장음표시 사용
501쪽
GEOMETRIAE ITHEOREMA I. PROPOL L
FIgurae planae quaecunq; in eisdem parallella constituis, in quibus, ductis qui buscunq;eisdem parallelis ςquia
distantibus rectis lineis, conceptae cuiuscumq; rectae lineae portiones sunt aequales, etiam inter se aequales erunt: Et
figurae solidae quaecumq; in eisdem planis parallelis constitutae, in quibus, ductis quibuscunqi planis eisdem planis parallelis aequidistantibus, conceptae cuiuscunq; sic ducti plani in ipsis solidis figurae planae sunt aequales, pariter in
ter se aequales erunt. Dicantur autem figurae aequaliter
analogae, tum planae, tum ipsae solidae inter se comparatae,ac etiam iuxta regulas lineas, seu plana parallela, in quibus esse supponuntur, cum hoc fuerit opus eVIicare. Sint quaecunq; plang figurae, BZ&, CβΛ, in eisdem parallelis .
AD, Y . constituitae, ductis autem ipsis, AD , Y4 , quiuscunque Parallelis , Eis, LΣ, portione ex. g. ipsius, E6, in tiguris conceptε, ne rupe, FG, III, inter se sint aequales, nccnon ipsius, LΣ, portio nes, MN, OP, simul lumptae sit enim figura, BZ&, ex. g. intus cuua lecunduin ambitum, E,N, , O, ipsi , SV, sint pariter ςquales, Sc hoc contingat in quibuscunq; alijs ipsi , AD, aequi distantibus. Dico figuras, BZ6t, C3Λ , inter se aequales esse. Assumpta ergo alterutra fgura m , BZS, C sΛ, ut ipia, BZ&, cum paralleis Iarum, AD, se, portionibus ipsi cotiterminantibus, nempe cum , Ab, Yoc, superponatur reliquae figurae, CβΛ, ita tamen ut ipsae, AB, Υ&, cadant super. BD, S , vel ergo tota, BZ& congruit toti, Δ, & ita cum sibi congruant aequales erunt, vel non , aliqua tamen pars esto, qui d congruerit alicui parti, Ut, Clυ387, pars
figurae, BZ&, ipsi, ClIβ s 87, parti figurae , C A. Manifestum est
autem luperpositione figurarum taliter effecta , ut portiones parallelarum , AD, Y , ipsius figuris conterminantes sint inuicem superpositae, quod quaecumq; rectae lineae in f guris conceptae erat 1ibi in directum. manent etiam sibi in directum, Ut ex. g. cum, MN, OP. essent in directum ipsi, SV, dicta superpositione facta,manent etiam sibi in directum, nempe, QR, ST,in directum ipsi, SV, est enun distantia ipsarum, MN, ΟΡ, ab , HV, aequalis distantiae, SV ab eadem. Ata, unde quotiescunque, AB, extendatur super,BD, ubicunque noc fiat, semper, MN, OP, manebunt in directum
502쪽
ipsi, SU, quod, &de caeteris quibuscunq; ipsi, AD , parallelis in
utraque tigura liquido apparet. Quod vero pars unius figurae, ut, BZ&, congruat necessario parti figurae, C βΛ, & non toti, dum fit superpositio tali lege, quali dictum est, sic demonstrabitur. Cum enim ductis quibuscunq; ipsi, AD , parallelis conceptae in figuris ipsarum portiones, quae erant sibi in directum, adhuc post luperinpositionem maneant sibi in directum, illae vero ante superpositi nem essent ex hypotesi aequales, ergo post stiperpositionem poditiones parallelarum ipsi, AD,in figuris superpositis conceptae erui pariter aequales, vi ex.g.OR, ST, simul lumptae aequabuntur ipsi, SU, ergo nisi utraeque, QR, ST, congruant toti, SV, congruente
