus: Outiuore dehoro. Quare etiam k. quem hic numerus metitur, n vicibus divisorem p continet. Similiter de reliquis producti ab e etc. divisoribus. Hinc. xt duo numeri m. n secundum plurea modulos inter Se rimos a. b. e etc. Sunt mmmi, etiam secundum productum eae his construi erunt. Quum enim m - nPer singulos a. b, e ct c. sit divisibilis. etiam per eorum productum dividi poterit. Deniquo si a ad b primus et ak per b divisibilis. erit etiam ah per bdioisibilis. Namque quoniam a k tam per a quam per b dirisibilis. etiam per
a b dividi potorii. i. e. ' orit integer.
dirisibiles. . Numerus enim k alios sectores primos quam a, b, c etc. non involvit. Contineat sectoreis a. α' ei cibus . continebitquo P sive A hunc iactorem na' vicibus: quare nae a. et - integer. Similiter etc. integros esse demon-
25쪽
Quando a. h. e mω. sunt inter se primi, re productum ab c etc. ysterias aliqua. puta sivuli numeri a, b, e etc. Aimiles potestates erunt. Sit a - ρm py etc., designantibus ἰ,m,p ore. num ros PrimOS di rSOS, quorum nullus pet hv. est sactor numerorum b. e etc. Quare Productum ab cete. factorem l implicabit a vicibus, sectorem m. vero ricibus otin.: hinc art. praec. a μ. Π etc. P r n divisibiles adeoquo
in er. Similiter de reliquis b. e ete. Haec de numeris primis praemittenda erant: iam ad ea quae finem nobis proIrimitum propius attin ni convortimur.
Si numeri a. b per altum k dirisibiles secundum modulum m ad k pr mum sunt eo rui: i et secvndum eundem modulum construi erunt.. i'atet enim a - b por k divisibilom fore. nec minus Per m sh .l; quareari 19ὶ T ' per m divisibilis orit. i. o. orit E in . si. Si autem reliquis manentibus m et k habent divisorem commvnoni maximum e. Orit. ' mod. - . Namque ' et ' inter so primi. At a - btam per k quam por in divisibilis iamque otiam tam Per -. Quam Per
Si re ad m primus. et e. y numeri secundum modulum m inconstrui: erunt etiam vi e. af inconymi Secundum m. Hoc est tantum conversio theor. Rri. Pr C. Hinc vero manifestum est. si a IFer omnes numerOA intcgros a u usque ad m - multiplicotur productaquo socundum modulum m ad rexiduae sua minima reducantur. haec Omnia soro inaoqunlin. Et quum horum ruritutiorum, quorum nullum m. numerus sit m. totidemque dentur numeri u 0 usque adm- l. lintei. nullum horum numerorum intor illa residua Mosso Iuysso.
26쪽
Pressio. ax-Fb, deuotainibus a. b numerose datos. ae numerum ind terminatum seu variabilem, ae n m modulum m. ad a Primum, miris numero dato comma fieri potest. Sit numer cui congrua fieri debet, e , et residuum minimum Positivum ipSius c-b secundum modulum m. e. . Ex arii. Praec. ne Mario datur valor linsius aeςm: talis, ut producti a ae secundum modulum m residuum minimum fiat e; . esto hic valor e, eritque an e - c - b; unde av-- b- e mod. m Q. E. F. 25. . - . Pressionem duas quantitatos congruas exhibentem ad instar aequationum. covrventiam vocamus: quao si incognitam implicat. resolvi dicitur, quando pro hae Hor invenitur congruentiae satisfaciens radiae.. Minc Porro intulligitur. quid sit construentia resolubilis et eoumentia irresolubilis. ωTandem facile perspicitur similes distinctiones locum hic habere possc uti in a quationibus. Congruentiarum tra scendentium infra exempla Occurrent: alyebraicae vero x cundum dimensisnommaximum incognitae in congruentius primi. secundi altiorumque graduum distribuuntur. Nec minus congruentiae plures proponi possunt Iilures incognitas invol-Vontes, de quarum eliminatione disquirendum.
