장음표시 사용
541쪽
j v Demonstratio. Quoniam BE, GF lineae aequales
sunt, triangula BCE, GDRitem BAE, GAF, ac propterea ABC, AGD triangula inter se aequalia fiunt, sed quoque a maxima sunt illoru quae segmentis ABC, A GD, inscribi pocianηφgmenta igitur ABC, b AGD aequalia sunt. Quod erat demonstrauia
onatur L Κ axis parabolae A BC, aequalis diametro BE, & ordinatim per K linea HI. Dico illam rectae AD aequalem existere.
Ia aequalis parabolet AB C id est φ HL Uigitur & triangula maxima AGD, d Hae Isunt aequaia, sunt autem in hypothesi iulorum altitudines LM FG aequales, igittit & bases AD, HI inter se aequales sunt. Quod fuit demonstrandum.
SEcent ABC parabolam lineae quaevis A B, B C demissam ex B diametro B D, ponantur ad illamex Α & C normales AD, C E. Dido segmentum AB esse ad segmentum BC in triplicata ratione ianeae AD ad C E. i Demonstratio.
Nuento axe F G applicentur ad illum ordinatim lineae H I, K L: N HI qui-- dem sit aequalis AD; ΚL veto rectaex CE: erit igitur segmento A B e aequale segmentum H FΙ, Se segmeoto BC in quale segmentum KFL. sed H FI s gmentum ad segmentum ΚFL, i tripli. Catam habet lationem lineae HI ad lineam KLi igitur & segmentum ΑΒ ad segnientum BC, triplicatam habet rationem lineς HI d R L, lineam, id est ex hypothesi AD ad E C. Quod erat demonstrandum. Corollarium. T Inc sequitur iuncta AC, qu et occurrat BD in M, A B segmentum ad segmenatatum BC triplicaram habere rationem A M ad MC. patet, cum sit ut AD ad CE, sic AM ad MC. ergo,&C.
542쪽
Cum enim segmenta ABC, FGH ponantur aequalia, triangula quoque illoruma maxima inter se aequalia sunt, unde ut BE ad G Κ, fieb FH ad AC. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCLXV. PArabolae ABC segmento ABC, triangula duo inscripta sint, de
Α BC quidem illo tum maximum, quae segmento inscribi possum, alterum vero A E C quodcunque. Dico segmenta AE,EC simul Hampta, maiora esse segmentis ΑΒ, BC simul sumptis. Demonstratio.
um triangulum AEC minus sit triangulo ABC, - residua ΑREC segmenta, maiora lunt residuis segmentis ΑΗ, BC ; eodem etenim excessu superat triangulum ADC triangulum AEC, quo segmenta super lineis AE,EC excedui segmenta super ΑΒ,B C.
PROPOSlTIO CCLXVI. PArabolam ABC subtendat recta AC, qua diui in quotvis partes aequales, in punctis D, Et erigantur diametri D B, E F, iungantu Aue AB, BF, FG. Dico segmenta AB, h KF C aequalia esse. non'natio.
Ponantur Ap, BC & AF quidem e. eurrat BD in G: BC vero rectae FE in H: ut AD ad DE , si e AG ad GF, sed AD, DE per hypothesim aequales sint; igitur Ze AG, GF quoque inter se
aequantur. quare ABC triangulum maximum est eorum quς A BF segmen--to inseribi possunt, & AB, B F segmenta - i sunt aequalia. similiter aequalia ostenduntur segmenta B F, F C : segmenta igitur-13a, A B, B F, F c, aesualia sunt. -M.
543쪽
PROPOSITIO CCLXVII. PArabolam ABC cuius diameter A D, contingat in A linea A Ei qua
diuisa in partes aequales, punctis E, F, G , demittantur diametri EC, FH, G B, occurrentes parabolae in B, H, Ci iunganturque A B, B H, H csDico segmenta A B, B H, H C esse inter se aequalia. Denisnμαια
Ducantur ΑΗ, B Ci&ΑΗ quidem occur rae G B linRe productae in I; B C vero ipsi F H in K. QiIoniam JG , FH aequidistant BL A G, GF ponuntur aequales, rectae AI,IHinter se aequales sunt quare AH ordinatim posita est ad diametrum IB , ω Α Β Η triangulum maximum . est eorum quae segmento ABH inseribi possunt: adeoque de segmenta, A B, B H aequalia sunt. eodem modo ostenduntur segmenta B H, H C inter se aequari segmenta igitur B H, H C aequalia sunt. Quod erat demonstrandum.
corolgarium. Eopositio quoque vera est si ex Α ducta. e. cans AN diuidatur in partei partes aequales Punctis D, M: ex quibus in parabolam rectae emittantur L B,ΜΗ, NC parallelet diam tro A D. demonstratio patet ex praecedenti.
