장음표시 사용
153쪽
quanta est linea protracta f. G. quia linea f. h. est aequalis f. s.&b. D. aequa lis L. G. ergo tota linea LG. erit aequalis duabus f. b. l. D. Quod ulterius facile demonstrari potest ex speculis apparentibus aequaliter dist antibus a veris, juxta supradicta similiter ex angulis praedictarum linearum, dicenda inferiuS. Verum quia exalementis Euclidis hoc per se constat, ideo parco calamo, ne longior existens lectori molestiam pariam. Praeterea g. h. c. D. lineae, quae ex objecto in utrumque speculum repercutiuntur, aequales sunt lineae reflexionis protractae g, Κ sicut d quatuor sequentes D. d. l. i. h. aequales protractae . . denique pro ultima reflexione, lineae quinque D. e. m. n. O. p. sunt Omne simul tantae, quanta est tota p. O. quod mirandiam est, quod dicta lineae singulae intra specula vera, etiam partibus intra specula apparentia correspondeant, uti patet ex proposito schemate, ubi D, C. est aequalis , te sic aequalis ae ei. i, in aequalis ei, ai. ωo n. aequalisai au denique , p. aequalis au p. sic de caeteriS.
Quarto inquirendum est, qualiter anguli incidentiar, reflexionis semper aequales esse possint cum linea: ab objecto in specula incidente contra angulum A. procedant, cinde reversae per lineas is angulos in oculum colliment. Pro cujus elucidatione resumatur praedictum schema, ubi oculus I. ad finem speculorum collocatus est; objectum vero D non procul inde dissitum, lineas incidentiae introrsum, versus angulum A. pro moveata indeque redeuntem servatis ubique ad lineas incidentiae, reflexionis angulis aequalibus oculo deferat Nam ad singulas minusculas litt-teras in planis speculorum A. B. C. A. videre est, duas lineas incidentiae,
reflexionis angulos duos conficere, ita ad a. concurrentes duae lineae D. a. a. I. angulos utrinque aequale D. a. A. Q. a. C. constituunt. Similiter ad alia incidentiae puncta b. D. c, h, g d l, i. e m n. Ο, p. I. angulos in cidentis,in reflexionis, ubique aequales esse oportet juxta communem ospeculorum proprietatem.
Uorum demonstratio in ipsis lineis incidentiae, reflexionis protra-ictis, atque cathetis protractis fundatur: nam juxta supra dicta prop. 3.exI. prop. Euclid utrobiquὰ reperiuntur duo triangula aequalia, ex quibus anguli duo incidentiae, reflexionis aequales eruuntur: uti videre est ad speculi A. B. minusculam, i ubi linea incidentiae l. i. & reflexionis i. h. duos angulos constituunt l. i. A. h. i. B. eosque aequales protrahatur enim h. i. usque i q. donec lineari. q. aequalis fiat t. l. ecl. cathetus perpendiculariter in speculi punctum riisque protractus ad parem distantiam incidens, i q. fient per dictas lineas duo triangula aequaliaci r i. in P, u unde duo anguli l. i. A. n. i. A. juxta propositionem 3. Euclidis aequales erunt. Sedi juxta 1 14 ejusdem oppositi anguli ad verticem l. i. A. a. i. B. sunt
etiam aequales, cum recta . . rectam A. B. secet ergo iuxta primum ,
axioma ejusdem , etiam anguli l. i. A. incidentiae a. i. B. reflexionis
aequales erunt, quod demonstrare oporteba .
Haec demonstratio facile a quolibet etiam modic versato in Euclide applicari poterit in caeteris omnibus angulis incidentiae, reflexionis in
154쪽
tra duo specula qualitercunque opposita praesertim in praesenti schemate , unde veritas praedictarum reflexionum multiplicatarum clare constat
ctu facilitate linea incidentiae, o resexionis in fleculis planis qua
litercunque angulariter opposetis sint inveniendae.
