장음표시 사용
41쪽
erit, ut tertia ad quartam, scilicet figura, δε,-figuram, D, erit ut omnes lineae figurs, A,ad Oininnes lineas figure, D , sumptas iuxta datas rcgulas. iuxta quascunque regulas, quod in fig. planis erat Ostendendum. Verum si intellexerimus, A, D, esse figuras selidas, assii-- mentes,C,B,singulas aequales ipsi, A,&,E, ipsi,D, ostende mus compositum ex figuris, ABC, tam multiplex esse figim ' tarae, A,ac compositum ex omnibus planis figurarum, A,B, multiplex est omnium planorum figurae, A, & sic compositum ex figuris, D, E, tam multiplex esse figurae, D, ac compositum cκ omnibus planis figurarum, DE, multiplex est omnium planorum figurae, D, & tandem per antecedentem Propositionem ostendemus, si multiplex primae silperauerit multiplex secundar, etiam multiplex tertiae superaturum Desis multiplex quartae,& si minus,minus, vel si aequale,& aequa- diem te fore ergo prima ad secundam erit, ut tertia ad quartam, scilicet figura solida, A, ad figuram solidam, D, erit ut omnia plana, A, ad omnia plana,D, cum quibusilis r gulis asesumpta, quod & in figuris solidis ostendere opus erat . .
LIquet ex hoc, quod e inueniamus,quam rationem beant inter se duae figurae planae, vel solidae ,sufficiet nobis reperire, quam in figuris planis, inter se rationem habeant earundem omnes lineae, &, in figuris solidis, earumdem omnia plana iuxta quamuis regulam assumpta, quod nouae huius meae Geometriae veluti maximum iacio funda,
SI duae figurae planae,ueublids,in eadem altitudine fuerint constituis, ductis autem in planis rectis lineis, & in figuris sblidis ductis planis utcumq; inter se parallelis,quorum respectu pridicta sumpta sit altitudo, repertum fuerit ductarum linearum portiones figuris planis interceptas , seu ductorum planorum portiones figuris solidis interceptas, esse magnitudines proportionales , homolcetis in eadem
42쪽
figura semper existentibus,dictet figuret erunt inter se,ut unuquodlibet eorum antecedentium, ad suum consequens in
alia figura eidem correspondens. sint primo duae figurae elanae in eadem altitudine con . stitute, CAM,CME, in quia
bus duae utcunq; rectae lineae inuicem parallelae ductae intelligantur,AE,BD,respectu quarum communis altitudo assumpta itelligatur, sint autem portiones figuris interceptae ipsae, AM, BR, in Q. CAM,&, ME, R D, infig.
C ME ,reperiaturauic, ut AM,ad, ME, ita esse,BR,ad,RD. Dico figuram, CAM, ad figuram, C ME, es e vi, AM, ad, ME,vel, BR,ad, R D. Quoniam enim,BD, AE, utcumq; du .ctae sint inter se aequidistantes,patet,quod quaelibet earum. quae dicuntur omnes lineae figurae, CAM,siumptae regula altera ipsarum,AM,BR ad eam,quet illi indirectum iacet in figura,CME, tvt, BR,ad,RD, vel ve,AM,ad,ME,ut igitur,
AM, ad, ME, unum. s. antecedentium ad unum consequentium, ita erunt omnia antecedentia , nempe omnes lineae Ggurae,CAM,regula, AM,ad omnia consequentia, scilicet ad omnes Iineas figuret, C ME, regula, ME ; indefinitus. n. numerus omnium antecedentium, & consequentium, qui pro
utrisque hic idem est,quicunque sit c& hoc nam figurs sitiat in eadem altitudine,& cuilibet antecedeti in figura, CAM, assiimpto respodet situm consequens illi in directum in alia figura constitutum non obstat quin omnes lineae figuri, C AM,sint comparabiles omnibus lineis figit rς, CME, cum
I. h. iu ad illas rationem habeant, ut probatum, est,& ideo omnes lineae figurae, CAM, regula, AM, ad omnes lineas figurae,CME, regula, ME,erunt vi, AM,ad, ME. Verum, ut omnes
Iineae figurae, CAM, ad omnes lineas figurς, C ME, ita sig. huius. CAM,est adfiguram,CME, ergo figura,CAM,adfiguram,CME, erit ut,BR, adi RD, vel,Amad,ME,quod in figuris plavia ostendere Opui erat.
