장음표시 사용
41쪽
datur planum, quod basi a lecet in recta, D V, figuram planam, Methii si B O F, in rectR , O Μ, & iungantur , M N , puncta, quia ergo plana parallela, B F, C E , iecantur plano quodam, communes eorum i ctiones , nempE, O M , D V, erunt inuicem parallelae, sed etiam, o D, M U, sunt parallelae, ergo, o V, erit parallelogrammum, &, Ο D, aequalis ipli, M V, est autem, M V, aequalis ipsi, N D, quia ambo sunt latera ei uidem cylindrici, ergo, D O, aequalis erit ipsi , DN, pars toti, quod eli abi dum , non igitur aliquod punctum circuitus descripti a puncto , M , est extra planum aequidistans bas, C E, igi. tur omnia sunt in tali plano, iuncta igitur, N M, ipia erit in eodem cum illis plano , in quo pariter iacebunt duo quaevis puncta iungentes eiuldem circuitus, & ideo figura tali ambitu contenta est iuperficies plana ipsi basi, C E, aequi di stans, quod erat ostendendum: iitqautem vocantur cylindrici oppositae baies
OVoniam vero Iupposito ipsam , N RO F. esse superficiem planam
basi aquidi stantem, O ducto per latera , O D, N V, plano osten-dι mus, OU, esse parallelogrammum, ideὸ cum sciamus, M.AT 'esse superficiem planam basi, γ, aequidsantem, ducto per lar a vicumque plano Olindrιcum secante, ostendemus eodem pacto , ducti plani fe- eantis in cylindrico conceptam figuram esse parallelogrammum,cum scisDesn.3 licet planum ducitur tantum per duo latera , Hl pamllelogramma, cum perplura duobus , i um in eorum aliquo non tangens.
SI cylindricus secetur, vel tangatur a duobus planis per
eiusdem latera ductis. quς non sint inter se parallela,lint autem illa producta donec sibi occurrant, communis eorum sectio erit eiusdein cylindrici lateribus parallela.
Sit quilibet cylindricus, F G, per cuius latera sint ducta duo plana non parallela, quae ita sint producta, donec sibi occurrant, sint autem illa plana, A M. DN , quorum, & oppositarum basium cy- com in lyndrici, F G, communes lectiones , AC, HM, DE, SN, eruntticessi igitur, A M . D N, parallelogramma, intelligantur oppositarum balium, FI GK, indefinite productarum plana lecaria planis diructorum parallelogrammorum pariter indefinite productis, in rectis,
AR, DR, HU, SO, di eadem se inuicem lecare in recta. R O. Dia
42쪽
Dico, R D, esse parallelam lateri cylindrici, F G. Iungantur, C E . si;
M N, quoniam ergo, C E, M N, coniungunt extrema laterum cy' mi Elein. lindrici, C M, E N , quae lunt aequalia , ¶llela, erunt & iplae aequales, & parallelae , sunt etiam parallelς iplae, CR,M O, cr- Εο angulus , E CR , erit aequalis angulo , NM O, eodem paeto ostendemus angulum, CER, esse aequalem angulo, M N V, unde etiam, CR,MO, erunt aequales, & sunt parallelae, ergo eas. iungentes, quae iunt, Ro, C M, erunt squales, & parallelς, est autem, C M, latus cylindrici, F G, ergo, R O, communis lectio duorum planorum dictum cy- Iindricum secantium, erit eiusdem lateribus parallela. Idem ostendemus, si sectio contingat fieri intra eylindricum, si autem fiat in superficie, patet non poste fieri, nisi in latere cylindrici, nam plana lecantia ducuntur per latera, qLodlibet autem latus est cperis eiusdem cylindrici lateribus aequidistans, & ideo ubicumq; contingat lectionem fieri semper communis sectio planorum per latera cylindrici ductorum se inuicem secantium, est parallela la. teribus cylindrici. Idem sequetur de tangentibus planis, quod erat
THEO REM A V. PROPOS. VIII. SI quilibet cylindricus secetur planis parallelis per latera
ductis, conceptae in cylindrico figurae erunt parallelo.
