Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

61쪽

Fci una superet, aut uterque arcus fuerit maior Quadrante, minor erit proportio eorumdem sinuum ver

forum inter se, quam tangentium , chordarum, quam secantium.

IN circulo ABG. cuius centruma diameter AE secans circulum in A. sit arcus maior AC minor AB illius chorda . AC. huius AB. illius sinus rectus CH. huius BD. secantes diametrum AE in punctis HD. erit HA sinus versus maioris a cus AC. MA sinus versus arcus minoris AB sitque primum Vteruis arcus minor quadrante. Dico maioren resse rationem ΗΑ ad AD quam tangentis dimidi j arcus CA .ad tangentem dimidi j AB.&maiorem AC chordae ad AB chordam, quam secantis dimidi,arcus AC.ad secantem dimidij arcus AB. Pr ducatur DB quantum libet, accipiatur DF aequalis sinui Η C. qui cum sit maior quam DB cadet punctum . vltra B.eXtra circuliam connectatur AF. erit angulus ACH. dimidius anguli AEC. id est arcus A C. producti sinim rectis BD. CH in circumscrentis punci a K. I. angulus ACI in sistit arcui AI qui arcui AC est aequalis,d Angulus ABD arcui AK ί quali ipsi AB. angulus ABD. dimidius anguli AFB. seu arcus AB atque in triangulis cetangulis CHA. DA posito sinu toto CH. aut FD. illi aequali frit HA. tangens anguli

cus AB. eadem est A tangentis anguli HCA. ad A tangentcn anguli DFA. nam utrobique est proportio aequalitatisci sed angulus AF D minor est angulo ABD. minor est igitur tangens anguli FD. a gente anguli ABD. Igitur maior est proportio HA tagentis anguli HCA. ad A tangentem anguli DFA. quam

hi i

62쪽

Curu ac recti proportio promota.

quam ad tangentem anguli DBA sed utΗA tangens angi liMCA. id est dimidij arcus AC ad DA tangentem anguli DFA. ita ostensus est HA sinus versus arcus AC ad DA. sinum versum arcus AB. Igitur maior est proportio I . sinus versi arcus AC. ad DR sinum versum arcus AB quam I C. tangentis anguli HCA. seu meditarcus AG ad annontem anguli DBA seu medij arcus AB. Sed sit arcus AC.maior quadrante, &ducta EG perpendiaculari ad diametrum AE minor sit arcus CG. quo quadrantem superat; quam arcus BG. quo arcus AB. disserta Quadrante. Rursus cum sinus HC.sit maior qua DB.cadet punctu F. vltra punctum B extra circulum; eodem prorsus modo quo prima parte huius, ostendemus HA sinum versum Arcus AC. ad AD. sinum versum arcus AB. maiorem habere rationem , quam HA tangentem medij arcus AC ad tangentem in dirarcus AB. ASit secundo arcus GC. arcui B. aequalis, ideoque rectar DB HC. quales, cadatque punctum F. incidi sum C. Dico eamdem esse rationem ΗΑ. sinus versi arcus AC. ad DA.4-num versum arcus A. quae tangentis anguli CA. id est medi alcus AC ad tangentem anguli DBA scii medij arcus AB. N in cum liati sanguis rectangulis aequales sint sinus tot HC DB erit A. angcias anguli HC seu dimidij arcus AC. CA. eiusdem secans item A. erat tangen Sanguli DBA seu medi arcus AB.4 AB. eiusdem secans. Vt igitur HA sinus versus arcus AC ad A. sinum c sum arcus AB ita HA tangens di-inidij, ad A tangentem dimidij. In super sit arcus C. quo m.

