장음표시 사용
31쪽
deinde inter eadem plana tangentia eisdein aequi distantia P P vicu:nque plana ducta fuerint, altitudinus solidorum, respectu dictorum tangentium sumptas, similiter ad eandem p .Def. m. partem diuidentia, reperiamus figuras ex his planis in diactis solidis conceptas esse sinites, vel si plures producan. D t iQ. tur, tot numero in uno, quot in alio solido produci, quae sint binae sinites,&quae sunt unius solidi similiter inter se disposite, ac qus sunt alterius ,& omnium homologas duabus quibusdam re ctis lineis communiter,tamquam carum. dem regulis, aequi distare. sic.n. earum homologar cum quibusvis alijs duabus regulis angulos aequales cum prae 4 dictis facientibus, ut infra Prop. a 3. huius ostendetur, C. tiam haberi poterunt Vnde si regulae homologarum acci. piantur cum incidentibus planis concurrentes ,&conceri, piarum in solidis simili uin figurarum ductae in singulis oppositae tangentes praefatis regulis Paralleis producantur, stopus sit, quousq; praedictis incidentibus planis occurrant,& binarum quarumcumque oppositarum tangentium puncta occursuum iungantur rectis lineis,etiam has iungentes reperiamus singulas esse incidentes suarum similium figurarum, & oppositarum tangentium, ac omnes dictas incidentes concipi in figuris similibus, quarum, & ipsis inci- dentes sint homologae ,&omnium regulae communes sectiones planorum incidentium , &oppositorum plano tum tangentium. His omnes, inquam,conditiones simili aso.
lida in uniuersum habere suppono ..B B. Psar autem figurae planae simil es, quae capiunt omnes dictas incidentes , vocentur. Figurae incidentes dictorum similium solidorum , di oppositorum tangentium iam ductorum
C C., b ἡ L' Igurae vero ex planis dictis tangentibus Parallelis in
F ' eisdem solidis conceptae, quotcumque sint , altitudines eoru iide ii respectu dictorum tangentium sumptassimilitcr ad eandem partum diuidentes, quae similes esse re-Pς
32쪽
LIBERI. II per Iuntur, siue binae similes, di unae, ae aliae similiter Inter
se dispositae, vocentum. Figurae homologae dicto rure sinit. Iium solidorum, sumptae regula una ipsarum , vcl Oppositoruin tangentium, quae homologarum s Suraium plana tan sentia, ii libeat, etiam vocentur.
33쪽
alias , na, R I , cum pradictis angulos aequales tantis nus, E Δ , P R .mpro regulis homologarum accipiemus, hoe .n. fieri posse demonstrabitur in PrF. a 3. huius , ρος erunt cum planis, Δ F, ΔΚ, concurrentes. Si ergo ducantur praedictarum similium figurarum , s λ, Η Ε, Σ ei, C M ,stpposita tangentes, parallelae regulis , Ω Δ, R 29 ex. g. figurae, β Λ , opposita tangentes, S T, A S, es, LT E , ipse , UD, EI, 9, Σ P, ipsae , ΣΟ V, ct tandem V us , C M , ipsae, C N , M G, qua productae si opus M,
surrant planis , ΔΓ, .sl2Γ, in punctis , T,S IO V; D , I; N,G; iungantur autem , T S, OV, D I, Ns , et ipsi reperiantur esse incidentes similium figurarum , ελ , Η Ε , IS ep , C M , et δι&rum oppositarum tangentium.
Consimiliter, βctis ei sidem Iolidis aliis planis dictis planis Iam gentibus paralle is, altitudine que dictas similiter ad eandem partem secantibus, simper concepta in solidis figurae sint similer, υeIb ς sim ues,circ. cst earumdem hamologarum opposi/ς tange res parallela prςfatis rogulis , Ω Δ , R ac sini pro ac que ac plana, Δ T, My ; occurrantque illii in punctiς, quς si iungan-rur rectis lineis,ipsi iungcntes ni dictarum milium figurarum,
cst ductarum oppositarum tangetium semper incidentes, quae omne taceant in planis, Δ Γ, .2 V, per quarum extrema transeant
lineς, XV T T , F G Γ D, et interius linea , ψ AI 6 I, 7o8S, est contingat figuras , T V T T, F G V D, esse ius , earumque komologas dicras incidentes , se V . rum regulas esse communes sectioncsilaueorum, in qmbus iacent , o eZpositorum si Moru
34쪽
rangentium, idest ipsas, Γ Δ, T Z, F TL. His igituν positis, voco solida, I ε 3 sp , A H B M , similia; sturus vero, F 6- D sub G Γ D, T UT T ; dies figuras incidentes similium solidorum iam B. Def.ssi
dictorum, et oppositorum tangentiumplanorum, R Δ, O M PE, n L ; ipsas autem figuras, β λ, Σ Φ, H CC M , et eas, quarum extensa plana similiter ad eandem partem diuidunt altitudines solidorum , I Sasco, AHEM, respecIu dictorum tangentium planorum simplas, Osunt ius , vel binae similes , o similito inter se disposita , voco figuras homologas victorum solidorum , C. Def.issi sumptas , regulis earum duabus, vel dictis tangentibus planis.
