장음표시 사용
51쪽
latus,FD, aequatur ipsi, DC, esse aequales omnibus abicissis Defin. . ipsus FD,& omnes lineas trianguli,AFC,esse aequales residuis omnium abscissarum, FD, & omnes lineas parallelo- hesu, gramini, AD,aequari maximis abscissarum, F D, quae dicum Desin . tur eiusdem obliqui transitus,si angulus,CDF,no sit rectus,& recti transitus, si sit rectus; unde sicuti ostendimus,parallelogrammum,AD,duplum esse trianguli, FCD, vel,ACF,& subinde etiam omnes lineas, AD, regula,CD, luptas esse omnium linearum trianguli, FCD,ves,ACF, sic etiam vide monstratum recipi potest propostae linea rectae, ut ipsius, FD, utcunque, riuirses abscissarum duplas esse omnium 3.huius. abscistarum eiusdem, vel residuarum omnium abscissarum, unde& omnes abscissas patebit aequari residuis omnium abscissarum eiusdem line ijs vel recti et eiusde obliqui transitus sumptis, quae adsequentium intelligentiam diligenter sunt adnotanda . .
LEMMA.SIt magnitudo, A, ad quotcunque magnitudines, E,
singillatim ad unamquamque, ut magnitudo,V, ad tot . alias, P S, singillatim ad unamquamq; nem pc sit, A,ad,E.vr,V, ad,P; Mario, ve,V,aritti re S. Dico, A,ad, O, simul em, , ,ad simul iunctas. Etenim conuertendo erit pri- l l lma,E,ad secundam,A,ut tertia,P,ad quarta, A E OV, sed etiam conuertendo quinta, o, est ad Iuni secundam, A,ut seXta,S,ad quartam,V,ergo composita cx prima, E, & quinta, o, erit adsecudam, A,ut composita ex tertia,P, & semia,S,ad quartam,V, ergo couertendo, A, ad, V P SE,Ο,simul erir,vt,V,ad,RS,simul iunctas,qui arguendi modus dicitur a me, Colligere,seu Colligendo. P R o P O S. XX.
Ssumpta Propos antecedentis figura, dimissa, Bin rcirineatur, NE, pro una ex ductis utcunque parallela,ipsi D, producta aut GD,utcunque in,M,compleroq;
52쪽
parallelogrammo, D. Dico parallelogrammum, AM, ad trapeatu,FCMO,esse ut,CM,ad, MD, simul cu CD. Erit enim, AM, parallelogrammum, unde, MA,ad, AD, erit ut,CM,ad,CD, AD, vero ad triangulum, FCD; est ut,
e lin triangulo, FCD, idest ad tra
Ε, Cor. , anifestum est autem, si,CD, sit aequalis ipsi, DF,om- antee. 10 nes lineas parallelogramini, AD, regula, C D, esse
aequales maximis abscissarum, FD,& omnes lineas triaguli, fCD, regula eadem aequari omnibus abscissis, FD. Nunc si intelligamus cuilibet earum, quae dicuntur maximae a ' scissarum, vel abscissae, adiungi rectam,DM, vocantur tunc maximae abscissarum,uel abscisis adiuncta, DM,haec autem sunt eaedem illis,quae habentur in parallel rammo, AM,&trapezio,FCMo,nam si produxeris,NE, usque ad, OM,in, X, fiet, EX, adiuncta tum ipsi,NE,vni ex maximis abscissaiarum,FD,tum ipsi,HE,vni eae omnibus abscissis, FD,&,EX, adiuncta est aequalis ipsi, DM, unde omnes lineae, AD, adisiuncta,DM,sunt omnes lineae parallelogrammi,AM,& sunt quales maximis abscissarum ipsius, FD,adiuncta, DM,&omnes lineae trianguli, FCD, adiuncta, DIU,sunt omnes Ibneae trapezij, FCiso, de sunt aequales omnibus abscissis ip- , . sius,FD,adiuncta, Da f.Quia ergo,AIs,ad trapeziu,FCI Ο,3 vi,CIf, ad, 2 1D, cum l. DC, ideo omnes lineae, Ad s,ad omnes lineas trapezij,FC UO, regulam hic semper intellige ipsam,CII, idest maximae abscissaru,FD,adiuncta,DIU, ad omnes abscissas, FD, adiuncta, DM, erunt ut,CM,cOmposita nempe ex proposita linea,CD,siue ex proposita,FD, illi aequali,& adiuncta, DRI, ad compositam ex adiuncta,