gramma aequi angula. o it quilioc. cyimciricus. BF, planis sectus parallelis per latera ductis, sit autem unius m cyὶindrico. Α F , concepta figura parablelogrammum, ΒΗ, alterius autem parat telogramma, AN, O F. Dico haec esse quiangula, quod enim sint parallelogramma, patet, Mula plana secantia ducuntur per latera, quod vero sint aequiangula patet γtiam, nam in parallelogrammo, A N, latus, A D, aequid istat lateri , B O,&, A P, ipsi,BC, nam sunt commune, sectiones plani, A B CR, &aequidi stantium planorum, Α N, B H , & ideo angulus , P A D, aequatur angulo, C B O, ergo parallelogramma anguin
43쪽
angula, eodem pacto ostendemus parallelogramma, in , B II, esseae' uiangula, unde concludetur etiam parallelogramma, AN , I, este inter se aequiangula, quod ostendere opus erat.
SI autem intelligamus oppositarum basium cylind=ici , AF, ita pro ducta plana, ut secentur ὰ plano per latera, AD , P .QJI, F,
dueto in rectis, AR, DF, quarum pori oves ex ra cylindricum manen
rei sint , P Q. , H M, manifestum est etιam parallelogrammum , P II, qaod extra olindricum constitimur, ct quod integratur ex parallelο- grammis, A-, P N, VI, A F, esse prae licitis quiangitium.
THEOREM A VI. PROPOS. IX. SI planum arquid istans plano per latera cylindrici ducto
tangat cylindricum, contactus fiet in recta linea, vel re. ctis lineis, quae erunt latera eiusdem cylindrici: Vel si tam gat in plano, aut planis, plana contactus erunt parallelogramma, aequiangula per latera ducto.
Sit cylindricus, A C, per cuius latera ducatur planum in eo producens parallelogrammum, A C, sit autem ductum aliud plannm huic aequid istans, quod tangat cylindricu in , A C. Dico eiusdem con, ν tactum fieri in recta linea, vel rectis lineis, quq erunt latera cylindrici, AC, vel si tangat in plano, aut planis, plana contactus elle parallelogramma , aequiangula ipsi, A C. Primo igitur non tangat ipsum in plan , quia ergo tangit cylindricum, aliquid superficiei cylindrici commune est ipsi, & 'lano tangenti, sit is punctus, O,existens, & in plano tangen- A te, & in superficie cylindracea, &per, O, sit ductum latus cylindrici, quod sit, E M. Dico totum, E M, reperiri in plano tangente cylindri
cum in , O, qquidistante ipsi , A C . Ducatur ptr, V, ipsi, B C , parallela , X R, quia ergo, X R, equid istat ipsi, B C, & E Μ, ipsi, AB,
44쪽
vel, DC, planum per , EM, AR, duetum uidi stabit plauo, AC, est autem planum, quod tangit cylindricum in , aequid istans plono, A C ,& transit per idem punctum , O, per quod transit planumper, E M , X R , ductum, ergo illa duo plana fiunt unum planum, iacet autem, E M, in plano per, E M, X R, ducto, ergo iacet etiam in planoqqui distante ipsi, AC ,&cylindricum, A C, tangente, igitur tangit cylindricum in recta, E M. Eodem pacto si in alio puncto extra, E ira, in superficie cylindracea sumpto tangeret cylindri. Cum, AC, Ostenderemuo tangere ipsum in latere, quod per tale punctum transiret; in quo calu tangeret cylindricum in lateribus uno pluribus, ut contingere potest. Tangat autem secundo ipsum in plano, igitur in eo plano inmpto utcumque puncto, tanget cylindri. cum in latere transeunte per tale punctum, igitur planum contactus tale est, ut in eo omnes ductae rectae linea: aequi distantes ipsi, E M.
