장음표시 사용
61쪽
seuntis, ut ijstus , BD FO . quod semper ea trapenium, O ipsarum IR
BO, T DF, siue eisdem aquidsantium ιnter easdem ductarkm, esse ea rundem lineas , vel lettera homologa, unde patet communes sectiones plani per latera fructi conici ductι, o eiusdem basium oppositarum , fiucteisdem aqvidiantium inter eas productarum figurarum , esse earundena ineas, vel latera homologa ; ιιneas, inquam, cum funt intra figuras. nec sumuntur in plano tangente e lateria, cum sunt mearum cIrcuitu, eum nempe sunt 1n eodem plano tangente, in eo practse, quod est pia num eouιactus frusti e onici scontactus scilicet erus plani, quod per ver ricem ducitur quod semper erit trapeηιum, vel trape id, vi patere potest in trapeη3s, B D C R, I E F O, quae ιssent planum contactus frusti conici,si idemfructum tangeretur a plano trianguli, DF.
SI duae figurae plane similes, non existentes in eodem pia no , fuerint inaquales, & similiter positae; erunt cuim. sdam flusti conici oppositae balas .
Utamur adhuc figura Propos. I 9. & sint duae figurae planae quae cumque similes, inaequales , & similiter posit , non lainen existen . tes in eodem plano , ipsae, V B O , T D F. Dico , quod crunt am bae cuiusdam frusti conici oppositε bases. Quoniam ergo figurς. UD.dei. o. BO, TDF, sunt similiter positae, ic non in eodem plano, erunt in h*j- planis etquidistantibus, & quia sunt similes sint earum incidentes, Moppositarum tangentium, quae lunt earundem homologarum regum
distantes, & quia ad tangentes, quae sunt regulae homologarum, iligi, vhd. essiciunt ad eandem partem angulos aequales, erit angulus , KNX, eum εἴ aequalis angulo, H P S, & quia, Κ N, est parallela ipsi, H P, erit etiam, XN , parallela ipsi, S P. Eodem pacto ostendemus, V Κ, esse parallelam ipsi, T H ; ducantur in figuris, UBO, TDF, duae earum homologae regulis dictis tangentibus, quae sint iplae , B R. LO , D C, E F, sint autem totae, B O, D F, productae, si opus sit, ut secent ipsas, Κ N, Η Ρ, quas diuident similiter ad eandem partem, ut in punctis, M, G,&quia figurae propositae sunt inaequales, sit maior ipsa, T D F, igitur etiam maior erit, D C, ipsa, B R, vel , EF, ipsa , IO, si .n. essent eisdem aequales, etiam reliquae homologae his parallelae eucat equales, cum Omnes sint proportionales sunt.n.
62쪽
ut incidentes unde etiam figurae essent aequales, & s in Inores, etiam ipsa figura, T D F, vitet minor figur, , B v O, contra iuppositum, est igitur , DC, maior ipsa , BR, est autem, ut, D C , ad , B R, ita, PH , ad , NK, nam vi , DG , ad , B M , ita est, PH , ad , N Κ , & A. Distuetiam ita , CG, ad , RM , ergo reliqua, D C, ad reliquam, B R. ' erit ut, ΡΗ, ad , ΝΚ, Metiam esse ostendemus, EF, ad , IO, V P Η, ad , N Κ, & quia, D C, est maior ipsa, B R, vel , E F, ipsa, Io, ide6, H P, erit maior, Κ N, si igitur iunxerimus puncta , P N, H Κ, ipsae, P N, Η Κ, si producantur ad partes ipsius, N Κ ,eon current, Vt in, A. Dico, A, esse verticem conici, cuius est basis ipsa. TDF,& ex plano ipsi, T D F, squidistanter du-