π X praedictorum veritate duplicem, facillimum modum inveniendi clineas incidentiae, reflexionis, earumque puncta in planis speculis
deduces primum si videlicet schema caioptricum duorum speculorum ad qualitercunque acutum angulum, quam accuratissime juxta annexumis modum meum delinea tum fuerit, observatis distantijs objecti, oculi, &speculorum, etiam apparentium per reflexionem unci ualiter , uti & linearum reflexionis protractarum, Una cum punctis objectorum apparentium inter specula reflexa quemadmodum in proposito exemplo videre est ubi duo specula ad angulum B. A. C. triginta graduum unci a sunt, facillime ope circini linearum distantiae inter apparentia specula, vera deprehendentur: nam eadem distantia protractae lineae, quae ab apparente objecto procedit, reperitur etiam inter duo specula in verae reflexionis lineis, non tantum de tota linea loquendo, verum etiam de partibus intersectis inter apparentia specula. Pro majori claritate consideretur in adjuncto schemate Objectum, D. tertio loco in . apparens, erit distantia inter duo specula apparentia
Κ. t. aequalis lineae incidentiae primae ab objecto D in C. Item . . aequalis c. h. i. g. aequalis h. g. consequenter tota linea protracta g. . aequa-τ16. lis tribus lineis incidentiae inter duo specula D, c. ,h, h, g. x quo se-XxXVIII quitur lineas incidentiae multiplices inter duo vera specula A. B. in C. coaequari lineae reflexionis protractae ad objectum apparensa M. ab ultimo incidentiae puncto g. speculi A. C. Quod non solum in uno casu vetarum est, sed etiam in omnibus reliquis, etsi decies, vel saepius objectunia reflecteretur inter duo specula.
SΕcundus modus indagandi lineas, iuncta incidentiae, ac reflexionis inter plana duo specula ad angulum quemcunque sejuncta ab invicem, est distantia a puncto anguli duorum speculorum ad singula puncta incidentiae, aut reflexionis, quae aequales semper erunt: nam distantiae excentro schematis A. ad intersectiones per lineam reflexionis protractam g. . inter specula apparentia S. R. realia C, A. m, A. ordine servato ab objecto, tam apparente K. quam vero D uti in schemate proposito patetiunt aequales v. g. si objectum D compareat in tertia reflexione ad K. etiam terna puncta c. h. g ob ternas incidentia lineas inter duo specula A. B. A. C. aequaliter distabunt a centro A. ut puncta per intersectionem lineae Protractae . . . g. aequid istant ab angulo A. Quare indagaturus illa tria puncta l. v. g. mediante circino , collocet unum pedem ad centrum A. altero pede quaerat in speculo apparenter flexo A. R. punctum intersectionis per lineam reflexionis protractam int quod translatum in speculum A. C. incidet in punctum parvum, ubi primum
155쪽
primum objectim incidentis, reflexi punctum notabitur. Deinde distantia in specillo reflexo A: S ab A. usque in . translata in speculi A. B. punctuini dat punctum aequaliter distans pro secunda reflexione. Deniqque linea recta reflexionis ultimae protracta in . secat speculum A. C. ing. pro tertio puncto, reflcxione ultima in oculum I. quae tres incidentiae, reflexionis lineae D c, h, g. in longitudine correspondent lineis intersectis in K. t. v. g. per specula apparenti R. S. juxta prioris corollari modum medietum. Quapropter tres lineae incidentiae inter duo specula A. B. A. C. erunt D c. c, h. i. g. aequales lineae reflexionis protractae g. K. Qui modus indagandi puncta pro lineis incidentiae in reflexionis universialis est , qualitercunque mustiplicentur reflexiones inter duo specula ad angulum connexa, uti in ptoposito schemate videre est. Qia merito summae admirationis ansam praebent in tanta sciliceo radiorum diversitate, punctorumque multiplicitate, ex tam varijs reflexionibus provenienee, tantam symmetriam, Maequalitatem linearum speriri absque minima specierum confusione, etsi multoties in idem reflexionis punctum plures lineae concurrant, quae species diversas, aut easdem multiplicatas, sive in unum oculum, sive