ADuertendum est autem pro similium figurarum nominatione , dum voco eas imi s figuras siue planas, siue solidas, me inte tuere in eis d si uitiones generales superius allatas; dum vero eas particulara nomIne appello, intelligere dcfinitiones particulares pro ipsarum fimilitudine ab alijs , vel 2 me allatas, ut eum dicam , simiales coni fictionum portiones, intelligam particularem in eis desinitionem, oe cum dicam similia parallelogrammi intelligam m ers par.ercularem di sivisionem similium rediit mearum figurarum , ct sic in caeterιs, licet viramq; definitionem tum particularem, tum gener ιem, de eisdem figuris ver sicari insorius oendemus .X I I. CV in fuerint quotcumque magnitudines ciusdem generis utcumque dispositae, prima ad ultimam dicitur habere rationem compositam ex rationibus primae ad secundam , secundae ad tertiam, tertiae ad quartam, & sic deinceps usq; ad ultimam.
CVm unum,&idem antecedens ad plura cor seu uentia comparatum fuerit, singillatim ad unumquodq, comparare idem ad eadem consequentia simul collecta, dicemus, colligere, vel, collaSendo.
35쪽
XIV. PArallelogrammum dicetur exposite cuicumque plangfigurae circumscri pium, si eius singula latera tangant dictam figuram, quae illi pariter dicetur inscripta. X V. PArallelepipedum dicetur exposito solido circumscriptum, si eius singula plana tangant dictum solidum, quod illi pariter dicetur inlcriptum.
QVamlibet rectam lineam indefinite ita posse moueri; ut semper uni cuidam fixae sit parallela , siue in eodem, siue in pluribus planis, in tali motu existat. II. OVodlibet planum indefinite ita posse moueri, ut sempei uni cuidam fixo sit aequi distans. PROBLEMA I. PROPOS. I. CViuslibet propositae figurae planar, vel sol i dae, verticem imaenire, respectu datae, pro figura plana rectar Iineae, pro solida vero, respectu dati plani.
Sit sigura plana quaecumque, A B C, & in ca ducta recta linea, B C, oportet respectu ipsius, B C, verticem fgurae, A B C, inu nire . Sumatur in plano figurae, A BC, indefinite produsto, utcuinq; puta 'ctum, N, & per, N, ipsi , B C, ducatur parallela , Κ V, indefinite hinc inde producta, vel igitur, K V , tangit figuram, R A C, & sic inuentum esset, quod quaeritur, vel non ; igitur erit, Κ U, vel intra, vel extra figuram , ubicumq: sit, moueatur, K V, semper manens in ciusdem figurae plano, & aequi distans ipsi , B C , re cedendo ab eadem, B C, si intra figuram reperiebatur, vel accedendo, si erat extra, tandem . n. continis Diuili od by Cooste
36쪽
tinget figuram . Ad C, contingat in si tu ipsius, F G, & m puncto , A, igitur, A, erit vertex figurae, A B C, rei pectu ipsius, BC, a nobis inuentus, qui in huius Problematis priori parte inueniendus proponebaturia Sit nunc figura lolida, siue solidum, A DE, in quo respectu plani, B E C D , sit vertex inueniendus, sumpto igitur exrra planum figurae, utcumque puncto, N, per i pium agatur planum, ΚΗ V λ, ipsi , B E C D, aequidistans. quod vel continget solidum, B A C, vel non, si autem non contingat, moueatur accedendo, Vel recedendo, a plano, B E C D, tandem igitur continget ipsum, tangat in , A, puncto, igitur punctum, A, erit vertex solidi, ADE, reip ectu plani, B E C D, qui inueniendus proponebatur.
