장음표시 사용
101쪽
8 Epistolah D aequales ipsis OA , fa J pariterq
sunt ex Iemm. 9. in ratione re ad mὲ quare spatium Aas aequatur ex lemm.ro. spatio Aan N; est autem AarGNad AUO in ratione m ad n cui ejusmodi si ratio quarumvis ordinat arsin
G A , A O, &g a, as quare & spatium N Aau ad spatium OA af est semper
LEMMA XII. tisdem positis, erit torum spatium DOac ad portionem Naac, ut n ad m, 9 dividendo rectangulu DO AH ad spatium N Aac, ut n-m ad m.
Ubi enim V infinith proxima fiet asymptoto D N, spatium O Aas degenerabit in D O A a C, & spatium N A a nin N Aa C, qua rh cum ejusmodi spatia O A af, NA an sint
ut v ad m, patet integra quoque D Aa C, N Aa Cesse in eadem ratione, & dividendo inscriptum rectangulum ad subsequentem aream fore, ut u-m ad inpNimirum fi n sit major ipso m, in ratione assignabili, quam habet ipsorum differentia ad datum m ut propterea in hoc casu sit utriusque areae finita ratio) ; si naequatur is, ut in hyperbola Apolloniana, ratio prodibit infinith parva o ad i. funde in hoc casu area hyperbolica infinith maior est inscripto parallelogrammo Isin fuerit u mi. nor ipso α, habebitur ratio minor quini infinith parva , quet scilicet foret negativi numeri minoris nihilo appello mi-xorem nosis in hoc casu negativum numerum , quia notia applicantur nunc numeri ad certas quantitates , aliquam datam positionem servantes, ut ad oppositam plagam inverti possint, sed absoluth considerantur, & in abstracto, tamquam expon ntes, qui rationes quantitatum repraesentant, independebter quolibet ipsarum situ ad unitatem, ς vel alium numerum poutivum unde tunc aream hype bollin
102쪽
lieam plusquam infinities superare inscriptum paralle. Ioeram mum Cl. V Uallisius contendita puta si is existente rfuerit m aequalis et, fiet parallelogrammi ratio ad aream a hyperbolicam quae - r ad ar si fuerit m aequalis 3, fiet ilista ratio - 1 ad 3 , atque ita deinceps; quas quidem rati nes , patet non esse subduplam , aut subsequialteram, i tercedentem inter aliquem ex terminis, qui comparantu1, inverso situ acceptum ut praetendit Varignotatus & r liquum eodem loco manentem, Iichi hoc ipsum verificarimntingat, quia nempe area N Aa C ad reliquam DNAU, quae, trans Ordinatam , ad partes oppositas vergit, semper invenitue esse, ut m - u ad . - α ut facith deducitur ex praemissis,& utramlibet ad inscriptum parallelogrammum, velut ad m, comparando I itaque alterutra est ut differe tia exponentium nesativa, vel positiva, nempe si m supereta numero b , erit prima ad secundam ut , ad b, sin m ior suerit u , quam m eadem differentia, erit illa ad hanc ut b ad b, com simiIi Iege utraque area ad utramque asymptoton referatur, mutatis dumtaxat ordinatarum pori testatibus in potestates abscissarum , di contra a Sed quemadmodam in casu Apollonianae Hyperbolae, cujus ratio ad inscriptum parallellogrammum est . ad . -u, sive t ado, non contendri Varignonius, consequens rationis o i dicare in antecedenti nullam magnitudinem c quasi in ipsam ordinatam AN, unde originem ducit, contraheretur area
huperbolica a sed absoties infinitam, lices interim in rebus
physicis, aut geometricis quantitatibus, datam positionem, ex determinata origine, servantibus , quoties contingit quantitates illas, puta a,&b, in ricem aequari, tunc a - ν aequetur o, & in nihilum abeat, sive retrocedens examquantitas , ad praecitatam originem ipsius a nec citra eo sstens, nec ultra procurrens, in ejusdem a principium comtrahatur, ibique, in non quantum sui generis degenerans, evanescat: ita in casu altiorum hyperbolarum, ubi ratio parat
103쪽
parallelogrammi ad aream hyperbolicam subsequentem est. - ad ns, fi -- I ad 1, aut a ad 3 &c. non videtur praesumendum, ex negativo antecedente, indicari co sequentis Meae transpositionem faciendam ad aliam partem ordinatae, ut passim in magnitudinibus situm habentibus, si ex fixa oeigine in determinatam plagam Protendunt a, & ο, sitque illa minor, haec maior cii fi gentia ε , -- amate, tunc a b M -c ποῦ - e , & hse est posita iaquantatas mer rium ab origine Computata, in ad versam
