장음표시 사용
51쪽
proinde anguli AbE, AEE, utpote in eadem eireuli portione consistentes aerunt inter se aequales c Lib. IV. g. I . . Μodo per punctum E ducatur recta de parallela rectae bF, quae coneurrat in puncto e eum recta bae directe producta, occurrat vero rectae DC in puncto d. Cum itaque anguli eEχ, ZFb, sicuti etiam anguli Ere, et.bF, sint aequales Lib. IV. s. s. , quatenus sunt alternis aequales itidem sint anguli ad verticem oppositi Ete, biF Lib. III. g. st . , duo triangula Eete, aebF erunt similia sLib. IX. 66. i ae proinde habebitur bF. Ee-FΣ. χE g. 6 T. T. . Manifestum est autem, esse Fae. ΣΕ - FD. ED s. io 3. , & bF.dE FD DE Lιb. IX. s. 19. . Ergo erit bF. Ee - bF. dE Lib. I. g. 6.ὶ , & ideo Ee - dE si ios . . Angulus autem d Eb est rectu si eum si aequalis angulo alterno EbF c Lib. IV. s. I D) , qui itidem est rectus, ut supra demonstravimus. Ergo angulus quoque eLb erit rectus, duoque ideirco triangula bEd , Lbe, ita erunt aequalia, ut angulus Ebe, sive Ebae , adaequet angulum db L , seu ab L Lib. V. s. 81. a de ideo, eum ostensum fuerit, angulum a Fx aequare angulum absi, angulus a Fae angulo itidem Ebet erit aequalis cum Ast. s. 263. . Constat porro, aequales angulos in eadem elreuli portione eoni, stere Lib. UIL s. 73. . Igitur in eadem circuli portione erunt anguli a Fae, I bd, sive xbet 3 adeoque describi poterit circulus et ubF transiens per puncta et , x, b, F ι proinde ei reum scribens quadri laterum et xbF . omnis autem quadrilateri circulo inscripti duo quolibet oppositi anguli valent duos rectos I. 81. . Ergo duo anguli xbF, xtF quadrilateri aexbF erunt aequales duobus rectis, cumque angulus xbF iam ostensus sit rectus, rectus smiliter erit angulus xxF 3 atque adeo etiam angulus o.E, quod duo 'F, xχE s-mul sumti valeant duos rectos Lib. III. s. qo. . Recta igitur a et ad pe pendiculum insistit rectae tangenti DF q. 2 . . Rursus quoniam etiam in quadrilatero axisi duo oppositi anguli Eax, xxE sunt recti, circulus ei circumscribi poterit ei rea latus Eat, qui nimirum transeat Per quatuor puncta a, x, et, E quemadmodum ei reuius aexbFtransit eandem ob eausam per quatuor puncta et, x, b, F quadrilateri aexb RIgitur duo anguli axE, a ZE, utpote in eadem portione axet E circuli moconsistentes, erunt inter se aequales c Lib. VII. s. 73. . Eadem ratione aequa les erunt inter se duo itidem anguli bxF, btF, quatenus nempe etiam ipsi reperiuntur in eadem portione bxtF circuli bFeta. Duo autem anguli axE,bxF sunt inter se aequales c Lib. 1 I. . Ergo aequales erunt inter se duo itidem ain, bu Da. Alg. s. 1 1 s. . Itaque si in majori axe &c. quod erat
I 37. Hi ne omnes luminis radii in eidentes ex puncto b in eurvam ellipticam ΑNC, ut radii bN, brui, ita ex illa resiliunt, ut in punctoa omnes simul colligantur . Similiter omnes , qui ex puncto a erumpentes , Incidunt in eandem curvam , vicissim in puncto b omnes simul post reflexionem uniuntur. Enimvero , eum ex Catoptrica reflexio luminis ex speculi superficie ea lege perpetuo sat, ut angu-
52쪽
us reflexionis sit aequalis angulo incidentiae, Ae huiusmodi anguli spectentur in eurva superficie penes rectam tangentem eurvam ipsam superficiem in puncto incidentiae, res perspecta est, omnes radios luminis, qui ex puncto b ineidunt in curvam ellipticam ANC, resecti ex illa non posse, quin omnes transeant per punctum a , & vicissim quin transeant per punctum M qui ex puncto a in eandem curvam cadunt . Ductis namque tangentibus Ru, mn per puncta incidentiae N, M, constat, angulos bNu,aNet, sicuti etiam aΜm, b in , esse inter se aequales. Duo igitur puncta a , b sunt f
ei, sive umbilici ellipseos ANC s. 83. . COROLLAR Iuu II. 3 32. Quamobrem Dei, sive umbiliet ellipseos sint duo puncta axis ma1.-νis , quorum utrumque ita dissat a suo vertice, ut rectragulum eontentum sub axis portionibus per eorum alterum abscissis , quartam partem figura axis adaquet.