HInc manifestum est, si recta, B C, tangat planam figuram, A B
C, quod ductae erunt opposite tangentes ipsius figurae , ABC, respectu datae rectae lineae, quae fuit una ex eisdem tangentIbus, neminpe , BC; . ita si figura, BD CE , tangit folidum, A DE, ducta erant opposita tangentia plana solidi , t D E, respectu plani , REC D , in quibus puncta contactuum erunt oppositi vertices earumdem figurarum, hoc pacto inventi: Si vero recta linea, B C, secaret figuram, AB C, vel planum , BEC D , fecaret solidxm , A D Ε, eodem pacto ex alia parte lincae, B C, vel plani, BDC E, inueniemus verticem , vnde inuenti erunt propsiuae figurae planae oppositi vertices, σ dudiae ορ- positae tangentes respectu datae lincae , R C; crin solido iuuenti erunt oppositi vertices , ct ducta opposita tangentia plana respectu dati plani, BD CE , quae cum tangunt in figuris planis , figura contactuum Nocantur etiam oppositae bases, ct earum singulae bases, O bases lineares , si contactus fieret in lineis r hinc ergo discimus inuenire ost positos vertices figurae planae, vel folida cuiuscumque, ct eorum orposita tangentia ducere respe tu data tu figura plana recta lineae,
dati plani pariter in solida figura.
CVilibet figurae planat parallelogrammum circumscribere, cuius latera duabus datis rectis lineis , in pro
posita Agurae plano se secantibus, sint parallela.
37쪽
Sit proposita quaecumque figura plana, A O V E, & in ipsius
plano duae rectae lineae , BD, i Γ, vicuinq; se inuicem secantes in puncto, C, oportet illi parallelograminum circuinscribere, cuius latera rectis, S D , I I sint parallela. Ducantur ergo Oppositae tangentes figuras, Α OVE, respectu ipsius, I T, quae sint, Κ M, HL, & aliae duae respectu ipsius, BD, quae sint, ΚΗ, ML, quaecum praelictis concurrent, nain lunt parallelae ipsis, B D , IT, quae inuicem concurru nr , fit ergo concurius in punctis, Κ , M, L, H, igitur, KL , erit parallelograminum , cuius sin ingula latera tangent ambitum sigurae, ut in punctis, A, O, V , E, & ideo erit figurae, A O U E, circumscri,ptum, habeas latera duabus datis rectis lineis , B D , ΙT, in figurae, ΑΟ V Ξ, plano se inuicear secantibus, parallela; quod eri-
CVilibet solido parallelepipedum circumscribere , cum ius plana opposita tribus datis planis, se inuicem secantibus, simi parallela .
sit solidum, ACBD, quod cumq; in quo tria plana, AC B D, A B, CD, se inuicem secent, quaeliobet duo, Opo
tet solido, A CB D , paralle lepi pedum cir
ius opposita plana praedictis planis sint parallela. D catur duo plana opposita tangeatia dictum solidum respectu euiusuis planorum se secan tiums
38쪽
tium . ACBD, AB, CD,& producantur donec sibi oecurrant, occurrent autem , quia haec planis se inuicem secantibus sunt parallela,& sit ab illis comprehenium solidum, Z F, erit igitur, Z F, parallelepipedum, cum eius opposita plana sint inuicem parallela, quae tam gunt solidum, A C B D, ut in punctis, A, C, B, D, E, X, di ideo erit solido, ACBD, circumscriptum, habens plana opposita pro-DE. I. positis planis se secantibus parallela; quod cincere opus erat.
Potest cutem eontingere in antecedentis Propos Ruνa ipsam esse ρ
rallelogrammum , ct ιineas rectas se secantes , quibus parallelogrammi circumscriptibilis latera debent esse parallela, esse 1 a paralle. togrammi latera, in quo casu idem est parathlogrammum errcumscriptum , O eui circumscriberetur: Veluti bis etiam si solidum , AC BD, esset parallelepipedum, cuius oppositis planis, plana circumscriptibilis deberent esse parallela , tunc enim idem etsi parallelepipedum cIrcumuscriptum, ct eui circumscriberetur: contactus antem in antecedenti potest etiam esse in linea , ct in bac tum in linea, tum in planis, licet conis tactus, qlia fit in punctis tantum expositus fuerit.
THEO REMA I. PROPOS. IV. DAta quacumq; figura plana, vel solida, & in plana da.
ta recta linea, in solida vero dato plano; quaelibet linea, vel planum, quod indefinite productum non tangat figulam dictam planam, vel solidam, in vertice sumpto respectu dictae lineae, vel plani, vel totum extra, vel aliquid eius intra figuram cadit, nempe figuram secat, si linea lineae, vel planum plano a qui distet.
