장음표시 사용
31쪽
quaPhitus, z. . mnoris a. b respectiVE congruus PMe debeat. Omnas itaque valores ipsius r sub serina Aae Η- a continentur, ubi ae ost indeterminatus sed talis ut fiat Ax H- α - b niod. B . Quodsi iam numerorum I. B divisor oviumnis minimufi ost c. resolutio completa huius congruentino hanc habebit formum: ae - v m . i) si vo quod codem redit. X - ο -l- - . denotanto k numerum integriun arbitrarium. Uinc sermula Av- - a - - - . Omnos ip- B Osius a valores comprohondet: i. e. z - AP a min. - erit resoluti O mmpleta problanilitis. Si ad modulos A. B tortius accedit. C. secundum quem nut rus quaesitus e debet ome me, ninnis to eo in modo procedendum. quum hinno priores conditiones in unicam iam sint conflatae. Scilicol si numerorum C diviMor communis maximus . - ε, atque congruontiae - ' x - Ar -Hame mori. Ci r ηolutio: ae in linod. probloma Ρor congruentiam e - '
AU -- ct 'mod. a . complato erit resolutum. Nimiliter proconsendum. quotcunque moduli limponantur. bservari Convenit Ossct num rorum A. B: De A, B, C respective minimos communes dividuo . facitoque inde perspicitur, quotcunque habeantur moduli A. B. Cotta. si eorum minimus communis dividuus sit M. resolution in completam hanc sermum hab rei a r in . IV.Cotorum quando ulla congruentiarum auxiliarimn est irresolubilis. problema impossibilitatem involvere.concludendum est. Perspicuum vero . hDC exenim non POSSC. quando omnos numeri , A. B. C etc. intor su sint primi. M. Sint numeri A. B. C: a,.b. e: 504. 35. is i 17. - - 4. 33; hic dun conditiones ut a, sit l7 min. 504ὶ ct -- 4 in . 35 unicae, ut sit 52l od. 2520 a qui valenti cx qua cuni hac z-33 mod. is coniuncta. Promanat z 3041 smod. 5040 . '
Quando omnes numeri A, B, G cte. inter de sunt primi, constat. productum cx ipsis osso minimum omnibus communem dividuum. In quo casu nanni festum Pst. Omnos Congruentias a Taimod. A : z b in . A cin. unica z- r m . R . Prorsus aequivaleru, donotante R numerorum . l. B, C etc. Productum. Hinc vero vicimini sequitur, unicam conditionPm z. vir mod. Rin plur dissolvi posse; scilicet si R ' quomodocutiquo in iactores iniur se primos A. B. Cetc. rowlvitur. conditiones a r in . A .' a- r imo t.'D . a vir mod. Q. etc. Propo8itum exhaurient. Haec observatio mothodum nobis RPorit
32쪽
non modo impossibilitatom. si quam sorto conditiones proivisitas iniplicent. Riatim detegendi. sed etiam calculum commodius atque concinuius instituendi.
Sint ut supra conditiones Propositae, ut 8it z-a inod. . a b mod. R. a se e mOd. Q. Resolvuntur omnes moduli in sucinxua inter so primos . A in A' A' A etc. : B in s V Π ore. otc. ct quid in ita ut numeri A', A etc. v. Η etco etc. sint aut .primi, aut primorum Ροωstutus. Si vom aliquis numor rum A. B. Cotc. iam Dor se est Primus. aut Primi Potostas. nulla resolutiono in factorea Pro hocce opus Est. Tum vero in praecedontibus patescit. Pro conditionbbus propo tis hasce substitui Posse: ama mod. A . a - a sm . A J. et in a mod. xj etc.. z -b Dod. v . a -b mod. Γ j etc. ore. Iam nisi omnes numeri A. B. C etc. svorint inter se primi. ox. gr. si A ad A non primus. manifestum QRt. Omnes divisorus primos ipsorum A, B divorsos osso non posso, sed inter sactores A. A . A ' etc. unum aut ultorum csso obcru, qui intor A. L . Η ctc. aut nequalem aut multiplum nut submultiplum habeat. Si primo A - Η. conditiones et a mod. π), z - Γ mod. Η) idcutimo osse debent, si vo a b in . A' vel vj. quum ultorutra reiici writ. Si vero non a b mod. A . Problema impossibilitatem implicat. Si .ecundo A multi Plum ipsius A , conditio a a inod. πὶ in hae- mOd.L'ὶ contenta osse de t. stye haec e-b ίmOd. AJ quae ex posteriori deducitur.cum Priori idcutica esse Obot. Unde xcquitur cotiditiunum .mod. A J. nisi alteri repugnet in quo O ii Problema iniimssibiluὶ roiici posse.