parte alicui parti, ut, sΤ, ipsi, s L erit, QR, aequalis ipf, 1 V, QR, quidem erit in residuo figurae, BZ&, superpositae, TV, vero
in residuo figurae, C/Λ, eui fit superpositio. Eodem modo ostenis demus cuicunq; parallelae ipsi, AD, conceptae in residuo,sigurae, BZ&, luperposinae, quod sit, Id J97, respondere in directum εqu lem rectam lineam, quς erit in residuo figurae, CβΛ . cui fit luperpositio, ergo luperpositione hac lege facta, cum luperest aliquid de figura luperposita, quod non cadat iuper figuram, cui fit superpositio, necesse est reliquae figurae aliquid etiam superelle,super quod nihil sit superpositum. Cum autem unicuiq; rectae lineae parallaiq, AD, conceptae in residuo, vel residuis 'ina possunt esse plures figurae residuae tigurae, Bo, siue, CPT . superpos tae, re spondeat in directum in residuo, vel residuisngurae; c ρ Λ, alia r cha linea, manifestum est has residuas figuras, siue reliduarum ag
gregata, esse in eisdem parallelis, cum ergo residua fgura,HIR 397,
503쪽
st in parallelis, Eis, ra , etiam residua figura, vel residuarum ago gregatum, ipsius, CβA, quod sit ipsi sevisa, ITA, 78s, erit in eisdeparallelis; E s, Y , si enim non pertingeret hinc inde ad parallelas, E F, ΥΦ, vi ex. g. si pertingeret quidem v Iq; ad , E6, non tamen usq; ad, D, I ed tantum vique ad , is, conceptis rectis lineis in trusto, QNβ s9R, ipsi, AD, parallelis non responderent in res duo figurae,
Ciελ, leu ex residuis aggregato, aliae rectae lineae, ut superius nece, se elle probatum est, iunt ergo haec residua, vel residuorum aggre
gata in eisdem parallelis , & in illis conceptae parallelarum ipsis, AD, se, portiones inter se sunt aequales, ut supra ostendimus, ergo residua, seu residuorum aggregata, sunt eius conditionis, cuius ip
sas, BZ& , c βΛ , fguras iam esse suppositum fuit, idest aequaliter
analoga. Fiat ergo denuo residuorum superpositio, ita tamen ut parallelae, GH, 6 β. luper parallelas, ΕΚ, βψ, sint constitutae ,&congruat pars, VΔλ, frusti, Hyt 1 97, parti, V Δλ. frusti, ITA . Ostendemus ergo ut lupi a , dum Vnius habetur residuum haberi etiam alterius , & haec residua, siue residuorum aggregata , elle in eisdem parallelis, sit autem ad figuram , BZ& . spectans residuum , Κ VA In X, ad figuram autem , s βλ sint pertinentia residua, lTΔV, IS , quorum aggregatum eii iri elidem parallelis cum residuo , ΚVλῖΠX, ne inpe in parallelis, E f, ΥΑ , si ergo horum residuorum fiat denuo superpositio, ita tamen ut parallelae, in quibus exiliunt, sint semper ad inuicem luperpositς,& hoc semper heri intelligatur,do nec tota figura, BZ& , fuerit superposita , dico totam debere ipsi, C , congruere, alioquin si essetai.quod residuum ut figulς, c ίλ, cui nihil cis et superpositium, esset etiam aliquod residuum figurε,
504쪽
BZω, quod non esset superpositum, ut supra ostendimus necesse esse, ponitur autem totam, BZS, esse superpositam ipsi , c βλ , ergo ita sunt ad inuicem superpositε, ut neutrius residua habeantur, ergo ita sunt superpositε, ut sibi congruant, ergo figurae, BZ di, Cinter se sunt aequales.