43쪽
De Priori methodo Indisi ilum as
si vero supponamus, CAΜ, C ME, esse figuras solidas, &vice reclarum, AM, BR, ME, RD, plana intelligamus figuris,CAM, C ME, intercepta inuicem parallelao ita consti tuta, ut plana, AM, ME, iaceant in eodem plano , veluti se habeant etiam plana, BR, RD,respectu quorum praefata altitud6 assumpta quoque intelligatur, eadem methodo proincedentes ostendemus omnia plana figunc, CAM, ad omnia . . plana Durae, C ME, idest figuram solidam, CA M, ad figuram solidam, Cm, esse ut planum, BR,ad planum,RD,
vel ut planum, Α Μ, ad plauum, Μ Ε, quod & in solidis
Colligitur ex hoc in figuris planis, vel solidis,si magnu
tudines comparatae sint lineae rei,ae, vel plana,sint autem illae, quae dicuntur omnes lineae, vel omnia plana diei rum figurarum, de illis quoque verificari, ut unum antecta dentium ad unum consequetium, ita esse omnia antecedentia ad omnia consequentia ι & in supradictis figuris planis Omnes lineas unius ad omnes lineas alterius, vel in solidis omnia plana unius ad omnia plana alterius , esse ut unum antecedentium ad Urium consisic st, rima quς tanquam regulas, dictae omnes lineae, vel omnia plana intelliguntur assumpta.
. Circa Propositionem se eius Scholium plura dicen. tur in Exerc. 3. Propositioverba. o 3. mammant veritatem regu eneralis num seu regula generalisma iuxta priorem methodum assumpta. propossio . est quψ quidam nexus urariasque methodi Indisi bilium: in ea enim anaret compar tio omnium Indiuisibiliumfigurarum, CAM, CME, tam colimctive. quam distributis umptorum. Nam ex eo quodsingula Indiuisibilia Agura, CAM, cum singulis Inaeuisibilibus figmνα CME, eisdem in Hrectum positis,collata reperiuntur ad illa habere eandem rationem quodinuestigare es munus posterioris methodi9 concluduntur omnia Indiuisibilia ad omnia Indis,oybilia esse, ut unam ad unum, quod congo priori methodo:
44쪽
unde infertur figuras imas esse, ut unum ad unam. Verum hoc idem probat Prop. prima Lib. I. is em Indiuisibilibus singillatim, hoc es non collective ,sed distributiise com ratis, ut iidebimus in Exercit. 2. In hac aurcm 'o . ior methodus aliquantulum se contrahit filuet ad limit posterioris, ubi Milla pronuntiat in Prop. 3 guras sequi proportionem aggregatorum seorum omnium Indiarisibiliam , qualemcunque sint g figura: hic ad ea se coarctar , quaesunt in earim altitudine, seu in ei emparallelis. Prior ergo methodus liberior est ,smiscet v Katur fler omnes figuras , cuiuscunq; nempe sint alsita dinis sed est implexa conceptui omnium Indisisibiliam colloctive cosaratorum:poserior vero contractior est postulat enim Aguras esse in eadem inita essed luta es a prasto coceptu, comparat enim ima Indiuisibilia tantum distributis .
od autem infinitas terminorum proportionis data non obuet quin de illis quoque verascetur, ut unum antecedens ad unum eonsequens .ua esse omnia antecedentia ad omnia cons quentia,ut innuit ν inpredicta Prop. . egregie confirmatρ nominatus Torricellius Problemate de Dimensione Parasin, Prop. Iq.ὰ Lemmare a . usque ad a7.
