De infinitis infinitorum, et infinite parvorum ordinibus disquisitio geometrica in qua, variis utriusque generis gradibus demonstratis, tum methodi infinitesimalis fundamenta ostenduntur, tum praecipuè plusquam infinita spatia hyperbolica VVallisii,

91쪽

74 De Infinitis

pressio ass rinativa fuerit , area adjacet tam abscissae, quam ordinatae: sin negativa fuerit, cadit ad partes contrarias,& adjacet abscissae ulcia ordinatam productae r ias etiam a satim stibilit exemplam infinitarum hyperbolarum. Quam sari legem uos minime amprobamas , O sestem εο byperbolaram casas ex areidentino , an suapte generali natura, bis uou inquiro, sed mide disenda iusta in Epist. subjuncta post Lemm. ia. ebrinere fatemur: qsemadmodum 9 adem , independenter a Che

nai libello ερο nondum urse, auimadvertendum censebant innuar o 4 Doctissima Viri, quos Eonoma conveneram, σ qarbuscum de hae Infinitorum materia, deque natura nega ιvarum g antiis

latam in Mastiano inso disserebam, viriliceν Eustachius Mansredi Matbeseos Prosesi relaberrimas, ela Uictorius Manis chari, quem Geometria, Mabrica , rast ka, O A ronomoata bi naue bea nimis immatuνa s J mortis inmissia pra eptam diis

levi ; negae tamen magustudinum piasquam in itaram exisen. stiam negabat Hlus ipsorum, sed marsos en ita gradus exprimen, dos potiuν arbisrabaa- Spanebarius per rationem aa ad ci , auc

per ratiovem Positivi ad negat/vam, a ad - t, vel a ad - 2; neque enim signum negatrium reddere quantitates nihilo minores, ni multis rasisciviis confirmabat, Icar ad partem on eam daris. taxat retrocedentes: quare 9 expressorem Aegatι-m b siarum plusqηam ισσ1 arum, merscini satis, aeeipieuda Usermua eam ad plagam oppositam, μbι valor enarum fuisus es. Ex

r o , bir de rebus trowsmisit, ne sientem sam suam clarrus exponeret . Sed, bae doctrrna a sa, non ritis eo temerim Carin nio, eus Plusquam infinitum eontradictionem auetoluere, camationis, ter quantitatum ustilo mrnoram expressionem pr

buri possit, σπε in ageniona byperbolarum plusquam sinuataraem,t ncinat m propterea fuisse Urat 1im ι xea animadverterit , Distiti sed by Corale

92쪽

Infinitorum &c. 73

dam fignificare: uam in Astebra sua cap. 6O, & 6 expreserbane doctrinam Usemel VVallisius firmamerat, P dbertis menti

Volum. 2. Op. Math. pag. 286. Axerat: Impossibile est, quan . titatem ullam negativam esse, impossibile est enim, ut ulla magnitudo sit minus quam nihil, aut ullus numerus paucior quam o . Nec tamen est ea suppostio aut inutilis, aut absurda, modo recth intelligatur. Quamvis enim quoad puram notationem algebricam, innuere videatur nota -- magnitudinem, quae minor sit, quam nihils cum tam e physicam subit considerationem, magnItudinem non mi mis realem denotat, quam ipsum t , Sed sensu suppositi ni contrario interpretandam. Verbi grat a squis promoveri supponatur 3 passibus; atque tum Iet Iocedere passi. hus 2 3 atque tum interroget quispiam , quanto piomotior fit actus Dieetur p h plon otior, Propter a ' 3 1 fi autem, postquam processerat 3 pallibus, retrocedat passibus 1 I atque tum intefroget quis, quanth sit promotior P res.

pondebitur- 3 passibus f propter 3 -ὶ-8 - 3 hoc est tribus passibus minus promotus &c. Uuod O aliis exemplis

ra non pendeat, quomodo eos Algebra versat: boc modo , aquam, ear mavores nabalo Hest usu debeant numeri negarius, cum resul-