figura, V B o. Quia ergo , N Κ, est parallela ipsi, P Η , erunt triangu la , A N Κ, A PH, qqu, angula, & circa aequites angulos latera proportionalia , igitur, H P, ad , P A, erit vi, Κ N , ad, NA, &, permutando, HP, ad , di Κ. , erit ut, ΡΘ, ad, A N, ut autem, P H, ad , N Κ, ita est, PG, ad , NΜ, nam ipsa, ΗΡ, KN, similiter sunt diuisae in punctis, G, M, ergo, P Α, ad , A N , erit ut, P G, ad , N M. & sunt parallela: ipsae, P G, N M, ergo puncta, G, M, A, erunt in una recta linea, sit illa, A G, igitur, Ut, P G, ad , N M. gae trii vel, PH, ad , NΚ, ita erit , G A. ad , A M, est autem , P Η o ad, mateNΚ, ut, FG, ad , OM, & ut , EG , ad , I M, & tandem , Vt , DG, ad , B M, ergo, Vt, G A. ad , A M, ita erit , F G, ad , o M, BG, ad , IM; CG, ad , RM; & , D G, ad , B M, ergo, cum sint parallelae, erunt tum puncta, A O F, tum, AI E, A R C, tum etiam, A B D. in una recta linea, extendantur ergo dictae rectae linea, que Ex Leni erunt , AF, AE, AD, AC. Eodem modo, si per duas quaslibet in ta leo homologas figurarum, V B o. T D F, planum extendamus, fiet in caeteris demonstratio; igitur si sumantur in ambitu fguri. TDE. quqcumq; puncta, qui iungantur cum puncto, A , semper iungentes transibunt per circuitum figurae, V B O , ergo figurq MT D F,&,U B O. erunt frusti conici oppositς bases, quod a conico', A T D F. abicinditur per figuram, V B O, quod erat demonstrandum. p Co- -
63쪽
OVOniam ostendimss, tam , DC, BR, tum etiam , EF , Io , esse ut ipsas incidentes , PH, Κ, babetur similium figurarum homo istogas pariter esse, ut incidentes earundem, o oppositarum tangenisum, quaesunt Grandem regula, quod in dissitione agamItur contingere tautum iis , qua inter circuitum figurarum . oe Usas incidentes, eodem ordinesumpta, contιuentur.
Pinet etiam ex hac , ct s . huius, omnes similes figuras planas posse esse alicuius cylindrici, vel frusti conici, oppositas bases: unde qua pro illis in Coroll. a. I9. huius colliguntur , pro omnιbus similibus figuris planis etiam colligi possunt. .
SI in recta linea signantur tria puncta, primum, medium, & po stremum, a prima autem, & medio ducantur ad eandem partem duet inuicem parallelε ita se habentes, ut educta a primo ad ed ctam 1 secundo, sit vesuti recta inter primum , & postremum punis ctum posita, ad eam, quq inter medium, & idem postremum sita est Extrema puncta parallelarum, que non sunt in proposita linea, ει illius postremum, erunt in recta linea. Sit proposita recta, AC, in qua tignatis utcumque tribus punctis, C, primo, B , medio,&, A, postremo, a punctis, C, B, educantur ad eandem partem duε inuicem parallelq, quς sint. C E, B D, ita se habentes, v t, C E. ad, BD, sit, ut, C Α, ad , AB. Dico puncta, A, D, E, esse in recta linea, si enim iuncta,ED, j ipsa, B D, producta non transit per, Α , transibit supra, vel infra, A, secans, C Α, cnam , B D, est minor ipsa, C E, ut est, A B, minor, A C, transeat, ut per , M, quia igitur , E D M, est recta erit, MCE, triangu lus , in quo lateri, C E, ducitur paraIlela, BD, ergo rianguli, E C M , D B M , erunt ae quἰa ιguli, & circa aequales angulos latera proportionalia, ergo, per mutando. CE, ad. BD. erit ut, C M. ad , M B, est autem ut, C
64쪽
E, ad , B D, ita, C Α, ad , A D, ergo x t, C M , ad. M B, ita erit, C
THEOREM A XX. PROPOS. XXIII. SI duarum quarumlibet similium figurarum habeamus
homologas cum duabus quibuidani tegulis , habebimus etiam homologas earundum cum duabus quibus uis aialijs. cum piarii ictis angulos aequales ad candem partam iacientibus Patet hse propositio, nam quaecunq; figurae plant smiles, si sint
aequales, & similiter politae , ps Ilunt ene cuiusdam cylindrici oppin M.Ηu us. stae hales, fi sint inaequales, oppositae baies frusti conci, in , b au i iuuistem contingit, si habeamus homolosas cum duabus quibuidam re. gulis , nos eaidem habere cum aiij, duabus quibulcumque cuni praedictis angulos aequales ad eandem partem constituendibus, ergo hGc .u, . '' in quibuicumque planis similibus liguris veriucatur, quod cit proin
