Werke Carl Friedrich Gauss 1

51쪽

pononiis is congruao sint unitati. Hinc patet omnis numeros M OxPon nisi id liOrtinentos inter residua miniuin numerori,ni a. avi, reporiri. QualeRVero Rint. quantaque eorum multitudo, ita dolinitum Si k est numserus ad dPrimuη. Duan ου Potestatos ipsius a , quarum Ox nonios α d. unitati non Erunt congrui: Νto enim mod. dὶ m vid. uri. 3lὶ eritquo a a: quare Ripotestas e ipsius a unitati esset congruii atquc ec d. seret otiam et hinc α - 1 contra hyp. Hinc manisostri tu ost. residuum minimuit, ipRius a ad exponeutem d pertinore. Si vorO k divisorem aliquem, c. Cuni ii communem habet: ipsius a- rosiduum minimum nil OXPonuntom d non portinet: quoniam tum potostas '' iam unitati fit congrua otit Onim por d divisibilis. sive in . h adeoquo u ι - l . uino colligitur . toti doni siumeros ud P Ρoncntoni d portinere quot numororum l. 2, a d ad ii sint primi. At memor in Psso Opori t. hanc conclusion m innixum osse suppositioni. unum munerum a iam habori uil exponen em ii lintilientem. Quamobroin dubium rvinanot. fierine poNsit ut ad aliquem exΡonotitona nullus ouauino num rus Portinent: conclusioque eo limitatur ut i 'd sit x Ol - 0 vcl d.

II. . Inni sint om a s divisores num ri p-l hi: it T. H etc. oritquo. quin omnos numeri l. 2.3 p-l inter hos sunt distributi,

52쪽

rodontis scilicet semper siri numeros quorum nulla potestus isserior quam p- 'unitati congrua, et qdidem totidem inter i et p-l quot insea p-l sint nil- mori ad p - l poni. Cuius thoommutis domonstratio quum minimo tam obvia sit quam Primo respectu videri possit, propter thoorematis dignitatoni liceat aliam

adhuc adiicero a praecedento nliquatitum diversum, quandoquidem methodorum divorsitius nil ros obscuriores illustrandas Plurimum conforro Sol t. Resolvaturp-l in lacturos suos primos finiquo p-l -a' b es etc., designantibus a, b, ceto. numeros primos inaequaleη. Tum theor malis domonstrationem Per sequentia absolvemus:

I. Sumper inviniri posse numerum A aut plurest in exponentem a' pertinentem, similiterque numeros B, Cute. ad exponentes b' es etc. respectivo pertinentes. II. Productum Ox omnibus punieris a. B. Cotc. bive huius producti r sistuum minimumὶ ad Oxponcntom p - 1 pertinere. Haec autona ita domon

Ι. Sit y numerus aliquis ox his l. 2, 3...p- l, congruentine ae a. l mod. 3M xυn satisfaciens, orun η enim hi numeri congruentiae huic, cuius gradus t satissacore nequeunt. . Tum dico si potestas iusius

y ponatur h. hunc numerum . sive cius residuum minimum ad Oxponentem

Νamque putet potestatem ipsius h congruam fore potestatip-l ipsius y i. e. unitati, Potest vom ' ipsius fi congrua erit Ρ testati ipsius y, i. e. unitati crit incongrua.' multoque minus Potestistesa 'ore. ἰpsiuκ h unitati congruitu osso P sunt. At e vinens infrumae Potestatis ipsius h. unitati conmune. sive exponens ad quam pertinet h. 'numerum α' metiri dobet sart. 48 . Quare quum a' per alios numoros divisibilis non sit quam per se ipsum . atque por inferiores ipsius vi Potestates. N cessario μ' urit exponens ad quom h .Purtiuet. Q. E. D. PQr simil- m thodum demonstratur, dari nuru ros ad inponuntes V, es etc. Pertinentes. II. Ni sul ouimus. productum ex omnibuη .l, B. C etc. non ud opinnentum p s. sod nil minorem l pertinere, t limum, p-i molietur art. 48 . kive erit ' lutcger unitate maior. Facile autem porspicitur. hunc quintientem vel ciso unum o num is Primis G, b, e est.. vel saltona Por aliquom Pinruui divisibilem inrt. 17 . M. yr. Ρ r a. de reliquin enim simile ost ratiocinium.