partem ab illa, vervis quam is extendere a ,& , suppone. Bantur, Sed uno hinc concludere licet, dictum parallel graminum ad Consequentem aream, ust minus 'tam nihil, comparari, adeo ut tare illud superet piusquam infinia: miti potius, si negativa expressio quidpiam invertendia EoncludeIet, Fiam paraues ramaeum, quod est hcim
aut - stum mutare deberet, non area hyperbolaca , quae mologa est positivo termino - ea primenta a, aut 3 Potastiuas unitates; quemadmodum in expressione Apolonisne
hyperbola, aci quam dictum parallelogrammum est, ut ova a, idem paralles rammum, velut nihiliam reputatur vespectu areu in hin hyperboli eg , non . contrario area hypeiholica t. ni Mea degenerat: sed haec obites dictia a in V Vallisiavi. argamenai desensionem, cuius causa i men in hoc puinci ... pendet, eum nec mihi proposillum sit in riviscida analytiea expressione variorum infini- intra gradaeum evidentiam Pepetere i qui sanh hinc non sa. a gommcd. elicere tua , a teram aream hypeiholicaniant exi lupem is ordinia c. arando, Et in Me tantunias V uisia ratio deficem videtuν sed merus geometrica --mne, in uiuebimus, quae hanc negativi figia ambi-
104쪽
ter priora byperbola in R, aas m ad x. Cum in hyperbola Minoniana quadrilium Aa a M. a uo sint aequalia s par emoll. ω--. g. rvae ex Iemae.. αλ Mada a - , εν aequales, quibus dicta spatia proporti naut- apposito, aut dempto communi trilineo Pa A, fiet spatium N AP via aequale reo A ; sea P AN ad Pso A, per Lmm. II. est, ut m ad ' 6νe, In hoc casu, in aes a4 ει erga adem PAN Q etiam ad N ΑPa aerit, ut m ad a : sed etiam QR AN ad N Raae est ut latio duatumno. DN, ρον --. .. statuet pariter in in ad x sq.i prima ratio semel accepta aequatur secundae per au muri. plicatae . cum ea hypothes sit m ad ON. Me x ad GF ves T. . edost ut Din ergo te resimum GP ad reliquum GP est,n inclem Tatione is ad a. Quod erat COROLL. Pinne conflat dividendo in prima sagum, esisse R P a ad Aa P, vit -- a ad x : at in secunda figura, esse R P a ad Aa P, - ε - - ad i. Ra P ad RPA in prima figura eta , ut - - a ad auxat in secunda figuraia esse , ut 3- m ad m, unde si in primo casa ἄν aequatura, vel in secundo σου aequatur dimidio unitatis hoc est si exponens radicis quadratae I patet, rectam Pa primae figurae , bifariam dividete trilineum AR P. & recta RP secundae figurae. similiter bifariam secare trilineum AaP.LEM.
105쪽
LEMMA XIV. Iisdem positu, ex ενυμε oRAP utrique byperbola saterfecto, magus. tudinem data qualibes finita quantitate Zmajorem secab m 1. N Sit pruno numerus m ma 1 unitate,& tune ducta quavis P a asymptoto Dia parallela , multiplicetur ratio in had x , usquedum aequalis, aut proxi-mh major evadat ratione Z ad A P a uestque ratio sic multiplicata eadem , qui producti ex numero ν in νο, idest να
ad i. Tum ducta P R asymptoto DoparalleIa, agatur RG parallela D Q, deinde S G , ST , T V alternatam asymptotis parallelς , idque in tot punctis P, G, T continuetur, quoties multiplicata suerit ratio rmad 1 rationis m ad I . Quia igitur spatium AVT ad spatium Α P a rationem habet compositam
ex intermediis rationibus, A V T ad ΑTS, AT S ad ASG, ASG ad AGR, AG Rad ARP,& Α RP ad A Pa omnibus majoris inaequalitatis quarum prima, tertia,&quinta taliaeque impari loco positae s plures fuerint aequanis
tur semper ex timm. 3. rationi mad I. quae smul compostae eandem rationem multiplicant iuxta acceptum num Tum punctorum P, G, T, adeoque ex se solis conflarent rationem νm ad a. Idest aequalem, aut proximh maiorem
ratione Σ ad A Pa, patet utique, rationem AVT ad Α Pa, quae ex recensiis, & insuper ex secunda, quarta, aliisque pari loco positis componitur, longh majorem efferatione Z ad ΛPa, ideoque spatium AVT mul th majus fore proposito spatio T.