ET quia incidentes ad bomologarum similium figuratum regulas auis gulos ad eandem partem esciunt uates , ideo G 1 a rnerdentes erunt homologaνum earundem similium figurarum regula,ct vice versa in quibusdam regulis homologarum poteruur fumι earum Incrdentes . B.Desue
THEOREM A XXI. PROPOS. XXIV. SI in duarum similium figurarum oppostas iis gente S, qui
earundem homologarum sint regulae, incidunt oua i . lineat ad cundem angulum ex eadem parte easceni secantes, ductis vero quibusdam duabus, pia dici is tangintibus parallelis, indictis figuris. quae secantes diuidonis mi. iter ad eandem patrem , vel a suinptis ipfs Cppositis tangen. tibus , reportamuS harum portiones inta incidcntcs, dicir
65쪽
e uatum figurarum eodem ordine sumptas, ita se habere, vestut illae, quae dictis tangentibus inciderunt, istat, quae illis inciderunt, erunt tum similium propositarum figurarum, tum ductarum tangentium , incidenteS. Sint duq quqeumq; similes plansfigurq, ACEI, MTUS, quaes
rum sint ductae oppositae tangentes homologarum earundem regum
auteIn elidem ad eundem angulum eX eadem parte duae , BF,N R,&ductae sint quaedam duae ipsis tangentibus parallelae , C D , T secantes ipsas , B F, N R, & consequenter incidentes , ut faeile patet) similiter ad eandem partem , reperiamus , CD, ad , T Ο,&Pariter, I D , ad , S O , esse ut, B F, ad , N R. Dico ipias, B F, ΝR, esse incidentes similium figurarum, A E, M V, & ductarum OP positarum tangentium , V R , MN a. E F , A B. Ex dictis igitur ipsi , Cl ,T
D, ad , TO , ut, I D, ad , So, igitur Iuncta , D , O, repersentur in duabus ictarum si Milium fgurarum ,& Oppositarum tangcntium et incidentibus, sint illae ipsae , N G, P L, qtas cum ip-ss. T O , C D, aequales angulos ad eandem partem continebunt. Dico tamen etiam iptas , N R , BF , cilla ea rim dem figurarum, & tangentium. incidentes r Sint puncta contactus tangentium , F E , RV, proXlma linsis , N R, B F, ipsa, V, E. Dico, EF , ad , U R , esse ut, F B, ad, BN, nam, EL, ad , UG, est ut, L P, ad , GH, quia vero angu lus , C D 9, aequatur anguIo, T Oli, & , C D B, ipsi, T O N, reliquus , P D B, qquabitur reliquo, H O N, S sic etiam, F D L, ipsi, RO G , cst etiam angulus , P L E, ςqualis angulo, H G V, ideo reliquus in triangulo , D F L, id est angulus, D F L, erit squalis angulo , OB G, di sic triangula, F D L, OR G , erunt aequiangula, tetiam probabimus triangula, P Θ B, O Ii N , esse qui angula, sicutiunt qquiangula inter te triaugula , FDL, PDB, S, ROG, HOIq. unde ut, L D, ad , DP, sic crit, FD, ad , D B, permutando, L D, ad , D P, erit ut, F D, ad , D B, componendo, LR ad , P D, erit ut, F B, ad , B D, permutandos L P; ad , F B, erit ut, P D, ad, DB,
66쪽
D B, idest ut , Η Ο, ad , O N, qt , ut supra, ostendemus , Η Ο, ad, O N, esse ut, H G, ad , N R, ergo, P L, ad , B F, erit vi, H G, ad , N R , erat autem, E L, ad VG, ut, P L, ad , HG , ergo, EL, ad , UG, erit vi, BF, ad , N R, quia vero, Bb, ad , N R , est ut, D F, ad , OR, nam . B F ,N R,lunt similiter diuidete in punctis, D, O, idest ut, F L, ad , R G, ergo, E L, ad , UG, erit ut, F L, ad , R G, ergo reliqua, E F, ad , V R, erit ut tota, EL, ad , V G, idest ut, BF , ad , N RIdem ostendemus de quibuslibet ductis ipsis, E F, VG, parallelis, quq dividant, B F, N R, similiter ad eavisdem partem, nempheas, quae inter ipsas, BF ,NR, & circuitu in figurarum, Α Ε, M U, eodem ordine sumptae continentur, tale utipias, B F, Λ Η , ergo, B F, N R, sunt incidentes similium figura. . rum . MV. AE,& ductarum tangentium, quod ostendere opus erat. 3 P
