장음표시 사용
51쪽
SI duae figurae planae non existentes in eodem plano fuerint sinites, aequales , & similiter positae, illae erunt cuius da in eylindrici oppositae bases.
Sint duae similes figurae pl anae, & aequales , A QTO, FDNC,
non existentes in eodem plano ,& similiter positae. Dico eas esse cuiusdam cylindrici oppolitas bales. Quoniam enim sunt similiter - ν positae erunt inter se aequi distantes, & earum incidentes pariter inter ς ' ' 1e aequidillantes, ducatatur Oppositae tangentes figurae, A Q T OsCoh,ll. i. qu sint, T P , A B, & figurae , F D N C, quae sint, FH, di huiu, . ' quaeque sint regulae homologarum earu indem similium figurarum,& sint incidentes earum , & ii milium figurarum ip*, ΒΡ, HL,quq erunt parallelae , & quia sunt incidentes similium figurarum, An F N , & oppositarum tangentium lain ductarum , ideo ad easdem ex eadem parte essic ent angulos a quales, igitur angulus, BPT, erit
dec. Ele. quoniam ergo, A T , F N, sunt similes,& aequales, earum homologae erunt pariter aequales, sunt autem incident es, B P, HL , ut ipsae homologae , ut colligitur in Coroll. i. sequentis Proposit. 22. inde pendenter ab hac Propositione, ergo, B Ρ, HL, erunt aequales, & sunt aequi di itantes, ergo eas iungentes, B H, P L, eruat ςquales ,& aequidistantes . Dividantur iple inis Io. Sexti ci dentes, B P, H L, similiter ad eandem diςm partem in punctis, E, M , G , Κ, & iungantur, EG, MK, erit ergo, M P, e qua
lis ipsi, K L, &, E Q, ipsi, G K, &, R E, ipsi, HG, nam quia, BP, H L, similiter
diuiduntur in his punctis, earum partes sunt, ut ipsae integrae, illae vero sunt aequales, & ideo etiam homologae partes sunt aequales, &eas iungentes, P L, M K, E G , B H, erunt aequales, & aequi distantes, ducatur a puncto, Κ, versus figuram , P N, ipsa, Κ R , aequi di- flans ipsi, N L, quia ergo , M Κ, aequi distat ipsi , P L, &, R Κ, ipsi, N L, planum per, Ι Κ, Κ R , transiens aequid istat tranteuntiper, P L, LN, lec et hoc planum transiens per , ΜΚ, Κ R, planum , A T, productum, in recta, S M, & Iungantur, S R , VI, erit
52쪽
ergo , M. aequidistans ipsi, T P, regulae homologarum figurs, AT, veluti , R Κ, aequi distat ipsi , NL, regulae homologarum figurae, FN ,&lecant incidentes, B Ρ, H L, similiter ad eandem pa=tem in punctis, M , Κ , ergo ipsae, et V, RI, erunt homologς dictarum figurarum similium, & qqualium, quq ideo erunt aequales, scut etiam ipsae, V M, IK. S sunt qqui distantes, ergo eas iungentes erunt ςquales ,& qquidistantes, scilicet , S R, VI, M X, est au.
tem, M Κ, parallela, & qqualis ipsi, Ρ L, ergo, s R, VI, erunt squales, S paralle' ipsi, P L: Eodem pacto per, E G, extendentes planum equidistans plano, T L, quod secet figurarum . A T F N, productarum plana in rectis, , , D G, ostendemus ipsas, Q DC, esse homologas fgurarum similium, & squalium , A T, F N, &ideo eas esse qquales, ut & ipias, o E, C G, ergo si iungantur, QD, o C, iste erunt qquales, & paralleis ipf, EG , idest ipsi . Ρ L; similiter in caeteris planis procedemus, quae inter plana, T L, A Η , lysis aequi distantia ducuntur, ostendentes, quae iungunt extrema hoomologarum earundem figurarum , A T, F Ν, esse aequales, & quis distantes ipsi , ΡL, si igitur, P L, regula statuatur, erunt omnes diactae iungentes in superficie quadam , per quam ipsi , P L, properante quadam recta linea aequari semper c quid istanter, eluidem extrema ri iugiter manent in ambitu sigurarum , AT , FN, ergo haec erit sit. QV'i'
perficies cylindrici, cuius opposite baies erunt ipset, A T, F N, sunt igitur, AT, F N, cylindrici cuiuidam cnempe cuius latus est quod.
