장음표시 사용
41쪽
Iam quoniam qumque permutatio EX p robus constat. Patot cuivis p - lsimiles adinveniri posse. si ea res quae prima fuerat . ud secundum tertium est. locum promoveatur. Quarum si nullao idonticae osse possunt manisostum ost. omnium pormutationum numerum Per p divisibilem eundere, quippe qui ρ ri cibus maior sit quam numerus omnium permutationum dissimilium. Suppon mus igitur duas permutationes PQ ... TI ... YZοῦ ... YZPQ ... Tquarum aliora ex ultera por terminorum Promotion in orta sit. idonticas esse sive P Uetc. Sit terminus P qui in priori ost Primus. n H- l μ' in posteriori. Erit igitur in serio postoriori torminus nH-lP'. nequalis primo. nH- 2 μ' secundo etc. undo 2nH-l μ' rursuΝ Primo uoqualis ovadot . eadumque ratione an sei μ' etc.; gon resitorque terminus knH-m μ' m ' ubi quando kn --m ipsum p sul,serat. aut series V. . . V Q. . . T sempor ub initio repeti concipienda est. aut a kn-sem multiplum ipsius p proxime minus roscindondum . Quamobrem si h ita dolor- minatur, ut fiat kn - l mod.p . quod fieri Potest quia st Primus. Nequitur Mno
omnes eo 'icientes S. 2'. ... 8 int Fri e e noqueunt. Demonstri Exprimantur omnos fractiones in coemcientibus A. B Pin. a. bctis. Per numeros quam minimos, oligaturquo ad libitum numerus primus p. qui reliquem aut plures ox donominatoribus harum fractionum metiatur. Ponamus, id quod licet. ρ metiri denominatorem alicuius coefficientis fracti in P . Patetque
si Per p dividatur. otiam in dari ad minimum unum C mcisenti misa tum cuius denominutor implicol factorem p puta coefficientem primum .
42쪽
Iam facile perspicitur. in P datum iri terminum unum. Dactum. cuius den minator involvat plures dimensi nos ipsius p quum donominatores omnium similium praeco lentium, et non pavetores quum denominator 8 omnium sequentium:
sit hic terminus se Gar'. et multitudo dimensionum ipsius p in donominator ipsius G. - t. Nimilis terminus dabitur in qui sit in Ilai et multitudo dimens num ipsius p in donominatoro ipsius C -τ. - Manifesto hic erit tri- et ad minimum 2. His ita praeparatis. terminus Producti Ox IV et coesticientem habebit fractum, cuius denominutor t- - r - l dimensiones iΡ-sius p involvet. id quod ita demonstratur. Sint tormini qui in IV torminum G praecodunt. 'GUΦ . 'G.μ etc.
sequentes vero G 3. π' etc. similiterque in pr codant torminum I H tormini 'Vae t. etc. sequantur aut in tormini Γ'.H V .H etc. Tum constat in producto ex I . coumcientom lsrmini soreis G ΓΦ 'GVin GV etc. --Υ y - - is es etc. Pars GF erit fractio quae vii lior num ros quam minimos exprimitur in denominatore tH-r dimonsion A ipsius p involcit, roli quae autem partes si Sunt fructaP. in denominatore pauciores dimonsiones numeri ρ implicabunt. quoniam Omnes sunt producta e binis factoribus quorum alter non plures quam L, ultor vom pauciores quam x dimensioncs ipsius p implicat: ves ultor non Plures quam r. ulterque Pauciores quam t. Hinc . GΓ erit fornino λλ. ε reliquarum vero summa formae ubi δ ivisitivus et e.ff a iactore p libori: quaro omnium Summa erit m cunis numerator per ρ non divisibilis, adeoque denominator I vir nullum reductionem pauciores dimensiouos quam tri-r obtinoro potost. IIinc
coemciens termini aeg 7 in producto ex in oriti. e. fructio cuius donominator t--τ - l dimensionos ipsius p implicat. Q. E. D. ν
43쪽
cuius modulus rat numerus primus p. ipsum .i non metiena, pluribus quam mmodis diversis solsti non pes t. sire plures quum m radiceae Xecundum ρ inconfruabnon habet id. arti. 25. 26 . Si quis neget. Ponamus dari congruentias diversorum graduum m. n ore quae plureη quam m. n etc. radices habeant. sitque minimus minus m. ita ut Omnes similos congruontiae insoriorum graduum ilicorumuti nostro sint consentaneae. Quint quum de primo gradu iam supra Sit demonstratum surt. 26ὶ, 'Hanifestum est. m fore aut 2 aut maiorem. Admittet itaque congruentia
saltem m-- l radices. quin sint .r-α. X-6. v I etc.. Ponamusque id quod licet Omnes numeros a. 6. I etc. esse positivos et minoros quum p. omniumquUmiuinium a. Iam in congruentia proposita substituatur diro X. y - a. truuSORNque inde in hanc
i. e. congruentia A, Ny f- etc. in II uquae ost gradus m- l j. m radicos habet et proin thooronanti nostro advorsatur Patot enim facile. A' sere A. Mooquo per ρ non divisibilem. uti requiritur licet supposuerimus. omnos congruontius inserioriΑ gradus quum m . thooromati consentire. Q. E. A.