Uterque focus ellipseos ita distat a suo vertice, ut rectangulum contentum ob segmentis axis ab illo determinatis, sit aquale quadrato minoris semiaxis.13s. Ut si foet ellipseos ABCD sint puncta a , d, Ze minor axis AC, aeectangulum ex Ba in aD , sicuti etiam rectangulum ex Dd in dR , erit aequale quadrato minoris semiaxis Ab . Constat enim, hujusmodi quadratum esse aequale quadranti figurae majoris axis BD cs. 33. , cui illa iliadem rectangula sunt aequalia.
Recta linea ducta ex Deo ellipseos ad extremum minoris axis es aquasis semiaxi majori .i o. Ex soco d ellipseos ABCD ducatur ad extremum A minoris axisCΑ recta dΑ. Dico, rectam dΑ esse aequalem majori semiaxi m.
Cum rectangulum ex Dd in dB sit aequale quadrato semiaxis bΑ fir 3s , quadratum semiaxis bΑ una cum quadrato segmenti db erit aequa. Fig. 2.le rectangulo e* Dd ln d B una cum quadrato ejusdem segmenti db Dn. TXiVAlgeb. s. 26s. . Rectangulum autem ex Dd in dB una eum quadrato segmenti db est aequale quaὸrato semiaxis Db cs.s . . Ergo etiam quadratum semiaxis b A una cum quadrato segmenti db erit aequale quadrato semiaxis
53쪽
D, S n. st. s. 262. . Manifestum porro est, quadratum rectae EA aequa. re quadratum semiaxis bA una cum quadrato segmenti db Lib. VI. s. 3 . ι eum angulus db A trianguli db Λ sit rectus si . . Ergo quadratum rectae dA erit itidem aequale quadrato semiaxis Db SIn. Ast. 1. 262. ι ae proinde rectae Db, d A erunt inter se aequales c Libas. I 87. . Itaque recta linea dec. quod erat ostendendum,
Foci ellipseos aequaliter dissant ab illius centro. I i. Puncta d, a sint foci ellipseos ABCD. Dico, eorum distantias bd, ba a centro b ipsius elliptis esse aequales,
Ex ipss socis d, a ducantur ad extremum punctum A minoris axis C Arectae dA, a A. Igitur quoniam tam recta dΑ , quam recta a A ad aequat semiaxim majorem Db is. i o. , ipsae dΛ,aΑ erunt inter se aequales SIn.s Xi V Alr ρ. 1sq. , ac proinde triangulum dΑa erit iso sceles Lib. V. s. 23. . Recta autem Ab ad perpendiculum insistit basi da ig. 3r. . Ergo recta da di. visa erit bifariam in puncto b c Lib. V. s. 8.), seu erit bduraba. Foci itaque ellipseos &e. quod erat ostendendum, COROLLARIUM Foei ellipseos aqualiter distant a suo vertice. x x. Nimirum distantia d D soci d a vertice D erit aequalis distantiae an ei a a vertice B. Quandoquidem eum se bdetraba g. I I. ,& bDrusi B L 28. , erit etiam bD- bda bB- ba Din. u. s. 166. , sive Dara aB.