Sin autem fuerit in s ut is figura sequenti J minor quama , tunc ipsa Pa ducatur parallela DO, & ratione x adm vicissim multiplicata, usquedum fiat ratio ν ad m aequatis, aut proxime major ratione Z ad ΑΡa, continuetur in Disiligo Cooste
106쪽
iη totidem punctis nexalineu aPR Tveη Iineis auernatim parallelisaci asympto os, ti eodem Iat,ocinio codiaetiar, spatium ATV ad Α Ρa ma rem Tationem habere, quam Zad APa, tale rationes ATV ad AT S, nec non
s singulae me lemm. I 3. aequaleis Kavi ix ad m J componerent ratio em P ad
m, multiplicatam scilicet ipsi i ad m, pro numero punctorum P, G, T, Quartconstat, in hoc etiam casu , ex hoene R A P secari posse spatium T A V m jus qualibet finita magnitudi e Pro P . fita Z. Quod erat &c. . iCOROLL. Hinc patet, spatium,hypostola Apolloniana ARV , & quavis alia ΔρT antei N , osse gnitudin abloluta infimiae, potest enim ad imitura lyanli APa Mitinuem habere maiorem qualibet , assign.hili. LEMMA XV. Sis by rhois Apollossana AlU, ω alia qua
107쪽
lonianae hyperbolae in Ε, εδ '. . ducta Κ L asymptoto paralle- λ. Ia, fiat, ut m - 1 ad 2, ita qua-
et it, ut m I ad r, ita ratio a s ad et ad rationem OC ad CM, ... iv& componendo, ut m ad r, ita composita ratio exis ad
rationem actCM; unde productum extremorum aequabitur producto mediorum, idest posterior ratio multipli. cata per m seu ratio Co ad cM aequabitur simpliei ratio. ni fCO ad C M , compositae stilicet ex fad i, sive Aoad O P & CG ad C M,aut I M ad Ao, quae duae ratio. nos conflant rationem I M ad O Pe sed ut in ad oti , ita ex natura curvae PGTest etiam MI, quet ex Masymptorom parallela usque ad curvam PGT ducitur, ad eandem Op; ieitur eadem est i M ad Apollonianam, & Mi ad hanc hyperbolam novissimh ductam ; quare utraque haec cur inpuncto I eonveniet; deinceps autem , S ad posita ne ordinata ad hane hyperbolam P IT, V verti ordinat ad Apollonianam A R V J seu π C ad C Q, vel Qt ad n v majorem habebit rationem, qu m Qt ad gn , & ideo nVminor erit quam n g. quare mani festum est, utramque cumvam se invicem secare in I, & curvam PGI ex interioriis fieri
108쪽
fieri exteriorem Apollonianae hyperbolae. Quod&c. His positis, alque attentius perspectis, facillimh demon. strabitur precipuum nostrum
ricum est Plusquam et Infinitum censendam.