Quando omu s conditionea Superfluae ita resectae sunt, Iinint. Omnos modulos ex his A. A . A etc., Η. V. Π in. ore. remanonica intor se primos laxe: tum igitur de problematis possibilitate certi esse ot secodum praecepta aut 'data Proce-dore PosSumus.
33쪽
Cotorum palum est. Pistrumque commodius sere. si de conditionibus remanentibus eno quae OX una endemque conditione evolutae erant Aeorsim recolligantur, quum hoc nullo negotio fieri possit: e.s. quando ex conditionibus z- a m . A .r a mod A ) etc. aliqimo abi runt: quae ex reliquis restituitur. 'anec erit. 2 an secundum modulum qui EAt Pro luctum Omnium modissorum ex A. A . A est. remanentium. Ita in nostro exemplo ex conditionibus z-- 4 mod. 5ὶ, a - 4 mod. 7ὶ ea ex qua Ortae erant z--4 mod. 35 sponte restituitur. Porro hinc sequitur haud prorsus Perinde Se, quaenam ex conditionibus suPerfluis reiiciantur, quantum ad calculi brevitatem: sed haec aliaque ninficia practi a. quae ex usu multo facilius quam ex Praeceptis ediscuntur hic tradere non est instituti
Quando omnes moduli A. B, C, D pto. inter se sunt primi. sequenti in thodo saepius' praestat uti. Determinetur numerus a secundum A unitati. R cundum reliquorum modulorum Productum voro eismo congruus. nivo sit a ' valor quicunque iterumque Praestat minimum necipere DXPmεηionis I m. - mini. M per B CD etc. multiplicatus irid..art. 32': similiter sit ἐν es 4 inod. Iij et - 0 mod. A CD etc. . I inod. Q ct in o mod. ABD etc. l. etc. Tunc si num rus a desideratur, qui secundom modulos A, B, C, D etc. numeris a. b. e. d etc. respective sit congruus, poni poterita α a 6 b - - γ c c d etc. mOd. A B UD ore. . 'Manifesto enim. αα - a min. A.ὶ; reliqua autem membra 6 b. Ic est. Omnin- 0 mod. a): quare a m a in . A). Similiter de reliquis modulis demonstratio adornatur. Haec solutio priori Ρraeserenda. quando plura huiusmodi problemata sunt solvenda. pro quibus moduli A, B, C setc. valores suos retinent; tunc Pnim muneri α. 6, 7 etc.. vulares constantos nanciscuntur. HOC usu venit in Ρrobi mate chronologico ubi qmoritur. quot is in periodo Iuliana sit annus. onius indictio. numerus aureus . et cyclus solaris datitur. Hic Ain b. B-ls. C-2S: quare
34쪽
quum valor expressionis is mod. ib). sive imod. 15 . sit 13. erit α - 6916. Similitor pro 6 invenitur 1200, ct pro I 4845. quare numerus quaPSitus erit residuum minimum numeri 6916a Φ.1200b -- 4845 c. denotantibus a indictionem. b numerum aureum . e cyclum Solarem.
Hace de congruentiis primi gradus unicam incognitam continentibus sum-ciant. Superest ut de congruentiis agamus. in quibus Pluros incognitae sunt por- mixtae. At quoniam hoe caput . si omni rigore singula exponere velimus. Sine prolixitato absoliri non Potest. Propositumquct hoc loco nobis non Pst. Omnia exhaurire, sed ea tantum tradore, quae attentione digniora ridoantur: hic ad paucas observationes investigationem restringimus, uberiorem huius rei exposition mad aliam occasionem nobis res mantes. 1ὶ Simili modo. ut in acquationibus, perspicitur, otiam hic totidem congruentias haberi debere . quot sint incognitae determinandae. 2 Propositas sint igitur congruentiae ax in by - - cz ... - f mω. mὶ . . . .. A a x -- b'y c z ... f γοα α -- Cy -- e a .. -T . A J
totidem uumero, quot sunt incognitae X. y, z etp.
et quidem ita ut omnis sint intcgri nullumque factorem communem habeant. quod fieri posse ex incoria aequationum lincurium constat. Simili modo determinentur v. v. ν' etc. ι c. z etc. etc. ita ut sit
35쪽
28 DE CON UENTIIR PRIMI GRADUS.
3ὶ Manifestum est si congruentino A, A in ore. Por ξ. e. c etc.. tum
quas brevitatis gratia ita exhibomus:
' ob ervare convenit haneee eonelusionam demonstratione egero, quam autem hie nupprimimus. Proprie enim nihil aliud ex analysi nostra sequutar, quam quod congruentiae propositae per alios in gnitarum x. y etc. valoros solvi nequeanti hos vero satissaesere non sequitur. Fieri enim po et ut nulla omnino solutio daretur. Similix paralogismus otiam in a quationum linearium explicatione plerumque eommittitur. . .