diversos transferant. Secundo cum sane magna admiratione contingit, in tanta multiplicitate angulorum duorum, ex lineis incidentiae, reflexionis confectorum ab aequalitate ne hilum abscedere quin imo ad minimam mutationem, vel objecti, vel oculi, vel etiam speculi unius, aut utriusque, etiam e dem momento variari omnia puncta lineas, langulos, etsi infiniti extitissent, aequalitate tamen angulorum incidentiae, reflexionis, caeteris que praedictis proprietatibus ad amussim servatis in cujus naturae abyssis, dum sese intellectus nosi et occupat, eminentem creatoris universi sapientiam , omnia, tangula in mensura punctuali, numero operantis jure
meritissimo ineffabiliter extollit, altissime suspicit, cincomprehensibili, ter admiratur, divinamque bonitatem sine fine laudat, quod omnia, quae fecit optime, ex ijsin nobis tam multa manifestare dignatus sit, ratione complecti.
Datis duobusfle separalleli oppossis resexto ex objectoproposito
multiplex ressitat eaqu/ reciprocata.
Exin imabant nonnulli; si duo specula plana parallele sibi mutuo opoposita fuerint , sequi specierum reflexionem infinitam: quae opinio etsi speculative sibi applausum conciliare putat, experientia tamen, dc
Primo Cum reflexio specierum realis, is physica sit, daretur infi- nitum actu categorematicum ex reflexione enim infinita actuali infini-
156쪽
secundὁ Etiam speculum causans infinitas reflexiones infinitae quantitatis requiretur , ut infinita puncta refiexionis physica comprehendere post O. Tertior e oculus ex ins nita distantia juxta mensuram speeuli reflectentis infinitae potentiae esset ad specierum reflexiones dictas excipiendas: Ex quibus clare constat, infinitam reflexionem, non nisi ad modum dicendi admitti posse.
verum quidem est , terminum certum reflexionum assignari minime posse, ob diversas quidem causas,in rationes nonnunquam plures , paucioresve fieri reflexiones , raro tamen ad decimam quintam reflexionem perveniri:
Primo Quia species ex frequentiore reflexione plurimum debilitantur, praesertim ex apparente remotiori objecto, quia v. g. obiectum decumo loco in reflexione apparens, non potest ita clare repraesentari, ut prina loco, cum reciproce in opposita duo specula decies incidere toties reflecti debeant species , antequam in oculum perferantur siquidem
in singulis reflexionibus aliquid de vivacitate specierum perditur donec
ultimo evanescant omnimode, uti experientia pate .
Secundo 'tiam specula magis tersa - politari aut perfectiora ἰaptiora sunt ex natura sua, clarius,in frequentius species reflectere, quam minus pura, aut magis imperfecta; quia, si haec primas specie obscure reflectere soleant, quanto magis saepius reflexa, consequenter eadem cutius evanescere debebunt .
Tertio objectum illum natum , vel luminosum pius reflecti poterit, quam obscurum, ut si lumen proponatur, saepius reflectetur, quam niger pannus ergo etiam ob virtutem limitatam objecti , ejusdem species saepius reflexae adeo debilitari possunt, donec plane evanescano.Quarto Nonnunquam medium plus minusvὸ illuminatum servire, vel ossaee se poterit, ad species reflectendas vivacius enim eae sereno caelo repraesentabuntur, quam sole obscurato , aut etiam in erepusculo. Quinto Deniquein oculus magis acutus saepius objectum reflexunia conspiciet, quam caecutiens ideoque non mirum est, species reflexas infinitas non tantoria excludi, verum etiam ex praediistis causis solito citius
multoties deperdi. Qualiter vero inter duo specula plana parallele opposita reflexi co Fis tingat, pet schema ' annexum elucidabo. In quo duo specula plana A λλπιν I. c B. V. parallele opposita concipiantur. Ubi primo advertendum , ipsa specula in se mutuo reflecti Mad illam distantiam eeflexa videri, ad quam fuerunt collocata juxta prop. 4.in quidem toties, donec species utimo evanescanta. Uti videre est ad dexteram schematis in C. D. E. F. S. quod similiter ad sinistram partem A. T contingit , etsi videntis culus absita.