Sint nunc in eodem schemate duae figurae solidae quaeeunque, BZω, c n, in elidem planis parallelis, AD, se, constitutae, ductis autem quibuscunq; planis, Es, LΣ, praefatis aequidistantibus, sint conceptae in lolidis figurae, quae iacent in eodem plano, temper in- ter se aequales, ut, FG, aequalis, HI, & , MN, OP, simul sumptae sit enim solida figura ex. g. BZ&, intus utcunq; caua secundum superficiem, es ,N, Η, Θ, aequales ipsi, SU. Dico easdem solidas figuras aequales esse. Si enim solidum, BZ&, cum portionibus, ABY,& planotu, AD, Y4, ipsi conterminantibus, sol .do, Cri, ita su Per potuerimus, ut planum, AB, sit in plano, AD,&,Υ&, in plano, ra, ostendemus ut fecimus superius circa parallelarum ipsi, AD, Conceptas in figuris planis, BZ&,Cβx, portiones figuras in sol. dis, BZ&, C m, conceptas, quae erant in eodem plano, etiam Post superpositionem manere in eode plano, & ideo adhuc equa ies esse figuras in luperpolitis solidis conceptas, & ipsis, AD, Υ ,
Parallelas. Nisi ergo totum solidum toti congruat in prima i Perpositione, relinquentur residua solida, vel ex residuis composita in utroq; solido, quae non erunt ad inuicem superposita, cum enim exis g. figurae, QR, ST, aequentur figurae, SV, dempta communi figura, ST, reliqua, QR, aequabitur reliquae, IV, hocqFO tinget in quovis alio plano ipsi, AD, parallelo occurrente solidis , Cye C M, ergo temper habentes residuum unius solidi,habebimus etiam residuum alterius, & patebit, iuxta methodum adhibitam in priori parte huius Propositionis circa figuras planas, residua loli da, vel residuorum aggregata semper esse in eisdem parallelis planis, ut residua, H UyT, ITA, 8s, esse in planis parallelis, Ei , I , ac aequaliter analoga : si ergo haec res dua adhuc superponantur, ita ut planum , ΕΗ, locetur in plano, H6, &, Υι3, in , si, & hoc sempei fieri intelligatur, donec quod luperponitur, ut, nZ&, totufuerit assumptum, tandem ipsum totum, BL& , congruet toti, c βA, nisi enim toto solido, BZ&, ipsi, βΛ,luperposito, ipsa s bico. gruerent, est et ab quod risiduum unius, ut solidi, c βA, ergo etiam esset aliquod residuum lolidi, CH P, leu, BZ&, illudq; non esset superpositum, quod est absurdum, ponitur enim iam totum solidu , BZ&. esse ipli, /Λ, superpositum, non ergo ei it aliquod residuuin rpsis solidis,ergo tibi congruent,ergo dictae figi rae solidae,BZS, inter se aequales erum, quae fuerunt demonstranda. Praelate
505쪽
autem figurae, Ut supra innuimus, dicatur aequaliter analogae, & si opus erit, vixca regulas lineas parallelas, leu plana parauera, ctia,
CVm antecedens Prop. maximi sit momenti, ut ini sequentibus astoarebit . at usq; modus priorem partem demonstrandi , --chimino baud absit nisis , menti fuceurrerit , is um ne pereat in Lemmata distributum hic subiungere placuit.
LEMMA PRIMUM. SI in eadem, vel aequalibus basibus, & In eisdem paralis
telis figurae plans aequaliter analogs iuxta easdem bases fuerint constitutae, ita tamen, ut quaecunq; aequa distatium basibus linearum portiones in eisdem conceptae liguris integrae sint, ac eidem basi, vel basibus aequales, iplae pariter figurae inter se aequales erunt. Sint in eadem basii. GH, seu in aequalibus basibus, & in eiidem parallelis, AF, Pa, figurae planae, AGHB, EGH P, aequat ter ana
F, parallela. SR, eius dein portiones captae in praefatis figuris , ut , Si , NO, integrae sint, ae aequales basi , GH , seu dictis aequalibus alibus. Dico etiam praefatas figurab inter te aequales esse. In eadem enim basi , GH, leu in altera dictarum aequalium basium sit constitutum,& in elidem parallelis, AF , PQ, quodcunq; parali logrammum, CH, in quo portio concepta ipsius, S R. sit,LM,quq erit aequalis ipsi, GH, & conlequenter ipsi, No unde addita coismuni, MN, fiet, LN, aequalis, MO . Eodem modo autem ostendemus, CE , esse aequalem, DE,& reliquas huiuimodi similiter adε Diuiti by Coral