53쪽

Metietur itaque e ipsum eta' ; quare productum AB Cetc. Etiam ad Potestathm elevatum unitati erit congruum stri. 4M. Sed Perspicuum est singulos B, C, ore. exemto ipso A) ad potestatem elavatos unitati congruos fieri, quun inponentes ι' ei ete. ad quos singuli pertinent ipsum metiantur. Hinc erit

Unde sequitin exponentem ad quom A mrtinet ipsum moliri deborolari. 48 . t. e. esse integrum: ut - -- intcgor esse nequit sari 15 . Undo tandem concludere OPortet, suppositionem nostram o Siriter non PORSP. i. .e. Productum ADC etc. rovem ad eXponentem p - 1 pertinere. Q. E. D. Demonstratio posterior priori utiquantulum prodxi osse videtur. Prior contra posteriori miuus dir in. .

Hoc theorema insigno exemplum suppeditat. 'quanta circumspoctiono in theoria numerorum s Penumero opus Sit, ne, quae non Funt. Pro Curtis uSsumn mus. Coleb. Lambert in diss. iam supra laudata et i Erudit. 1769 p. l27 huius Propogitionis montionum lacte sest demonstrationis ne necessitatem quidem attigit. Nemo vero demonstrationem totitavit praetor summnm Eulorum. Comment. nov. Ae. Pietrop. T. XVnI ad annum 17 73, Demonstrationes circo residua eae divisione potestatum Rec numeros prinos resultantia p. 85 seqq. vid. imprimis stri. 3T ubi do demonstrationis necessitate fusius locutus cst. At demonstratio quum Vir Sa cissimus exhibuit duos dosectus habet. Aliorum quod uri. 3l et sqq. tam in SuP- Ponit, congruentiam, translatis ratiociniis illic adhibitis tu nostra signa revem n rudires. divorsus liniaere, quamquam aute nihil aliud fuerit demonstratum quam quod plures habere nequeat: Riterum, quod formulam art. 34 Per inductiononi tantummodo doduxit.

. Νumor ud exponculcni 1 - l pertinentes rudicra primitivas cum ili. Eulero vocabimus. Si igitur a ost radix Primitiva, mi latum a. aa, P. .. '

54쪽

RADICEM PRIMITIUAE. INDICES.

residua minima omnia erunt diversa: unde facile deducitur. intor haec omnos numeros I, 2.3,-l, qui totidem sunt multitudine quot illa residua minima. reperiri debere, e. quemvis numorum Per p non divisibilem potestati alicui ii sius a congruum esse. Insignis haec Proprietas Permagnae est utilitatis . opo- . rationesque arithmeticas, ad congruentias pertinentes. haud parum sublevare pot-ost. simili sere modo. ut togarithinorum introductio operationes arithmeticase vulgaris. Radicem aliquam Primitivam. a. ad lubitum pro b i. adoptabimus. ad quam Omnes numeros pCT p nou divisibiles inseremus, et si laetit a -b mod.13 ,e ipsius b indicem vocabimus. M. gr. si pro modulo 19. radix Primitiva 2 Probasi assumatur respondeimit

numeris l. 2. 3. 4. 5. 6. T. h. o. 10. 1 l. 12. 13.14. 15.16.l7.18. indices 0. 1.13. 2.16.14. 6. 3. S. 17. 12. 15. 5. 7.1l. 4. 10. 9.

Ceterum Patet, manente basi, cuique numero plures indices convenire, Sod hos Omne3 Secundum modulum p-l scire congruos: quamobrem quoties de indici bus sermo erit, qui Secundum modulum p - 1 sunt congrui pro aequivalentibus habebuntur, simili modo uti numeri ipsi, quando secundum modulum p Sunt Congrui. tamquam aequivalentes spectantur.