Semiordinata ad mallorem axim ellipseos ducta ex eius Deo adaequat semipara metrum ipsius axis. I s. Recta AC sit parameter majoris axis AB ellipseos ADB , ex eujus soco a ducatur semiordinata ab ad ipsum axim ΑΒ. Dico, semiordinatam ab aequare dimidiam partem parametri ΛC.
Fit. 11. Quoniam rectangulum ex Α a in a B est ad quadratum ax semiordinatae T. xlv. ab , ut axis AB ad parametrum AC s. 7s.), rectangulum ex Aa in aB erit ad
54쪽
ag qnadratum ax semiordinatae ab , ut rectangulum ABNC sgurae ipsius axis AB ad quadratum A ed C ipsius para metri AC Lib. I. s. 78. 3 eum reis ctangulum ABNC sit ad quadratum A ed C, ut AR ad A e, sive ut AB ad
AC, nempe ut eorum bases Lib. IX. g. 9s.)- Ergo alteruando , quadratumax semiordinatae ab erit ad quadratum Aed C parametri AC, ut est rectan. gulum ex Aa in aB ad rectangulum ABNC Lib. I. g. v). Rectangulum autem ex Α a in a B est in ratione subquadrupla ad rectangulum ABNC Ergo etiam quadratum ax semiordinatae ab erit in ratione sub quadrupla ad quadratum Aed C parametri AC a ac proinde recta ab erit In ratione subdupla ad parametrum AC, nempe erit 2ab: AC Lib.IXs. I S. . Itaque semiordinata &c. quod erat ostendendum . L E M M A ULri νecta linea secta sit uteanque, duo rectangula eootenta sub tota, oe partibus simul sumta erunt ἀqualia quadrato totius. rη . Recta AB secta sit uteunque in puncto a. Dico, rectangulum ex AB, in Aa simul eum rectangulo ex AB in aB aequare quadratum totius AB.
Ponatur ΑΒ παm, de Αa n, adeoque a B zm - n. Igitur quadratum totius AB erit m mm, rectangulam Λa mn, S rectangulum a B AB FIα it.
Aa AB, aB A AB simul sumta erunt aequalia quadrato totius AB.
Descripto circi rectam AB semicirculo ΑbB, erecta ponatur ex puncto a perpendicularis ab , iunctisque punctis b, Α recta bΑ, & punctis b, B rectabB, constitutum habebitur triangulum rectangulum Bb Α, in quo latus b Rerit media proportionalis inter totam ΑΒ, & partem Aa, & latus bB mmdia itidem proportionalis inter totam ΑΒ, de partem aB t Lib. X. s.7 . . Igi. tur rectangulum ex AB in Aa erit aequale quadrato rectae Ab, Ac rectangulum ex AB in a B quadrato rectae bB LIII. . Duo autem quadrata rectarum Ab, b B aequalia sunt quadrato totius ΑΒ Lib. m. s. 3 7. . Ergo etiam duo rectangula AB M Aa,. AB M ali erunt eidem quadrato totius AB aequa Ita SIn. Ast. s. 262. . Itaque si recta &e. quod erat ostendendum.
55쪽
In ellivi distantia Deorum est media propoνtionalis inter latus transversum, ejusPe. differentiam a latere recto. x s. Sint a , m et ellipseos ADB, latus transversum recta AB, paramea j ' v ter & differentia lateris transversi AB a recto BE si recta EF. Dico, rectam am utroque foco terminatam , esse mediam proportionalem inter latus ΑΒ, & differentiam EE.