63쪽

ior arcus quadrantem superat maior arcu B quo minora adrante superatur: erit C magis distans a diametro minor quam DB quae minus distat Igitur sumpta DF. aequali ipsi H C. cadet punctum F. inter D. B. erit rursus HA tangens anguli HCA.&DA tangens anguli DFA. qui cum . sit maior , quam angulus DBA. minor erit ratio tangentis HA. anguli HCA. ad tangentem anguli DFA. quam ad tangentem anguli DBA. sed vi HA tangens Anguli HCA. ad tangentem anguli DFA. ita HA. sinus versus arcus AC ad DA sinum versum arcus AB. Igitur A tangens anguli CA. id est dimidij arcus AC ad tangentem anguli DBA. seu medij arcus AB. maiorem habet rationem, quam dictus sinus versus HA.ad sinum versum DA. Denique sint arcus AB AC uterque maior Quadranter AB.minor AC. maior erit recta DB vicinior diametro maior quam IJC sumpta igitur DF a quali ipsi C. quae cadat inter puneia D.B eodem rursus modo quo proxima parte, Ostendemus maiorem esse proportionem tangentis dimidij arcus maioris, ad tangentem dimidij minoris, quam sinus versi arcus maioris ad sinum versum minoris. Iam vero, quoniam in primo casu maior est angulus ABD angulo AFD.maior erit secans anguli ABD. recta AF. secante anguli AFD. Rursus, cum acutus sit angulus ABD. quia ADB. rectus obtusus erit ABF, idem ue AF maior quam AB. maioren igitur rationem habebit chorda CA. arcus AC. ad chordam BA. arcus AB quam secans AC anguli ACH id est dimidij arcus Ac secantem anguli ABD seu dimidi j arcus AB. In

64쪽

rui ac recti proportio promota.

In secundo vero casu cum A si1tac secans anguli ACH. chorda arcus AC item B secans anguli ABD. chorda a cus AB. Eandem habebit rationem CA secans Anguli ACH. id est dimidij arcus AC ad BA secantem Anguli ABD seu dimiditarcus AB quam A. chorda arcus AC ad BA cho

dam arcus AB.

In ultimis casibus Qiboniam maior est angulus AFD angulo ABD. minor erit secans anguli ABD. id est dimidi arcus AB quam AF secans anguli FD;&quia angulus AF D. acutus est, erit AFB obtusus, ideoque maior AB quam AF. Igitur minor est ratio CA chordae arcus AC ad BA chordam arcus AB quam A secantis anguli ACH. seu dimidi arcus AC. ad secantem anguli ABD seu dimidi arcus AB. Igitur duorum arcuum inaequalium c Qu'd erat demonstrandum.

COROLLARIVM-EX probatis colligitur nus rectus cum secante eiusAm

arcas comparetur , soad maiorem vel minorem froportionem , idem de eo dicendum , quod de chorda vis arcus, ac in priora casu maiorem e rationem stans recti arcus maioris ad num reclum minoris, quam scantis maioris ad secantem minorIsrinsecundo aequalem: in tertio minorem Nam vi chorda arcus maioris , ad chordam minoris cita sinus rectus dimidis maioris ad nua rectum dimidi minoris. Cum medietas chordaem l aliud sit, quam snas imidi auus: sed in priori casti , chorda arcus maioris, aa chordam minoris, maiorem habet rationem, quam si cans dimidi, maioris ad secantem dimidi minorisci et avri nus dimidi arcus maioris ad inum dimidi minoris , maiorem habet rationem, quam siccans dimid maioris , id est eius m arcus, adsicantem imum ij mmoris. In secundo vero casu, venditur essemis oti maioris arcus ad num minoris , ita secantem maioris

adsecantem mi μris. In tertio metriorem esse rationem sirnus a cus maioris, ad num minorIs, quam secantis maioris, bd cau

65쪽

4'THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXVIII DVorum arcuum inaequalium, quorum Uterq;

si minor semiquadrante, aut alter aequali, vel minori disserentia semiquadrantem excedat,quam alter asciniquadrante deficit secans maioris ad secantem minoris minorem habet rationem, quam arcus maior ad minorem.

IN propositione 37. huius, tribus primis figuris, sit arcus AC maior arcu B ita ut uterq; sit minor quadrant , aut AC. maior AB.minor, ita ut exceffus AC supra quadrantem sit aut minor,aut aequalis defectui arcus AB.a quadrante.Dico secantem dimiditarcus AC ad secatem dimiditarcus AB.minorem habere rationem,quam arcum AC.ad arcum AB.Nam ex propositione 3 7.huius constat , minorem, aut aequalem esse rationem secantis dimidij arcus AC.ad secantem dimidi a cus AB quam chorda AC ad chordam AB. sed chorda AC. ad chordam AB. minorem habet rationem quam arcus A C. ad arcum B. id est quam dimidius AC ad dimidium AB. ergo secans dimidi arcus C. ad secantem dimidi arcus AB. minorem habet rationem, quam medius arcus C. ad medium arcum AB qui arcus secantibus respondent. Igitur duorum arcuum c. quod erat c.