tescit eo ne consequenter duarum similium figurarum , ct ea. rati dem oppositarem tangentrum , quae sunt regula homulogarum, tum modentes similiter diuis ab homologis earundem figurarum, pro di tira , si opus sit tym quascumque altas , quae cum homologis angulos continent aquales , Pt ex mpli gratia UID, P R, B F . Et ulterius ἔρ- . fas bomologas ess. Non ut qua ors ιncidentes , tum νt eis dbm p irallelas, ides ex.gr CI , ad , T nidum erit ut , P L , ad , H G , siue H, B F.ad, R, sis et tam vi , BF i ad quamct que altam parallelam ipsi, R, ductam inter parallelas, M N , V I , nam illa' erit aquatis ipsi, Tat et igitur duarum similium figurarum bomologas nedum i Τ ut ea - rum, o ορρ siti arum earundem tangeratum, qua sunt regi ἐα homoto sarmn , inc dentes , sid etiam ut quasvis atras ιuter eosdem tangentes ductas ipsis iueterntibus aequid stantes ,siue ad bomolosas similiam figu
SI quaec que similes figurae planae a rectis lineis descri
bantur , quae sint carundcm homologae, & inter se aequa. les; superponuntur autem ad inuicem ipsae figulae, ita ut -sdem desciuiunt ei rectae lineael si ongruant, Muraeqi sint similitcr politar, illae quoque erunt ad inuicem congruenter.
Sint similes figu. ae planae, A B X C, E F P G; quaecunq ; deseri piae ab earundem homologis,&aequisbus rectus lineis, BC, FG,
67쪽
D. Defie. quae ita inuicem superponantur, ut, u C, FG, sibi congruant, & '' i piae sint sinditer politae . Dico etiam iptas figuras ad inuicem tore congruentes. Sint Oppositae tangentes ductae pro ligura . A B XC. Coroll. i. Ulα, AD, A , regula, B C, ῶ pro ligura . E E P G, egula. Fbv β. G, ipiae, E M, P N, quarum ligurarum, ac Dppoli arunt tangea. Decio. tium lint quoque incidentes ipsῖ , Din, M di, productis vero, B C. FG, verius, Dd, MN, illis incidant in punctis, O, R,& luperis ponatur ligura , A B X C, ngurae. EF PG, Sa VL, BC, congruat D. Defin. ipsi, FG,&sint similiter positet et Erunt ergo ipia incidentes , D Q, εφ M N, ad eandem partem figurarum iam luperpolitarum, & inuicem
parallelae, vel congruentes, ted in uoltria catu erunt ciangruentes.
cum enim vi, B C, ad , F G, ita sit. Dinad, Μ N, ipsae vero, ΛΑ Πς C, F G, sint squales, etiam, Din M Mqquales erum, sicut etiam,CO, G R, quae runt inter se ut, D in M N ,) ergo cum punctus, B, positus sit in . F , erit. Ο, in , R, S, D u , e tenta luper, Μ N, di cum etiam . DO, M II, sint quales punctus, D, erit in, M, sic autem ostem demus quoque punctum, cadcrein, N, & conlequenter, X in cadere luper, P N, S, A D, luper, E M, si ergo si gura, A B A C, cadens luper, E F P G, non congruit illi, ei loquod cecider l, si pol- sibile est ut, FU I G, ita ut ambitus ex
tra ambitum cadat, lumpto autem qu cunque puncto, I, qui uit in ambitu figurae, U F Ρ G l, ted cadens non in ambitu figurae, E F ΡG, per i plum duc tur, Γ Z, parallela, E M , secans, M N. in , Z, ambitum figurae. V P i. in , V. I,&ambitum figurae. E PP G , in. T, S, erunt autem bomologῖ , U I , Γ S, & inter ie squa-G' ς' les cu .istat , ut incidentes. D in M tu, quα iunt Τquale , necnon A. Defin. aequales reliquae usq; ad incidentes, a vipe , b d , Id. quod est a Io. surdu n, punctus enun, I, clon a i in I, non ergo cauta ambitus mgurae. A B X C, superpolitς ipsi . E F Ρ G, ut dictum eit, extra ambitum eluidem figurς , EF PG. igitur calet luper illius amnitum, &ipie figure erunt tibi inuicem congruentes. quod Ollendendum crat.