Sit data ligura plana , L ARB,& in ea recta, AB, sit vertex unus
reiycctu ipsius, A B, punctus , R& sit recta, H M, parallela ipsi, A B, quae etiam indefinite produ- I cha non tangat figuram, ARBRin, C, vertice. Dico,HM, vel totam extra figuram cadere, Vel eandem secare. Neutrum essiciat
si possibile est, igitur, H M, tam get figuram, C A R B, & non in, C, igitur in alio puncto, ut in, E, igitur, E, erit vertex figurae, C AR B, respectu ipsius . A B, est etiam, C, vertex ei uidem respectu eiusdem, A B, ergo si per , C, hQu. '
39쪽
ducamus rectam , U di , parallelam ipsi, AB, transbet haec per punctum, E, qui est etiam vertexrci pectu ipsius, ΑΒ, igitur lec, bit, H M, quod est abiurdum, nam utraeque iunt parallelae eidem, A B, & ideo inter te iunt parallelae, vel , V N, extendetur super, HM, & sic, H M , transiret per , C, in i pioq; tangeret figuram conintra luppositum, quod etiam est absurdum, non igitur, H M, tanget figuram, C A R B, sed erit tota extra figuram , si nulli bi concurrat cuin ambitu figurae, vel, transiens per aliquem punctum, eandem secabit, si is punctus non sic ex illis, qui tant vertices ipsius figurae ex hac pirte, vel ex opponiOieipectu ipsius, A B; quod similiter in s lidis ostendemus pro rectis lineis, A B, H M, V N, plana intelligentes, & ipiam, C A R B, esse figuram lolidam lupponentes, quae ostendere opus erat.
HInc patet a quolibet puncto ambitus datae figurae plana, vel folida
ductam lineam, via planiam aquidistaηs illi, respectu euius sumι- tur vertex si sumptus punctus non sit unus ex verticalrbus dictis Dcare figuram, cum , ut ostensum est, tangens esse non possit, ct ideo semper inter duo opposita tangentia, respuiu rvula , pene1 quam fumitur vertex, assumpta linea eadet, licet indisimie producatur .
ET qμia si recta linea, vel planum , secat duas parallelas, vel duo
agiti distantia plana , secat etiam omnia intermedia illIs aqvidi. stantia; ideo si recta linea, vel planum, transeat pcr verticem, oe b.tsim, sue per oppositos vertices data figurae plana,vel Dit delabit etiam om. nes in figura oppositis tangentibus aquidolantes ntra figuram, vel easdem productas extra figuram.
THEO REMA II. PROPOS. RS a quocumque puncto circuitus cylindrici , per quam fit
reuolutio vel sus cylindricum ducta fuerit recta linea paralicia regulae lateri, cylindrici, haec erit latus cylindrici in tali basi conitu uti. Sit cylindricus, C B , in basi, A F B , in cuius circuitu sumpto vi- cuia 8; puncto, F, ab eo ducta sit verius cylindricum quaedam rara,
40쪽
Iela ipsi , Η M , quae sit regula lateris cylindrici. Dico eam eine latus huius cylindrici Intelligatur per punctum, F, ductum latus cylindrici, quod sit, F E, vel igitur ducta ab , P, parallela ipsi, H M, ca dit super, P E, & sic erit, & ipsa latus cylindrici, vel non, nempe si caderet , ut, F G, tunc quia . F E, est
parallela ipsi, H M, & etiam, F G, est ipsi, H Μ, parallela sequitur, FE, ipsi, F G, esIe parallelam, di sunt F E, F G, eductae ab eodem pun eto, F, in quo sunt concurrentes, quod est abiurdum, igitur quae du Citur a puncto, F, parallela ipsi, HM, cadet super, F E, latus cylindri. ci , igitur erit latus huius cylindiici , quod erat ostendendum
SVperficies, quae clauditur ambitu descripto ab extremo puncto lateris cylindrici , quod per circuitum eiusdem basis non properat, est superficies plana, & arquid istans basi; si ea sumatur, in qua iacent iungentes duo quae uis puncta de scripti ambitus. Sit quilibet cylindricus, A Ε, cuius basis, C D E V, latus, M Rcuius punctum extremum , M, quod non properat per ambitum basis, in reuolutione deseribat circuitum, MANU. Dico figuram hoc rcuitu comprehentam,in qua iacent iungentes duo qu uis puncta descripti ar
hltus esse superficiem planam, quidistantem basi, CDEU, & ideo singula puncta huius circuitus re- Nperiri in tali plano. Sumatur ergo in tali circuitu oVtcumq; punctum, M,&per, M, ducatur basi, C E, aequidistans planum, M B O F. Dico omnia puncta delcripti circuitus esse in hoc, plano: si enim non sint, aliquod erit extra, sit hoc punctum , N , & per, N, sit ductum latus cylindrici, quod sit, N D , secans circuitum figurae planae, BF, in, o, de circuitum basis in , D, deinae per, ND, M V, quae sunt aequi distantes, cum fini cylindrici latera, exten-