Theoremata ad indices pertinentiae prorsus analoga sunt iis quae ad lo=rithmos ηP Ctant. . . Indea producti e quotcunque factoribus conflati eonymus est si mae inaicum simulorum factorum Secundum modulum p - 1. Indo potest tis numeri alicuius congruua rat producto eae indice reumeri dati in

eoeponentem potestatis. Secundum mOd. p - 1 'Demonstrationes propior tacilitatem omittimus. Hinc perspicitur si tabulam construere .velimus ex qua omnium numerorum indices pro modulis diversis desumi possint. ex hac tum omnes numeros modulo mesores, tum Omnes compositos Omitti posse. Specimen huius modi tabulae ad cuicum operis huius adiectum ost. Tab. I. ubi in prima colurnua verticali Positi sunt numeri primi primorumque potestatos a 3 usque ad 97, qui tamquam moduli sunt s ctandi. iuxta hos singulos numeri pro basi assumti: tum sequuntur indices numerorum Primorum Successivorum, quorum quini semper Per Parolum in

56쪽

RADICES PRIMITIVAE. INDICEs. 49

sunt congrui tamquam nequivalonios spectandi sart. 26J. Ceterum patot. si A. II secundum p suerint congrui. expressiones O, PB m .pὶ nequival ontes fore. Iam si ponitur PAmae in . νὶ . erit u Ind. X Ind...1 in .sν- l . Ex hac congruentia deducuntur ad prae opta Rectionis Praec. valores ipsius Ind. r atque cx liis valoros respondentes ipsius ae. Facito vom perspicitur X habore t iidem Vstior . quot radices congruentia n Ind. aem Ind. A mod .p- 1 . Manisosto igitur v. 1 linum tantummodo valoroin habebit quando n ad p-l est primus; quando vero numeri n. p - 1 divisorem commvnom habent δὲ niquo hic Pst in ximus. Ind. in habebit δ valores incongruos secundum p - l, adeoque valtotidem Vuloros incongruos secundum p. siquidelii ind. A per δ est divisibilis. Qua conditione d fici lito , A nullum valorem realem habcbit. Memplum. Quaeruntur uniores expressionis Vi I mod. I9J. Miri itaque de , t congrusentia l5 Ind. ar Ind. ll -6 mod. 18 . invenienturque tres valores ipsius Ind. x - 4.l0. 16 mod. lS . His vero respondent valores ipsius X. 6.9. 4.

Quantumvis expedita sit methodus haec quando tabulae necessariae adsunt debemus tamen non Oblivisci. indirectam ossin osse. Operac igitur Pretium strit inquirere quantum methodi dirocino poli unt: trademusque hic ea quae ex Prii co-dontibus hauriri possunt: alia, quac considerationes reconditior S POStulant, udsoctionem VIII rosorvantes. Initium facimus a casu simplicissimo. ubi Asel, sive ubi radices congruontias '.r in t smod p) quaeruntur. IIic itaque. nssumta radice quacunque primitiva pro basi. debet esse n Ind. x 0 mod .p- l . QuaPCongruDntia, quando n ad p - 1 ost primus, unum tantummodo radicem hul bit. Scilicot Ind. X 0 Irnod .p- l): quare in hocce casu ut m .p) unicum V lorem hul t. scilicet l. Quando autem numeri n,p-l habent dirisOrona commvnom maximumὶ δ, congruontine n Ind. X - 0 m .p-lὶ solutio com-Ρleta erit Inil 0 mod. V. art. 20 . i. e. 4nd. x Socundum modulum p - l alicui in his numeris

congruus osse dobcbit . sive 8 valores secundnui modulum p-I incongruos habebit: quaro etiam ae in hoc e casu. δ valores diversos secundum modulum

57쪽

ρ incongruosὶ habebit. Hinc Ρerspicitur. Oxpressionom v l Otiam δ valores divorsos habere, quorum indices cum ante ullatis Prorsus conu niant. Quocirca

cxpressio Ul mod. 1νὶ huic v l m .pὶ omnino acquivalet. i. e. congruontiui mod. I dum radicos habet quas haec. .f- 1 mod.Ii . Prior autem inferioris erit gradus siquidem δ ct n sunt inacqualos. . v a smod. 19ὶ tres habet valores. quia a maxima numerorum l5, i Smensura Communis, hiquo simul erunt valores expressionis , t tmod. l9j. Sunt autem hi 1, 7 11.