COROLLARIUM.

OVod uterq; arcussit in Uem quadrante,secans maioris

ad minorem, non tantum minorem habebit rationem, quam

arcus maior adminorem,sed etiam quam complemen rum arcus minoris, adcomplementam maioris. Nam in quadrante AEC su mantur duo reus BE. D. terq; minor smiquadrante quo--m cantes G. F. in tangentem CB. incurrant,inpunctis CF.

66쪽

Curui ac recti proportio promota.

GF erit C. complementum minoris arcus B. TEC. complemcntum maioris E. Dico minorem esse rationem AG ad F. quam arcus C. discum. C. Ducantur duo nus complementi DH. EI. Corol. 1.16. misor erit ratio H ad I qviam imus arcus DC adarcum C. v autem DH ad I it AG ad F. hoc

enim a Clauio demo strato es propos

et . desecantibus , o deducitur ex 37. huius igitur minor Sproportio AG ad

AF. quam arcus DC adarcum C.

THEOREM A XXXVI. PROPOS. XXXIX. SInus rectus maioris arcus, ad sinum rectum mi noris, minorem habet rationem, quam chorda maioris . ad chordam minoris chorda ad chordam minorem rationem, quam sinus versus maioris, ad sinum versum minoris.

I circulo ABC sit arcu Smaior quilibet C. minor AB quo rum chordae A. A. sinus ceti CH. BD sinus versi HA DA Diaco minorem esse rationem CH ad BD. quam C A. ad BA. minorem CA. ad A quam A. ad A. Nam in triangulis rectagulis AH C. ADB cum maior sit totus angulus

BAI reliquus angulus ABD. minor angulo ACH. Constat agiture a 3. huius, in morem esse rationent G ad A quam DB ad A.- permutando, in morem rationem esse C ad DB quam A. ad A. Rursus per eandem propositionem,cu maior sit angulus AB. angulo

67쪽

angulo AC minor erit ratio A. ad AB quam A. ad AC. permutando,&conuertendo,maior ratio HA. ad DA quam A. ad BA. ideoq; minor A. ad BA. quam HA ad DA. Igitur sinus rectus maioris arcus ci quod erat probandum.

COROLLARIUM.

HIn constat sinum rectum dimidi, arcus maioris , ad nse

rectam dimidi, minoris , minorem habere rationem , quam sinum versum arcus maioris, adsinum versum minoris. Nam sanus re pus dimidi arcus C es medietas chordae AC es sinissrectus dimidi arcus AB. est medietas chordae AB. vi conisa ex definitione nus recti cum igitur ut tota chorda AC ad totam AB. ita imus medietas, ad medietatem huius, sitq; proportio chor de C. ad chordam AB. minor quam nώsversiHA. ad inum mersum D q. etiam Anus rectus dimidi arcus AC ad num re- cIam dimidi, AB. minor eris ratio, quam HA ad DA.

THEOREM A XXXVII. PROPOS. XL

SI trianguli rectanguli rectum angulum perpen

dicularis in basim demissa secet, Me punctis, Vbi latera basi iunguntur Hateribus ipsis equales partes ex basi abscindantur; recha ex trianguli angulo recto ad puncta sectionis ductae diuidunt anguialos a perpendiculari cum lateribus factos,bifariam

SIT triangulum AD. rectangulum ad A. expuncto A. demissa AE perpendicularis in basim DG. secet angulum rectiun in angulo DAE GAE. ex puncto . ex basiab scindatur L aequalis lateri AI. ex A. ducatur AI. Dico rectam AI diuidere angulum AE. bifariam Diuidatur an gulus AGD. bifariam ducta L. quae secet. E. N.

68쪽

ue Curui ac recti proportio promota.