Congruentia itaque primi gradus ax--h-e ex urt. 24 semper resolubilis. quando modulus nd a est primus. Quodsi vero u fuerit valor idoneus ipsius ae. Sive radiX congruentiae. palam cst. Omnes numeros. ipsi v secundum congruentino P Positae modulum congruos. etiam radices fore sart. 9 . Neque minus facile . Pu Picitur, Omnes radices ipsi t1 congruo esso de re: si enim alia radix fuerit t. erit a v H-b - at - - b. unde au - at . et hinc u in t art. 22 . Hinc colligitur congrusntiam x vim . mi exhibore romtutionem comPletam congruentiae ax H-b e: Quia resolutionos congruentiao por valores ipηius X eongruos per se sunt Obviae. atque, hoc rest ectu, numori congrui tamquam aequivalentes considerandi. tales congruent se resolutiones pro una eademque habebimus. Quamobrem quum
27쪽
20 nostra congruentia a X-- b - e alias r soluti Onos non admittat. pronunciabimus. unico tantum modo eam Osse resolubilem seu truam tantum radi cmi habere. Itae. q. congruentin sat in 5 - 13 mod. il in ullas radicos non admittit . quam quae sunt 5 mod. iij. IIaud perinde res se habet in congruentiis auiorum mn-duum. sive etiam in congruentiis primi gradus. ubi incognita . per numerum ostmultipIicata. ad quom modes non ost Brimus.
Super mi, ut de inv nienda resolutionc ipsa congruontino huiusmodi. quaedam adiiciamus. Primo observamus. congruentiam formae a. r in t - v. cuius m desum ad a Primum suptimimus. ab hac ax ini pendere: si enim huic satisfacit illi satisfaciot a: - - u r. At congruentiae ax l. modulo Por b designato. uoqui vallat aequatio indoterminata a X byini, quae quomodo sit solvenda hoc quidem tempor undo ost uotum; quare nobis susti- esset. ciaculi pluorithmuin buc trunsscripsisse. Si quantitatos A. B. C, D. E etc ita ab his 'α. 6. I Cto. Pendent. ut habeatur
hrovitatis gratia ita ens designamus
Iam proposita sit nequatio indeterminata a X - by - l, ubi a. b positivi. Stilintionantiis. id quod licet, a osse non ς b. Tum ad instar algorithmi noti . secundum quem duorum nutnerorum divisor communis maximus investigatur. sormenturi r di sionem vulgurum a quati Onos. a - αιε e. b se scindi. e - Idine etc. ita ut a. 6, 7 etc. e. d, e Din. sint integri positici. et b. e. d. e continuo docrescentes. don rveniatur is in n H- l
'ὶ Multo generalius hae a relatio eonsidera I polosi. quod negotium alia sorim Oeensione suscipiemus. Hie duaa tantum proposition- adlielmua. quae usum auum in praesenti invostigationi habenti Milieet I'. s 6, 7 . . . , M. st, .... λJ-- α. s. ...14 st. , ... λ. μθ - 1 i, hi signum superitia Meipiendum quando num raram vi. 4, τ ... λ. ia multitudo p r. inferius quando impar. I .. Num rerum ae, ε. e e. ordo inverti potest. sα, ε, et ... λ, μJ m Γλ λ . . . r. ι, αJ. Demo trationes quae non sunt di mellea hie supprimimua. .
