장음표시 사용
61쪽
ties, BD, secta esse supponitur, exceptis tamen extrcmiS, ut exg.ipia,Ct,in qua partes,CI,quae inreM,CI, separari debuissent per lineas, AEC, AFl, in puncta, C, I, partibus ,
BE, FD, respondentia degenerauerunt. Dico quaecunque demonstrantur in linea,BD,circa quadrata, vel rectangula, illi, vel illius partibus applicata, verificari de omnibus quadratis totius figurae, BADC, siue partiu eiusdem figurae per dictas lineas constitutarum, siue derectangulis sub eiusdem partibus. VteX. g. quia in 3. Prop. Lib. 2. Elem. ostenditur
rectangulum sub, B D, D F, aequari rectangulo sub, B F D, cum quadrato, FD, sic dico veru esse recta noula sub figura, ABCD,& figura, ADI, aequari rectagulis sub figuris, A BIF, ADIF,cum omnibus quadratis figuret,ADIF. Si enim aliam
utcunque duxerimus regulae, BD, parallelam, ut, Ho, seca tem lineas, AC,in, M,&,AI,in,N, verum esse comperiemus rectangulum,HON, aequari re tangulo,ΗNO,cum quadrato,NO, & idem in caeteris regulae, BD, parallelis, in figura, ABCD, ductis reperiemus. Ergo verum erit rectangula illa
simul collecta, idest rectangula sub figura, ABI D, & figura, ADI,aequari rectangulis sub figuris, ABI, ADI,cum omnibus quadratis, ADI,quod 3. Propos 2.Lib. Elem. respodet. Similiter si supponamus, BG bi riam secari in,E,cui asiungatur, FD, supposuerimus etiam lineam, A C, bifariam secare quamlibet omniu linearum figurae,ABI, regula, BD, supra dictarum, quarum singulis additur, quae in directum manet in figura, ADI, veluti Propos. 6. Ostenditur rectangulum, BDF,cum quadrato,FE, aequari quadrato,ED, ita hic admodum superioris ostendemus rectangula sub figura, AB ID,&, qDI,cu omnibus quadratis figurae, ACI, aequari omnibus quadratis figurae, A CD, quod respondet Prop. 6. eiusdem Lib. Consimiliter reliqua demonstrabimus, unde iuxta I. Prop. Secundi Elem. colligemus.
A. COROLLARII SECTIo I. REctangula sub figura indivisa, ABID,& sub diuisa,
Ac D,per linehu, aequari rectangulis sub indivisa,
ABID, & sub partibus diuisae, quae,sunt, ACI, AID.
Desin. 8.huius. Coroll. huius.
62쪽
Ι ta secundam habebimus omnia quadrata figurae, AB ID, aequari rectang. sub , ABID,&singulis partibus, AB L AID. C. S E C Τ I O III. . IUxta tertiam iam dictum est in Propositine quid colli.
IVxta quartam habemus omnia quadrata figurae, ABID, per unicam lineam, AFI, diuisis, aequari omnibus .quadratis figurarum, ABI, AID, & rectangulis bis sub dictasg. ABI, AID. l
IVxta quintam,si supponamus Ilaeam, AI, bifatiam diuidere omnes lineas figurae, ABID, r ala,BD, sumpta & easdem lineam. A C , non bifariam diuidere; colligemus redhagula sub inaequalibus partibus,ABC, ACD, cum om-.nibus quadratis figurae, ἰA CI, aequari omnibus quadratis urar, ABI.
IVxta se tam quid eolligatur iam dictum est in Propo.,
ΙVxta septima colligemus,ssipposito,quod figura, ABID,
secetur a sola linea, AI, utcunque,dummodo eadem secti omnes aequidistantes ipsi r*ulae, BD, in figura, ABI D, ductas,& in uno tantum puncto,colligemus inquam omnia
quadrata figurs, A MD ,& omnia quadrata figurae, ADLaequari rectangulis bis sub finiris , ABID, ADI, una cum
omnibus quadratis, ABI. . . - - 1 - .