PVnctus manens, cui in reuolutione innititur latus coniaci, est unicus vertex conici respect u eiusdem basis.
sit conicus, A B D , basiis, BD, punctus, cui is nititur latus co-Α-nici, A B D. in reuolutione, quq ab eo sit per circuitum basis, B 'ε'st, A. Dico, A, esse unicum verticem conici, AB D, rei pectu bass, BD. Intelligatur per puri ctum, A, ductum planum qui distans basi. dico hoc planum tantummodo in hoc puncto tangere conicum, si enim possibile est eundem tangat , seu secet in duobus punctis, ut in , C, A, iuncta ergo, R C, illa erit in superficie coniculam , & cum de scendat a puncto, A, per ipsum transiet aliquando
latus conici, ut, A B, igitur, A B, erit in plano ducto per, A, bas,
53쪽
B D, qui distante,&quia latus, A B, indennitε productum oe currit bali, etiam di uim bas etquidistans planum occurret indefini, te productum ipsi basi, quod est abluidum, non igitur planum du ctum per , λ, basi, B U , qui distans conicum tangit vel secat in alio, quam in puncto, A, ergo, A, erit illius unicus vertex respectu basis, B D, quod erat ostendcndum .
CVm autem dicemus verticem alicuius conici, intelligemus semper ipsum respectu basis assumptum, idest pnnetum, cκι in reuolutio a ne innuitur latus cylindrici, nisi aliud explicetur.
SI conicus secetur utcumque per verticem ducto plano concepta in ipso Ogura, vel figurae, crit triangulus, vel trianguli.
Secetur quilibet conicus o AB F, plano utcumque per verticem ducto, quod in eo producat figuram, siue fguras, A B C, A E F.
Dico eas este triangulos. Sit communis sectio illius.& basis prC- ducti plani, tota, BF, cuius, C E, portio maneat extra basim,est igitur, B F, recta linea, dico etiamelle rectas ipsas, AB, AC, A E, R F, si enim non est, A B , recta, ducatur in plano figurς , ABC, recta, AOB, igitur, A O B, que iungit punctum, B, & verticem coni est latus conici , AB F, ergo est in superficie coniculari, & est etiam in plano figure, ABC , ergo est in eorum communi lectione, idest cadit luper, A B , igitur, A B. erit recta linea, eodem modo ostendemus ipsas, A C, A E, A F, esse rectas, & ideo erit, A B C, triangulus, ut etiam, A E F, quod erat ostendendum.
Eodem madonabis innotescit figuras , quae extra conicum fiunt esse triaugulos , idest, A C Ε, esse triangulum , ct qui ex ipsis integra:ur , scilicet, A B F , pariter is se triangulum. Disiliam by Coral
54쪽
. THEOREM A XIV. PROPOS. XVII.
SI conicus secetur utcumque planis per verticem, diuidi citrabeisdem in conicos: Et si secetur utcumque planisco incidentibas omnibus eiusdem lateribus, solida ab ijsdem abscissa versus verticem erunt Pariter conici, & eorum bases ipsae figurae abscindenteS.