Por hanc igitur reduction m id lucramur ut alias congruentius formae solvere non sit opus. quam ubi n numeri p - 1 est divisor. Iulia vero ostendemus. congruentias huius sermuo somlaer ultorius adhuc deprimi posse. licet Pra cedentia ad hoc non sufficiant. Unum tamen casum iam hic nbsolvere Possumus scilicet ubi n-2. Manifesto Onim valores expressionis Vi orunt H-l et quia plures quam duos habere nequit, hiqno H-l ot - 1 semper sunt incongruinisi modulus sit - 2. in quo casu Pl unum tantum valorem huiu)ro Posse. Perse Clarum. Hinc sCquitur. H-l et -l etiam fore valoros oxpressionis quando m ad - - sit Primus. noc sempor ovonici. quoties modulus est eius indolis ut ' fiat numerus absoluto primus uisi sorte p - i - in quo casu omnes numeri l. 2, 3 p - 1 fiunt radices) ex gr. qumdo P 3, 5, 7,ll. 23 47. 59,8 3.107 etc. Tamquam corollarium hic annotetur. indicem ipsius - SemPer Esse mOd.p-1 , quaecunque radix primitiva pro basi accipi tur. Namque 2 Ind. -lὶ - 0 mod.p-I . Quare Ind. -lὶ crit vul -0. Vel smod.p- l): 0 vero semper index ipsius Φl, atque Η-l et - l semper indicos diversos habere debent praeter casum p - 2 ad quem hic respicere operae non ost Pretium .

. 63.

Ostendimus art. 60 expressionem vis mod.1νὶ habere δ Vulores divorsos. aut omnino nullum, si fuerit δ divisor communis maximus numUrorum n, p- 1. Iam uti modo docuimus Di ut v d aequivalentos osso. si fuerit A- l, generiaius probabimus, expressionum 1 semper ad aliam P B roduci posse cui nequivalent. Illius cnim valore quocunque denotato per ae erit a A; iam

58쪽

RADI A PRIMITIVAE, INDICES.

sit i valor quicunque expressionis mod.13 - 1 , quam valores reales habere exuri. 3l perspicuum: oritque at propior in-δ m .p-l . Quare . adeoque quicunque ipsius vis vulor erit etiam valor ipsius A . Quoties igitur O valores ruatos habet. expressioni PA prorsus nequivalens erit. quoniam illa neque alios habet quam haco neque pauciores, licet quando vis nullum valorem realem habet, fieri tamen possit ut valores reales habeat. M. Si vitiores expressionis Ir2 mod. 3Iὶ quaerutitur, erit numerorum2l ot 30 dirisor communis inneximus 3, expressionisque - mod. 30ὶ vulor aliquis 3, quare si V2 valores ronios habet, huic expressioni 2 sive PS a quivalebit, invenieturque revora, posterioris Oxpressionis valores qui sunt 2.l0. 19etiam priori satisfacere.

Ne autem hanc Operationem incassum suscepisse periclitemur, rogesam in vostigare oportot. per quam statim diiudicari possit utrum vis valores reales admittat necno. Quodsi tabula indicum habetur: ros in promtu est; namque ex art. 60 manis stum est, valoros reales dari. si ipsius A index. radico quacunquo primitiva pro basi accepta. Per o sit divisibilis, sin vero minus. non dari. Attamen hoc etiam absque tali tabula inveniri potest. Posito enim indice ipsius Am k. si hic suerit per δ divisibilis, clit ' λ por p-l divisibilis ot vi c

bet vitiores reales, A unitati congruus crit, sin minus, incongruus. Ita ineriem Plo uri. Praec. habetur 2 ' - 1024- l mod. 3 l . unde concluditur 'v 2 in . 3 lj valores maloK hahere. Similiter certiores hinc fimus, v -l mod. ASOmΡcr Valores binos reales habore. quando p Sit Drmae 4 m-- l. nullum vero, quando p sit formae 4mH-a; propter sὶ -l ot ' - l. Elegans hoc theorema. quod vulgo ita profertur: Si p est numerus primus formiae 4 m -- l . inveniri potest quadratum au. ita ut aa - i per p sat divisibilis: si rem p est formae 4m - l. tale.quadratum non datur, hoc modo demonstratum est ab ili. Eulero. Comm. uor. Acud. Petrop. T. XVIII p. li 2 ad annum l773. Demonstrationem aliam iam multo ante dederat. Comm. nov. T. V p. 5qui Prodiit a. 1760 . In dissori. priori, Comm. nov. T. III p. 25. rem nondum

59쪽

perfecerat. Poston etiam iit. La Gran theorematis domonstrationem tradidit. Murea ME . de ἴAc. de Deriis A. 1775 p. 342. Aliam adhuc domonstrati nem in sectione sequenti ubi proprie do hoc argumonis Uondum erit. dabimus.