68쪽
ra Prop. demonstratum G - Et vice versasi figura sint similes, ct aquar
es , rerum bomologas aquales is , si enim raraquales esse ut, etιam ipsa figura ιηaquales essent, quod Qt assurdum . Ulterius autem patet, β't inuicem superposita, ita ut similiter sivi confluuta, ae dua quavis homologa Inuicem fuerint congruentes, etiam ipsas figuras fore congruentes , atioquin sequerentur absurda superaus demonsrata, cum que uis alia bomologa neeustrio quoque sint aequales, qua enim congruerunt funt aequales, oestilande etiam Incιdotes, σ quxuis alia bomologae i.
ΤΗ EO REM A XXIII. PROPOS. XXVI:
SI duobus paraIlesis quibuscumque planis inciderint duo
plana se se intersecantia , primum nempe, & secundum; fuerint autem alia duo parallela quaecumque plana, quibus Pariter incidant duo a Ita plana sese diuidentia, primum similiter,& secundum: Eorum aulcm cum parallelis planis communes sectiones anguIos squales comprehenderint,necnon primorum, ac secundorum planorum mutuae sectiones ad communes sectiones primorum planorum cum planiS parallelis effectas angulos aequales constituerint, ipsa vero prima plana ad plana parallela aeque fuerint ad eandem partem inclinata: Esdem communes sectiones ad communes secti nes secundorum pIanorum cuin planis pariat elis effectas angulos pariter constituent aequales, necnon secunda planae runt ad eadem plana parallela aequaliter ad eandem partem inclinata .. Sint duo parallela quaecunque plana, B D , H U, quibus incidat
duo plana, H A, primum, A U, secundum te te lecanisa in recta, AG. Sint nunc alia duo plana quςcunq; parallela, L. ,& Λ, qu hus pariter incidant alia duo plana, LY, primum ,& , Κ Λ , secun dum, se se pariter lecantia in recta, Κ Y, communes vero sectiones,B A, AI ;L Κ, Κ Q, incidentium planorum cum planis parali Iis contineant angulos aequales , sit nempe , BAD, angulus aequa iis angulo, LX. erit. O .S , HGU, squalis ipsi, & Υ Λ , in simili- io. Vnde-ter i pix, AG, ΚΥ, cum ipsis, G H, Y di , angulos constituantae-simi L
Zales, & prima plana, B G, L Υ, ad plana parallela , B D, Is V;χω Λ , sint aeque ad eandem partem inclinata. Dico ai. gulos. AG U, ΚΥ V,qquales esse, necnon Iecunda plana, A V, X. A , ad
69쪽
Defin. 3. eadem parallela plana esse aequaliter ad eandem partem inclinata Vre LV Si igitur, A G , Κ Υ, e luent dietis planis parallelis perpendiculares, cita es. Di testum est, quod anguli, A G V, Κ Y Λ , essent aequales, idest recti, & plana, A U, K Λ , eisdem planis parallelis erecta; led non sint perpendiculares, & . punctis, Λ, Κ, demittantur ipsε, A S, KT, quae ei idem sint perpedicu- nlares, incidant autem lubi estis planis in pun
inde a puncto, A. ad, HG-,U G, productas, ducamur per pendiculares, RF, quidem ipsi. vἰde 'di. HG,&, AP, cta lib. I. ipsi, UG, inci' dentes in puu etis, V, Ρ, nisi forte,AG, esset alteri earu per pendicularis,ut contingere p test,& i ungari tur, EP, EG, EF. similiter in alia figura cadant a puncto, Κ, perpendic Iariter super ipsas, & Υ , Λ productas, si pus sit, ipsae, Κ