36쪽
6 valores divorsi ipsius y etc. illis congruentita satisfacientes: manifestoque Omnes soluti ossus congruentiarum pro itarum si quas omnino danturi intor illas reperientur. Attamen hanc conclusionem convertero non licot; nam Plorumque non omnes combinnsiones omnium a valorum ip8ius ae cum omnibus ipsius ycum omnibus ipsius a cic. Problemati satisfaciunt. sed quaedam tantum . quarum nexum per unum Pluresve congruontius conditionales cxhibero licet. At quum complota huius problematis resolutio ad sequentia non sit necessaria. hoc argumentum sustus hoc loco non exsequimur. exemploque ideam qualemcunque do eo dedisse sat habemus. Propositae sint congruenti
37쪽
IIis disquisitionibus. Per quas sectionis propositum iam absolutum ecl. -- huc quasdam Propinitiones similibus principiis innixus adiungimus. quibus in sequentibus frequenter opus erit.
PROBLEMA. Inrenire, quot numeri positivi dentur numero positivo dato A minores Simulque ad ipsum primi. Designemus brevitatis gratia multitudinem num rorum I sitivorum nd nu- morum datum Primorum ipsoque minorum Por Pra fixum characterem Φ. Qua
ritur itaque φ A. I. Quando A est primus, manifestum est omnes numeros ab i usque ad A- l ad A primos esse: quare in hoc casu erit . it, A se Α- IIL Quando A est num ri primi potostas puta sep . Omnes numeri Per pdivisibiles ad A non erunt primi. reliqui erunt. Quamobrem de p -i numeris hi sunt reiiciendi: p, 2p, 3p bi p: remanent igitur p ' I l)
ΙΙΙ. Reliqui casus facile ad hos reducuntur ope sequentis Propositionis: Si A in faetores M. N. P etc. inter se primos est resolutua. erit φΑ - Φ, M. ιν Ni P etc. 'quae ita demonstratur. . Sint numeri ad II primi ipsoque M minores m. m. m etc. quorum itaque multitudo t, M. . Similitor sint nurnori nil N. Petc. re- , spective primi ipsisque minores etc.; p, p, etc. etc., quorum multitudo ΦN OP est. Iam constat ouanos numeros ad productum at Primos etiam ad iactores singulos M. N. P etc. primos sore et vice vorsa art. is . Porro Om-ΠPS numeros qui horum in , m', m etc. alicui sint congrui secundum modulum M ad II primos soro ot vice versa. similiterque de X. P etc. Quaestio itaque huc reducta Ont: determinaro quot dentur numori inlia A. qui secundum modulum M. aIicui numerorum m. A. m' etc. socundum iv. alicui ex his n. n. n
38쪽
cis. Dis. sint congrui. Sed ex art. 32 sequitur, omnes numeros, R cundum Singulos modulos M. N. P etc. residua determinata dantes. Congruos secundum e rum productum A foro, adeoque in seu A unicum tantum dari. secundum singulos M. N. P etc. residuis datis cougruum. Quare numerus qua situs nequalis erit numero combinutionum singulorum numerorum m. m. m' cum Singulis n. c. n utque p. p,1' etc. etc. Hunc vom esse se φα φ N. φ P etc. ex theoria combinationum constat. Q. E. D.
IV. Iam quomodo hoc ad casum do quo agimus repplicandum sit iacile intelligitur. Resolvatur A in factores suos IWimos sive reducatur nd se ma es etc. designantibus a. b. e etc. numeros primos diversos. Tum orit4 A cpa'. Φb'. 4, H cis. 3 a-l ' b--- l) H e-ll etc. .
empl. Sit A 60 - 2'. 3. 5. ad que φ A se l. l. l. 60 - 16. Numerihi ad 60 primi sunt a. 7. 1 l. la. 17, 19. 23. 29. 33. 37. 41, 43, 47, 49. 53, 59. Solutio prima huius problematis exstat in commentatione iit. Evieri, theoremata arithmetica nova methodo demonstrata, Comm. nov. Ac. Petrop. VIII p. 74. Demonstratio postea repetita est in alia diss. Speculationes eirea quasdam insisnes 'Urietatea numerorum. Acta P trop. VIII p. 17.