506쪽
adaequari. Nunc assumpto trilineo, ECG, & posito, C, in, D, CG. l n, DH, cadet, G, in, H, quia, CG, DH, sunt aequales, cadente vero trilineo, ECG, super, FDH, extendetur, CE, iuper, D
telarum, DH, CG, & punctum, E, crit is, F, ambituique, EN cadet super ambitum, FOH, si enim non , esto quod aliquod punctum ambitus, EN G, non cadat iuper, FOH, cadet ergo,vel extra trilineum, FDH, vel intra, cadat extra, ut in, R, ita ut ambitus, ENGH, cadat ut, FRH, erit ergo, M R. maior, MU, sed, M R. est aequalis, LN, ergo, LN, erit maior, ΜΟ, sed est etiam aequalis eidem, MO, ex demonstratis, ergo esset aequalis, & maior eadem . MO, quod est absurdum, non ergo aliquod punctum ambitus, EN
G, cadit extra trilineum, FDH, eodem modo probabitur, nec cadere intra eundem trilineum. ergo ambitus, G,cadet luper am bitum, FOH, congruens totus toti, & consequenter etiam trit
Mus, ECG, congruet trilineo,FDH, Silli aequalis erit,unde abla. to Communi trilineo, DI S addito communi trilineo,GIH,fiet,EGH F. figura aequalis parallelogrammo, CH. Eodem modo ostendemus figuram, AGH aequari eidem, CH, ergo figuras, AGH EGH F, inter se aequales erunt. Cum autem dictae figurae fuerint in aequalibus has biis, tum constituentes super unam quaq; parallelogrammum in cibiem parallelis cum ut dem p tum,con.
cludemus etiam dictas figuras aequales une, probantes eodem mindo descriptis parallelogrammis adaequari,quq quidem inter te erutaequalia, quod demonii rare opus erat. Haec autem vocenturPa. rallelogramma curvilinea, cum, AG, BH, EG, FH, fuerint curvae lineae, cum vero fuerint rectae lineae . parallelogramma rectilinea ad illorum differentiam eadem appellabimus, ted utraq; in genete, si libuerit, nomine parallelogrammi tantum etiam nunc γhimus a
LEMMA I LSI in aequalibus rectis lineis, tamquam in bas bus,& iu
eisdem parallelis, fuerint quaecunq, plana figurae, aequaliter analogae iuxta dictas bases, portiones autem arqui distantium quotcunq; ipsis basibus linearum in figuris conceptae integrae fuerint, ac in altera dictarum figurarum sic se habentes, ut quaelibet propinquior hasi sit maior I motiori, dictae figurae inter se aquales erunt.
507쪽
Sint in aequalibus rectis lineis, , TY, tamquam in bas bux,& in eisdein parallelis, AL, QT qu cunq; planae figurae CQ PD, HTYL, aequaliter analogae iuxta dictas bates, QP, TY, ductis auistem quotcunq; basibus parallelis, Vt, AX, r V, 3Κ, earum in figuis ris conceptae portiones integrae sint, ac in altera figurarum propinquior basi maior remotiori, Ut si conceptae in, CQPD, sint, NEt, l&, ΕΖ, & in, HTYL, ipsae, SX, RHOΚ, istae quidem integrae sint necnon ex. g. in figura, CQPD, Nyr, maior, I& ; I&, maior, EZ, & sic in caeteris erit enim etiam, SA aior, RV,S, RU, maior , - ,& sic in caeteris , cum sint aequaliter analogae iuxta barilas, P, TY. Dico figuras, CQPD, Η L, inter se aequales e
se. Si enim non sint aequales, altera earum maior erit, sit malor, Pota s. HTYL, ipsa, Cia PD, spatio, B, tunc minoris figurae basis, QP, φ' moueatur versus, A D, temper ipsi,. AD ,aequid istanter, ae maneis te iugiter puncto , in linea, PD,donec congruat ipsi, AD,igitur punctum, Q, describet lineam, Q A, &, QP,describet parallelois. grammuae, A P, rectilineum , ieu curuit meum prout , AR, DP. fuerint rectae, vel curuae, erit autem, CPA, tota extra figuram,C PD, cum parallelae, cre, in figura, C PD, ipsi, P propinqui res remoti oribus sint temper maiores quo pacto data basi,& curistia livea , tota in eodem plano cum ipsa basi , ae uni extremorum eiusdem conterminante, parallelogrammum curvilineum,ab ijs de aps relientum, Jescribere docemur) similiter compleatur paralleis logiam mum, FΥ, ducaturquae . LV, parallela , in , b sariam diuidens altitud nem figurari mi QPD, HI SI. respectu,QΥ, assum. s tam , secanique, AO, in, P, eQ, in , I, DP, in , ω, FI , in , Π.HT, in , P , S, Ly, in,'per, v V, igitur diuidetur parallelograminum, AP,