44쪽
Quamvis hic supposuerimus, modulum p non moliri coefficientem termini summi. tam v theorema ad hunc Dasum non rostringitur. Ni enim primus coem- ciens sive etiam aliqui soquentium per ρ divisibilos ossoni. hi tormini tuto rotici possent, congruentiaque laudom nil inferior in gradum d primoretur. ubi e mcions primus P r P non amplius foret divisibilis. Siquidem non omnos coemcientos ivir ρ dividi possunt: in quo caesii congruontiu foret idolation ut luo ino nita Prorsus indeterminata. Theorema hoc primum ab ili. La Urangu propositum atque demonstratum est Mem. de L Ae. de Berlin. Annis 1768 p. ls 2 . Exstat otiam in dissert. illi LoGendre. Recherches csAnalyse indete misee, Hist. de LAOd. de Paris 1785 p. 166. Ill. I uter in Nor. Comm. Ae. Petr. XVIII p. 93 domonstra it congruentiam x - l 0 Plures quam n rudicos diversas habere non posse. iauuct quam fis Sit partiCidaris, tanton mothodus qua vir summus usus ost Omnibus congruentiis tacito adaptari potest. Casum adhuc uingis limitatum iuui nutin absolverat. Comm. nov. Ac. I D. V p. 6. Νυd haec mothodus neruiitor adhiberi noquit. Infra Noot. VIII alio adhuc modo theorema demonstrabimus: ut quantumviκ divorsae primo aspectu omnos hae mothodi rideri I, issint. periti qui compararo Ona volu rint sucile certii res fient omnes eidem principio superstructas esse. Ceterum quum hoc in rema hic tantum tamquam lemma sit considerandum. nequo completa expositio huc Pertinent: de modulis compositis seorsim Voro sup rs domuΝ.
45쪽
ΤΗΕD MA. In omni Proyressione seo etricia 1, a. aa. a' etc. praeter primum l. allux adhuc datur terminua a . secundum modulum p ad a primum unituti congruus, cuiu3 pone tu tet p. Demonstr. Quoniam modulus p ad ti, adeoque ad quamvis ipsius apotostatem ost primus, nullus progressionis torminus erit -0 m .p . Sod quivis alicui Ox hisi numeris l. 2. 3 p- l congruus. ' Quorum multitudo quum sit p- l. manifestum ost. si Plures quum p - 1 progrOsAionis termini consid rentur. OmnPs rosidua minima divorsa habere non posso. Quocirca inter torminori l. a. au. a- ω' hini ad minimum congrui involaiontur. Sit ita tuo a a et in n. fietquo dividendo per a . a l art. 22ὶ ubi m - nc p. Pt u. Q. E. D. V In' progrPssione 2, 4. S Din. torminus I rimus qui fiocundum modulum la unitati est congruus. invenitur 2' - 4096. At socundum modulum 23 in cadum progressione fit 20 - 204 S. s. Similiter numeri 1 potestas Sexta ib625. unitati congrua s cundum modulum T. quinta vom. 3l25. Socundumἴ ll. In aliis igitur casibus potestas exponentis minoris quam p - 1 unitati congruacundit. in aliis contra usque ad potestatem p - ' i condoro nec Ss St.
46쪽
RESIDUA TERMINORUM PROGRESSIONIA GEOMETRICAE.