53쪽
HInc patet omnes lineas trapezij, FGRC, regula, R M,
ad omnes lineas traper ij, FGUO, regula eadem esse,ur, RQ cii :. CD,ad, MD, cuiDC.Veluti autem in antecedenti ostendimus si, CD, sit aequalis ipsi, DF,omnes lineas trapezij, FCMO, regula, CII, aequari omnibus abscissis ipsius, FD, adiunt, D Ic, ita in praesenti ostendemus omnes lineas trapeZij FGRC, regula,RD,aequari residuis omnium abscissarum ipsius, AC, vel,FD, adiuncta, RQ unde patebitressi duas abscissarum propositae linear,ur,FD,adiunAa,RC, ad omnes abscissas eiusdem,adiuncta alia linea,vr,DI1,esse ut compositum ex prima adiuncta,& : propositae,CD,sive, FD, illi aequalis, ad compositum ex secunda adiuncta, &propositae lineae, id est ut, R C, cum,CD, vel, DF,ad, MD,cum . CD, vel, DF. XXV. Cum triangulum dimidium esse circumscripti eidem parabulogrammi in praemissa Prop. I9. sensum sit, ideo communia . parasiel rammorum Implomata num. II. indicata, etiam adi a triangula aer ad eorum omnes lineas regula basi transferri intia
54쪽
intesiim nr , ut innuit corollarium. Ex Corolgario vero θ. cundo eiusdem Prop . I9. 6quivi apparet nos sine ab Os, residuis,'maximis abscissarumpropositae linea. ut ipsius, .in litur Schemate nostras Prop. sedereposse,ut dicebatur nu. I 6 Etenim si supponamus, FD, aequalem Fri, DC pro omnibus abis si is ipsias , FD possumus uti omnibus lineis trianguli, FCD, ct pro residuis. omnibus lineis trianguli ACF, sicuti pro maximis omnium abscissarum possunt usurpari omnes lineae parativis
logrammi,ACDF,requia, CD. Similiter ex Coreolario Prop. 2 o.
innotescit in eius Ilia supposita. FD aequali ipsi. DC,omnes lineas parallelogrammi , AM , posse deseruire pro maximis in fissarum O,adiuncta, DM, ct omnes lineas raperis, rem, Zro omnibus abscissimis eiusdem, FD adiuncta eadem,DM. Me in Prop. II. omnes linea trape ii, GRCFieruientpro residuis omnium ad imarum, FD,adiuncta CR. Videtur enim res clarior euadere,or ab oppositionibi liberior,si his absci ps, residuis, sec. obstituamus omnes lineas dictarumsigurarum, ijs enim dicta absis,or residuae,sc. tam distributive, quam collective ad
quantur, ut patet ex dictarum Propositionum Coroliatas. Hae
adridi, quia non defuit, qui perperam accipiens has ab ima
residuas σα fallacia hanc priorem methodum Indiuisibilium crediait obnoxiam,viseo loco clarius explicabitur.
XXVI. Post parallalogramma, triangula, se trapeda in planis, spost cylindricos in solidis superest vim Inuisibilium iuxta hac
priorem methodum pariter circa alia solida experiri. Inter ea vero primo sese offerunt corpora lyramidalia,su conici, inequae se triangulis iuxta nostram rationem oriuntur. Ad ea ergo sit cylindricorum comparatio in sequenti Prop. 22. quam cum suis Corollariis, duabussuloquentib s Pros. 13.CT Eq. par ter cum is Corollar,s hi ubnectιmus . .
