장음표시 사용
31쪽
Hae sunt abscisae V rum,IM, IO. Omnia plana vero non rBais varietati obnoxia. nonuntur enim accipi in summo com stipatisnisgradu,quem illis praebet necessitas Geometrica.
dficia regulae parallelas, debere aequaliter inter se di me,ac duae tuae, qua in rixerasigura,ad quampraedicta comparatur,eisdem νespondent in eisdem planis parallelis illas efficientibus, quari illaesunt per eundem transitum. Vndes non qualiter inter se distarentAgnum esset non es eiusdem tra ius med ab ipsa d finitione degenerare. Me ergo in Agura num. I 3. anaret tineas parallelogrammi, KNOI, non esse eiusdem transitus cum lineis paralleloe rammi, ΚLMI, quia ex. v. TU, XT, non aequaliter interse aistant, ae suae correlativa. PEERS, H empa EGlis planis designata, unde iuxta Des primam nequeunt adimuicem comparari. Per hoc autem soluitur quoddam MPmem tum contra haec Indisi illa,quo suo loco visurietur
XVI. Consideratio omnium ab iminum Hoposita lineae, ut se residuarum, ac maximarum ab issarum, vel absoluo, oel etiam adiuncta tali vel tati linea, quamuis opportuna, non tamen es
Ampliciter necessaria, Fi infra declarabitur. XVII. Duplex ratio generis aliquorum solidarum datur apud Geo
metras. Prior sit per reuolutionem figura planae cuiuscumque circa datum axem, donec redeat unde Escessit; sesu gener an tur Uad Euclidem Libro undecimo Elem. def. Iq. 18.2I . hmra.Conus,ac Cytindrus,se in uniuersum corpora,qua vocantur
rotunda. Posteriorgens t per motum figura equid antem: mis circalus fui centro infudit meratur per rectam tineam, o femper sis aequid os cuidam datae regula, siet cylindrus. Similiter ex fluxu parallelogrammi orietur parallelenipedum: in uniuersum ex fluxu cuiuscunq; figura plana orietur compus,quod vocari olet columnare , se a me dicitar Cylindricus in def3. Lib. I.fequens illauincm a basis senitricis. Cum
32쪽
vero hi duo moia non ultra corpora rotunda, ct columnatria ex tendantur , ut se storum aliorum sua lurium corporum ortus sub una quadam uniuersali ratione comprehendereta alia eorundemgenesis ineunda ratiosuit, quam exhibent sectiones Def.8. Extenditur autem haec ad omnia illa corpora, in quibus traiectis quotcunq; planis datae regula para elis, oriuntur ex tali traiectione figurae ius, ct similiterso tae, quas recte, vel obliquesecans, aut tangens alia figura, illa exhibeat omnes lineas ,seu lateris homologa dictarum ilium figurarum. Haec otem vocatur genitri olidi, cuius omnes aecia figura similessent omnia plana imum fisolidum dicitur solidum milare, ut paret in ipsa Def. 8. Hinc sequitur e contra, t proposita qu c nque figura plana anquam genitrix alumus solidi milaris, cuius omnes lineae rem vel obliqui tramitus,describant rus, . ilites; p ras figuras pianas uni certa regula paratulas, nos posse concipere stadum Hare, cuius praetacra figura sunt omnialiana,quodamodo emanare fugigni ab eadem genitrice figura. Ab hac ergo sit parallelogrammum rectangulum , σregula figura ab uno laterum descripta parallelogrammoq; er cta, emanabit cylindricus rectus: vel arallelogrammum non sit rectagulum, Er figura rotae, vel obliquὸ ad genitricem descri-'a,orietur cylindricus satinus: hoc est corpora columnaraa rocta, scalma. Si uer a triangariis orientur corpora, qua
vocantur pyramidalia,ct a me dicuntur Conici in desq. Lib. I. I t ab Ajs figuris ali corporum speries nascentur, ut a circulo Sphaera, ab Elli Sphaerois, is Parabola Conoides parabolicum, ab Dperbola Conoides hyperbolicum scuti ab Hys quoq; irreis gularibus figuris, innumerabiles orientur species obdorum imregularium. Ad horum autem maiorem intelligentiam recolatur Schema num. in quo est regula planum, GH, cui est ere-Lumparallelogrammum, KLMI, se obliquum,KNOI. Nunc supponamui abi s,ΚI, PETRS,LMc Tc. omnibus lineis r m transitus, describi quadrata KAI, PCAE RES, LGM sec. se ab usis,ΚI, TV, XT, sec. omnibus lineis obliqui transe-tus describi quadrata MI, Tes V, XRT, NHO o c. communi regula, GH, parallela. Hic ergo concipere possumus duo
foliis similaria clicet non ad inaracem Haria, quia figuras nitricer , kLMI , ENOI , non aeque inclinantur ad ius
33쪽
genitum a. v LMI,per descriptionem omnium eiusdem rigare rum seu pianorum recto transitu , e . lineis recti transeas effectam. quod erit corpus columniseleu 9lindricus rectus, posito,kM, esse parasielogrammum rectangulum. Alterum veri flet a , kNOI, per descriptionem obliqui transitus, eritq; Ulim aericus Scatinus. Hac ergo ratione Bostram solidorum generim fieri intel imus. cirra ri triones attigisse Pocia Oquuntur nunc Propositiones eiusdem Libri Secundi.