sint latera cilindrici, A C, & iubinde eidem, E M , aequalia, unde supersicies, in qua iacent erit parallelograminum, igitur planum contactus in hoc casu erit parallelogrammum, & erit aequiangulum parallelogrammo, A C , nam eius latera sunt parallela lateribus p rallelogrammi, AC, & ideo continent angulos aequales contentis a lateribus parallelogrammi, A C, unde talia parallelogramma lunt aequiangula, igitur contactus plani aequi distantis plano per latera cylindrici ducto, vel fit in latere, aut lateribus contacti cylindrici, vel in parallelogrammo, siue parallelogrammis, in eiusdem superinficie iacentibus, & aequiangulis ei, quod fit a plano per latera ducto, quod ostendendum erat ..
H De habetur communes sectiones plani tangentis, ct Ilindrici oppositarum basium productori planorum , quaesint, V E, V esse inter se parallelas, o tangere ea dem bases; sciluet , U F, t ambasim D, o, XR, Usam, ΜΒ c.
SI cylindricus quomodo cum due secetur per Iatera, diuiditur in cylindricos a secantibus planis, si autem secetur planis omnibus eiusdem lateribus coincidentibus inter se parallelisi solidum compraehensum conceptis in cylindrico
figuris, di inclusa superficie cylindracea, erit cylindricuo.
45쪽
Sit cylindHeus, A B, lectus a planis quomodocumque per latera Dico per eadem diuidi in cylindricos; sint autem secantia plana, Metin cylindrico, A E, producant parallelogramma, Α Ε, Μ E. Quia igitur, AE, est parallelograminum, si in ipso ducantur rectae lineae ipsi, A D, Η Ε, parallelae, & in , Α Η, D E, terminatae, erunt eisdem, A D, H E, aequales, & subinde erunt aequales, & parallela: ε d i a regulae lateris cylindrici , AE, unde erit, A E, superficies cylindr cea descripta latere, A D , siue latere cylindrici, R E, ergo solidum, ARXE, erit cylindricus. Eodem pacto oIlendemus lolida, A MHDUE, ME HUIE, esse cylindricos, talibus igitur planis cylindricus , A E, semper diuiditur in cylindricos, quae est prior pars
huius Theorematis. Secetur nunc duobus planis utcumque inter se parallelis coinciis dentibus cum omnibus eiusdem lateribus, quae in cylindrico, R E, producant figuras . BN GK, COEL. Dico solidum compraehent in ii inter has figuras , ct ijs inclutam luperficiem cylindraceam, ella cylindricum. Sint adhuc plana per latera cylindrici, A E, utcumq ue ducta , A aE, M E , quae iecent figuras , BN GK, C OF in rectis, BG . CF, N G, O F, igitur ei uidem pia ni, & ipsarum, B N G Κ, C O F L, communes se. Vctiones erunt parallelae, qui sint , B G, C H, sicut cetiam ipsae, N G, O F, lunt autem parallelς etiam ipsae, BC,N O, GF, erg-BF,N F, erunt pa- Drallelogramma, & latera eorumdem, B C, G F, NO, inter se aequalia ,&aequidistantia; si igitur eorum quodvis . vi, GF, statuatur pro regula lateris ylindrici, superficies inclusa duabus figuris , B N G Κ , COEL, erit descripta uno laterum, B C. vel , NO, properante per circuitum figurae, C O F L, semper ipsi, G F, aequidistante, donec redeat unde discessit,
igitur haec erit luperficies cylindracea, cuius oppositae bases ipsae figurae, BNGΚ, COEL,& solidum eisdein inclusum erit cylindri. POL r. cus, quod erat posterior pars huius Theorematis a nobis demonstranda.