63쪽
, Η. S E C Τ I O VIII. IVxta octauam, si supponamus figuram, ABCD, utcunq;
sectam per lineam, AC, quae tamen secet omnes ipsi , RD,aequidistantes in mura, ABCD,ductas, & in uno tam tum puncto uti dictum est colligemus rectangula quater sub figuris, ABCD, ABC, cum omnibus quadratis, ACD, aequari omnibus quadraris figurae compositae ex figura, ABCD,&, ABC, ita ut omnium linearum figurae , ABCD, singulis intelligatur adiecta, quae nunc in figura, ABC, est eum illa in eadem rectitudine.
IVxta nonam, si stipponamus lineam, AI, secare omnes aequidistantes ipsi, BD, in figura,ABID, ductas bifaria,& lineam,AC,easdem bifariam non secare, colligemus omnia quadrata figurae,ACD,cum omnibus quadratis figurae, ABC, dupla esse omnium quadratorum figurae, AID, cum omnibus quadratis figurae, ACI,intermediae.
care omnes aequidistantes ipsi, B D, in figura, ABI,d ctas,& illis addi,quae in directum illis iacet in figura, AID; colligemus omnia quadrata figurae, ABCD, cum omnibus quadratis figurae, A DI, dupla esse omnium quadratorumhgurae,ABC,cum omnibus quadratis figurae, ACD.
L. SECTIO XI. IVxta undecimam. si supponamus, BD, ita, E, ita strum
esse, ut rectangulum, D B E, sit aequale quadrato, ED, qu libet autem aequid istantium ipsi,BD, in figura,ABCD, tali modo,& ad eandem partem diuidatur per linea, AEC, patet, quod etiam rectangula sub figuris, A B C D, ABC.' G aequa-
64쪽
s o Exercitatio Prima. aequabuntur omnibus quadratis figurae, A CD, regula, BD. Igitur linea, AC,dividet superficiem planam,ABC D, sic ducere liceat ) secundum extremam, ac mediaJ ationem. Haec autem prosequentibus accurate memoriae commendent uti
Exposito parallelogr mmo quocunque in eoque dueta
diametro; omnia quadrata parallelogrammi ad tua quadrata cuiusuis manguiorum perdisam diametrum cistitutorum crunt in ratione tripl4, uno laterum parallelo gratiami communi regula existente. , . s.
Sit parallelogra namurn, n G, ip coqῆ ducta diameter, CE , regula utcunque latus, EG Dico ομὶ sia quadrata, A re esse tripla omnlini quadratorum trian- .guli cuiusuis,AEC, siue, C EG Diuidistur bifariam latera, AEC,CG, in puctis,
CA, parallelae ducantur, Bb, DΗ, quK Tati , F ii ita nusecum recta, CE. ccimmuniter hisariam secabunt in puncto, lul. Quia igitur in figura, siue paralIcIo- grammo, AG, ducitur linea, BF, quae omnes aequidistantes ipsi, EG,bifariam secat, &, CE, quae rasilem in partes mete quales diuidit,praeterquam , DH,omnia quadrata triangilli, EC,cum omnibus quadratis trianguli, C EG,dupla erunt omnium quadratorum, A F , cum omnibus quadratis duorum triangulorum-CBulf, EMF. Licet enim, DU,per linca, CE, sit non bifariam diuisa, nihil tamen hoc obsigi nostro proposito,nam & ipf,DH, contingit,veluti ijs,qus inaequaliter secantur, quadratum sectarum partium, scilicet quadrata, D M, M H, dupla est e quadratorum dimidiae, nempe quadrari, DM, & cius, quae inter sectiones interhcitur, quae hic nulla est,cum duae secantes, BF, CE, uniantur in pucto,M: Sunt autem omnia quadrata trianguli, A E C, aequalia omnibus quadratis trianguli, CEG, quia sunt triangula inaequalibus basibus,EG;AC,& eadem altitudine Mer everse posita,