P R O P O S. XXII. EX positis duobus utcunq; paralles Og ramis, in cisdemq;
dtictis dianictris,dc duobus utcunque lateribus pro regula sumptis, nempe in unoquoq; eorum uno: Omnia qua
55쪽
drata cuiuita dictorum parallesogrammorum ad omnia ouadrata cuiusuis triangulorum per diametriun in ipso comstitutorum, erunt ut omnia quad. reliqui parallelogrammi ad omnia quadrata cuiusuis trianguloruri per diametrum in isto ductam pariter constitutorum . . a Sint exposita utcunq; parallelogramma, AF, Tis, in iisq; ductae diametri,EO,Zct, regulis sumptis, ES, Zβ. Dico omnia quadrata, AS, ad omnia quadrata trianguli, b,es cutomnia quadrata, Ti3, ad omnia quadrata, Si enita, omnia quadrata, Tβ, ad omnia quadrata trianguli, non siint omnia quadrata,AS,ad omnia quadrata trianguROES,erunt igitur ita omnia quadrata, AS, ad maius, vel ad minus omnibus quadratis trianguli, OBS.Sint excejus,vel descctus omnia quadrata figuri planae, o, diuidatur autem
regula, E S ,sint minora omnibus quadratis thurae,n: per ncta auteni,st quibus dictae parallelae ipsam, OEIseca nt, ducatur usque ad proximas parallelas aequidistantes later hus,AE,OS,ipse, LN, GΚ,FM. Erit igitur triangulo,oES, eircumscripta figura quaedam composita ex parallelogramis,LP,GQ,FR,DS,&alia inscripta composita ex parali logrammis, 9Q. IR ,NS; ita ut omnia quadrata fiturae circumscriptae,reguti:ES,excedant omnia quadrata inscriptae, regii a eadem,minori quantitate, quam sint omnia quadra ta figurae,n.Nam in paralleldgrammo,DS; recta, PM,diuru
56쪽
a Exerchatio Prima. ' dit omnia quadrata, DS,in omnia quadrata, DM, in omnia quadrata,HS,& in rectagula bis sub,DM, MR, veluti punctum,H,diuidit quadratum,DR, in quad. DH. quad.HR,&rectangulum bis sub; DHR,siue ex 23. seq. ab hac independente, & ideo omnia quad. DS,excedunt omnia quadrata, HS , omnibus quadratis, DM, & rectangulis bis sub , DM,NR. Eode pacto ostedemus omnia quadrata, FR,excedere omnia quadrata, IR, omnibus quadratis,FK rectangulis bis sub,Fk,kχ α sic omnia quadrata, Ginexcedere omnia quadrata,s omnibus quadratis,GN,cum rectantulis bis sub,GN, P,&in figura circumscripta supersunt adhuc omnia quadrata, LP. Porro si hos excessus simul colligamus fient omnia quadrata, DS, nam si omnia quadrata, LP, vel, sinunxeris omnibus quadratis,GN,& rectangulis bis sub, GN,N fient omnia quadrata, G Q ,haec si iunxeris omni b. quadratis, Fh, cum rectangulis bis sub , Fh, hQ, fient omnia quadrata, FR, quae tandem si iunxeris omnibus quadratis , DM,cum rectangulis bis sub, D M, M R, fient omnia quadrata, DS, quae cum sint minora omnibus quadratis figurae,n, hinc figurae circumscriptae omnia quadrata excedunt Omnia quadrata inscriptae minori quantit te, quam sint omnia, quadrata, n, deo excedunt omnia quadrata trianguli, CZS,multo minori quatitate: inia ergo omnia quadrata, 'AS, ad omnia quadrata trianguli, ES, cum omnibus quadratis,n, erant ut omnia quadrata, Tβ, ad omnia quadrata
trianguli, &Zβ, hinc omnia quadrata, AS, ad omnia quadrata figurae circumscriptae triangulo,OES, habebunt malo, rem rationem, quam omnia quadrata , I β, ad omnia quad. itrianguli,& Zβ. iNunc diuidatur similiter, &β, in punctis, N,o,Σ,ac,OS,in punctis, PQR,& per puncta,N, A,parallelae ipsi,Zβ, duca riar, RV,ΔX,ΣY, secantes,&Z,in punctis,r,3,6, per quae usq; ad proximas parallelas ipsis, &β, TZ, aequidistantes ducantur,sts,A 3,q 6, ut triangulo,&Zβ, sit circumscripta figura ex