P R Ο P o S. I. QVarumlibet planarum figurarum omnes lineς recti
transitus;& quarumlibet solidarum omnia plana, Iunt magnitudines inter se rationem habentes. Sint duae planae utcunque figurae, EAG, GOQ, quarum regulae, EG, G utcunque, sit autem figurae,EAG,altitudo sumpta re pectu,EG, ipsis, A S, & figurς, G O Q. altitudo sumpta respectu, G ipsa, OP. Dico ergo omnes lianeas recti transitus urs, EAG, sumptas cum regula, EG, ad omnes lineas recti transitus figurς, GOinsumptas cumircgula, G rationem habere. Constituantur regulet,EG, G Q, sibi in directum,& snt toti figuret supra ipsas regulas C a in eo-
34쪽
ao Exercitatio Prima . in eodε plano vel igitur altitudines, AR,OP, sunt
equales, vel non, supponamus primo ipsas esse aequales , abscindantur nucab altitudinibus, ex hypotesi aequalibus, ortiones, I',R P , aequa- es versus regulas, EG, G Q, si ergo per punctum, I, duc xerimus regulet,EG,parallelam,LM, haec producta transibit per punctum, R, fictergo, L M, quq clauditur perimetro figuri, E A G, una ex ijs, quq dicuntur omnes lines figurs, EAG, R, NS, clausa perimetro figurae, GoS, una cX Omnibus lineis figuret, GOQ, sumptis omnibus lineis iam dictis, regula communi, Ein & recti transitus, uti scmper inicit gemus, nisi aliter explicetur, etiamsi id non exprimatur Quoniam igitur si recta, NS, sit minor recta, L M, potest indefinite producta aliquando fieri maior, si hoc intclligamus fieri de cit is lineis,que ab altitudinibus portioncs abscin
dunt squales versus regulas, EG, G Q, patet quod singulae,qup erunt in figura, GOQ. productae fient maiores ijs, quae
erunt in figura, EAC, isit autem ita facta productio cuiusuis omnium linearum , CC regula, EQ, ut quς illi in directum constituitur in figura, EAC, sit portio eiusde producis, vi ex. g. ita sit producta, SN, versus, ML, ut ipsam pertranseat pcrueniens verbi gratia usque ad, T, ita ut LM, fit portio ipsius, I S, patet ergo, quod omnes lineae figurEAG , erunt pars omnium linearum figurς , COQ, sic productarum, & isis erunt totum, nam ills istis claudentur,siue in his tote reperientur,& aliquid amplius .f. quod de omnibus lineis figurs, GOQ sic productis manet cxtra figuram,
EAG: totum autem est maius sita parte, ergo omnes lineqsgurs, GOQ, sic productae fuerunt, ut maiores effcctae suerint omnibus lineis figurae , EAG. Eadem methodo omnes lineas figurae,EAG, sic producemus, ut complectantur omnes lineas figurae, GOR, iam productas, ut dictum est,&ideo maiores eisdem fiant, magnitudines a uicin rationem
habere inter se dicuntur, quae multiplicatae se inuiccm supe
35쪽
rare possunt, ergo patet omnes lineas figurarum, E A c, COQ, cum altitudines, Ahi, OP, fuerint aequales, int ei se
Non sint autem squales, sed altitudo, An sit maior ali, tu dine, OP, & ab, A se, sit abscissa versus, EG, ipse, CR, aequalis ipf,OP,& per,C,ducta,BD, parallela, EG, intelligatur per , BD, a figura, EAG, abscissa figura, BAD, & ea constituta,vi, H FE, ita ut sit in eodem plano acl eande partem cum figuris,EBDG, quae remansit &, Coinexistente,HE,in directum ipsi, EQ, Quod si adhuc altitudo, FX,sit .maior altitudine. OP, abstindatur illi aequalis,& sic semper sar, Sc disponantur figurae residuae,ut earum bases sint in di-τectum ipti, Ed & figurae constitutae in . eodem plano, & ad eandem partem cum figuris, EAG. GOQ. in altitudinibus