65쪽
posita,& i deo omnia quadrata trianguli,CEG,sunt squalia omnibus quadratis,asu cum omnibus quadratis triangulo rum, CBM, MEFat Quoniam oro oriania quadrata tria iguli, BMG , sunt aequalii omnibus quadram triansuli, CMH, omnia vero 'il adrat rriagii IcxEG,adcinnia quadrata tria muli, CMH; sunt in trilila ratione esus, quam h bet, GC,aci CH; quae est dupla.iuest in ratione o pla , &hoc, quia triangula, C EG, C M l sunt similia,Heb oninuquadrata, CE Gipseunt;o upla omnium quadrit mini, CN H ,α quadrupla omnium quadratoriam. CN Η, vehcBM,&,MERasunt amma oriana quadrata triaguli,CE Glualiacmmbus quadratis,o F, cum omnibus. quadratis Ariangulorum,CBM, MEF, ergo haec erunt quadrupla omnium quadratorumaeriangularum, CBMM ,& diuidedo omnia quadrata, qF,erunt illora tripla.. Sunt autem omnia quadrat AG d omnia quadrata. AF, ut quadratum, CE, ad quadr tum IEF .dest quadrupla idcst, ut 12. ad 3.&.nia quadrata, Ak, sunt omnium quadratoru triangulorum, -B MC, MEL, tripla, erg6 Limnia quadrata, AG, erunt dum .dccupla omnium quadratorum triangulorum, BUC, MER& sunt ad omnia quadrata, AF, ut Ia .ad 3.ergo omnia qua .ciata, AC Η cimnia quadrata,AP, cum omnibus quadratis trianguloririn, CBM, MEF, crunt vi I 2. ad . sunt autem omnia quadrata, AF. cum omnibus quadratis triagulotum,
CBM MEF, aequalia omnibus quadratis trianguli, C EG, vel, AEC, ut ostensum est.Ergi mnia quadrata, A C, ad omnia quadrata trianguli,CEG, vel, AEC,sunt ut Ir. ad 4. idest sunt eorum tripla, quod ostendendum crat. i. . . . '. C O R O L L A R I v M.
Hinc paret, si 'ducamus in tra parat telogrMmum, Α aequi distantem ipsi, EG, vicu nque, R V, secantem, CB, im T, de; BF, in, S, quod veluti ostendimus,R V,aequari uni in aximarurn abscissarum,CG,dum, EG,est aequalis ipsi, a uinae optandem quadratum, RHsquari quadrato unius maximarum abscissatum , CG ,& quadratum , TU, aequari qu*dratoi uviui tannium: abscissarum , C G, idest
66쪽
quadrato, VC; quadratum vero, RT, aequari quadrato unius residuarum omnium abscissarum, CG, idest quadrato VG, unde concludemus omnia quadrata, AG, regula,EG, aequari quadratis maximarum abscissariam, C G , & omnia quadrata trianguli, C E G, aequari quadratis omnium ab . scissarum, CG, & omnia quadrata trianguli, AEC, aequari quadratis residuarum omnium abscissarum, CG,& rectangula sub triangulis, AEC, Cm,aequari rectagulis sub o nibus abscissis,&residuis omnium abscissaru , CG, ita sun ptis,ut quodvis rectangulum intelligatur sub una abscissaxum ,& eius residua: Vnde veluti ostendimus omnia quadrata,AG,tripla esse omnium quadratorum tria uli, CEG, vel trianguli,CAE, ex quo patet tripla etiam esse rhetangiisitorum bis sub triangulis, AEC, CEG , sunt enim omnia quadrata, AG, aequalia omnibus quadratis triangulorum , AEC CEGια rectangulis bis sub eisdem triangulis) ita apparebit sua,ata maximarum abscissarum, CG, tripla ciuequadratorum omnium abscissarum, vel quadratorum residuarum omnium abscissarum, CG, & tripla etiarn esse recta.