Ρ R O P O S. V. P Arallelogramma in eadem altitudine existentia Intersunt,ut basses; & quae in eadem basi,ut altitudines,vel, ut latera aequaliter basibus inclina a. Sint parallelogramma quaecunque, AM, MC , in eadem
altitudine constituta, silinpta altitudine iuxta bases,GM, MN. Dico parallelograminum, AM,ad parali lograminum, MC, esse ut, GM, ad , M H. Ducatur quaecunq; intra parallelo
45쪽
parallesogrammis,AM,M C, interceptae sint, DE, EI. Quoniam ergo, DM, est parallelograminum, sicut &, ΕΗ, erit, DE,aequalis ipsi,GM,dc, EI, ipsi,MH, erit igitur, GM, ad , M Η, ut , DE, ad, El, &, DE, EI, ductae sunt utcunqi parallelae ipsis, GM,MH, ergo paralles Ogramma , AM, MC,
erut ex genere figurarum Theorematis anteced. ergo, AM,
eorundem bases. Haec autem verificabuntur etiam si altitudines aequales fuerint,vt facile patet. Sint nuc parallelogramma,QP,LP,in eade basi,NP, constituta. Dico eadem esse, ut altitudines sumptae iuxta basim,NP. Demittantur ergo,OR,TS, altitudines in, NP, productam, in punctis, R,S,illi occurrentes nisi sorte, TP, P, essent ipsae altitudines, vel intra parallelogramma incideret
basi, NP, & a punistis,m , agatur illis parallelae, i, LV,
in punctis,V,X,basi,NP, incidetes.Sunt igitur parallelogra--,QS LR,in aequalib. altitudinibus,OT, LO,suptis iuxta bases, TS, OR, ergo parallelogramma, QS,LR, erunt inter se, ut basesIS, R est autem parallelogrammu,m, squale parallelogrammo, &, LR,ipsi,LP,ergo parallelograma, ν ρε
QP,LP,erunt inter se, ut,TS, OR, quae pro ipss sunt altitu- ius Prop. dines sumptae iuκta basinia Lautem latus, , extenderetur super latus, PT,idest latera,OP,PT,essent aequaliter
inclinata communi basi, NP,tunc sumptis pro basibus ipsis, T P, P,haberemus pat allelogramma,QP,LP, in eadem altitudine sumpta iuxta bases, T P, OP, bc ideo essent, ut ipsae Expsim, bases,TP, OP, ideit ut latera, T P, OP, aequaliter basi, NP, par hirius inclinata, haec autem pariter verificabuntur etiamsi basis,NP, non sit communis, stat tamen duae bases squales, quae
ostendere opus erat. XX. Hac propositio superadiata est. vi quoddam Memplar haberet StuMosus prioris methodι Indimsibilium, quatenus issi adhibetur circa figuras in eadem altitudine existentes ut semper fere concuetum est in i a Geometria Indiuisibilium, quamuis
uniuersalibφme quibus unq figuris in quacunque altitudine existontibus adaptari polytPhoc est quatenus versatur circa subiectum, quod es posteriora methodo proprium. In ea enim
46쪽
intesties potest secundu priorem methoiam feri comparationem omnium Indiuisibilium corumue, quamuis susceret illa distributive c=mparare, auod escit posterior methodus. Ut enim concludamusparallelogra mum, GB,a ΒΗ, esse ut, GM, AEMM V, suscit probare ut,GM,-,MΗ, ita es,D ad,EI sesso quamlibet parallelam usi. G H, in parasteogrammo , GB, ad iresponisntem in parallelogrammo, Bre, paragelam eidem, GH,
nos docet Propostrama Lib.7. absque eo quod inferamus, e go collective omnes lineae,GS,adomnes lineas,BΗ,hoc est paris logrammum, GB, adparallelogrammum, Bre, es ut, GM, M,
MΗ, . Videat ergo Lecror in quo H erant prior , ct posterior methodus,or qua acile per hac posteriorem post infinitorum India bibam ut Gluisorum comparatianem euitaresilia propter infinitatem eidem negotium faciant.
praefata Prop. s. deducuntu equentes Propositiones eiusdem Libriferundi usque ad octauam inclusin, demon Burq;
et ia Geometrica consueta, qua idcircos termittuntur. Sciae tamen Lector in sexta probari quacunq; parallelogramma ha-bcre rationem compositam ex ratione basium, se abitudinum e laterum aequaliter basibuae inclinatoru, cum illa sunt aquis angula. In septima vero demonstraturparallelogramma,qu rum bases altitudinibus,vel laseribus aqualiter inclinatis reis Irocantur esse aequalia, ct λ contra. In octava deniq; habetur similia parasielogramma esse in dupla ratione suorum lateram homologorum. Haec a me vocantur communias tomata paratulogrammorum, qua in Corollari s dictarum Propositionum ad eorundem parallelogrammorum omnes lineas, regulis lareribus,starissi transfruntur.
PΑrallelogrammorum in eadem altitudine existentium
Omnia quadrata,regula basi,iuxta quam altitudo sium. pta est, sunt inter se, ut quadrata basium.