AI. iii M. Quoniam aequalia sunt latera GA. I. in triangu lo GAI ex descriptione, aequales erunt anguli GAL GIA. sed&ex descriptione, aequales sunt AGM IGM. aequales Pxm igitur sunt&reliqui. AMG. IMG atq; ideo recti. Rursus cum in triangulis GEN ANM. Anguli ad verti cem, aequales sint, GEN AMN. recti, aequales erunt& reliqui EGN. NAM. id est EAI. cum autem aequales etiam sim EGA. AD ablatis aequalibus AI EGN. rem

nent aequales GA.IAD. Igitur cum angulus EAI sit aequalis angulo EGN ' Angulus IAD aequalis angulo NGA. sint autem ex hypothesi, anguli EGN. GA aequales, erunt cinguli ALIA D. aequales. Atq; idem etiam ostenditur, si ipsi DA aequalis sumatur H eodem .n. prorsus modo probabitur,a recta AH. angulum EAG. bis triam diuidi. Igitur si trianguli rectanguli angulum rectum c. Qu0d erat demonstrandum.

THEOREM A XXXVIII PROPOS. XLI DIUerontia secantis maioris arcus cum sinu tota

to, ad differentiam siccantis minoris, malorem habet rationem, quam tangens maioris

arcus ad tangentem minoris.1 circulo AGF cuius centium I diameter IA. suman turduo arcus inaequales maior AF minor AG quorum tan' gentes AH AD secantes IH ID & disterentiae secantium cum sinu toto F. G. Dico maiorem esse ratiouem , AF ad G quam AH ad AD. diuisa AI bifariam in E. centro. E. describatur circulus ABCI secans secantes in

69쪽

niam in triangulis IAH IAD. rectus est angulus ad A., iorq; angulus ADI. externus, interno DAI minor erit ratio AD ad DI quam AH ad ΗΙ. conuertendo maior ratio ID ad A. quam H ad A. sed, ID ad A. ita DA . ad DB. v IH. ad ΗΑ. ita HA. ad ΗC. nam cum rectangulum I DB sit aequale quadrato I A. rectangulum I HC. Quadrato. HA. erit ut ID ad DA. ita DA ad DB. 4t IH adHA. ita A. ad C. Igitur maior est ratio AD ad DB quam AH ad C. permutando,&conuertendo, mInor ratio AH ad AD. quam C ad DB Rursus cum in triangulo rectangulo IAD. demissa sit ad basim ID. perpendicularis AB. lateri IA sit sumpta in basi aequalis IG. diuidet, ex praecedenti, recta AG angulum DAB bifiriam , atq; eodem modo in triangulo rectangulo IAD. recta AF. diuidet angulum AC. bifariam. Quare cum in triangulis rectangulis ABD ACH angulus AH.sit maior angulo BAD. imaior erit ratio ΒΑ ad AD. quam CA. ad AH. sed ut BA. ad AD. ita BG ad GD. ut A. ad AH ita CF ad FH. nam angulos BAD CAIJ rectar AG AF. bifariam diuidunt)i itur maior ratio BG ad GD quam CF. ad F. H. com ponendo,d permutando maior ratio BD ad CH quam DG. ad FH. conuer Hiendo, minor ratio

HS. ad DB. quam FH ad D 9. Cum

igitur minor sit ratio AH ad AD. quam HC ad DB.

Vt paulo ante ostensum est, item minor ratio HC ad DB. quam FH. ad DG erit etiam exaequalitate, minor ratio

AH ad AD. quam FH ad DG. Quod erat denaonstrandum.

COROL

70쪽

Ex dictis colligitur, etiam di erantiae sicantis maioris arcus

insemicirculo, ad Helerentia cantis minoris, maiorem esse rationaem quam tangeniis, arcus maioris, ad tangentem -- norisiose amen es maiorem erationem CH. ad BD. quam HA. ad DA.

THEOREM A XXXIX. PROPOS. XLII. Differentia secantis maioris arcus, cum sinu toto, ad differentiam secantis minoris, maiorem habet rationem, quam sinus versus maioris arcus, ad sinum versum minoris.

IN aperiori figura, sint rursus secantes AE. AD. illa maioris arcus BF ista minoris BG. carum differentiae EF DG ductis sinibus rectis G H.FI. quorum iste secet AD. in L. sint corundem arcuum sinus versi IB. HB. Dico maiorem esse rationem FE ad GD qua IB. ad HB Ducatur enim KF l iralella ipsi DA. Erit angulus FKE. aequalis angulo ADE. angulus autem ADE. cst obtusu si cum enim in triangulo rectangulo angulus ABD sit rectus, erit ADB acutus,

mum c desci ptione ad GD. Sed maior ostent est: qua n