Sit quilibet conic9M AMR sectus plano utcumque per verticem ducto, quod in eo producat triangulum, A C D. D ico ab hoc plano-secante in comccis, o C UD, ACM D, fuisse diuitum . Si vir telligamus latus trianguli, A C D, quod sit , A C, vel , Α D, inti Tum duracto, A, indefinite productum ferri per rc Etam, C D, ipsa describet superficiem trianguli, A C D , ad modum superficiei coniacularis, est autem reliqua' γε in fistit ambitu j. C V D, sic descripta. ergo tota superficies. A C D V, est corticularis descripta latere, AC, vel, AD, Properante per circuitum fgutae plana C V D , ergo Git, A C U D, conicus, cuius basis ipsa figura , C U U, & ver.
e X, Eodem inodo ostendemus, ACM D. esse conicum, cuius basis, C MD, vertex, A. Secetur nunc plano vi. Cumque omnibus conici , AM lateribus coincidente, quod in eo producat
Conicum, cuius basis figura, BN EO. Vertex, Α, nam dum latus conici, A MV, properat per circuitum basis, C Λ1 DV, ut describat eius conicularem superficiem, properat etiam per circuitum figuri, B N E O, & dcscribit supra i piam superficiem c nicularem, igitur superscies ab eadem figura, B E, abicista Vertus. Α, est conicularis, & solidum cothpi ehenium ab ipsa, & figura plana, BNEO, erit con cus, & ei uidem basis ipIa fgura, B N E O. Vertex autem. A, quod ostendere opus erat. AD.es
HI c babGvir, si planum transeat per verticem conici, O quamuis
55쪽
I per verticem conici, &rectam tangentem eius basinii extendatur planum, hoc tanget ipsum conicum in una, vel pluribus rectis lineis, quo erunt latera conici, vel in plano transeunte per eiusdem latera, quod erit triangulum, siue in pluribus triangulis .
Sit conicus, cuius vertex, A, basis, B C E , quam tangat rem, DF, in puncto, vel punctis, siue in linea. Dico planum, ADF, tangere dictu in conicam in rem linea, siue in pluribus rectis lineis, Due in plano, quod e it triangulum per eiuldem latera transiens, Tangat igitur, D F, figuram , BCE, in pun sto, B, & iungatur, A B, perq; AB, &,D F, dictum sit extensum planum , ergo , A B, erit latus conici, AC E, nam latus, quod reuoluitur transiens per , B, congruit recti, A B, alioquin duae rectae lineae clauderent luperficiem, est ergo, A B, in tu perficie coinniculari, est etiam in plano per, A, &, D F, transeunte, ergo, A B, est communis tum luperficiet coniculari, tum plano per, A, &, D F, ducto, nullus autem punctus rectς, A B, est intra supersiciein cylindraceam , ergo planumper, A B, D F, ductum tangit conicum an recta, A B r Eodum pacto ostendemus idem tangere conicum in quibusvis alijs lateribus, quae ducuntur a punctis contactus rectae lineae, D F, qui si sint plures, fit etiam contactus in omnibus lineis, si vero coat ictus recte, DP, fiat in recta linea tunc contactus plani Per, A B, D F, sit in siagulis rectis lineis, quae a recta talis contactus ad
56쪽
advertieem, A , duet posiant , iacent autem omnes illae in plano trianguli, cuius bass est linea eontinus vertex rei pectu eius, punctus, Α , igitur, contactus plani per, A B, D F, ducti si vel in una, vel pluribus rectis lineis, vel in plano, quod est triangulum , sue plura triangula , non lecabit autem alicubi tale planum ipsum con, Wum, tunc enim aliquis punctus talis plani per, A B, D F, inanseunti sestet intra iuperficient conicularent, sit is punctus, I, iuncta igitur, A I, eu producta verius basim incidet intra basim , ut incile o.
stendi potest ,& quia est , A X, in plano per, A B, DF , ducto , lapunctus, X, est etiam in plano basis, erat in communi lectone, uti stin linea, D F , igitur aliquis punctus rectae, D F, erit intra basim, igitur illam lecabit, quod est absurdum, ergo fallum est planum periri, DF, ductum lecare alicubi iplum conicum , igitur illum tanget in his, quae dicta lunt, quod ollendere Oportebat.