Intelligatur ARIVX hyperbola Apollonii, & per idem punctum intra easdem asymptotos Q CO descripta sit hy-Perbola quaelibet, cujus ordinatarum AN, a. potestas ab exponente as, qui major sit unitate, denominata, responis deat abscissis reciproc. acceptis uC,NC. Dico spatium
OCO ABD, ad partes D infinith productum , este infiniisties maius spatio absolute infinito Apollonianae hyperbolae . COARV aeqvh in infinitum producto: adeoque illud esserisquam In atrem. Assignetur enim quaelibet ratio majoris iniqualitatis,fad 3; Ea singulis asymptoto Cia parallelis AO, B H &c. in tali ratione sectis ad puncta P, G &c. ducta sit hyper-hola PGT, priori Α BD proportionaliter analoga, quael km . a s. J secabit Apollonianam hyperbolam alicubi, velut in I ue bilineum autem VIT ' coroli. kmm. I . erit absoluth infinitum , adeoque infinities majus termin to spatio PGIRA apposito communi spatio QOPG1VX, fiet u COPGle T absoluth majus spatio u COA RI UX R ideo spatium NCΟΑBa D majorem habebit rationem ad hoc secundum , quam ad illud primum sed ad illud proportionalem singularum parallelarum OA , HB sectionem ad P, G in ratione s ad I est in assignabili quavis rationes ad x ι ergo ad hoc secundum rationem habet maiorem qualibet assignabili , infinities igitur ipsum superat, adeoque est Plusquam In stum. Quod erat deis
109쪽
primis opponis, quom do fieri possit, ut omne asympe licum spatium, velut SN DIR, infinWim mimas affera posisit circumscripto parallelog ainino CN F, ut ego saepius asserui: com tamen, v in elligatur vas prismaticum datae altitudinis Nualis C N, basim haben& ipsum asymptotitum Datiam, aqua, vel alio nuido replere, tum amota curva sponda DI B, permittatur aqua fluere usque ad spondam N F alteri CG parallelam , adeo ut adaptetus prismati, o basim nunc habenti parallelogrammac . -- infinith longum CN conisque Vis. s.cleatui, ut ad aliquam altitudinem , . t . Ei vi aon aequalem priori, saltem in alia . . H raua ad ipsam ratione assignabili, a Is e m aqua inargae, ne dicem C sta a mur, infiiatam molem aqua rix uxλl fieete ad madefaciendam clum fiat min. vlist - finia icino p ta notortumni superfi- L l tiem, nec tantam esse, ut supra fa B sim vasit GH F vel tantillam Ela --tur , quod absurdum ab omnibus terasendum fota artire. ris. Ad haee, si in parat emMMm, kper dete matti uadrare, CN in longi rudinem infinitam erect m,uq an istam, qale prim intra prima finitae altitudinis CH,
infinitam asymptoticam aream pio basi Chtinens , concludebatur, immissam concipiamus , ut que ad 4nfinitam altitudinem fore elevandam obsev v , adeo ue gramgrirare posse prismati , basim haberiti infinitum parau lo a mure, finitam vem ala circlinem gi se non esse eensenesum asymptoticum palam 1 infinitiS ininus parallelogrammo circumscripto . Postvemb Eve oti atem nescio, an rati nemo G. V. Galilaei obiicere identidem non prae cina iis, quippe qui DiaL t. δε - Dermia non posse anu cem minis parari infinitas magnitudines, exemplo radicum, quadra-
110쪽
torum, ac cuborum TR Gmnhbus numeris tae tum evi ere, undet v abula maioris . man in . M aequalis lociam nou habere in infinitis statuit, eoque miniti admissariam haec nostra H quam Iumsima arbitraris, quo die ratio item
miclem assignabilem in ejusdem geueris infinitis agnoscit riande saepiva repetis, Cavendum, ne errarum in modum hau Iucinemur, dum tam audacter infinitas qἀaatitates . finiatae nostrae mentis captum ex deates . vessare non dubii mus, ac de iisdem, perinde ac de finitis, per analytic calculox, geometricos disclusiu, ac figurarum inagramismata , discurrere praes inuinus.
Quibus haec breviter posse reponi observo. Primci nihil absurdi esse, quod aqua illa, quae vas prismaticum asyptotale C N DI B implebat, applicata basi parallelepipeis do super parallelogrammo GNF erecto, vix eius fundum madefaciat, nee ad ullam finitam altitudinem k sua ha elevetur , sed tantum ad infiniae parvam . ad eout quisa in ities minus est spatinae asympic istum C N Dl B QNeainst in parulla logrammo C N F, tam i si altim minoe et reciproch altat . , ad quam in hoc parallelapipedo inutiet aqua, ait dime C N prioris prismatis , iat gen
rit m in omnibus solidivaequalibus contingere neeesse est rabe clemum illuci adem in hac casu dicendum esse, quod quis diceret, sire fimam aliq-, quantum HS magno, qu Tum temptavulo, PNis o tot occeano, effundi intelligeis letur aqua in Irruum iam planitiem , seu superficiem infinitam , cui adiuerendo . ceris non posset in ullam datam altitudinem elevari , sed illam vix humectaret: eodem squippe modo finitum occeran fundum se habet ad immenissam planitiem , ut inficilia area asymptotica ad circumis scri pium parallelogrammam, quod lux ostendatuae infiniri
condb , si aqua, illa replens prismaticum Vas asymis motale, infande tur Parallelepipedo halim habenti da.