28쪽
solution m generalom huiusmodi a quationum indoterminatarum in. Eulor primus docuit. Comment. Petrop. T. VII. p. 4 6. Methodus qua usuS EAt consiastit in substitutione aliarum incognitarum loco ipsarum Xos: atque hoc quidem tempore satis est nota. ' Ill. La Graiige Paullo aliter rem aggressus est: scilicet ex thooria hactionum Continuarum constat. si fractio - in fractionem continuum
convertatur. haecque deleta ultima sui imrin tu fractionem Communem -- -
stituatur . se .aa se by l. siquidem morit a ad b primus. Ceterum ex utraque methodo idem hi orithmus dorivatur. Investigationes .ili. La Urange vX- stant Hist. de P . de Brelin sis e l767 p. 175, ct cum aliis in Supplementis r-sioni fallicae Alyebrae Eul rianae adiectis. . ' , ' ' . Congruentiae ax H- t M cuius inodulus ad a non primus, facile ad casum Prae dentem roducitur. Sit moduluΗ m. maximusque mmcrorum a. in . divisor communis o. Primo patet quemvis valorem ipsius a Congruentiae S eundum modulum m satisfacientcm eidem otiam socundum modulum' δ satis&cere sart. . . At semper ua: -υ mod. P., qnoniam δ ipsum a motitur. Quare , nisi t-u mod. i. e.. ι - u per δ divisibilis. congruentia proposita nonost resolubilis..
29쪽
Tum vero congruontias propositae δ ex - - o k - 0 mod. Ul aequivalebit haseceae -- k 0 imod. f. i. o. quicunque ipsius x valor huic satisfaciat. etiam illi satisfaciet et vice versa. Manifesto oriam ea H-k per i dividi poterit . quando oex- - δε per os diridi potest. et vice versa. At congruentiam eae D m .L Aupra solvere docuimus: unde simul patet, si v sit unus in valoribus ipsius X. x - v in . si exhibere resolutionem completam congruentiae Pr
Sit modulus m n. atque congruentia. Pro sita a X b. Solvatur primo Congruentia listoc Secundum modulum m, Ponamusque ei satisfieri. si x - vmod. '. designante δ. dicis cm communem minimum numerorum m. a. Iam manifestum est, quemVis valarem ipsiusi x congruentiae ax ti secundum in dulum mn satisfacientem eidona etiam secundum modulum m satisfacere debere : ad quo in sorma r in ' E eontineri. designanto F numerum indeterminatum, quamvis nou vice versa omnos numeri in forma v - - contonii congruentiae secundum min. mn satisfaciant Quomodo autom E determinari d beat. ut v ae' fiat radix congruentiae ax - b imod 'm a , ex solutione congruontiae x - - a v - , . in . m n i deduci potOst cui aequivalet haeci mod. n . Hinc colligitur solutionem congruentiae cuiuscunque primi gradus secundum modulum mn reduci lissso ad solutionPm duarum Congruenti strum secundum moduli uti m et n. Faeile autem perspicietur. si niterum sit productum e duobus saetoribus: solution m congruenti ac secundum modulum n Pendere a solutiouo duarum congruontiarum quumtu moduli sint illi Hotores teneraliter: solutio congruontino ineundum modulum comPOSitum quomuumque Pendet a solutione aliarum congruentiarum. quarum moduli sunt facior illius Duruera: hi aurem . si commodum osse videtur. Ita scinΡer v asta POΝSunt. ut
30쪽
Simili modo ut aequationis b radix per ' exprimitur. etiam congruentiae.ax - h radicem quamcunque Per - fiignabimus. congrui,ntiao mindulum. distinctionis gratia. uppononi R. Ita c. R. H m . l2ὶ donotat quomvis numerum . qui est mOd. l2J I. Generali tyr θx praecedontibus patet. in . o nil sit malo significare taut si quis malit aliquid imaginarii . si a. e hub ant divisorum commvn m. qui ipsum h n u metiatur. At hoc Casu PxCPPin. PN- pressio - smod. sempor valores reales habebit. Di quidem infinitos' lii vero omnes secundum e erunt congrui quando s. ud e linimus, aut secundum quando δ numerorum O. a divisor Communiκ minimus. Hae expressiones similom iere hal ut ut orithmum ut fructioncs Vulgures. Aliquot proprietateη quae facile ex Praecedentibus d duci P sunt hic nPponimus.
Problema quod magnum in inquontibus usum habcbit. invenire omneN num S, qui secundum modulas quotcuumve datos residua datu praebent. iacile EX Dr- dentibus solvi potest. Sint primo duo moduli A. D. Necundum quos numeruη