Ex boc babetur, si eonicus secetur plano basi aquidi stante, eomm nem sectionem huius , ct plint per verticem, oe tangentem basim ducti, tangere figuram d plauo aequi distante basi in conteo productam, si
enim eam fecaret, etram tangens planum secaret conici , quod est a sardum.
THEOREM A XVI. PROPOS. XIX. SI conicus plano secetur basi aequi distante, concepta in eo figura erit similis basi, & cidem similiter posita.
Sit conicus, culus vertex , A , basis, T D F, secetur autem plans basi aequi distante , quod in eo producat figura , UB c . Dico hanc esse similem basi,& eidem similiter postam. Ducantur ipsius basis duae utcumque oppositae tangentes, quae sint, δ' H, S P, indem Coroll. i. nixe productae , deinde per verticem,& quamlibet dictarum tangen- h'ὸiv tium extendatur planum, erunt ergo h e plana tangentia conicum, R D F,sccent autem figurae, UBO,pioductum planum in rectis, Penates.'U Κ, X N, quae erunt ipsius figurae, V B O, Oppositae tangentes, r. I.an. sumatur deinde in altera iplarum, TH , S P, ut in , T H, utcumq; teced punctum , ut , H, a quo verius reliquam tangentem eiuldem ligurq, T DF, in ei uidem plano ducatur utcumque , ΗΡ, in , S P, terminata , deinde intelligatur ex tensum planum per , A, ω , H P, transiens ita, ut secet plana conicum tangentia in rectis, A H, A P , ME a pla Disiligod by Goos Q
57쪽
lis Unde eimi El. 4. sexti xlemaeimi El.
lanum per , V Κ, X N, ductum in recta, Κ N cru diuidatur. H, utcumq; in puncto, G, iquo ducatur ipsi, S Ρ, parallela, G D, lacans basis ambitum in punctis, E,E, C, D, deinde extendatur planum per, A, verticem, & rectam, D G, quod per conici latera' transibit, & producet triangula siue intus, siue extra conicum , quae
sint , ADC, ACE, AEF, AFG, iccabitque figuram, V B O, i cet eius productum planum in recta, B M, quae ambitum eiuldem, V B O, diuidat in punctis, B, RI, O , habebimus etiam triangula, A B R, A RI, A lo, A O M, quorum latera erunt portiones lat rum inferiorum triangulorum, per planum autem, A D G, siue perrectam, A G, sit secta, Κ N, in puncto, M. Quia ergo plana, quς Per rectas, V Κ, X N, & .per, T H, S P, transeunt
runt parallel .s. KN, ipsi, H P, igitur triangulus, AM N , aequiangulus erit triangulo, A G Ρ, & ideo
circa aequales angulos erunt latera proportionalia, ergo ut, PG, ad , GA, sic erit, N M, ad , MA, eodem modo ostendemus , ut , A G, ad , G H, ita esse, A M , ad , M K, ergo ex aequali P G, ad , G Η, erit ut, N M, ad , M Κ, iunt igitur , PH, ΝΚ, si militer ad eandem partem diuisae in punctis , M , G : Eodem modo Ostendemus triangulum , A M O, esse equiangulum ipsi , A G E, A MI, ipsi , AGE,&, AMR, ipsi , A G C, & tandem, A M B, ipsi, A G D , igitur, ut, G A, ad , A M , sic erit, permutando, E G, ad , O M, ut vero , G A, ad , A M , sic permutando est , P G, a N Μ, idest , Ρ H , ad , N Κ , ergo, F G, ad , O M , est ut, P Η, ad, N Κ, similiter ostendemus, E G, ad , I M , & , C G, ad , R M, &tandem, D G, ad , B M, esse ut, Ρ H, ad , N Κ, & quia, E. N, est parallela ipsi, H P, &, N X, ipsi, P S, ideo angulus, Κ N X, est aequalis angulo, H P S ; habemus igitur duas figuras planas ,VBU,T D F, quarum ductae sunt oppositae tangentes, V K , X N, Vnius,