OS,ad, Si , ita est, &β,ad,βΣ ut autem, OS,ad, SR,ita sunt omnia quadrat ΑS,ad omnia quadrata, DS,& ut,&β,ad, mita sunt omnia quadrata,Tβ,ad omnia quadrata,YRergo
57쪽
Friori Meilodo Indiuisibilium. 3
omnia quadrata HS,ad omnia quadrata,DS,sent ut omnia uadrata, Tota quadrata,Υβ . Quia vero omnia qua- rata,Yβ, ad omnia quadrata, οβ, idest ad omnia quadrata, sunt ut quadratum, Zβ,ad quadratum, β, idest ad quadratum, ,idest ut quadratum, ε&,ad quadratum, &Σ,.i. vi quadratum, SO, ad quadratum, OR, idest ut quadratum. ES, ad quodratu, HR, idest, ut om nia quadrata, DS, ad omnia quadrata,FR: ergo exaequali oia quadrata, AS, ad ola
cemus ola quadri AS, ad ola qua dra ta,GMsse ut omnia quadrata, Tir, ad omnia quadrata,
omnia quadrata, Linesse ut omnia quadrata Tβ,ad omnia quadrata,Φ', vn- POD II. de,colligetido,omnia quadrata,AS,ad omnia quadrata pa- rallelograminorum, DS, FR,GχLP, idest figurae circumscriptae, erunt ut omnia quadrata, Tia, ad omnia quadrata parallelogrammorum, ε', ΛΔ, , Yβ, idest ad omnia quadrata figurς circumscriptae triangulo,& Zβ. Sed omnia quadrata, AS, ad omnia quadrata figurae circum scriptae triangulo, OES, ostensa sent habere maiorem rationem , quam omnia quadrata,Tβ,ad omnia quadrata trianguli,& Zβ, er-ξo omnia quadrata, Tis, ad omnia quadrata figurae circumreriptae triangulo,&Zβ, habebunt maiorem rationem, quam ad omnia quadrata trianguli, &Tig, ergo omnia quadrata fugurae circum scriptae triangulo, S Zβ, minora erunt omnibus quadratis triaguli,& Zβ, quod est absurdum. Non ergo omnia quadrata,AS, ad maius,quam sint omnia quadrata tri guli,OES ,hab ct eandem rationem, quam omnia quadrata,
Ti3, ad omnia quadrata trianguli,&Zβ.
58쪽
Dico autem neque ad minus eisdem habere eandem rationem, sint enim desectus adhuc omnia quadrata figurae, o,de sit circumscripta trianguIo, O E S, figura ex parallel
grammis, I P, Gia, FR, DS, & alia inscripta ex parallel
grammis, M., IR, HS, composita, ita ut omnia quadrata circumscriptae sirpercnt omnia quadrata inscriptae minoriduantitate, quam sint omnia quadrata,n, ergo omnia qua- rata trianguli, ES, superabunt omnia quadrata insalpis figurae multo minori quantitate Aunt autem omnia quadra- ea,AS , ad omnia quadrata trianguli, OES, detractis omnibus quadratis,n,ut omnia quadrata,Tir,ad omnia quadrata triaguli,&ra,ergo Omnia quadrata,AS, ad omnia quadrata inscriptae figurae habebunt minorem rationem, quam omnia quadrata,Tβ,ad omnia quadrata trianguli, & Zβ. Diuid tur nunc pariter latus, in punctis, Bi, Σ, similiter ac OS,diuiditur in,P, i, & caetera, ut septa, fiant,ut habe mus figuram intaiptam ex parallelogrammis, 3Σ,ορ, compositam, ostendemus igitur, ut supra, Omnia quadrata, AS, ad omnia quadrata figurae inscriptae triangulo, OES, esse ut omnia quadrata, Tis, ad omnia quadrata figurae in scriptae triangulo,&Zis,sunt autem omnia quadrata, AS, ad omnia quadrata figurae inscriptae triangulo, OES,in minori ratione, quam sint omnia quadrata, Tis, ad omnia quadrata triaguli,&Zβ, ergo omnia quadrata,Τβ, ad omnia quadrata figurae inscriptae triangulo, &ra, erunt in minori ratione, luam omnia quadrata, Tβ, ad omnia quadrata trianguli, JZβ, ergo figurae inscriptae triangulo,&Zβ, omnia quadrata maiora erunt omnibus quadratis trianguli, &Zβ, quod est ab siritu gitur omnia quadrata,AS, non ad minus, quam fiat omnia quadrata trianguli, OES, erunt ut omnia qua drara, T.3, ad omnia quadrata trianguli, deZβ, sed neque ad