pulorum sub dictis omnibus abscistis, elidui'; bis sumptis,
sexcupla vero eorundem rectangulorum semel sumptorum. Sunt autem maximae abscissarum abscisi P. Mincii 'arrecti
transitus, sit angulus,EGC, sit rectus, vel eiula em obliqui transitus, si illa non sit angulus rectus.
ii XXVII. . EFomanisola Propositio a 2.superius tradua in tota Geome fria Iudiuisbilium, oe iuxtapnorem methodum,seniatur per demons Donem ducerem adimpossibili; ut Lectori palam fa omnia per dictam priorem methodam po se directe demonserari , id o hac voluipraefatis Propositionibus peraddere, quibus,tam
dicta Prop. a a. quam Prop. ad . ab eadem depcnden , omnes alia hinc derivatae dire Ieprosantur . Sinuerit quodeunqueparalleogrammum B C D E, or in eo ducta diameter , C E ; in trianguli ; E C RECD,tiam. quam in fossas,ac vertice commvmpuncto, Aouem uri P ramides ABCE, A E.'Duco eodem esse aequatis P . i. : Trauecto enim Pocunq; plano basi, BD, ae id ante acρ -
67쪽
ramidem, ABCDE, secante fient comm
parallelae per Prop. I 6. Undec. Elem.se ideo erunt 'inter separaueia.dic sede- cmus alias communes mones eum planis, AEC, AED, nemphF G, I , esse parallelas, o rectam, GI,communem sinionem eiusdem cumplano, ACE, quod es duabus dictisnramidibus
-Commune. Erit ergo, FGHI, parallelog ammum, eiusque dim . mererisI,V m bifariam secans. quare triangulum,FGL aquabitur triangulo HI . Eadem ratione ostendemus,traiecto alio
quocunque plano eidem bas, BD, AEquiduante Zyramidesque ferantefacta visc triangula in dinis Zyramidibus adaequari. Ergo omnia plananramidum , AECE, AC DE, regula plano, AD, erunt aequalia, ct binde per Prop. 3. fueriorem eadem
eo existentis. Id etiam sendis Euclides Lib. Stiodccimo Elcm. Prop. 7 sed quia utitur Propositione I. eiusdem Lifri, quae non sensue demonstratur,ideis nos utimur ancedenti Lemmate. σEuclidi postea conformiterprocerimus. Cum enim triangulum, MKNst aequati triangulo, MON , ct cois vertex L,etiamn- ramis,LMUN aequaturn miae LMON, per di tum Lemma. Similiter raramis .LMON, cuius vertex, L, hoc, es Zyramis, LOMN,cuius vertex,N ses enim eade nrami P aequatur lyramidi. LP O N. cuius vertex es idem, N, es basis,LIO, aequalis usi LO M, inparallelogrammo, MP. Ergo Ires hyramides, LMON, L MYN, LPON ,sunt aequales. Vnde pater imum pri a. Mom, triplum essenramissis, L N. . . . Si ergo in Schemate Propositionis aq. supcrieris sensuer
68쪽
mus a bas, Es escribi ex gr. triangulum αι laterum,ad quadsis recrum vel inclinatum parallelogrammum AG,streian tam,CEG,suorum omnes tinea defcribant tringulaa rigat
Pνop. 3.fvcriorem, ideὸ omnia tria gula aequilainera an Helois grammj, AG,tripla erunt omnium triangatorum aequauerorum rianguli CEG, Sedus triangulum aquilaterum-ινι Plam
69쪽
Similiter 'Met comminua symptomatή omyium quadratorum paralleis ammorum se uniuersaliter cybndracorum. num. a I. superiora evocata , etiam ad omnia quaarata conicorum, ovuniuersaliter ad omnes conicos transferet inunt enim prediri
rum subtripla ut infectionibus Corauari, eis ι m Propositionisa a supra colligebatur. I
Remanct expendenaea Propositio 23. uis Corosiar Aq si Lectyr attentὸ considerauerit,agnoscet quali illa ni mometLAuema odam erum Libersecundus Elem. apparet esse m-m fecunditatis,ac totius Astebra fundamentum: ita haec Pr pstio cum suis Corollamνs quae et de ecundi Libri doctri imitantur, facile animaduertetur esse immense utilitatis, nu-ctiumque Geometria Indiuisbilium in his continινi quibussi e recte uti taerit, admiranda in Geometricis detecturam