ABC parabolet axem BD ordinatim posita recta EF ι actas D EF: dedit
per B contingente B H, sumatur in illa, portio HI aequalis BF: de exH α I, diametri demittantur H A, I Κ, occurrentes parabolae iunganturque ΑΚ. , Dico segmentum Α Κ, aequari segmeato E B F. Demon ratio.
ter se inuales suntlsea ratio sesmenti AK ad segmentum EBF composita esta ex ratione M N ad II G, N: AL,sEFdes mentum igitur AK aequale est segmento EB F. mod erat demonstrandum.
544쪽
Α diametro AD, ponantur ad illam ex B de C normales BE, C o dein A B, A C lineis bifariam diuisis in F & G, erigantur diametri F H, G I. Dico legmentum A H C ad segmentum AI B,rationem habere compositam, ex ratione F H ad I G, de C D ad B E. Demonstratio. Diuiis EB, C D lineis bifariam in L & N, erigantur normales LM NMt scLΚ quidem aequalis I Gi NM uero aequaIis HF: & per Ε, Κ, B, item C, Μ, D puncta,parabolae describantur, quarum axes sint L Κ, MN: iunganmtque ΕΚΗ, C MD. Quoniam L K aequalis est IG,segmenta ER B, AIB aequalia sunt reade dc ..cauta aeci lis sunt segmenta AH C, D MC ; segmentum igitur ΑΗ C est ad sementum AIB ut D MC segmentum, est ad segmentum E B. sed DΜC gmentum est ad segmentum ΕΚΗ, . ut D MC trianguluM ad mangulum E 'b seo. - , itur& AH C segmentum , ad segmentum AIB. pit ut D MC triangulum ad triangulum E ΚΒ, &m uerten ut triangulum D Me ad triangulum E B, MAH C segmentum est ad segmentum ΑΙΒi sed ratio trianguli DΜC ad trianguolum ΕΚΒ est composita ei ratione N Μ, ad L Κ, id est FH ad Io, M ex DC ad EB, ratio igitur segmenti AHC ad segmentum AIB, composita est ex ratio- . ne H F ad I G, & DC ad EB. Quod eratdemonstrandum.
Auserant AB, BC lineae segmenta quaecianque, demissam ex Adiametro BD, ponatur AC occurrens BD lineae in D: dein AB, BC diuisis bifariam in F & H, ponantiit per F de H. diametri E F, G H Ooo et Pico Di iliaco by Corale
545쪽
Donatur recta AC, occurrens FB productae in C. 1 quoniam EC contingens est , & C D ordinatim applicata ad diametrum AD, recta L A, AD, adeo. que de E F, F C aequales sunt: est autem vi E F ad sto. sic AG ad G C, seum FG, ED diametri b aequidistent: linea igitur AC in G bissecta est, adeoque IH ς contingenti parallela. unde FG, F A lineat in B& H, bifariam quoque sunt diuisae, & A F C triangulum d quadruplum trianguli FHI : est autem FAE, aequale triangulo FAC, quia FE,CE lineae aequales sunt, igitur Et FAE, quadruplum est triansuli FHLQuod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCXXXV. Sit ad AB C parabolae diametrum B D, o
diu of dinatim applicata A C,positi im per A&C, contingentibus quae diametro B D occurrant in E, ducatur per B, contingens, quae A E, C E lineas secet in F de G, diametri deinde ponantur F H,G li oc per H & I, contingentes L Κ, MN:
atque idem sine termino continuetur. Dico figuram mixtilineam ΑEC, B A, aequalem esse toti triangulo
SI enim non sit aequalis; m tot igitur vel minor ut sienecesse est. sit primum figura mixtiIinea maior triangulorum serie, excessis quanditatilo triangulum FEG maiu3e est dimidio figurae concauς A E C B A: similiter triangula L FR,MGN maiora sint si,midiis mixtilineorum quibus inscribuntur, de id semper fici igitur per ablationem illam
mixti lineo AEC B A qua titas data minor, ergo Sc minor quantitate O, ergo O excessus non est, quo mixti lineum AEC BA excedit triangulorum seriem: igitur nec illud serie tota maius est. similiter ostendetur AEC BA figuram minorem quoque non esse tota triangulorum serie. aequalis igitur ut sit necesse est.
2... PROPOSITIO CCXXXVI. EAdem manente figura; i
Dico parabolam concauam ΑΕ CB ad triangulum FEG, eam proportionem habere quam quatuor ad tria.