Pyimi gantur similiter , Τ X, TY, &, T Z. Quoniam ergo anguli, Α Η - μ' G , Κ Z Y, sunt recti, ideo quadratum , A G , erit aequales duobus quadratis, A F, F G , sicut quadratum, Κ Y , aequale duobus, Κ Z. Z Y, est autem etiam quadratum, A F, qquale duobus quadratis , AE, E F, quia angulus, A S P, rectus est ,& quadratum, Κ Z, pari-tcr aequale quadratis, Κ T, T Z, ergo quadratum, Λ G, idest duo
70쪽
quadrata, A E, E G, quia etiam , A E G, tectus est 3 aequabuntur tribus quadratis, A E, EF, F G , unde, ablato communi Quadrato, . . R E, quadratum, G E, equabitur duobus quadratis , GF, FEi pari ratione autem probabimus quadratum, Y T , aequari quadrat b, Υ υ nilae. Z , Z T, unde anguli, G F E , Y ZT, recti erunt; & eodem modo Elem. probatamus esse rectos, E Ρ G, T X Y, ergo anguli, A F E, Κ Z T, erunt anguli inclinationis primorum planorum , B G, L Y, cum tu' biectis pἰanis, Id V, S A, & ideo inter se aequales: Similiter anguli, Α Ρ E , Κ X T, erunt inclinationes secundorum planorum, A v , ΚΑ, cum eisdem subiectis planis. Quia ergo anguli, A F E , Κ Z T, sunt aequales, &,AEF, Κ TZ, recti, erunt trian puta , A F E, T. ZT, inter te similia , ut etiam triangula, A F G, KZY, inter te,
nam anguli, A G F, Κ Υ Z , sunt quoque aequales, & , A F G, E. ZY, recti; erit ergo, ut, E F, ad , F A, sic , T Z, ad, Z Κ, & ut , Α P, ad , F G, sic , Κ Z ι ad, Z Y, ergo ex aequali, ut, E F, ad , F G, ita erit, T Z, ad , Z Y , S sunt circa rectos, nemph aequales angulos, G F E , Y Z T, ergo triangula, G F E, V Z T, pariter similia Eienuerunt, anguli igitur, E GF, TYZ, adaequabuntur, totus autem, P GF, toti, XY Z, aequatur, ergo reliquus, E GP, erit squalis r
liquo , T Y X, & sunt recti, E P G, T X Υ, ut probatum est, ergo erunt, G P E, Y X T, similia triangula, igitur, ut, P G, ad , G E, sic erit, X Y, ad , Y T, ut vero, G E, ad , G F, sic est , Y T, ad , Υ
Sut, G F, ad . G A, sic, YZ, ad , YΚ, ergo ex aequali, PG , ad, G A , erit ut, XY. ad , Y Κ, habemus ergo duo triangula, A B G, Κ X Y, habentia duos angulos, A PG, K X quales, iunt .n. re est, circa vero duos, Ρ G A , X Y Κ , latera proportionalia, & reliquorum virum qi simul , P A G, X NY, minorem recto, ergo erunt r. sexu similia , & anguli, Ρ G A , X Y Κ, quales , unde reliqui, A G V, E vium.
Y A, pariter aequales erunt, quod est Unum propositorum ..
Rursus, quia, P E, ad , E F , est ut, X T, ad , T Z: E F , autem ad , E A, Vt , TZ , ad , ΤΚ , ergo est aequali, P E, ad , E A , erit ut, X T, ad , T K , & sunt circa equales angulos, P E A, X TΚ, latera
proportionalia , cigo triangula , AP E, F XT , similia erunt, ne non anguli, A P Ε, Κ X T, inclinationis secundorum planorum, A η ' 'U, ΚΛ , cum subie, his planis inter se aequales,& ad eandem partem quod et a in domonstrare prooositum fuit.
THEO REMA. XXIV. PROPOS. XXVII. POsita definitione, quam affert Eucii estim 6. El. de similibus figuris rectilineis, sequitur pro i I sis etiam dc finitio geneneralia, quam de omnibus similibus sauris planis