Quoniam rectae aG,mG sint aequales s. I IJ, seu recta am est dupla rectae Gm, quadratum rectae a m erit quadruplum quadrati rectae Gm claLIXAν αλRectangulum autem ex Iatere ΑΒ in para metrum BE est itidem quadruplum rωctanguli ex A m in mB g. I 38. . Ergo quadratum rectaeam una cum rectangulo rectae AB in rectam BE erit itidem in ratione quadrupla ad quadratum rectae Gm una cum rectangulo rectae Am in rectam mB Lib.I. g. I q. . Rectangulum autem ex Α m in m B una cum quadrato rectae Gm est aequale quadrato rectae G B g. 69. l. Igitur quadratum rectae a m una cum rectangulo rectae ΑΒ in BE erit similiter in ratione quadrupla ad quadratum rectae G B Lib. I. 12. 3 cumque ejusdem quadrati semiaxis , sive rectae GB quadruplum quoque sit quadratum.totius- axis ΑΒ Lib. IX. g. I 2. , quadratum rectae amuna cum rectangulo rectae AB in ΒΕ erit aequale quadrato totius rectae ΑΒ Lib. I. s. Io3. . Constat porro quadratum rectae ΑΒ esse aequa e duobus rectangulis ex AB in BE, & ex ΑΒ in EF 1. Iqq. . Ergo quadratum rectaeam una cum rectangulo ex AB in BE erit aequale duobus rectangulis ARABE, AB EF SIn. in . 1 cI.. . Quamobrem , demto utrique membro huius aequationis communi rectangulo AB BE, quadratum rectae am, quod in primo membro relinquitur, aequabit rectangulum .AB HEF, quod supe est in secundo San. Mig. s. 166. , & ideo recta a m erit media proportio natis inter rectas AB, EF sLib.I. s. I I 8. . Itaquo in ellipsi leo, quoὸ erat
Si ad punctum G , tu quo ellipsis BCD a recta Ex latera Der tangitur, ducatur ex illius foco a recta as 3 tum ipse aG agatur ex centro h recta parallela b F oecurrens tangenti ΕΚ in F, recta b F erit aqualis semiaxi majori bD. I 6. Ex altero eo d ad idem punctum G dueatur recta dG, ad punctum F recta d F, atque ad tangentem ΕΚ recta dΚ ipsis bF, ata parallela.
56쪽
Quoniam igitur tam angulus ΚGd s. quam angulus GKd Lib. Iris. Iq. adaequat angulum LGa, duci illi anguli erunt inter se aequales t γα Alg. g. 2 sq. γ, adeoque etiam latera Kd, dG trianguli NdG erunt aequalia Fig. ro Lib. V. s. seu triangulum MG erit iso sceles. In triangulo autem G daT. XlV- habetur de . eGmen. ba Lι b. IX. y ss. , sicuti etiam KF. FG de .eG in triangulo GKd, Ee ideo ΚF. FG adb. ba Lib. I. s. 8. . Ergo, cum sit db ba g. ιοι. , erit quoque KF FG Lib. I. q. s. ι rectaque dF in tri. angulo ΚdG ad perpendiculum basi ΚG incumbet c Lib. V. g. 89. ι & ideo uterque angulus ΚFd, GFd erit rectus. Hine, ductis tangentibus verticalibus D H, BE, nec non ex puncto D ad punctum P recta DF, ex puncto d ad punctum H recta dH , ex puncto B ad punctum F rectae BF , & ex puncto E ad punctum d recta Ll, duo anguli oppositi H Dd, HFd in quadrilater UDdF erunt recti, sicuti etiam duo dFE,dBE in quadrilatero FdBE. Quamobrem et rculus descriptus eirca rectam lineam H d transbit per quatuor puncta H, D, d, F, & circulus descriptus eirca rectam d E transibit itidem Per quatuor puncta F, d, B, E Lι b. VII. g. 81. . Igitur duo anguli DHdωDFd, utpobe in eadem cireuli portione consistentes , erunt inter se aequales cs. 73- , quemadmodum eandem ob eausam etiam anguli BFE, ME. Ostensum est autem g. I 36. angulos DHd, BdE esse aequales. Ergo duo quoque anguli DF d, BFE erunt inter se aequales Syn. v. g. 219.) 3 ac proi de, si utrique adjiciatur angulus dFB, angulus D FB aequabit angulum GE g. 26σχ. Demonstravimus autem, angulum dFB esse rectum. Igitur etiam angulus DFB erit rectus; & ideo si eentro b, intervallo bD describatur circulus D MB, is transibit per punctum F s Lib. VII. 1. 78. γ, rectaque propterea b F aequabit rectam . seu semiaxim maiorem bD ss. Io. . Si ergo ad pumctum de e. quod erat ostendendum.
