장음표시 사용
81쪽
inminam, sed infinities minorem clicto asymptinico spatio Apollomano ex quo facile erit similes areas adhuc infinities minotes excogitare , & assertam varietatem DP dinis Infinitorum μου ullo timite cui prop. I. Predivimus
ae per omnia puneta F, , c . Isc determinata transeat curva o FfS. Di eo spatium binis Mymptotas parauelis Io, GS, curva GFIS, ti recta Cleomprehentum , a xluth quidem ege infinitum, sed infinitaes timuis spatis hyperbolice, CI. R. T. , i. 1 Facta enim DB aequali HG, ueariise db aequali ,g, atque ita semper, oriatur hinc alia curua I B, As sintquo AFBDEHG, afldolg in Enais proxima. egia Ipsa ἔ-B O differentin . I. , ea constru ne,AEqualis diffeἔC
82쪽
tiae L g torrespondentium HG, bg; eritque BR ad R. ι,
ut BR ad L g, nempe in ratione composita ex BR, ses Dd differentia oldinatarum Logarithmicae, ad Ηb, sive M moifferentiam axis ejusdem, & es Mm, seu GL differentia aris para holae ad Le disserentiam orti natarum ejus 3 estantem ex esMil. 2. Pop. V. prma ratio aequalis lationi Otadinatae M E ad subtangentem M P vel CI, & ratio altera aequalis rationi subtangentis parabolae , seu duplae I H, ad ΗG, vel duplae H G ad latus rectusti , aut fit a plicis HG, ad C I semissem lateris recti; ergo BR acl R, est in latim ne composita ex ME ad C I, 9 HG acl CI, set lieri ut rectangulum ex ME in HG ad quadratum C l, hoe est, ex constructione, ut CI, vel I ad DF 3 quare extrema rum rectangulum ex FD in BR quod est idem cum spatiolo infim te parvo F Ddf, per eorall. 3. pro p. stqvab tur rectangulo mediarum lia vel CI iis Rb; quod eontis
ubique perpetuo obtineat , manifestum est, totum spatium SsFOIC, ex omnibus areolis elementatibus FD0 agis gregatum, aequari rectangulo ex lia vel CI in totam asymptoton C X, quae omnibus differentiis R , ordinat
Tum aequalis est: adeoque cum C X sit infinita, utpoth aequa lis ordinatae parabolae ad infinitam distantiam h vertice ,
patet, spatium illud UFOIC rectangulo infinito aequatae, probati, & lic esse ab Iuth infinitum: sed hyperbolicum spatium CI Q A a T aequatur r ect angulo ex eadem I et . vel CI in totum axem infinitum CP Logarithmicae t nam, ex cap. 6. Hugenianorum n. 6. subtangens Cl est ad quam lich et D E parallelam axi Logistieg, vel dieas CI quadratum ad C I in DE, ut parallelogrammum hyperbolς inscripta C DA, quod squatur quadrato CI, propter int aequalem Ct, ad spatium hyperbolicum Aulo, quod exinde squabitur in hoc ea su rectangulo ex CI m DE, adeoque t tum spatium asymptoticum fiet aequale rectantulo ex CIin totum axem Cp erit ergo spatium C tu AT ad sp I tium
83쪽
tium S FOIC, ut infinitus axis Logarithmicae, vel parabolae, ad infinitam ejus ordinatam, sive ut haec ipsa infini. ta parabolae ordinata ad suum latus rectum οῦ adeoque in ratione majori, qu m quaelibet assignabilis, quarε inventum est spatium absoluth infinitum, sed idem Infinities minus asymptotico spatio hyperbolae Apollonianae. Uuod erat dae. COROLL. l. Hinc obiter patet, curvae t Bb sub tangentem Κ D esse ad oriadinatam DB, ut rectanis