93쪽

6 De Infinitiς

94쪽

EPISTOLA GEOMETRIC A

D. ASCANIUM MPPI

Editum tibi in Patriam prosperam gratular, Vis Illustritane, teque acriori . quam antea . studi

Geometricarum , ac Mechanivarum rerum Cori templaticini animum impendere decrevisse, laetus accepi. Interim verci obscuriorem tibi accidisse non paucis in t eis Tractatum nostrum, De Insisti iri in δονα- . amae 1 niteparvorum ord1arbus, quem super raritias aestivis rariis tibi legendum obtuli, mirari de o. p. v m retulisti, Hu, geniana nostra Qx quibua multae harum demonstratamaum pendent, , te smmine hactenus fuisse pretiata; Ne tamen animo de pondeas ι a d hujus enim, admirabilia Ueritatis lute quam tandaperh tibi manifestari desideras me Lais Cem preser te, statun admisti Poteris, ubi nonnullis Lemmatibus id om me supplevero, quod nostrae demonstrati

95쪽

8 Epistola

dimidia sunt triangula C AI, C Ο Κ, quae ided aequalia sunt,& communi ablato triangulo CO F, appostoque utrinque trilineo FI K , manifestum est, sectorem KCI aequari qua dtilneo Dalf . COROLL. Hinc patet quadrilinea KIRO, LIM Seidem sectori Ct X , a de me& invicem esse aequalia. Μ' AMMA ll. San au UI

tota CA ιres recta proporis

vertex poramni3 P Κ I. ii Completis parallelograminmis, ut in figura , erit ex

natura hyperbolae, CL ad CO, ut reciproch Ο Κ ad ILP, quare etiam ipsa Co ' .ad CR. ut PK ad AT: S ideh parallelogrammum COXSerie simile ips CA TR, & circa eandem diametrum C Tt 26. 6. elem. consistet; similiter com st Ο Κ ad AI , vel ipsi parallelam LE, ut AC ad Co, vel CG ad CL, erit& parallelogrammum CLEM tirca eandem diametrum sipsorum C O K S , C Α Τ R; & quia E T , PI sunt diametri parallelogrammi EIT P , se mutuo secabunt in X , Igitur

recta CX, quae ex centro bisecat applicatam PI, diameter erit portionis, & per eius verticem transbit , ostensa est autem transire per punctum X , ergo Κ est vertex dictae portionis.

ordinatas ad termisos cominuὰ proportionalium interes um

96쪽

Geometrica.

Nam & triangulum XCI aequatur XCP, & portio XΚI aequalis est portioni X Κ Ρ, cum diameter Κ X bisecet apis plicatam PI , & portionem PKI: qua rh sectores KCI, KCP, adeoque &quadrilinea AINO, ORPL, ex Ierem. I.

aequabuntur.

portionaler, orianastas tuae

Sumpta inter DC, OCmedia proportionali NC, haec media erit etiam inret PsLC, AC propter rectaningulum L C A aequale ipsi DCo, seu quadrato CN, ergo ordinata N V, erit ex Iemin. nscea quadrilineum AN VI aequale quadrilianeo N L P V; itemq. VK.

aequalia manebun

LEMMA v. At si maior , t minis foret ratio Lc ad c D, quam o C ad C A, esset qua lineam L Pa D majm pariter , aut minas, ipso o Κ IA , . . . l. Quippe aucta CL , augeretur primi quadrilinei extemsio, & illa decrescente haec pariter minuegetur . LEMMA VI. Ordinentur ad hyperbolam daa libet AOΚ, ω duae alia L P. D st , reis. ratio duarum Oc, C Aratiorem Larum D c , C L , ne qua lineam I AOL

97쪽

Epistola

iumptis quotlibet continia pro . quibus respondebunt , per seminoa 3. aequalia quadrilinea prIO. Dbus ordinatis, aliasque S X,

TZ , di v intellecta : adeo ut quam multiplicata fuerit ranci NC , AC. rationis OC, AC, tam multiplex resultet quadri4 lineum NUI A quadrili IIA K.