Sint igitur parallelogramma, AM, MC, in eadem altitudinea Diuili su by Cooste
47쪽
De Triori Metbodo Indiuisibilium. 3 3
dine. Dico uita quadrata palallelogiammi, AM,ad omnia quadrata parallelogramini,MC,regula,GH,esse ut quadratum,GM,ad quadratum, MH. Sit intra parallelograma, AM, MC,ducta utcunque,DΙ,parallela ips1, GH, cuius portio,DE,maneat in ,AM,&,EI,in, BH. Quoniam ergo, DE, est aequalis ipsi, GM,figure autem pi nae similes descriptae a lateribus, vel lL A B C. 1ieis homologis aequalibus sunt aequa- --
quadrato,GM,&quadratum, El,qua- si Hdrato,2 H,ergo, ut quadratum, GM,ad quadratum, MΗ, ita erit quadratum,DE,ad quadratum,EI,& quia, DI, utcunque ducta est parallela ipsi, GH,ideo, ut unum ad unu , ita omnia ad omnia idest, ut quadratu, GM, ad quadratum, NH, ita erunt omnia quadrata parallelogrammi, A-, ad omnia quadrata parallelogrammi, IIC, regula, GH, quod
HIne patet, si vice quadratorum sumamus alias quas
cunque figuras similes , quod eodempacto ostendemus omnes figuras similes paralIcIogrammi, A U,ad omnes similes figuras parallelogrammi, MC, vi ex. g. Omnes circuia Ios parallelograini, AM, ad omnes circulos parallelogrami, MC, esse ut similes figuras ab ipsis basibus, GM, 31H, dciscriptas, nam figurae planς similes quaecunque,ut dictum est, descriptae a lateribus, vel lineis homologis aequalibus sunt aequales; omnibus pariter astumptis figuris similibus regula eadem, G H. XXII. Adintelligentiam huias Propositionis nona recolantar dinacirca def8. num. I γ' periori,m hac enim paratur transitus ad corpora medidis omnibus juadratis descriptis ab omnibus lineis
paratulogrammorum B,BH, aequid antibus duobus quadratis descriptis a basibus, GM, MN, ad quae supponuntur aqualiter inclinari par altilogramma, GB, ΒΗ, u genitrices mi. lariumsolidorum, quorum omnia dicta quadrata eriis omnia.
48쪽
plana9 tanqua suis regulis. In hac ergo ostenssitur omnia qua drata parallelogrammorum in eadem Atitudine existentium, visunt, GB, ΒΗ, esse ut quadrata basium. Similiter in Corol lario dicitur ,s vice quadratorum fumantur circuli seu alia quaecunq; figura deseripta a basibus, tamquam regula nihilominus omnes circulos su omnes figuras miles dictorum parali logrammorum esse ut imas regulas. Et quonia olida ii ria genita ex parallelogrammis eguli suris a basinus eorundaedfcriptissent cylindrici,seu eorpora coiamnaria,ut aeritum esnum. I7. Cr infra probabitur; ideo ex praemissa Prop. edocemur corpora columnaria ineu cylindricos milium basum in eadem altitudine existentes, esse inter se,ut imas bases . Similiter ex ibidem quenti Prop. Io.e seque Corollario innotescitolindricos in eadem,vel aqualibus, o milibus basibus existentes, esse ut altitudines,vel ut latera aequaliter basibus inclinata. Sic II. Prop. cum Corollario indicat C lindricos similiam basium habere inter se rationem compositam ex ratione baseum, se altis dinum . vel lateram aqualiter baseus inclinatorum. Pariter Propositio I 2. cum Corollario patefacit olindricos similium bisium ,quorum i a bases altitudFnibus, vel lateribus aqualiter basibus inclinatis reciprocantur,esse aequales o ὸ contra. Insmper ex Prop. I cum Corollario pala fi seniles olindricos esse
in tripla ratione laterum homo or-- Deniq; Prop. Iq. concludit haec omnia excepta Prope trone I 3. quoniam postulat bases esse similes Puerificari de cylindricis etiamsi hases eorum sitit Hyimiles. Haec a me vocantur communia Lymptomata cylindricorῆ, se omnium quadratorum i orum parallelogram
moram, qua deducuntur ex hacs praemissa Propos6.viage metrica consueta,es ideo hic praetermittuntur.