CI: in hac enim rationeis vidimus esse differentias
tangenti, & iardinatae prOportionales ex su pradictis. COROLL II. Unde etiaextensa tangente B ad asymptoton in V, erit pa
ritet BN ad N V seu sum. Ita communi altitudin C, rectangulum N CDa ad rectangulum CNV ut Iectangulum NC DR ad quadratum CI , quare quadratum CI qquabitur CNUIectangulo, & subtangens NV aequatur constanti quadrato C I, diviso per abscissam N C , idest reciproca est abscissae NC , aut dicas aequalis ordinatae in puncto N ad hyperbolam TAQ, usque dum illi occurrat, continuam tam . quippe quae pariter eiusdem N C est reciproca. COROLL. llI. Si quis ex puncto B duceret curvae I Bb perpendicularem, laret subnormalis, post ordinatam BD in
84쪽
in ipsa DC producta ab hac perpendiculari resecta, aequalis ordinatae DA hypei lae: etenim est UN ad N B, ut BD ad DK, vel ut praedicta subnormalis ad ordinatam BD seu CN, adeoque rectangulum extremarum UNCl hoc est, per praeedens corollar. quadratum Clin, vel rectangulum CDA, ob hyperbolam aequatur rectangulo mediarum N B, vel CD In subnormalem , quare eadem subnormalis aequatur AD ordinatae ad hyperbolam. COROLL. IV. Unde amplicis ostendi potest, spatiun hyperbolicum ΑωD aequari dimidici quadrati ex ordinata BD: posita enim CD mx, DB I, &dicta sub N
imidio disserentialis a d , quae ex Abol. prop. V. est differentia quadratiam, & ideo, integrando, totum spatium A QID aequatur dimidio quadrati BD. Quod& hinc expeditici patet, quia ex ostensis in demonstratione hujusismet propositionis, spatium hyperbolicum Aial D aequatvr rectangulo ex CI in DE, Vel IH , quadratum autem BD, vel HG, ex natura parabolae, aequatur Iectangulo ex eadem IH in duplam CI, quae est latus rectum, ergo idem spatium hyperbolicum Α D est dimidium uuadrati ΗG, vel BD.
tuam, ex earem genere, qMas Hugenianorum cap. I. n. 4. indisavi, de quibus ω egregam tractatum, genes. λ u bis perbumanster accepta, conseretin insignis Geometra Lauis rentius Lorenzini , qaem utinam eum aliis tractatibus res
85쪽
ad ejus altiorem infinitatam domostrandam.
Sit inter asymptotoa RC A s iit in Ag.ra serae Ni J. perangulum P quadrati R P AC descripta hyperbola Apolloniana PKU. & byperbola quadratica P QI, in quae sit SQ ad RP,ut quadratum RG ad quadratoin C S, vel ut quadratum SK ad quadratum R P, adeoque tres SQ,5 Κ.P sint perpetuo proportiorialas; descripta is eti/m ad axem A CT Logistica RBG, ad partes G decrescens, cis
86쪽
li CR, ponatur ΗNL eontinua. tio eiusdem Loosticae, quae ex Rad partes AP exisi debebat em partes asymptoti reis sexa , re in Ueringas in infinitum se
eis aequalem, 3mis eandem axis portionem CD, ordinatunia . CR,M CH, D N interceptam, erit semper DB ad CR,-GR. vel GH ad DN,Iad etiam tu DB uel CS ad CR. ua in hyperbola Apolloniatis RP t vel CR a CH ad SK, ergo D N aequatur semper correspondenti ordinatae hyperbolic* SK' factaque αδιιε infinith pr primi, cum sit So ad SK, ut SΚ - RP,. vel ut AC ad CS , vel ud T D ad DB, vel ut B6, aut D ad 6.