508쪽
AP, in aequalia parallelogramma , Aoc, &Qr rursus lautem per alias ipsi, QY, parallelas dividantur dictae altitudinis portiones h fariam, & sic semper fiat sectis insimul constitutis parallelogram mia, quae idcirco etiam bifariam diuidentur) douec ad parallelo
grammum, ut ad, , deueniatur minus 1 patio,', sit igitur se
ctum, AP, in paralles Ogramma, aeque alta, AZ, β& , PN, ΔΘ, per squidistantes luteas, r V, ΔX, quae secent lineas, Aia, in pun etis, β, Γ, Δ, CQ, in , E, I, N, DP, in. Z, S. . FT, in , ΛΠΣ, Hr, in , O, R, S, & tandem, LΥ, in, Κ, V, X , compleanturq; paralle logramma, BZ, Δ p, iuxta dcscriptionem superius traditam, erunt enim lineae, Bia 2 i , , extra figuram , C PD, quod patebit, veluti, A Q. extra, CQ PD , similiter cadere ostenta eis. & conseque uter figura ex parallelogrammis. BZ, &, pN, P, Composita comprehendet spatium, CQ PD, sint autem etiam completa parallelogramma, E&, IR, NP, quorum dcscriptae ibneae, ΕΦ, In, NM, intra figuram, CQ PD, quidem cadere olfendemus ex eadem ratione, quod dictae parallela: ipsi, PQ, propinquio res remotioribus sint semper maiores, & lubinde patebit figuram ex parallelogrammis, E&, IR, N P, compositam comprehendi L figura, C pD. Tandem compleantur parallelogramma quiaque, Gk, 6V, 9X, ΣΥ, ex quibus compositam figuram i patium, HTI L.
eadem methodo comprehendere demonstrabi inus. Cum ergo figura comprehendens spatium, C QPD, luperet ab eo comprehemtim parallelogrammis, BZ, 2 p, 3 Ω, Δ I, hoc est paralleso gram-m O, ΔΡ , quod est minus spatio, Q. , dicta comprehendens tigura superabit, CQPD, inuitia minori 1 patio, quam sit. 44, sed, H TY i uperat, COPD , ex hu te si lpatio . et , ergo tigura comprehendens, CQPD, minor est. H m L,& multo minor figura ipsum,HTYL, comprehendente, quae in descripta fuit, hoc autem est
ablurdum, cum enim parallelogrammum, BZ, aequetur ipsi, GK.,2ω, 6V, 3 ,sX,&, ΔΘ, ΣΥ, tota toti adaequatur contra praedein
monstrata, non ergo figura. HTYL, maior est , QPD. Sit nunc eadem minor, si possibile est, eodem spatio, 4 , igitur descriptis circa, CQPD, eisdem figurisota ut comprehen dens M. PD, superet ab eo comprehensam minori spatio, quam sit. 4 ,e pleantur parallelogramma, OV, RX, SY, ex quibus composita ranguram, ut supra a lpatio, H L, comprehendi Ostendemus. Igitur si comprehendens, CQPD . superat figuram comprehemam minori spatio, quam sit, Φ, ipsum spatium, CQPD. iuperabit ab eo comprehensain figuram multo minori spatio, quam sit. 4 ,ide autem superat, H TXL, spatio,', ergo figura comrrehenia a
509쪽
spatio, C. D. maior erit spatio,HTYL,& muliti maior erit figui, ra iam descripta, ab eodem spatio, H L, complehensa, quod est ξ δ' ς absurdum, cum enim parallelogiammum, E&, aequetur, OU, IR, L '' ipsi, , necnon, Np, ipsi, SY, tota toti adaequatur contra prae- demonstrata , nec ergo figura, H L, minor esse potest figura, CQPD, sed neqae eadem maior, ut Ostentum est, ergo eidem aequa. lis eiit, quod demonstrare oportebat, Unam quamque autem dictarum figurarum, CQPD, HTYL, pr*fatas conditiones habenistium, figuram in alteram partem deficientem appellabimus, regula basi, seu quacunq; illi. εquidistante ..