546쪽
IN scribantur tam concauς quam con uexae parabolae , trianguis maxima
AEB, FDG. quoniam igitur ΑΕΒ tua la est ad tri ngulum AE B ut quatuor ad triar eandem autem habeat proportionem figura concauah A E B D, ad eriangulum P D G,mit ut triangulum AEB ad parabolam conuexam, sic FDG triangulum ad figuram mixti lineam A E B D r 8t permutando ut AE B triangulum ad triangulum FD G, sic parabolρ A E B ad figuram coneauam di sed ΑΕΒ trianguluma duplum est trianguli FDG;igi r 3c parabola ΑΕΗ dupla est figurae AEB D. in Mi Quod erat demonstiandum.
. PROPOSITIO CC XX XVIII. rem aliter demonstrare.
1N tisantur legmentis refluis tam parabolae conuexae, quam concauae, triangula maxima ΑΙΕ. ΕΚΒ,NFo,PGQ, Quoniam triangulum ΑΕΒ , e ablatum ex parabola duplam est trianguli PD G, ablati ex figura A. D B E Α: de iterum triangula AIT, EX A ablata ex residuo parabolet dupla triangulorum N po , PGQ, ablatorum ex residuo figura: AD BEA, insiser ostensum sit ablationem illam in proportione dupla, siue eermino in utraque figura posse continuari, siue totam triangulorum maximorum seriem parabolς ΑΕΒ inlctiptotum, illi aequari; de figuram mixti lineam AER DA aequari toti g triangulorum maximorum seriei figurae nilli inscriptorum , parabola AEB, h dupla est figurae mixtilineae ADE EA. Quod a Merat demonstranduin. I.
547쪽
Ato segmento parabolico triangulum aequale exhibere. PArabolae terminatae eam inter se sortiuntur ratio- ου nςm quam triangula maxima
illis inscripta. Demonstratio.
lne ABC, EFG parabolis teris minatis triangula maxima inscri- ν pta ABC, EFG. dico parabolas - ιllam interse habere rationem qua
I triangula maxima. Triangulum Z l in s ABC est ad ABC , parabolam. verria ad quatuor : triangula quo. ui .e E F G est ad parabolam EFG,
Ι ut tria ad quatuor; igitur ut ABC triangulum ad parabolam AB C. .sic EFGtriangulum ad parabolam E FG, 8e permutando ut A B C triangulum ad triangulum EFG, sic ABC parabola ad parabolam EFG. Quod erat demonstrandum. corollarium. HIne si duae parabolae habeant eandem vel aequalem subtensem, erunt illae inter se ut altitudines 1 le si altitudines fuerint aequales,erunt interse ut bases.
548쪽
Dico A B C parabolam ad D B E parabolam esse in tripli eata ratione A C ad D E. Demonstratio.
ponatur diameter BF ad quam ordinatim positae sint AC , DE. Parabola ABC ad DBA parabolam eam habet rationem , quam, triangulum sub A C B F ad triangulum sub DF,&BG: sed ratio trianguli sub AC M BR ad triangulis sub DE & BG, est triplicata rationis AC ad D E, quia composita ex ratione in ,A DF, ω BF ad BG, hoc est ex dupli . . M , . . cata ratione A C ad D Ei igitur ABC parabola est ad parabolam DBll in tripli. cata ratione AC ad DK Quod fuit demonstrandum.
PArabolam ABC contingat in B linea E B, conueniens eum diametto quacunque A E in Ε, iunganturin A B. . Dico figuram concauam BF A E B, duplam esse conuexae BF AGH. DemonstratIo.
Ponatur ex B, ordinatim AC ad diametrum A D.Quoniam BE est c6tingens, ersit AD, AE lineae aequales, adeo pie ABD . AB Etriangula sequalia: est autem Λ BD triangulum triplum e segmenti BFAGB , igitur Ectriangulu A B E triplum est segmenti B F AG B. residua igitur figura concaua BF AEB dupla est conuexae BFAGB. Quod erae demon
PROPOSITIO CCXLili Sint ad Ad C parabolae diametrum AD, ordinatim possiae DC, O Ar
iunctisq; A B. AC ponatur per A aequi distans ipsi D C, occurrens erecti, εχ Blo C, diametris iR F β' , 'u c - Anci αδ Dico esse ut ABF triangulum ad triangulum ACE siue ABGACD triangulum, sie A HA F A figuli concaua ad figuram Λ H CEA. Demonstratio.
UT ABG triangulum ad itiangulum A CD, sic
A H B segmentum d ad segmentum A B C, leo ut AH B ad ABC segmentum, sie AH BF u. ta ad figuram ABC E,eum e A H BF duplum sit sedimenti Α H B, M A B CE duplum ABC; igitur ut triangulum ABG ad AC D triangulum . uc AH BF figura ad figuram AB CE. Quod erat oe-
549쪽
ς corollarium. EAdem posita figura sequitur esse ut CF parallelogrammum ad parallelogrammum DE, nc AGB parabolam ad parabolam ADC: item convexum AH BF ad convexum Α Β C E.