CViusuis cylindrici oppositae bases sunt similes, aequaleG
Sit cylindricus , PN, cuius oppositae bases, A P Κ, O Z N. Dico
eas esse similes, aequales , dc similiter positas. Ducantur utcumque
46쪽
II duo plana opgosita tangentia cylindricum, PN, parallela cuidam Coroll. i.
per latera transeunti,quorum, &oppositarum basium productarum huius. communes sectiones sint ex una parte ipsae, U F, X L, ex alia vero, Α Β, Z G, quae tangent vel in latere, siue lateribus, ut in,V X, A Z, 9. Huit vel ua planis, quae erunt parallelogramma, sint autem dicta plana,&communes sectiones, indefinite producta, & in qualibet dictarum communium sectionum,ut in , A B, iumpto utcumque a B puncto, B, ducatur usque ad oppositam tangentem Vtcumque in earum plano recta, B F, illi incidens in, F, & per, B, ducatur in plano tangente ipla, B G, parallela uni laterum cylindrici, P N,per ipsas autem, F B, B G, intelligatur exintentum planum, quod secet aliud planum tangens
in recta, FL,& planumper, Z G, X L, ductum in recta,GL, erunt igitur ipsς, B E, G L, parallelae, ut &ipiae, BG, F L, & erit, FG,
parallelogrammum. Ducatur nunc intra dicta opposita tangentia plana ei idemqqui distans planum,quod erit ductum aper latera, cy lindricumque, P N , secabit, si ductum per latera, P L in O, CI, EM, KN,& productum secet planum, F G, in recta, D '' Η , & planum, quod transit per, A B, U F, in recta, P D, & quod transit per , Z G , X L, in recta, OΗr erit ergo, D Η, parallelaipli, B G, &, B G, est parallela uni laterum cylindrici', ergo &, DΗ, crit parallela ipsi, KN, EM,C I, PO,&erunt ipsa, ΡΙ , C M, EN, ΚΗ, FH, D G, parallelogramma, & eorum latera opposita inter ie squalia, nempe , F D , ipsi , L Η,&DB, ipsi, HG, D
V, lunt igitur ipsae , B F, G L, ductae inter oppositas tangentes figurarum , ΑΡΚ, ZON, ad eundem angulum ex eadem parte, quia angulus, B F V, est aequalis angulo, G L X, nam , B F, est parallela ipsi , G L, &, F U, ipsi , L X, & sunt ipsae, B F, G L, simillia io. Unde- ter ad eandem partem diuilae in punctis, D, Η, per rectas, P D, O cimi Ele. H, parallelas ipsis oppositis tangentibus, quae cum sint utcumque D du-
47쪽
ductae, reperitur tamen earumdem portiones, quae iacent interiinsas , G L, B F, ex eadem parte, eodem ordine suinptas, esse, ut ipsas, BF , G L, nam quia, DK, est aequalis ipsi, H N, S, B F, ipsi, G L, ut, B F, ad , G L, ita est, D Κ, ad , Η N, & ita esse ostendomus, D E , ad , H M, D C, ad , HI, &, D P, ad , Η O, nam istae
i. sunt aequales. Idem demonstrabitur in caeteris, quae similiter ad eamdem partem diuidunt ipsas , B F, G L, igitur figurae, A P Κ, Ζ ON, sunt similes: Et quia earum homologae, tum, P C, ΟΙ, tum, E X, M N, sunt quales, quod etiam de caeteris ostendetur eodem pacto, sunt enim temper parallelogrammorum opposita latera , ideo figu-Aεquit , rae , Α Ρ K, Z O N , nedum erunt similes, ted etiam aequales, & reis homolo. gulae homologarum erunt ipsae Oppositae tangentes, & ipis, B F, G gas argue L, earum incidentes. Quia vero stgurae, A p Ε. , ZON, lunt in pla-xςFqM 'ς nis aequidis antibus ita constitutae, ut earum incidentes sint paralle hu ido, i ιο , & hQmOlogae figurarum, Z N, A P Κ, sunt ad eandem paris eo ut tem incidentium positς,&item homologae partes incidentium, Bpatebit F, G L, ut iplae, B D, G Η, sunt ad eandem partem pariter consti. anfra io tutae, ideo figurae, AP Κ, ZON, nedum erunt similes ,& equa huiu s les , in etiam similiter positae, quod ostendere opus erat.