Si ex Deis ad quovis punctum carvae elliptica inclinentardua recta ιιnea , earum summa aquabit maiorem
axim ipsius Alipsis. rή . Ex socis d , a ellipseos ABCD ad quovis punctum G eurvae eli
Prieae ducantur rectae a G, aG. Dico, rectas dG, aG sun ut sumtas aequa re axim majorem DB.
Etenim, ductis rectis bs, dX parallelis inclinatae aG , quae occurran rea genti laterati ΚΕ , de simul iunctis nanctis d , F recta dF , cum in triangulo dGi, sit Ga. ebet da . cb Lib. IX. s. s9. , erit Gametabe, sicuti est da-iab β. I 6 l .
57쪽
Sectio e liηdri neque eirculo baseos parallela, neque subcontraria, cujus axis cum diametro baseos olindri extra basim ipsum concurrat, est ellipsis conica ellipse omnino similis.1 9. Esto Fab Κ sectici e ylindri ABDC ei reulci baseos BD minime paralis tela , neque subcontrarie posita, cujus axis FG, nempe communis sectio pla. ni ABCD per axim,& plani Fab Κ sectionem ipsam determinantis, eoneum, 'Ri 'rat extra cylindrum eum diametro BD baseos ejusdem in puncto E. Diea, sectionem Fab Κ esse ellipsim ejusdem omnino indolis cum ea, quae ex con
Ut sectio Fab Κ st ellipsis omnino similis ellipsi eonteae, duo ostendenda sunt, videlicet primor quadrata semiordinatarum ad axim in sectione ipsa FabK esse directe inter se, ut rectangula, quae sub correspondentibus portionibus ipsius axis continentur. Secundo e illa quadrata non esse hisce
Ad primum ergo quod attinet, in axe FG sumantur duo quaecunque puncta d, e, per quae agantur rectae LM , ΗΚ in plano per cylindri axim tra. ducto, quae sint parallelae tum inter se, tum diametro DB circuli baseos Bm D. Ex iisdem itidem punctis d, e ducantur rectae da, eb parallelae rectae mn ad rectos angulos diametrum BD ei reuli baseos Bm D secanti 3 ac proinde etiam inter se parallelae Lib. IV. g. I . , atque rectis LM , ΗΚ pe pendiculariter insistentes ob eandem scilicet inelinationem ad planum ABDCtum plani, in quo sint rectae ad , mn, tum plani, in quo sint rectae be, mu
58쪽
si ergo ex lindius ABDC sectus concipiatur duobus planis, in quorum altero rectae LM , da, in altero rectae HK, be positae concipiantur, sectiones LaM, Hlix erunt circuli Lib. IX. g. 8 I. quorum diametris LM, HK rectae ad , be erunt perpendiculares. Igitur quadratum rectae ad erit aequale rectangulo ex Ld in dM, & quadratum rectar be rectangulo ex He in e t Lib. IX. s. II 3. 3 atque adeo quadratum rectae ad erit ad rectangulum Ld dM, ut quadratum rectae be ad rectangulum He Me Κι de alιernando, quadratum rectae ad erit ad quadratum rectae be, ut rectangulum Ld H d. Iad rectangulum He e K Lib. I. s. 12 1. . Rectangulum autem Ld dM est ad rectangulum He e K in ratione composita ex ratione rectae Ld ad re. ctam He, & ex ratione rectae dM ad rectam e Κ, basiun se ilicet, de altitudinum Lib. IX. g. Io . ι adeoque in ratione composita ex ratione rectae