S, T FI , S P, alterius , inuenimus autem rectas, Κ N , H P, inter easdem positas, cum ess ad eandem partem angulos aequales continentes , ita te habere , ut ductis duabus utcumque ipsis tangentibus
parallelis, quae dividant iplas simulitur ad eandem partem, repertum
58쪽
si eas, quae inter taliter incidentes, & perimetrum figurarum con, tinentur, eodem ordine sumptas, esie ut ipsas, Η Ρ, Κ N , inciden tes, sunt igitur figurae planς, BUU, D I F, inter se similes,&ho: ' Πώλmologarum earundem regulae ipsae tangentes, dictae figurae lunt in planis aequidistantibus, quarum incidentes fibi inuicem equid tant, ct homologae carundem figurarum sunt ad eandem partem inciden, tium, St iplarum incidentium partes homologae pariter ad eandem partem constitutae, igitur figurae , VBO,I DF, nedum erunt simi:
les, sed etiam similiter pos ta, qqud ostendendum erat. I
ET quia ostensum est ipsas tangentes, S P, X V, esse homo garum
earundem similium figurarum regulas, ducta funt utcumque, patet si duxerimus altas duas e sdem basis oppositas tangentes, quae cum primo ductis angulos efficient aequales , O per ipsas , ct yerticem extenderιαus duo plana quorum ct planr figurae, B V O, produciti e munes fectiones erunt alis dιa figura , BV O , opposita tangentes quod eodem modo ostendemus has secundas tangentes esse homologarum earundem similium figurarum regul ty, σ intra ipsas contrueri earundem, quoq; incidentes, facient autem feeunda tangentes cum primis angulos aquales, prima . n. G. gr. tangens figura , BV O, quae es , X N , est parallela ipsi, S T, prima tangevit figura , DTF, O sechnda tangens Agura, B VO. est pariter parallela fecuηda laventi figura , DT F, nam tum primae, tum secunda tangentes sunt eommMnes sectiones a iuIdistan- rium ρlavorum , ipsa, um nempe Durarum . BVO , D T F, productoram planorum , ct ideo sunt parallelae , o angulos contIneut 'Mates, νηο ibunde in figuris , quae a planis basi conic/ parallelrs producuntur, si habeamus ei vi El. homologas cum duabus quibusdam regulis easdem etiam habebimus eum duabus quibusvis alus angulos aequales eam praedictis ad eandem partem
P met in super ex bac , ct tr. ae m. buius similium planarum figuraram , qua exsectione planorum basi cylindrici, vel conici aequis distantium in illis producuntur, vel sunt opposita bases cylindrici, aut frusti conici, posbile esse anuenire incidentes, qua sihi oe ductarim eumq; oppostrariem earundem tangentium incidenrex, quia purs tum, H, sumptum est ut cumque, ab ipso ducta quaeliber incidem, H P, p tet , quod, ducta utcumque in diectis figuris incidente earum tangenti
59쪽
bus, quae sunt regula homologarum earundem, possunt reperiνi dua tis 4cide ιtes earuuit m , quarum alιera sit tam dxcta; velutι, acta, H P, eumque iuuenta sunt duae tucidentes , Κ. V , Η P , quarum altera fuit, H P . Et quia homoluarum in easdem incidentes productarum , o ad eas termisatarum , portrones, eodem ordine sumpta , sunt proportιona, les , sunt euιm, vi F1ὰ incidentes , ideo per horuoluarum productarum, talia extremasemper ιranseunt alιqua ιac dentes.
SI conicus secetur u uomodocumq; planis parallelis, cum omnibus eiusdem lateribus coincidentibus, conceptae in ipso figurae crunt inter se similes, & similiter positae.