Nam si quod objectum inter duo specula parallele sibi opposita A. B.
eollocatum fuerit ad H.hoc ipso, illud videbitur reflexum inter dicta specula apparentia in Κ.L.M.N. O. Sicut&in opposito speculo .reflectetur toties oculo etiam non praesente.Quo tempore reflexio in solo catheto orthogonali consistet Et inde constat, quod oculo praesente, etiam mutato loco sp
157쪽
ctus, formae objecti apparentes semper in eodem loco,is situ immutabiles conspiciunitar ergo absente oculo reflexio objecti orthogonalis ex rei natura fit, non ad oculi solummodo praesentiam primo consurgit siveroin oculus in I. collocatus accessierit, etiam puncta incidentiae, lae- flexionis in speculo utroque sicut Mearum radi angulares novi excit huntur, ut apparet in proposito schemate minoris alphabeti a. b. c. d. e. f. c. ita ut . proxima species reflexa exm objecto, unica incidentiar, reflexionis linea ad a. punctum sit contenta . . Secundo loco ad L. duplicem reflexionem ex utriusque speculi punctis b. ωc requiret Tertio loco species reflexa M. ex Objecto H. triplicem reflexionem inter duo specula nabebit e punctis d. e. f. . Quarto loco Ν. quadruplicem ex g. h. i. h. Quinto loco ad O. quintuplicem ex speculorum duorum punctis l. m. n. O. p. hoc toties, donec species objecti ex multiplicata reflexione inten,
duo specula totaliter evangscant .
uJus veritas ita demonstratur primo ex objecti propositi decolorati
apparentia. Nam si a tuatur objectum aliquod v. g. globulus advi cujus medietas versus B sit nigra, medietas autem contra A maneat al-ha; videbitur in reflexione multiplici Obversa pars alternis vicibus, nunc nigra, nunc alba: quidem in prima reflexione objecti apparentis in K. nigra pars ad oculum conversa cernetur, siquidem ea advi speculo B Ur obversa incidit in punctum a. indeque reflexa in oculum I. videbitur in radio reflexionis protracto in . adeoque nigra pars ibidem repraesentabitur illa videlicet, quae speculo reflectenti opposita fuerat . In secunda reflexione ad L. pars alba oculo in reflexione occurret, quia cum sit duplicata reflexio, eadem obiecti pars primo alba incidet in speculi A. I. punctum' quae inde reflexa in alterius speculii V punctum c. deferetur eadem in oculum I. apparebitque in L linea protracta. In tertia reflexione ad M. rursum pars atra videbitur, ob triplicem videlicet reflexionem inter utrumque speculum nam ex objectom pareatra primo cadet in speculii, V. punctum d eadem in oppositi speculi alterius punctum e. denique rursum resiliendo in f ex quo puncto ultimate in oculum derivata talis apparebit denigrata in M. Similiter in quarta reflexione ad N iterum alba objecti pars apparens ex objecto H. cadet primo in speculi A. I. punctum g inde in h. 4.k ultimo ad oculum I. ubi eadem apparebit in radio reflexionis protracho ad N in eodem situ in quo primo fuerat versa ad speculum A. I. & ita procedendum erit s. tiam in residuis reflexionibus, in quibus deprehende- tu semper itus, distantia utrinque inter specula apparentia, quae erat inter Vera, observato primo reflexionis radio, ab objecto in speculi planum projecto. Hic quaeri posset primo, unde haec vicissitudo reflexionum, nunc ex
hoc, alterove speculo Originem trahat. Resp. eam ex natura, Mnecessitate reflexionis specularis desiimi: Nam cum tam objecto, quam ipsi speculo, utpote materiali , visibili rei incidentia in alterum speculum , oppositum concedi debeat, neque etiam reflexio pilosito speculo negari a POm-
158쪽
poterit. Quare propositum objectum ad Η. non mini, in speculum, V quam A. I. incidere debebit, juxta illam videlicet partem, quae ei erat obversa, similiterin peeulum unum in alterum oppositum incidee tot dijs, quot puncta in eodem sunt assignabilia uti cap. dictum est. Consequenter non tantum objectum reflectetur , quam ipsum speculum, una cum objecto in eo reflexo,in quidem toties, quoties ex lineis incidentiae, reflexionis in utroque speculo usque ad oculum haberi poterunt possibilia, donec species juxta prius dicta totaliter evanescant. Ideoque tot reflexionum vicissitudines, c. specierum multiplicatarum apparentiae consurgunta.