F d ad rectam Fe, & ex ratione rectae dG ad rectam e Gι eum sit F d. Fe in L d. He,& d G. e G d M. e K Lιb. IX. g. 39. 3, propter paralle lismum scilicet rectarum L d, He in triangulo HFe, & rectatum d M, e Kan triangulo dGM. Ergo etiam quadratum rectae ad erit ad quadratum rectaebe in ratione composita ex ratione rectae Fd ad rectam Fe, tex ratione re.ctae dG ad rectam e G. Manifestum porro est, rectangulum Fd d G esse ad rectangulum Fe e G in ratione composita ex ratione rectae F d ad rectam Fe,& ex ratione rectae dG ad rectam e G, videlicet basium, & altitudinum g. ios . . Igitur, ut rect ngulum Fd d G ad rectangulum Fe e G, ita est quadratum rectae ad ad quadratum rectae be Lib. I. s. 76. . Quadrata itaque semiordinatarum ad axim in sectione efflindri ea FabG sunt directe inter se, ut rectangula sub correspondentibus portionibus ipsius axis comprehensa. Quod vero spectat ad alierum, perspicuum id siet, si ollendatur, sectio. rem FabG non esse circulum. Sumto igitur in axe FG puncto medio x,
Ee per illud ducta recta NS in plano parallelogrammi ABDC, nempe sectio. nis cylindri per axim, parallela lateribus AB, CD, agatur in eodem plano per idem punctum x recta PT parallela lateribus AC, BD. Certum est, rectam PT divisam esse bifariam in x3 eum si Pae AN, dc xT - NC Lib. VI. g. 23. . Certum quoque est, sectionem peractam plano, in quo sint recta PT, & recta x et ducta in plano sectionis Fab G, parallela tectae mn,
esse circulum. Igitur rectae Pa , xx. , utpote radii ejusdem circuli, erunt aequales Lib. VII. s. Io. . Recta autem Fat est major recta Padi iam. V. g. 1 3. 3 eum si opposita maiori angulo FPat in triangulo FPa ι Ze eadem latione etiam recta a G excedit rectam XT ipsi Px aequalem. Ergo punctum X sumtum in medio diametri FG figurae curvilineae F abG non est hujusmodi, ut omnes rectae, quae ex illo cadunt in curvam Fab G, sint inter se aequales. Igitur sectio FabG non est circulus ι atque adeo &e. Itaque sectio cylin. 4ri dec. quod erat ostendendum.
Iso. Quaecunque ergo de conica ellipsi hactenus demonstravimus, de ellipsi cylindrica itidem sunt intelligenda. C Α
59쪽
De Parabola. DEFINITIO I., as r. DArabola dicitur illa eoni sectio, qua fit plano parallelo lateri ipsius
T. Xli I. L coni, seu ekjus axis a coni latere aequaliter ubique distat. Sie sectio DEF coni recti BAC parabola nuncupatur. Planum quippe GD, quo illa perscitur, aequaliter ubique distat a latere ΑC coni, ejuslue propterea axis LL est eidem lateri parallelus. COROLLARIUM. 12. Hinc eurva parabolica in se non redit, quemadmodum elliptica . At ideo unus tantum es parabola axis, ct unus vertex. THEO REMA I. In parabola quadrata semiordinatarum ad axim sunt irecte inter se, ut correspondentes abscissa. 13 3. In cono recto BAC spectetur sectio parabolica H- , cujus axis P g. r. sit recta DE, de semiordinatae ad illum rectae ab , Te . Dico, quadratum XV semiordinatae ab esse ad quadratum semiordinatae et e , ut est Ascissa D, ad abscissam De.