Si characteris 4, significatio ita determinatur, ut φ Α exprimat multitudinem numerorum ad A primorum ipsoquo A noni maiorum. PerSpicuum eStΦ l sere non amplius-0. sed - l. in omnibus reliquis casibus nihil hinc immutari. Hancose definitionem adoptantes sequens habebimus theorema. Si a. a', a Me. -M --ε divisores ipsius A sunitate et ipso A non eae claris , erit
39쪽
Cic. numeri. omnes iPso A non maiores. Atlὶ Omnos hi numeri erunt inacquulos. Omnes enim eos qui ex eodem ipsius Adivisore sint generati. inaequales fore. Ρ r se clarum. Si vero o divisoribus diversis M. N numerisque μ. ν ad istos respective Primis acquales Prodissent. i. e. Si CSSUt 13 -- ω ν. Sequeretur 11N-ν M. Ponatur II AI id quod licet . 4uoniam M ud μ ost primus, utque numerum v mctitur. etiam ipsum X molietur. maior minorem. Q. E. A. . 2 inter hos numeros, omnes hi l. 2.3 A invenientur. Sit numerus quicunque iΡsum A non superans t. marima numerorum A. t. communis monsura δ oritque C divisor ipsius A ad quom es primus. Manifesto hinc numerus t inter eos in cui etΠr qui in divi ors Prodiorunt. 3ὶ Hinc colligitur horum numerorum multitudinem osso A. quam Oa -l- etc. A. Q. E. D.
Si maximus numerorem A. D. C, D eici dirisor communis ': numeria, b. c. d etc. ' ita determinari p sunt. ut rita A--bB -eCH- etc.. . IDem. Consideremus Primo duos tantum numeros A. D. SitquQ horum divisor minimus communis - . Tum congruentia Ax . a inod. D Prit resolubilis inrt. 30 . Sit radix α. ponaturque s. Tum Oxit et A-- 6B a. uti desidem tur.
Accedente numero tertio C, sit maximus stivisor communis num roruma. C. ser eritque hic simul muximus dirisor communis numerorum a1. B. C' . Dcterminentur numeri k. γ ita ut sit se rC a'. eritque kti H -- k 6 Ilε IC a . Accedente numero quarto D. Ponatur maximns divisor communis num 'rorum X. I quem simul osse maximum divisorem commvnoni numerorum
40쪽
Simili modo procedi potest . quotcunquo alii numeri accedant. Si itaque numeri A. B. in D ct c. divisorem communem non haboni. Pa- tot fieri posSe
Si p est numerus primus atque habentur p res, inter quas quotcunque aequaleN e e possunt, modo non omnes sint aequales: numerus permutationum harum rerum per P erit dicisibilis. M. Quin quo res A. A. A. B. R decem modis diversis possunt transponi. Demonstratio huius theorematis facile quidem ex nota Permutationum the ria peti potest. Si enim inter has res sunt primo a aequales nempe A. tum b aequales nempe B. tum e ac quales nempe C etc. ubi numeri a. b. eetc. Etiam unitatem designare possunt . ita ut habeatur
l. 2. 3. . . a. i. 2. . h. i. r. . e et e.
Iam Per se clarum ost, huius fractionis numeratorem per denominatorem divisibilem osso, quoniam numerus Psermutationum debot esse integer: at numerator Perp divisibilis est. denominator vero. qui ex factoribus ipso p minoribus est compositus. iter p non divisibilis fart. lli . Quare numerus permutationum Per p
Speramus inmen foro quibus otium sequens demonstratio haud ingrata sit sutura. Quando in duabus permutationibus rerum o quibus composilao sunt ordo in eo tantum discrepat, ut ore res qua in altera Ρεα uiri locum occupat. aliam sedem in altera teneat. reliquae autem eodem in .utraque ordine progrediuntur . eamquequno in ultera ultima esst. Oa quae est prima. in altera excipit: permutationes sim les v omus . Ita in ex . nostro pormutation s ABA AB et AI AB A similes erunt. quoniam res quuo in priori Primum secundum etc. locum occupant . in posteriori loco tertio quarto etc. oodem ordine sunt collocatae
Si permutationes similes in Erculum aeriptae o se eoneipiuntur ita ut ultima res primae fiat contigua, nulla omnino erit viserepantia. quoniam nullus toma primus aut ultimui vorari poterit.