MAnifestum est autem, quid plana opposita tangentia olindrici, P V , ducta sunt utcumque, O ebrum, ct oppositartim basium
productarum communes sectiones Iuni regulae homologarum earumdem, quod si duxerimus duo alia opposita tangentia plana, habebImus etram earumdem figurarum homologas, regulis adhuc communibus sectionibus horum tangentium planorum postremo ductorum , cir earumdein basium productarum , qua communes sectιones cum primo dictis angulos aqua io.Vnde. les continebunt, nam quae existent ex. gr. in plano figura, A P X , erunt cimi Ele. parallelae exissentibus in plano figura , ZOI , igitur in oppositis cytindricorum basibus homologas habebimus etiam cum quibus uis rectis lineis aquales angulos cum duabus quibusvis homologarum earumdem Inuenistis regulιs eontinentibus, qua igitur cum regulis homologarum oppositarum basium Utindrrca angulos ad eandem partem contιuent aquales, sunt ipsae ho mologarum earumdem regulae , necnon earundem oppostarum basium , oe oppositarum tangent ιum aquὸ ad praedιctas inclinat rum , etiam ιncidentes lιcebit, ut supra, inueMre.
48쪽
LIBERI a LEMMA PRO ANTECED. PROP.
DEBlarari tantum videtur huius euidentia, quo dici licet planum inter opposita tangentia plana eisdem afui distanter ductum transeat per latera cylindrici, quod assumpta eiusdem fisura nunc fet mam testum ; intelligatur ergo in ambitu utrius uis oppositarum basium cylinis drici , PN, sumptum punctum, ut, O, in ambitu figurae , ZON. Dico planum , quod transit per , O, aequid istans planis tangentibus, A G, V L, transire per latera cylindrici, P N. Ducatur ergo a puncto, o,
latus cylindrici, P O, & ab eodem pundo, O, in basi, ZON, recta, O N , parat tela ipsi, X L, igitur Planum , quod transit per , ΡO, O di , aequi distat plano, V L, nam , Ρ Ο, ipsi, V X, lateri culindrici,& , ON.
ergo ducitur per, o, eidem plano tangenti aequidi stans transit periplas, P O, O N, s . n. non , erunt duo plana eidem plano, V L, aequidistantia, & ideo inter se aequi distantia, quibus communis erit punctus, O , igitur in eo concurrent, quod est absurdum, non ergo illa l unt duo plana, sed unum tantum, illud nempe, quod ducitur per punctum, O, ipsi plano, V L, aequi distans, transitque per , PO, O N, necessario : Si vero a punctis, I, M, N , erigantur latera cylindrici, C I, ME , N K. erunt cuncta in plano per, P O, C N, tranteunte, ergo planum, quod ducitur per punctum, O , aequi di-sans plano, V L, cylindricum tangenti transit per latera, P O, CI, EM, KN, quod ostendendum erat.
SI cylindricus planis secetur quomodocumque per Iatera ductis, eiusdem oppositς bases in figuras similes, squa
les,& similiter positas diuiduntur, taleo autem erunt, Quae D 2 ad
49쪽
ad eandem partem secantium planorum existent: Et si idem secetur planis parallelis quomodocumq; omnibus eiusdem lateribus coincidentibus, conceptae in cylindrico figurae erunt similes, aequales, & similiter positae.
Conspiciatur figura Proposit. Io. in qua iam propositas sectiones habemus, plana enim, A E , M E , transeuntia per cylindrici latera ipsum secant,& plana, B IN G, C O P, omnibus eiusdem lateribus coincidunt, & lunt parallela . Dico ergo figuras, M Z Η , E IV, esse similes, it aequales, & similiter postas, quod patet , nam illae sunt cylindrici, M H ZI , oppositae baies; idem eodem modo probabitur de figuris, A MΗ, D V E, & de , AR H, UXE,&tandem ostendemus pariter figuras, B N G Κ, CHuiu - O F L, esse similes, aequales, S similiter positas, quia sunt cylindrici, B F, Oppositae bales, quod
HInc apparet, quamuis figuram planam ex sectione plani, oppo tis basibus cylindrici a quidistantis, in eo productam, eisde a oppositis basibus esse simitem, aequalem, oe similiter positam.