Sequantur in eodem Libro a. aliqua Propositiones, qua cum ad intentum nostrum nonsint necessaria,'opterea relinquuturi Sunt autem praecipuὸ Prop. II. in qua ostenditur omnes Huras planassimiles quas generaliter disiniuimus Lib. primo des a Gesse in dupla ratione linearum, vel laterum homologorum emrundem: se Propositio 17. fatis prolixa, or laborio P in qua probasur omnia similia uda quorum extat desinitio generalis
49쪽
eodem Lib. primo ad def. II. 9 esse in tripla ratione linearum. vel laterum homologorum , quaesunt in eorundem homologis fguris. Has autem Lector poterit senoneTe, nisi hunc larerem subire velit.
Hactenus Indiuisibilium priorem methodum expertioMusis indagandis communibus parauelogrammorum, O Utinis corum mptomatibus, nunc adplana guras redeutes in L Emiseriuspro edimur . diagoniam vero pos parallelogramma faciliora videntur esse triangula, ct trapea da, propterea instinquentibusὶ Propo sitionibus medijs parasielogrammis Atrea,setas ad triangulorum, O trapezinorum mensuram.
SI in parallelogrammo diameter ducta suerit,paralles, grammum duplum est cuiusuis triangulorum per ipsam
Sit parallelogrammum utcunque,AD,in quo ducta di meter, F C, ipsum diuidat in triangula, FAC, CDF. Dico parallelogrammum, AD, d lum esse ri cuiusuis triangulorum, FAC, DF.Abscindantur ab, FD, CA, versiis puncta, F,C, partes aequales,FE,CB,& perpu- ιeta,B, E,parallelae ipsi basi,CD, duran- Itur, EH,BM, incidentes diametro, FC, C ae in punctis, H, M; quoniam ergo in triangulis, FHE, CBIGangulus,BFE, aequalis est angulo illi coalterno, BCfg, de H EF,ipsi, FDC, qui est aroualis angulo illi opposito,FAC, qui tandem aequatur angulo, MBC s interior exteriori, ideo. Plus, FEΗ, aequatur angulo, MBC, sunt igitur in tria gulis,FEH,MBC,duo anguli duobus angu Iis aequales,& l, tera illis adiacentia sunt aequalia, nempe, FE, ipsi, BC,ergo reliqua latera erunt aequalia, scilicet ΗΕ, ipsi,BILEodem - . . modo ostendemus de caeteris parallelis ipsi,CD,eas nempe, quae versus puncta, F, C, abscindunt a lateribus, FD, CA, partes aequales, esse pariter inter se squales, veluti sunt e. E a tremae,
50쪽
tremae,AF,CD,squales. Ergo omnes lines trianguli, C AF, aequabuntur omnibus lineis trianguli, FDC,siumptis in v riique omnibus lineis regula, C Due ergo triangulus, ACF, erit aequalis triagulo,FDC,ergo duo trianguli,ACF,FΙ C, scilicet parallelogrammum, A D, erit duplum cuiusuis tria. gulorum, ACF, FCD,quod ostendere opus erat.
HInc patet, quaecunque de para IIclogrammis in Prop.
s. 6.7. & 8. huius Libri ostensa sunt, eadem de triangulis ut vera recipi posse, si in triangulis conditioncs ibi apis positae repertae suerint, nam in unoquoque expositorum triangulorum sumptis duobus quibusvis lateribus, fieri potest sub illis in eodem angulo parallelogrammu, cuius trianis gulum erit dimidium. Triangula ergo, quae in eadem sunt altitudine inter se sunt,ut bases: Et quae in eadem basi inter se sunt, ut altitudines, vel ut Iatera aequaliter basibus inest natar Item habent rationem copositam ex ratione basium, di altitudinum,siue laterum aequaliter basibus inclinatoru, cum sunt aequiangula: Item Triangula, quorum bases altutudinibus, ves lateribus squaliter basibus inclinatis,reciprocantur sunt aequalia ; & quae sunt aequalia bases habent altis tudinibus, vel lateribus aequaliter basibus inclinatis, recuprocas : Et tandem habetur similia Triangula esse in du pla ratione laterum homologorum, quae omnia ex praesenti
Colligitur insuper, si supponamus, CD, eine aequaIem
ipsi, DF, quamlibet ductam in triangulo, FCD, parallelam ipsi, CD, aequalem asse ei, quam ipsa abscindit ah, FD,versus,F,nempe ipsi abscissae,FE, & producta, EU,verusus,AC,cui incidat in N, ipsa,ΗN, equari residuae abscissς, TE, scilicet ipsi, ED, &, NE,integram aequari ipsi, FD,quae est una maximarum abscissarum ipsius, FD, unde hac via colligemus omneo lineas trianguli,FCD,regula, CD, dum