Quoniam tam recta ab , quam recta te est parallela rectae HE in plano circuli baseos BHC existenti s . I . , si per puncta b, e ducantur rectae FG, MN, quae sint in plano trianguli per axim, & diametro, seu basi BC ipsius trianguli sint parallelae, planum, in quo sint rectae ab , FG, erit parallelum circulo baseos BHC, sicuti etiam planum, in quo sint rectae Re, MN. Igitur sectiones FaG, MχN erunt circuli Lib. XL s. 9 I. , quorum diametri erunt rectae FG, MN , illisque ad perpendiculum insstent rectae ab , te, scuti recta HE est diametro BC perpendicularis 3 cum nempe eadem ubique sit inelinatio plani sectionis HDK ad planum BAC trianguli per axim . Igitur quadratum semiordinatae ab aequabit rectangulum ex F bin bG, & quadratum semiordinatae te rectangulum ex Me in eN Lib. IX. s. II 3. β atque propterea quadratum semiordinatae ab erit ad rectangulum ex D in bG , ut est quadratum semiordinatae ete ad rectangulum ex Mein eN, α alternando, quadratum semiordinatae ab erit ad quadratum semio
60쪽
Ordinatae te, ut rectangulum ex Fb in bG ad rectangulum ex Me in e N Lib I. s. ii I . Rectangulum autem ex Fb in bG est ad rectangulum ex Me in e N, ut est recta F b ad rectam Me, nempe ut corum bases c Lib. IX. β. 91. 3 eum rectae bG, e N, quae haberi possunt veluti eorum altitudines, sivat inter se aequales Lib. VI. g. 2 o. , utpote latera opposita parallelogrammi Gbe N. Ergo etiam quadratum semiordinatae ab erit ad quadra, tum semiordinatae te, ut est recta Fb ad rectam Me Lib. L g. 7 . . Pers picuum porro est, rectam Db in triangulo MDe esse ad rectam ne, ut est recta Fb ad recta in Me Lib. IX I sq. , propterea quod rectae Fb , Me sint 1n ipso triangulo inter se parallelae. Igitur quadratum semiordinatae ab erit ad quadratum semiordinatae xe , ut est abscissa Db ad abscissam De ULI. 9. 78. . Itaque in parabola &e. quod erat ostendendum. COROLLARIuM I. Is . Est igitur parabola figura plant earva linea in se minime redeunte eomprehensa, in qua semiordinatarum ad axιm quadrata sunt directe later se, ut eorrespondentes abscissae.
Semiordinata ad axim in parabola sunt in ratione subduplieata abscissarum; abfes. vera in ratιone semiordinatarum duplicata . Is s. Videlicet in parabola BAC semiordinata ab est ad semiordinatam de in ratione Dbduplιeata abscissae A a ad abscissam Ad. Abscissa vero A a Fin et . est ad abscissam Ad in ratione duplieata semiordinatae ab ad se mi Ordina- T. xv. tam de . Cum enim semiordinatae ab , de sint in ratione subduplιeata suo. rum quadratorum Lib. IX. s. I 3. , 8c ratio abscissarum Aa, Ad non sit diversa a ratione horum quadratorum is . Is 3. , se mi Ordinatae ab , de erunt quoque in ratione subduplιeata ab se ista Aa ad abscissam Ad. Vicissim vero abscissae Aa, Ad erunt in ratione duplisata semiordinatarum ab , de 3 cum sint inter se, ut quadrata ipsarum semiordinatarum ab , de .
In paraboIa semiordinata ad axim eo sunt mHores,
I sis. Sie in parabola BAC semiordinata de maior est semiordinata ab, quae est proximior verti et A. Etenim, cum quaὸ ratum semiordinatae aesit ad quadratum semiordinatae ab , ut abscissa Ad ad abscissam Ra , sicuti abscissa Ad excedit abscissam Aa, ita quadratum semiordinatae de superabit quadratum semiordinatae ab Lib. L s. 118.ὶ ι ae proinde recta quoque de