et aequalibus, vel nun maioribus altitudine, OP. Intelligatur nunc ducta utcunque in Mura, GPQ, recta, NS, pa- raticla, G quae erit una ex omnibus lineis figura, GOQ, regula, G producaturq; ita, ut pertranseat omnes sic diapostas figuras, ut usq; in, Z, complectetur ergo, ST, ipsas, LM, IT.&sic quae uis omnium linearum figurae, Goci ac se producta, complectetur eas, quae de ipsia manent in fi- ris iam dispositis. Ereo omnes lines figurtim sic productae complectentur omnes lineas figurarum sic dispositarum,eigo erunt ad illas simul sumptas, ut totum ad partem, nam illae in his reperientur, & aliquid amplius, ergo erunt illis maiores, omnes lineae autem figuraru sic dispositarum sunt non minores omnibus lineis figurae, EAG, ex qua d sumptae se nr,ergo omnes lineae figurae, COQ, sc produ ctar Sut, ut effecti fuerint maiores omnibus lineis figurae, EAGEodem pacto ostendemus nos posse vice versa istas illis efficere maiores, ergo omnes lineae figurarum, EAG, GOQ, sumptae cum regulis utcunq; suppositis, cuiusliis snt altitudinis sumptae iuxta easdem regulas,sunt magnitudines inter se rationem habentes. Quod si subter rectam, H Q,adhuc es sent portiones consideratarum a nobis figurarum, EAG, GOQ, eodem modo ostenderemus omnes lineas earundem, sumptas cum ijsdem regulis esse magnitudines rationem inter se habentes, unde integrarum figurarum omnes lineae es
36쪽
22 Existitatio PHata. sent magnitudines inter se rationem habentes, quod in Q.
In figuris autem solidis consimiliter procede mus ι nam si in stiperiori figura intellexerimus, EAG, GOQ, esse figuras solidas, & pro reiis lineis aequidistantibus intellexerimis plana aequiis ldistantia,ut pro reistius,EG. GQ,plana EG,Ginquibus plana, L M, NS, sint aequid istanterdum, sumptis pro reguIis planis,EG, Gm ijsque in directum sibi constitutis.i. ita ut
iaceant regulae in eodem plano, ostendemus nos posse ita producere omnia plana solidae figuret,GO ut eadem complectantur omnia plana figurae, EAG, si sint eiusdem ait, tudinis dictae figura integrae existentis, vel si non sint d, uisae in figuras solidas,ex. g. EBDG, BAD, sic dispositas,ut bases, siue reguis iaceanr in eodem plano, & ita, ut omnia plana dictarum figurarum solidarum, vel sint intra opposita plana dictas fsuras tangentia, vel nihil eorum extra, unde omnia pIana figurae solidae, GO sic producta fient totum,& portiones ab eisdem captae in figura solida, EAG, intogra , vel diuisa, ut dictum eit.i. omnia plana Durae, EAG. fient pars omnium planorum figurae, Go sic productora,
nam haec in in illis tota reperietur,&aliquia ampIius, unde omnia plana figurat. GO . sic producta erunt, ut effecta sint maiora omnibus planis figurae, EAG. Eodem modo ostendemus nos posse sic producere omnia plana figu , EAG,ut fiant maiora omnibus planis figurae,GOQ, ita prinDefinit. . ductis, & sic deinceps. Ergo omnia plana solidarum figur i m :ςm, rum, EAG, GO , sunt magnitudines inter se rationem habentes, quod ostendere opus erat.