3it conicus, cuius basis, F II G , vertex, A, secetur autem viciniaque planis parallelis, quae cum omnibus ejusdem la. teribus coincidant, & sint conceptae in
ipio figurae, D M E, B N C . Dico has esse si inites, & similiter positas et Nam quia planum figurie, D M E , coincidit ι Muius. Omninus lateribus conici, A P H G, ideo est etiam conicus ipse, A D M E, secatur Ex ante c. autem plano eius bali, U M E , aequid i stante, eo scilicet, quod producit figuram , B N C, ergo figura , BNC, erit similis basi, D M Eincidem similiter posita, quod erat dei nonitrandum .
THEOREM A XVIII. PROPOS. XXI. SI quilibςt cooicus secetur plano per verticem, siue ab
eodem tangatur in plano, nempe in triangulo, vel trianguidi, secetur autem alijs planis utcumq; basi parallelis communes sectiones, quae ab eodem plano secante fiunt in dictis planis basi parallelis, erunt homologi lines, vel latera figurarum, quae ab eisilam aequi distantibus planis in eodem coinnico producuntur.
60쪽
Videatur figura Ρtopol. 6. huius, in qua conicus, ATDF , imtelligatur sectus plano utcumque per verticem, A, ducto efficienterriangulum, siue triangulos, A DC, ΑΕ F, intra, extra autem triangulum , A C E, & qui ex illis integratur, A D risecetur autem alio plano basi parallelo, quod in conico producat figuram , V B O , &sint earum ,&plani per verticem communes sectiones , BR, DC, IO, E F. Dico ealdem este lineas homologas earundem figurarum,
v , T DF. Intelligantur in basi ductin oppositae tangentes, TH, s P , per quas, & verticem, A , extendantur plana, quae pariter tangent conicum, AT D F, sint autem eorum, & plani fguri, V B ά ά ά, ' 'O, producti communes sectiones, V Κ, X N, quas , ut ibi , osten- 'demus esse oppositas tangentes ipsius , V BO, respectu, B O, sumptas, accipiatur deinde in , T H, utcumq; punctum, II, a quo usq; ad aliam oppostam tangentem , S P, dincatur utcumque , Η Ρ, &per ipsam, & punctum, A, extendatur planum , quod secet tangentia plana in rectis, A H, A P,& planum parallelarum, V K,λλin recta , Κ N, erunt ergo ipsae, Κ N, H P, parallelae, editendatur planum trianguli, A D F, ita ut secet triangulum, A Ρ Η, in recta, AG ,& planum figurae , T D P, productum, si opus fit, in recta, DG . Eodem modo igitur, quo uti sumus in Propos. I9. quia , Κ μΗ P, iunt parallelae, ostendemus ipsas , Κ N, H P, este ab ipsis, BM, D G, quq iunt communes sectiones trianguli,.A D F, S qui distantium planorum, U B O, T D F, & ideo iunt parallelae simi- . Iiter diuitas, & ad eandem partem in punctis, M, G , unde, ut ibi
ostendemus figuras, U B O, T D F, eue similes, & earum, S tangentium oppositarum , XN, UR; SP, TH, incidentes esse ipias, E. N, H P, S tangentes esse regulas homologarum earundem, quarum duae sunt ipsae , BRIO, DC EF, comunctae , siue ipsae , B R, DC IO, EF. Eodem modo, si propositus conicus fuistet, cuius vertex, A, basis altera figurarum a bali, T D F, per ructam, D F, abscissarum, ut ipsa, D T F, ostensum ellet iplas, B R , D C; I O, E F, communes iectiones plani conicum tangentis in triangulis, AD C, A EF, & planorum aequi distantium, I, V O, D TF, csse ea. hoc
rundem homologas, erunt autem in hoc casu latera homologa, velut cum sunt intra figuras iunt lineae homologae earumdem a quod e- tollar. exrat Ostendendum. Prop. 19. deduci po
HI c babetur, si propositum fue t frustum conici, B TF, quod eius
omula latera trodActa coincidissent in uno puncto, e , Ῥηde
Uesum pariter fuist communes sectiones plan; per eius latera tran