Quando progressio idtra torminum qui unitati est Congruus continuatur. Cn. dein quac ab initio habebantur residua prodount iterum. Scilicet si a - . rita ' a. a ' - - etc. donec ud torminum a Perveniatur. cuius residuum minimum iterum crit mi, atque residuorum periodum donuo inchoat. Habetur itaque periodus t residua comprehendens, quae simulac finita est ab initio sum- . laer repetitur; noque ulla residua quam quae in huc periodo continentur in tota Progression Occurrore Possunt. Gono litor erit a Misi. st a ' a . id quod per designationcm nostram ita exhibetur:
Potitur ex hoc theoremate compondium Potostatum quantumvis magno PXPOnonte assectarum rosidua exPedito inveniondi. simulac potestas unitati congrua innotescat. Si eae. yr. residuum e divisione potestatis δ' '' per I 3 oriundum
uuando a est insima potostus unitati congrua praeter a' l. nil quPm casum hic non respicimus). illi t termini. residuorum Periodum constituentcs Om- nos crunt diversi. uti cx demonstratiotio art. 45 nullo n otio perspicitur. Tum autem propositio nrt. 46 convorti polost; scilicet Ai a -a mOd.1,j, erit ut n mod. . Si enim m. n secundum modulum t incongrui essent, residua eorum minima μ. v divorsa forent. At a' u . a seia , quare at ina' l. e. non Omnes potestates infra af incongruae forent contra hypoth. Si itaque a-- l niod.M. erit k-0 mod. h i. e. k per i divisibilis. . Hactenus de modulis quibuscunque si modo ad a sint primi diximus. Iam modulos qui sunt numeri absolute primi seorsim consideremus utque huic suridamento investigationem generiaiorem postea SuPCrStruumus.
47쪽
. 49. THEOREMA. Si P est numerus primus ipsum a non metiena, atque a insima' ipsius a potiratus Areunduo modulum p unitati eonyrua. exponens t aut erit p - l aut pars aliquom huius numeri. Conserantur Oxempla uri. 45. Demonstr. Quum iam ostensum sit, t esse nut p - l. nut QP - i. superest. ut in Postoriori casu i soniper ipsius p-l partem aliquotam ess
I. Colligantur residua minima I sitiva omnium horum terminorum l. a. - . , quae Per a. α'.α etc. dos noutur. ita ut xit a a via, a in eis. Perspicuum Ost. haec omnia sere divorsa. Si enim duo tormini a , a adum praeberent. foret supponcndo m n l atque m - no. Q. E. A. quum uulla inferior potestas quam a unitati sit congrua h . . Porro omnes a. α'.α etc. in Serio num rorum 1.2.3 ...p-l continentur, quam tamen non exhaurient. quum te: - 1. ComPlcXum omnium a. a. α' etc. Ρor A designabimus. Comprehendet igitur Aὶ terminos t. II. Accipiatur numerus quicunque si ex his l. 2.3...p-l, qui in A desit. Multiplicotur 6 per Omnos a. a. α otc.. sititque residua minima inde oriunda g. 6'. 6 etc.. quorum num riis etiam crit t. At haec residua tum intorso quam ab omnibus a. a'. a etc. erunt divorsu. Si cnim prior iissortio sulsa esset. haboretur sv - 6ci' adeoque dividendo por 6. a'. contra ou quae m do demonstravimus: si vom posterior. Iinboretur . 6a a'. undo, quando me n. 6 re i. e. 6 relicui Ox his α. α'.α etc. congruus colitru hyP.; quando Verom n. sequitur multiplicundo Per nu - a ' sive propter a l. 6 m a ' quase ost padom absurditas. DPRignetur comploxus omnium s. s. ς' ore. quorum multitudo set, lier in , habebutiturque iam 2t num ri cx his l. 2 3 ...p-l. Quodsi igitur . t Pt in omnos hos num ros comploetuntur. fit it adooque thooroma domonstratum. III. Ni vero aliqui nilliu doliciunt. sit horum aliquis T. Por luino multiplicuntur otianos a. α'. a et . . Productori Tnquo residun minima Sint T. I. I' Ptc.. omnium. Complexus per C designetur. Cj igitur comprehendet i numoros CX 'iis 1.2.3 ...p- l. qui omnes tum intor so quam n numeris in A) ot in
48쪽
contentis erunt di orsi Assortiones prior 'milvin i do domi nRtrantur iit in II, tertia ita. Si cssot ra' in . si 'rot I aut Protas in n. aut n, in utroque casu I uti cui Ox B 'ngrua contra hyP. Habentur igitur 3t numeri ex his l. 2. a...p-i ut luo si nulli amplius desii ut, si oti ademiae. thoorema erit domi ustratum.1V. Si vcro etiamnum aliqui desunt. O Oin in 'io nil quari uim Numerorum complexum D) progrediendum erit otc. Patet xuro quoniam Dum rorum l. 2.3 p - 1 multitudo est finita. tandem eam exhaustum iri. ad quo nullii plum ipsius t fore: quare t erit pars aliquota numeri p-- l. Q. E. D.