esse stulo. Altioris enιm graiss mihi esse videtur hac fectio , νυμ per lineas in planis figuris,quam ira, quae in dicto secuis
Elem. At perpuncta in lineis rectis. Per istam enim unicum Mearum aetata rectae linea ,su rectangulum sinaetur varia frusta: pre sane vo cinduntur omnia quadrata data figurae, seu omnia rectangula in Hure frustis iis consequenter solidum Amitare, cWm .mone o uia Lenis antem re ruoque semiui
in varia folida Era quide cistio uti mire 'Ecratur m A etiam in folidis: etenim soliditatem, quam aliquando, vel
nullo modo possumus, vel discillime integram metiremur; in f sa dissectam facile mensuramus. Et cum innotuerit memorasti misiaris, cuius omnia planasunt omnia quadrata, vel rectangula sua figurae genitricis; vice quadratorem vel
rectangulorum sub ituris alijs figuris ab eadem genitrice dscriptis, istico insinitorum specie folidorum smilarium/r
die mensura, quod videtur non oin flerneia. Extant innumera
huiusce rei exempla in dicta Geometria Ind. nec aliquod hic deerit,ut Lector ex ungue Leonem agnos perest pro Preciapue in Prop. a a. aliquod specimen huiuscι Isctionis praeberes ruerunt lineae, HM, I V. 9 2, sec. in eius Schemate diuidentes omnia quadrata a uelog ammorem,DS, FR, 1 in Ur sar se in Schemate Prop. a .diameter,CE,HVrdens omnia quo Gaia, AG, in omnia quadrata, AEC, CEU O in rccta/gula bis Ib
70쪽
ss Exercitatrio prima. Job eisdem triangulis. Perhane vero Prop 23 oper PrF. 2 y. or 26subsequentes paratur aditus ad alia solida ultra olim. dricos,or conicos,in quibas Iniuuisbilium valor pariter evem detur sicut hactenus in issis eundem experti mus.
Ρ R O P O S. XXV. SI in duobus parallelogrammis semptis duobus Iateria
bus pro basibus, & regulis, ipsa paralleIogramma su rint in eadem altitudine sumpta respectu dictarum basium; in eisdem autem basibus, & altitudine fuerint aliae duae planae figurae ita se habentes, ut si ducatur utcunque parallela dictis basibus quae in directum sint constitutar) recta linea, eiusdem portiones dictis parallelogrammis, & figuris interisceptae,vel ab eisdem descriptae planae figurae, sin throportio nates, homologis existentibus, quae sunt in parallelogrammis, & pariter quae sunt in figuris, in iisdem basibus,& altitudine cum illis constitutis: dictorum parallesogramm rum, ac figurarum omnes lineae, si lineae, vel omnes figurae planae similes,si istae comparetur similibus inquam existe tibus quae sunt in unaquaq; figura erunt proportionales.
Sint parallelogramma, AE, ED, in basibus, C E, E F. in
directum iacentibus,& in eadem altitudine respe diri-rum basium constituta , sit autem regula, CE , vel , E F,& δε in eisdem tanquam in basibus,& cadem altitudine cum paral- Μlelogrammis, AE,ED, sint figurae, ECE, BEIr, elusinodi, ut si
duxerimus utcunque ipsi, CF, ε . -.- -α
Parallelam, ut, Min cuius por- tationes interceptae parallelogramis, AE, ED, sint, Mo, O & interceptae figurirant, I
OP,reperiamus,MO,ad,OI, esse ut,QO,ad, O P. Dico omnes lineas,AE, ad omnes lineas figurae. BCE, esse vi omnes lineae, BF, ad omnes lineas figurae, BEF. Si vero vice line rum comparentur ab eisdem descriptae figurae, similibus existenti