maius, ut ostensiim est ergo ad ipsa erunt,ut omnia quadrata,Tβ,ad omnia quadrata,&Zβ. Si autem comparemur omnia quadrata, A S, T ad omnia quadrata triangulorum, A E TZ &, eodem modo fiet demonstratio, igitur ostens a Sst,quod crat demqnstrandum. m. I
59쪽
HInc patet quaemnque de omnibus quadratis parali
lcgrammorum tales,vel tales concutiones habetium in Propot9. Io. II. II. I 3. Iq. huius Libri ostensa sunt, e dem de omnibus quadratis triangulorum, tanquam de eorundem partibus proportionalibus verificari, mula uno latere sumpta, dum triangula circa altitudines,& bases,siue a basibus descriptas figuras, & latera aequaliter basibus imclinata, easdem obtinuerint conditiones ibi notatas.
IGitur triangulorum in eadem altitudine existetium orn- , nia quadrata,vel omnes figurae similes siue sint similes ad inuicem, quae sunt utriusque trianguli, siue dissimiles erunt ut figurae a basibus descriptae.
ET si triangula suerint in eadem, vel aequalibus basibus, Io .huius. omnes figurae similes utriusq; ad inuicem, erunt ut alis titudines,vel ut latera basibus aequaliter inclinata.
ΙTem triangulorum omnia quadrata, siue omnes figurae similes, etiamsi sint dissimiles, quae sunt utriusque trian- U'suli, habebunt ratione compositam ex ratione figurarum ahasibus descriptarum, & altitudinum, siue laterum basbus aequaliter inclinatorum.
ET triangulorum,quorum basium figurae altitudinibus, . ci lateribus aequaliter basibus inclinatis reciprocantu honincs figurae, similes basu figuriν, sunt aequaleslEt si
60쪽
Exercistis Prima. a x. huius. omnes figurae, similes basium figuris, sint aequales, figuras basium altitudinibus, vel lateribus aequaliter basibus inclis natis reciproce respo*dentes habebunt.
Iux. Usi. TI Τ tandem similium trianguloru omnia quadrata erunt ς si ita in tripla ratione laterum homologorum,sive ut eorum cubi; regulas vero in sepradictis suppono semper duo ill 31. huius. rum triangulorum latera,quq bases voco; hic vero intellige illorum tria gulorum latera homologa . His autem sequem tem Propositionem subiungam , tum huius gratia, tum eorrum, quae sequentur.
SI, exposita quacunque figura plana, in ea ducatur ut
cunque recta linea, quae sit sumpta pro regula, eadem vero in puncto,vel punctis diuisa,prout Lib. a. Elem.supponitur secari, per puncta diuisionu lineas duxerimus rectas, siue curuas, figuram diuidentes, &semel tantum secantes quamuis aliam regula parallelam. si regula in uno puncto tantum diuisa sit, vel toties, quotiunt puncta diuisionum regulae exceptis tamen extremis, in quibus linearum sectae partes in puncta aliquando degenerare possunt quaecunq; in dicto a. Lib. demonstratur hac diuisione iupposita circa vel quadrata, vel rectangula eidem rectae lineae applicata, D. DC ab eadem de omnibus quadratis dictae florae, vel eiusdem par-hi ius. tium, vel derectangulis sub ipsis pariter verificabuntur. Sit exposita utcunque figura plana. ABCD , in qua dincta, BD, recta linea utcunq; sit illa sumpta pro regula , & ea diuisa in uno, vel pluribus punctis, prout postulant Prop. Lib. 2. Elem. per puncta diuisionu ducam tur ii n eae siue rectae, siue curuae, A E C, AFI, toties quamuis aliam ipsi, BD, parallelam in figura,MDC, siccastes,quo