per p dirisibilis eat. 'ando p est primus ipsum a noti meti S. Theorema hoc quod tum propter elegantiain tum propior eximium utilitatem omni attentione dignum. ab inventore theorema Fremat num api Milari solo t. I id. Fematii opera Mathem. Tolo ae I 67 9 fol. p. 163. Demonstrati Onom inventoruon ndi est . quam tamen in potestate .ua esse professus est. Id. Euler PrimuS demonstrationem publici iuris secit. in diss. cui titulus. Theorematum quorundam ad numeros primos spectuntium demo tratio, Comm. Acad. Petrop. T. VIII j. . Iu- nititur ista evolutioni potestatis 'H-l ubi ex coesi ontium forma facillime deducitur--,'-l sculpor per p sore divisibilom. adeoque M l P -
a l) per p divisibilem fbro. quando tig-a per p sit divisibilis. Iam quia
le - l semper por p divisibilis ost. etiam s-.2 semper orit: hinc Otium 3 -3 etc. gonorati torque a/' . Quodsi itaque p ipsum a non etitur, etiam per p divisibilis erit. Hace sussci iit ad mothodi indolem declarandam. Clar. Lumberi similam domon ni rationem tradidit in Aetis Dudit. 1769
49쪽
p. 1 09. Quia vom evolutio potestatis hi homii a th Ha numerorum satis aliena Me vi batur. aliam demonstrationcm ul. Eulor investiguvit quae Oxstat Comment. nov. Pere. T. VII p 70, atque cum ea quam nos art. Pra c. DXPosuimuS P rSus convenit. In sequentibus adhuc ulino qua dam so nobis offorent. Hoc loco unum sat eraddere liceat, quae similibus principiis in utitur. uti prima ilI. Eulori, Pr positio Sequons, Cuius en us tantum Particularis est theorema nostrum. Ptiam ad alius investigationus infra adhibebitur.
siquidem p est numerra prim M. . Demonstr. Constat potestatem p Polynomii a - bH-c-- utc. esse min- positam e partibus sermae Ea ex etc. ubi α-ρύ - - Tore. p. ct κ dosignat quot modis p res, quarum α. 6, 7 etc. msPoctivo Sunt a. b, c Otc. . PCrmutari Possint. At supra ari. 4l ostendimus, hunc numerum Semper esse per ρ divisibilem. nisi omnes res sint amitat . 1 . e. uisi aliquis numerorum cr. U. I Est. Sit reliqui vem -0. Unde sequitur Omnos ipsius aΗ-b -e - etc. ' Parios. Praetor has M, he.ce etc., Per p divisibilos esse: quae igitur quando de congru-cntia secundum modulum p agitur . tuto Omitti poterunt. fietquo
Quoniam igitur alii numeri quam qui sunt dirisores ipxius p - l tiequeunt e8Se DXmnentes potestatum infimarum ad quas Qvocti numeri aliqui unitati congrui fiunta quaestio sese offert. num omnes ipsius p- l divisores ud hoc sint idonui, atque, quando omnes uumeri per P non divi8ibiles secundum exlion n-tem infimae suas potestatis unitati congruac classi ficentyr, quot ad singulos CXΡ nentes sint perventuri. Ubi statim observare conVcuit. sufficere. Si Omnos numeri
50쪽
imsitivi ab l . usque nil p --l Considersentur; manis stum enim est. Dum ros congruos ad eandem Potestatoni olovari do re . quo unitati fiant congruae. ademque numorum quemcunque rid cundum exponentom esne rosorondum ad' quem residuum suum minimum i sitivum. Quocirca in id nobis. erit iucumbendum. ut quomodo hoc restae tu numori l 2.3 p-l inter singulos sectores numerip 1 distribuendi sint cruamus. Brevitatis gratia. si d est unus e divisoribus numeri p-l nil quos etiam i et p-l reserendi , per tyd dosignabimus multitudinem numerorum Positivorum ipso p minorum quorum Potestas d est
Quo facilius haec disquisitio intolligi possit. exemplum aPPOnimus. Propin tu distribuentur numeri l. 2. 3 l inter divisores numeri 1 8 hoc modo: il l. 18.
exigua attonito docet. totidoni ad quemvis exponentem Pertinere, quot dentur nu- mori hoc non maiores ud ipsumque primi. sivo osse in hoc certe casu, retento fit no art. 39. lyd Φd. Hunc autem Obsorvationem generaliter vorum esse ita de
li Si nuuturus aliquis habetur. u. ad Oxponentem d pertis 3 i. e. cuius potestas d ' unitati congrua. Oinnes inferiores incongruno . omnos huius Pot Sin tes a a. a' a' a sive ipsarum residua minima propri tutem Priorem etiam possidebunt ut missias ipsarum unitati sit congrua et quum hoc ita etiam EXPrimi POSSit. residua minima numerorum a. uti. αδ a- ίquno omnia suΠt di Versa ESse radices congruontivo l. haec autoni plures quam d radices dia Versas habere Iloquont. manis tum ost. praetor numerorum a. an. a a- rosi dun minima alios nomeros intor l et p - incl. non dari quorum Potestates