Posset sorte quis circa hanc demonstrationem dubitare,
non recte percipiens quomodo indefinitae numero luneae, vel pla na, qualcs esse existimari possunt, quae a me vin
37쪽
Priori Methodo Indiuisibilium. 2 3
cantur,omnes lineae , vel omnia plana talium , vel talium Ggurarum possint ad inuicem comparari: Propter quod in- nucdum mihi videtur, tum considero omnes lineas, vel omnia plana alicuius figurae, me non numerum ipsarum com- , parare, quem ignoramus, sed tantum magnitudinem, quae adaequatur spatio ab eisdem lineis occupato, cum illico gruat, & quoniam illud spatium terminis comprehenditur, ideo & rarum magnitudo est terminis eisdem comprehense, quapropter illi potest fieri additio, vel subtractio, licet nu. merum carundem ignoremus; quod sufficere dico, ut illa sint ad inuicem comparabilia, alioquin neque ipsa spatia figurarum essent ad inuiccm comparabilia: Vel enim continuu nihil aliud est praeter ipsa indivisibilia,vel aliquid aliud, si nihil est praeter indivisibilia, profecto si eorum congeries
nequit comparari,nenue spatium,sive continuum, erit com-
palabile, cum illud nihil aliud esse ponatur, quam ipsa india uisibilia: Si vero continuum cst aliquid aliud praeter ipsa indivisibilia, fateri aequum est hoc aliquid aliud interiacere ipsa indivisibilia, habemus ergo continuum disseparabile in
quadam, quae Gntinuum componunt, numero adhuc indefinita,inter qu libet enim duo indivisibilia aequum cst interiacere aliquid illius uod dictum est esse aliquid aliud in
ipsis continuo praeter indivisibilia, qua enim ratione toller tur a medio duarum,a medijs quoque caeterarum tolleretur. Hoc cum ita sit comparare nequibimus ipsa continua, siue spatia adinvicem cum ea, quae colliguntur,& simili collecta comparantur, scilicet, quae continuum componunt, sint numero in icsinita , ab stirdum autem est dicere continua terminis comprehenia non esse ad inuicem comparabilia,ergo absurduin est dicere congeriem omnium lincarum, siue planorum,duarum quarumlibet figurarum non esse ad inuicem comparabilem,no obstante, quod quae colliguntur, de illam congeriem componunt sint numero init finita, veluti hoc non obitat in cotinuo. Sive ergo continuum ex indivisibilibus componatur, siue non , indivisibilium congeries fiunt adinvicem comparabiles,& proportionem habent. Non inutile autem mihi videtur esse animaduertere pro
huius cosirmatione,hoc pro vero supposito, quam plurima, quae
38쪽
quq ab Euclide, Archimede,& alijs ostensa sunt,atne pariis ter fuisse demonstrata, measq; conclusiones ad unguem cum illorum conclusionibus concordare, quod euidens signum esse potest, me in principijs vera assumpsisse, licet sciam&ex falsis principijs seph litice vera aliquando deduci posse,
quod tamen in tot,& tot conclusionibus, methodo geoin trica demonstratis, mihi accidisse absurdum putarem: Hoetamen addo,non tanquam praefatae veritatis legitimum funis. damentum, sed ut non negligendum, immo summ8 expendendum illius argumentum, quod sequentia percurrenti co-tinuo magis, ac magis elucescet.
AEqualium planarum figurarum omnes lineae sunt ae quales, & aequalium solidarum omnia plana sunt qualia, regula quavis assumpta. Sint dus aequales planae figurae, ADC, AEB, in figura, ADC, sit regula, AC, utcunque, & in figura, AEB, regula utcunq; sit, AB. Dico omnes lineas figurae, ADC, regula, AC, aequales esse omnibus lineis figurς, AEB, reξula, AB Intelligatur figuram, AEB, ita superponi figurae, A DC, ut regu Iς sint ad inuicem superpositae, velut est, AB,in, AC, vel
saltem aequi distent, vel ergo tota figura congruit toti, vel pars parti, congruat pars parti, ergo congruentium harum partium omnes lineae erunt pariter congruetes, scilicet om- nos lineae, ADB, partis figit r.e,AEB, erunt construentes omnibus lineis, AI B, partis figurae, ADC, superponantur assi huc residuq harum sigurarum partes, hac .