LEMMA II LSI eum linea quaecunq, tota fit in eodem plano,eui oci
currat recta in duobus punctis, aut rectis lineis, vel insecta,&puncto, poterimus aliam rectam lineam praefatae aequid stantem ducere,quae tangat portionem curuae lineat inter duos predictos occ ursus continuatam
Τ Angere autem dico retiam lineam aliam quameunque curuam totam in eodem plano eum ea existantem, cumr a recta lineae Fue in puncto, siue in recta lιnea, ouruae, occurrente, eadem cuma vel tota est ad eandem panem , vel illιm nrbιι est ad alteram potem illi occurrentis reeia Irnea sit curua linea, BAC, tota in eodem existens plano, eui recta, BC, Occurrat in duobus punctis, seu rectis lineis, vel in recta,& puncto, C. Dico nos aliam rectam ipsi, BC, aequidistantem ducere posse, quae tangat portionem euruae luneae inter duos occursus , B, C, continuatam . Quoniam ergo recta est,.
B , & curua, BAC,ideo inter se spa- δε tium comprehendent, figuramque , But, BAC. eonstituenti ergo possibi. . lib. r. le erit figurae, BAC, respectu rectae, BC, verticem inuenire, fili. punctum, A, per quod ducatur, DF, parallela , BC,igitur, BF,tan o et figuram, BAC, ergo totus ambitus, BAC, est ad eandem paro
510쪽
tem re Rae, , vel nihil est laltem ad alteram partem, si enim aliis qua illius portio esset ad alteram partem rectae, D F, iam recta , DF, lecaret figuram, BAC, quod est ablurdum ergo recta, DP,tangit curuam, HAC, igitur possibila: est, &c.
HInc ma festum est quomodo dueenda sit νecta linea datam cum
uam totam in eodem plano cum ea exsentem contιngens, qua
SI proposita quaecumque figura plana uni regulae parab
lelis quotcumque lineis ita secari possit, ut conceptae in figura rectae lineae integrae semper existanti Ipsa ex parallelogrammis rectilineis, aut curvilineis, seu ex figuris in alteram partem deficientibus, regula cadora a comP
uetur. Sit quaecumque figura plana, SPER, talis tamen, ut secta quotis uinq; uni regulae, ut, FE, parallelis, conceptae in ipsa rectae lines integrae sint. Dico iplam, velex parallelogrammi r ectilineis,aut Curvilineis, vel ex figuris in alteram partem deficientibus,reg. eadem, FE, componi. Sint enim ductae, SA ,FE, Op positae tangentes figurae , SPFR, regula eadem, FE, quibus incidat quomodocumq; recta linea, AE, moueatur aut maeE, versus, SA , semper aequidistanter eidem,SA, donec illi Congruat, interim vero punctum, E , ita in ipsa seratur, ut descri bat lineam, ENA, cum, ΑΕ, figuram, ANE , comprehendentem, quae eidem,SPFR , sit aequaliter analoga iuxta regulam, FE in eadem integris existentibus parallelis ipf, FE, ad ambitum, AN E, terminantius ervitus feratur recta linea, Α Ε, verius ambitum, ΑNia semper ipsi, AE, aequidistanter donee totam pertransierit figuram , ANE, adnotentur autem contactus linea: sic decurrentis in