THEOREM A X: PROPOS. XIII. SI quis cylindricus secetur plano per latera, deinde sece
tur planis oppositis eiusdem basibus aequi distantibus: Communes sectiones plani per Iatera ducti,& planorum basibus aequi distantium, erunt lineae, vel latera homologa figurarun similium, quae ex sectione aequi distantium planorum in cylindrico effecta in eodem producuntur. Sit cylindricus, A D M, cuius oppositae bases, A B C, T D F, secetur autem plano utcumque per latera ducto , quod in eo producat
parallelograin mum, BF, & alio utcumque plano oppositis basibus aequid illante, quod in eo producat figuram, Y N X O, & in parallelogramno, B F, rectam , N O. Dico rectas, DF,N O, B C, esse lineas, vel latera homologa figurarum , ID F, Y di O, ABC, sint iis Diuiti do by Goosl
50쪽
ast milium. Ducantur plana opposita tangentia cylindrici, A M, re-e . . spectu plani, BF, in eo ducti, unius quorum, & planorum figurais.' δ' rum , Υ N O , T D F, productorum, communes sectiones sint , X S,M G, alterius autem, & eorundem planorum sint rectae, Y P,T Q, indefinite ambae productae, sumpto autem in , Y Ρ, utcumque puncto, P, ducatur per , P, ipsi, CF, aequidistans , Pinde ab eodem in plano per , Υ Ρ, X S, transeunte Vique ad , X S, ducatur vicum. que i pia, P S, per ipsas autem, VP, P S, intelligatur extensum planum, quod secet aliud tangens planum in , S G, & planum per , T Q, M G, ductum in , QG, producan tur autem i plete, N U, DF , verius, PS , Q G , quibus occurrant in , V, R,& iungatur, UR , erunt igitur, V R, P in communes lectiones aequidistantium planorum , Y O, NR,& plani, P R , & ideo erunt parallelae, ut & ip-
sae, P V, 4R,&, PR, crit parallelogrammum : Similiter, ut in .rop. I Iostendemus esse parallelogramma ipsa, V G, PG,N F, OR , N R ,&an gulum, P S X, aequalem cite angulo, Q G M,&tandem, PS, G, e Ilel cidentes senilium figurarum , Υ N O,
gentes elle homologarum earundem regulas,& quia eisdem aequi-
distant ipsae, di O, D F, & productae similiter, & ad eandem partem ipsas incidentes, Ρ S , G , diuidunt; nam, P U, aequatur ipsi, QI, & , V S, ipsi , R G, idco ipsae, di O, D F, erum lineae homo. Iogae ligurarum , Y N O, T D F, smilium, quae in plures homoloingas secari contingere potest, prout te habet ambitus superficiei cylindraceae huius cylindrici , AM , lunt lineae homologae inquam, si sint intra ambitum figurarum , quarum sunt homologae, sunt vero: l. '' latera homologa. si sint in earundem ambitu , veluti contingeret si planum per latera ductum esset planum contactus unius oppositorum tangentium, veluti si cylindricus suisset, cuius oppositae bales sunt, A B C, T D F , exclusis residuis figuris, quae ab ipsis, B C , DF , abi induntur, tunc enim eodem modo facta fuisset demonstratio, ut consideranti facile patebit; idem ostendemus in recta, BC,& in quibusvis alijs, quae lunt communes sectiones planorum basibus aequidistantium , & parallelogramini, B F, probantes scilicet easdem elle lineas, vel latera homologa fgurarum in cylindrico per basibus aequi distantia plana productarum, quod ofundere Opus erat. THE s by Cooste