PArabolam ABC cuius diameter A D secent utcunque lineae A B, A C: ducanturque ordinatim BE, CD. Dico spatium parabolicum E B C D, quadruplum esse spatij CABC, i lineis A B, A C & parabolica B C contenti. ADemonseratis.
voniam parabola DABC quadrona est i segmenti ABC c&EΑΒ parabola quadrupla semeti Α B,parabola DABC est ad segmentum ABC ut ΕΑΒ parabola ad segmentum ΑΒ:igitur cum paraboIa D ABC ad ABC , totum ad totum sevi E AB ablatum ad ablatum AB, erit reliquum EB CD, ad reliquum AC B A. vi DABC totum ad totum ΑΒ C. quam EB CD figura, quadrupla est figurae lineis AC, AB M parabolica BC contentae. mod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCXLV. Comingat ABC parabolam linea quaecunque A D conueniens cum diametris quibusvis DC, FE in D & E. iunganturque AF, A C. Dico concauum ED CGF duplum esse partia Α F G C, lineis A F, Α C co
Concauum ABC DA b duplum est parabola: ABC: & concauum ABF E A duplum est segmenti ΑΒ F; igitur residuum ED CGF duplum est residus AF GCA. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCXLV I. PArabolam ABC subtendat linea AC, qua diuisa in D & Ε, Η
Α D, A E, A C continue proportionales sint, erigantur diametri D B, E I,CF. & per B & l,puncta ex Α reetie ponantur A G, AF secantes C Fdiametrum in F & G. Dico EI GC ad spatium quadrilaterum B l triplicatam habere rationem Α C ad A E. Demonstratio.
Quoniam AD, AE, AC ponuntur continue proportionales, ut CA ad EA. sie e CE ad ED, sed vi CE ad ED, sic C G est ad GFi igitur ut C A ad EA,r sic CG-GF vnde triangulum C AG ad G AF triangulum , est vi CE ad Ε D, id est ut C A ad E Α, id est F A ad H A, id est FG ad HIi est autem G AF
550쪽
triangulum ad triangulu HA I in duplicata ratione F G ad HI, igitur cum ratio trianguli C A Gad H AI componatur ex ratione triangulu CA Gad G AF,3c ex G AsadH AI, patet C AG trian gulum esse ad triangulum H AI in triplicata ram ti ne FG ad HI : quia vero ratio quadrilare ei EG ad RI quadrilaterum , componitur ex rati uvis EG ad G Η quadrilatervin , id est ex ratione trianguli C AG ad triangulum GA F, de eas ratione GH ad I B, quadrilaterum, sidest ex ratione trianguli G AF ad B AI triangulum, eum FA, H A, B A proportionales sint)erit RGquadrilaterum,stquadrilaterum B ut CA G triangulum agitiangulum HAI: igitur&EG qua- dilutenim ad Bi quadrilaterum rationem habet triplicatam Α C ad AE. Quod erat demonstra orti. - ii.
ESto ABC parabolae diameter A D. positaque ad illam ordinatim
CD, .describatur per A Ze C , parabola AEC, quam in A continat Α D, ponamurque ordinatim quae uis FB, H G secantes A E C para-olam in E & I. r l ' O . t Dico figuram concauam A FE Α, ad figuram concauam A HI A, duplicatam nabere rationem parabolae B A F ad parabolam G A H. Demonstratio.
Ungantur AE, AI. Figura mixtilinea AFEA
AE ad hguram AHI A eam habet rationem quam AEF triangulum ad triangulum AI H. ratio autem trianguli Α EF ad triangulum ΑΙΗ composita est ex ratione AF ad ΑΗ , hoc est duplicata rationis FB ad HG, & ex ratione F E ad I H, hoe est duplicita rationis A F ad A H, id est quadruplicata rationis FB ad HG i igitur AFEA figura ad figuram AHIA sextuplicatam habet rationem Iineae FB ad HG. sed . B AF b parabola ad G ΑΗ parabolam eriplicatam habet rationem FB lineae adia=' ' lineam H G: igitur figura AFEΑ ad figuram AHIA . duplicatam habet rationem parabola: B AF ad parabolam GA H. Quod erat demonstrandum. coriagarium. TTIne patet eoncauum A F E ad concauum ΑΗI, triplicatam habere rationem AIAF ad ΑΗ 1 nam A EF triangulum ad triangulum AIH rationem habet compositam ex Α F ad ΑΗ, de E F ad I Η, id est ex duplicata rationis A FadΑH.
PROPOSITIO CCXLVIII. IIsdem positis sint AH, A F, AD proportionales, iunganturque Ac.