Postquam omnes exprossionos P. 1 in .pJ ad talos reducoro docuimus, ubin divisor numori ρ - l. criteriumque nacti sumus utrum valoros ronius udmittat. necne, talos expressiones v 1 inod. p) ubi n ipsius p-l ost divisor accur lius considorabimus. Primo ostendomus. quam relution m Vulor A singuli EXPressionis inter se habeant. tum artificia quaedam trademus, quorum auxilio unus V lor xpressionis SuePonumoro invoniri possit. Primo. quando A- l. atque r aliquis ox n valoribus expressionis Omod p). sive l m .p . omnes etiam ipsius r Potcstatos erunt in rosistius expressionis: horum autem totidem erunt divorsi quot unitatos habet exponens ad quem r pertinet fart. lS . Quodsi igitur r ost lator nil oxtionentemn Portinens, potostatos ipsius r hae r. H. H U ubi loco ultimae unitas substitui potesti omnos inpressionis mod p valores involvont. Qualia autem subsidia cxstent ad talos valoros inveniondos qui nil OxΡOuunt m n Portineant. in Soci. VIII susius explicabimus.

Secundo. Quando A unitati ost incongruus. unusque unior inpressionis ira imod ρὶ notus. qui sit r. reliqui hoc modo inde deducuntur. Sint valor u Pressionis di hi

uti modo ostendimus . oruntque omnos expr. ori valores hi

60쪽

uADICES PRIMITIVAE. INDICE .

quo hinc concludendum omnes valores exiri. vis inveniri non posse. nisi simul

Secundum quini nobis Proposueramus fuit docere, in quo casu uni APTO .sionis v Al mod. ρὶ valor ubi n supponitur esse divisor ipsius p-ιὶ diro te inveniri possit. Hoc ovenit quando aliquis valor potestati alicui ipsius A congruus evndit . qui casus quum haud raro Occurrat . aliquantum huic rei immoruri non superfluum orit. Sit talis valor, si quis datur a. sive r A- ct A es in .p . Hinc colligitur quare si numerus k habetur. ita ut sit A A P erit valor quaesitus. At huic conditioni aequivalet, ista. ut siti -kn min. , designanto t exponontom ad quom pertinet A tart. 46. 4S . Ut vero haec congruentia possibilis sit, requiritur, ut sit n ud t primus. Hoc in casu erit k- mod. : si vero t et .n dirisorem communem haboni. nussus

ustior e potestati ipsius A Congruus PSSO POtUSt. .

Quum autom ad hanc solutionem ipsum t norisse oporteat, rideamuri qu modo Procedere Possimus, si hunc num rum ignoremus. Primo sacile intolligitur. t ipsum metiri debere, siquid in in .fi valores reales habeat . uti hic semper Sul'ponimus. Sit enim quicunque valor y. eritque tum l. tum , -A min. χὶ: quaro Plevundo partes Posterioris congruontiue ud potostatem m. 1iot A n -l: adcoquo e -- pcr t divisibilis i art. l , .lain si e - ad n ost primus. congruentia uri. PrueC. kn - l Ptiam η undum ni ululum ' solvi potorit, manifestoque valor ipsius k congruentiae secundum modulum hunc satisfacietis eidem etinui socundum modulum t. qui ipsum metitur . satissaniet sart. 5 . Tum igitur quod qua rebatur inv n-tum. Si vero ad n non. cst primus. Omnos ipsius ' factores primi qui iamul ipxum n motiuntur Ox α-- ' Oiiciuntur. Hinc nunCiscemur numerum ' . ad n primum. deruignanto q productum in Omnibus illis factoribus primis, quos Hecimus. Quodsi tum conditio ad quam in urtic. Praec. Pervenimus uti ad n sit Primus locum habet, i ctiam ad q Drit primus udomuo ctiam iΡ- Sum -- metietur. Quare Νi congruentia kn- l mod. solvitur quod fieri potost quia n ad primus . valor ipsius k otium secundum modulum