veta S, erit Tectanguium extrema m QIr aequale rectan
eulo mediarum, scilicet S Κ , vel N D in Dd, & se semper, undo spatiam hyperbolae quadraticae SRPQ prero roll. 3. pro . U aequale ostendetur correspondentr spatio L eistico N H CD. sed ex ostensis in δε-- Mione 'γη ' eod. ct is c et I. p p. IX. Spatium hyperbolicum S R P aequatur rectangula eg CR in logarithmum CS . stilicee in B S. hoc est , ducta H Μ, symptoto paraueIa, aequa. tur rectangulo correspondenti. --, ergo spatia SRPQ. SRPΚ sunt semper ad invicem, ut NHCD, M H CD,& ubi punctum S cadit in C , erit totum spatium bype
87쪽
88쪽
hyperbolae quadraticae CR PQΥ esse infinities majus spatio Apollonianae CR PKV , adeoque FUquam infinitum censendum ; etenim ubi S cadit in C: tum rectangului GCDBS evanescit, aut saltem sit infinith minus spatici integrae logisticae TCR BG, seu quadrato subtangentis CR: tum ipsa SX evadit infinite parva respectu SR, quae tune sit CR; undε spatiu hyperbolet Apollonii CRPKV, evadat infiniisties minus spatio hyperbolae quadraticae CR PQY necesse est. COROLL. IV. Rursus, quia spatium S R P Q ad SRPRostensum est esse , ut NDCH ad MDCH; est autem N DCH aequale rectangulo ea subtangente lotisticet CHin M N , erit pximum spatium ad secundum , ut N M ad
MH, sed NM ad ΜΗ potest rationem habere majorθm . qualibet assignabili, si concipiatur accedere magis, ac ma. eis punctum S ad centrum C, adeoque ab eodem C magis ac magis recedere ordinata logisticae D N, nam M N ultra tangentem HZ, quae ad angulum semirectum THM, sive HAC inclinatur, in immensum exscrescit, unde ratio NMad ML, vel MH, semper fit major, prout iuncta N Hai fit semper sine limite major ratio HC ad Caue ergo NMevadit infinities major, quam M H, ubi punctum S cunia, puncta C convenerit ,εε ideo spatium CR PQ Y erit tune infinities majus ipso C R P Κ V , ac proinde plusquam is L
iam hac etiam ratione colligitur.
89쪽
mis Hire insus, ad abundantidirem scientiam, dem vine. Iisdem positis, ducatur C X, conveniens eum R P pro
infinia istenm . ab hyperbola quadratica Ρα ad partes symptoti s R versiis X mfimae prodocta compti hensum,infinita quantitaris , & semper aequatur inscripto tectangula eidem ordinatae adiacenti, nempe Rπια aequatvr CSQη,εr solum RpX aequatur CRPA, MI hme aequali CSR8; ommutim ne differentia, nempe spatium SRPQ aequa- mr residuo 14 QK , vel aequali complemento S K et R, quod eidem latitudini SR adiacet cum spatio SRPu , sed
longitudinem habet aequalem applicatae correspondenti SK hyperbolae Apollonianae, atque ita semper 3 ergo ubi conexuerit SK asymptoto CA , fiet integrum spatium
cstpo Y aequale rectangulo ex CR in asymptoton hyperboη Apollami CAVised hoe rectangulam, o op. VIII. n. ei F mfinities majus spatio asymptorico hyperbolae Απllanis, ergo spatium CR PQ Y quadratiee hyperboleten infinities majus dicto spatio Apollonrang hyperbolae, de a Cl. VVaIlisci iure nasuam Infinitum dici potnit. Quos arat &e.
90쪽
nendo, RSQ3 ad P Eia 3 erat, ut CR ad I S, ac perconversionem rationis, RSia 3 ad S R PQ, ut CR ad C S.COROLL. III. Quia vero spatium SKPRα Icctangulo ex CR in logarit mum CS videri. pag. o. nempe in SB- - oll. 3. prop. IX. erit S X. Ρ R ad SQ PR in rationeis composita ex CR, vel RP, ad S Κ, & ex togarithmo CS, nempe SB, ad SR, idest in composita ratione ex SC ad CR,&SBad SR, hoc est ut rectangulum Logisticae inis kraptum CSB D ad rectangulum ex CR in RS , sive ad Logisticum spatium CD BR: quod consonat jam oliensis
Mou. 1. Prop. praced unde Iurius eadem inferri polliunt,
ruae deinceps in sequentibus cosollariis demonstrata sunee aurora Infinisate hujus spatii.
SCHOLIO N. H Adieανι mxltipliciter probavimus diversitatem arriais Im
σιωam a Vaνigno πιο contraversam, eque iis argameu-ris , quibus subse posse ballWνnarronem, de semenda expressionesipatroram ulmoda ad eoatranas partes, omηιno non video , hacenamuero excepιrove rir grave mus Usses adiersus V Milesiain, scilicet ipsam non observase , negati m valorem arearum hyperis boticarum Inpereoram Apollonaana , uou indieare altiorem νη itatem tharum, sed conιrariam dumtaxat positionem , nisi is aeriam quidem quant1tatem exprimat, sed ad oppositas partes aecipiendam: quod usum antea monuerat Ceo igius Cheynsus