Similhim multiplicata utcunqu

ratione DC, L C per quotlibes

continuis pro trionales F C, MC, Dum caelux aeque nautii plausore quadrilineum B LME ipsius P LDia: de tuidem s ratio N AC aequalis fuerit Tationi MC, L C etiam quadrilineum V N AI per lemma 4. fiet πqua. Ie ipsi P LME; sin prima Iatio major, aut minor fuerit secunda , etiam per Iemma I. Primum quadrati eum fiet aI. tero majus, aut nunus, quare M ratio OC A C ad x tionem DC , L C, ita quadrilineum I AGI .ad ipsum D Q.c , antecedentium aequὶ multiplicra praefatam do respondentia aquh multiplicibus Consequentium , ut mi e terminorum Pg porrionalitas ex def. 6 s. eis

- Per ter nos A , C ductis parallelis Κ CN, I A M, &facta CK aequali Al , ex I ,& I ducantur duae hyperbolae aequales RGἘF'. Perf inverso situ positae in angulis

98쪽

Geometrica

asymptoticis CAM, A CN , ad quas ordinata per pun- Etiam B recta EBe, reliquis asymptotis parallela, & Perpuncta D, d pariter ordinatis F Dg, GU, per puncta L, a ducantur ipsi A C parallelae LEH,ιeb; eritque per lemma 6. ratio duarum B A, D Α , ad rationem ipsarum DC, BC ut spatium FEBD ad DBeg, hoc est in minori ratione, quam sol- minuto antecedente, & aucto Couissequente i quae sit parallelogramm tum EB DL, e BD., sive quam EB ad Be, aut BC ad A B nam aequalia sunt parallelogramma aequalibus hyperbolis inscripta EBA, e BG, adeoque latera habent reciproca Ath contrario ratio duarum d A, B Rad rationem ipsarum BC, d est ex eodem lemm. o. ut EGdB ad B Ue, quae ratio minor est, quam aucto

antecedente , & manulo consequen.

teo parallelogrammorum ΕΗ. B, BdIe, seu quam EB ad Bo, scilicet BC ad Α B; & agitur major est in primo, &minor in secundo casu propDitio dictarum rationsi, quam sit ratio partium BC, ΑΒ, ut fuit propositum. LEMMA VIII. ERO AB ad BC is ratione qualibet, in ad

resarem θμι BC, esses index n , esse omnium ilium maximam, ides majsr, qsam , abba secta AC in D mel d , sumeretur factum ex fimilibus eriam Μνtium potestat ibos per eosdem iudices denomauatis. Nam quia ratio duarum AB, AD ad rationem dua- ιrum DC, BC est in minori proportione, per lemma I. quam

BC ad Α B, idest quam m ad n per hypothesim , erit f L ctum

99쪽

82 . Epistola

, ctum extremorum mam is

per in s seu ratio Π i psum Ao l maior erit ratione D C, C B multiplicata per . hoc est ratione ορο ad e,

unde iursus factum extremorum Ag in CP majus erit δε-cto mediorum AN in DP . Similiter octendetur , qucideiam sit rationis duarum dΑ, ΑΒ, ad rationem ipsaruma

BG, α, minor proportio, quam BC ad AB, seu quam a ad m, erit prima ratio multiplicata per in hoc est a ad si minor secunda multiplicata per . idest Q T

100쪽

Geometrica. 83

punctum hyperbolae P est ultra rectaea Κ R , idque ubique contingit, ergo A K in solo puncto Κ hyperbolaeoccuTrit, ipsamque tangendo praetergredituT. LEMMA X. Ia μιιέosita a C AN ad ramums a , A

corre pondet. Has figuras cap. 8. Hare asor. . a G1 relatas appellabam, Earumque aeq ah ais

stravi - 43. P. H. . proptes aequalia Elementaria parar-

quae sunt complementa paralla logrammorum circa st metrum A B, sive ab . Quare constat propositum. LEMMA XI. Eso Aa C Abeo μα- -ΣΕ -