lege tamen, ut omnes earundem lineae re-
gulis, AB, AC, siue regulae coi, AB, vel, A C, semper si ritetur squidi states,& hoc semper stat, dota cc omnes rcsidue partes ad inuicem superposits fuerint. ia ergo inici grς figurae sistat aequales erunt dictς partes
superpositae inuicem congruentes , ergo & earum omnes linee erunt pariter congruentes, magnitudines autem congruen Diqili co by Cooste
39쪽
gruentes sunt ad inuicem aequa las, ergo omnes lineae partiufigurae, AERsimul iumptarum. s. omnes lineae figurae, AEB, sumptae regula, AB, eru iat aequales omnibus lineis partium figurae, ADC,quibus praedictae partes congruerunt, simul sumptarumi. omnibus lineis figurae, ADC, sumptis,regula, AC, quod in figuris planis ostendendum erat. Ita stiperpositis aequalibus figuris solidis, ita viduae in ipsis assumptae utcunq; regulae sint ad inuicem superpositae, vel aequidistantes,& residuorum ficta semper se perpositi ne ita ut omnia eorum plana regulis iam superpositis aequi- distent,tandem, quia figurae sunt aequales, dictae partes erue ad inuicem congruentes, & consequenter integrae quoque
figurae crunt congruenteS, ergo earum omnia plana sumpta cum dictis regulis erunt ad inuicem congruentia, ergo & mqualia,quod in figuris solidis ostendere quoq; opus erat.
HInc patet in eadem figura plana, omnes lineas sumin
ptas cum quadam regula aequari omnibus lineis sumptis cum alia quavis regula ; & in figuris solidis omnia pla. na unius sumpta ciun quadam regula,aequari omnibus planis eiusdem,regula qua uis assumpta; unde ex.nsecto planis cylindro aequi distanter axi, qua sectione in ipso creantur Coroius: parallclogramma, & secto eodem planis aequidistanter basi ductis, qua sectione creantur in eodem circuli, pater ex hoc, i. i. omnia parallelograma dicit cylindri, regula eorunde uno, esse aequalia omnibus circulis eiusdem,regula basi.
Ρ R o P O S. III. F Igurae planae habent inter se eandem rationem, quam .
eorum omnes lineae iuxta quamuis regulam assumpigi Et figurae solidae, quam eorum omnia plana iuxta quamuis regulam assumpta.
Sint figurae planae utcunque,A, D. Dico, A, figuram ad figuram, D, esse, ut omnes lineae figurae, A, iuxta quamuis D regulam
40쪽
2 Exercitatio Prima. regulam assumptae ad omnes lineas figurae, D, iuxta quamuis regulam assumptas A JIntelligantur ergo omnes lineae figurae, g, ,&, D, assumptae iuxta quasdam regulas, B deinde capiantur quotcunq; figurae, BC, singulae aequales figurae, A, & ligurae, D, Q
quotcunq; aequales figurae, ut, E; nunc si Q c6tinuum componitur ex indiuifibilibus, patet absq; alia demonstratione figuram, A, ad figuram,D, esse ut omnes lineae figurae, A, ad omnes lineas figurae, D,
tunc enim comparare continuum ad continuum non esset
nisi ipsa indivisibilia comparare ; sed esto, quod hoc sit fabsum, vel quod, etiamsi verum sit, tamen legitima ratione ad hoc probandum nondum peruenerimus,adhuc dico ipsa indivisibilia. s. omnes lineas figurae, A, ad omnes. lineaS figurae, D, esse ut figuram, A, ad figuram, D. Quoniam ergo a Dsumpsimus figuras, B, C, singulas aequales figurae, A, &,E, aequalem figurae,D, omnes lineae sngulatum figurarum, A, B,C, erunt aequales omnibus lineis figurae, A, sumptis iuxta dictam regulam quacunq; regula dictae omnes lineae sint assiimptae &ideo quotuplex erit compositum ex figuris, ABC, fisi , A,torii plex erit compositum ex omnibus li- figurae, A, de ideo habinum, liriue multiplicia primae,& tertiae utcunq; sumpta. Similiter ostendemus compositum ex figuris,.E, D, sq; multiplex esse figurae, D, ac compositum ex omnibus lineis figurarum, E, D, multipleX est omnium linearum figurae, D, qtiae sunt aeque multiplicia secundae, & quartae utcunque sumpta. Quia ergo si multiplex prim q. s. composis ex figuris, ABC, superauerit multiplex secundae, scilicet compositum ex figuris, DE,etiam multiplex tertis. s.compositum ex omnibus lineis figurarum, ABC, superabit multiplex quam tae. s. compositum ex omnibus lineis figurarum, D E: & si multiplex primae fuerit aequale multiplici secundae, etiam multiplex tertiae erit aequale multiplici quartae, scilicet si compositum ex figuris, ABC, suerit squale composito ex figuris, DE, etiam eorundem compositorum omnes linc et erunt aequales, & si minus, minus: ideo prima ad secundam