Demonstratio vero horum duplex assignari debet prima si ae sint puncta incidentiae, reflexionis inter duo specula. Ex quibus Anguli timcidentiae, reflexionis linearum in datis casibus colliguntur esse aequales. Secunda objectum H ita olloeatum intra duo specula plana A. I. i. V in punctis K. L. M. N. O. apparere deberet .
Quoad primam dico, puncta incidentiae in reflexionis inter duo spe
cula colligi ex radio visionis protracto, nam paucis mutatis, uti priori problem demonstratum es , reperientur in omnibus incidentiae, is flexionis lineis, duo triangula aequalia, ob latera duo aequalia angulo ri Et ad catherum opposita , ex quibus anguli incidentiae se reflexionis' aequales deducuntur. Quare accipiamus primam reflexionem objectim. cujus linea incidentiae cadet in punctum a. speculi B. ex quo reflectetur in oculum I. non tamen videbitur in puncto a sed in linea reflexionis protracta ad tantam distantiam, in quanta abfuit objectum It a puncto incidentiae a. eirgo apparebit in puncto R. uti proprietate . supra ostensum est. in quo duo triangula aequalia occurrunt videlicet H. B. a.&K. B. a. nam H, B cathetus aequalis est catheto protracto B, Κ linea spesul B, a perpendicularis ad cathetum est communis utrique triangulo Η, a, B. a. B. ad B utrinque est angulus rectus ergo juxta prop. 4. 1. Elem: uci: duo triangulavi, B. a. A, B, a sunt aequalia ergo etiam angulus B. a. Η. erit aequalis angulo B, a, . sed etiam B, a K. est aequalis suo opposito Ra, I juxta theor. 8. I. Eucli. ergo vi a B angulus incidentiae erit aequalis'
angulo reflexionis L a. v juxta axiom i Elem Euci quod demonstrare oportebata. Eodem modo eadem demonstratio in aeteris neidentiae, & refle.. xionis lineis, langulis Omnibus procedet objectum enim secundo reflexum videbitur in L. cum intra duo specula incidat dupliciter , primo exH. in b. punctum, secundo in c. sicin reflectetu primo ex puncto b in c. oppositi speculi, denique ex . in oculum I. utrobique vero dictam demonstrationem servire pro angulis incidentiae, reflexionis tam prima, quam secunda vice patera nam b, Α, P. h, A, H duo triangina sunt aequalia, sicutini, , B d L, e, B ergo etiam deducetur, angulos incidentiae,
reflexionis esse aequales, quod desidςrabatuita,
159쪽
Objectum etiam in M. apparens post triplicem reflexionem intei duo specula, denique ad oculum L pertingit primo enim objectum H in
d punctum , secundo in e tertio in f incidit, is toties ex ijsdem punctis reflectitur, donec ad oculum I. perveniat in quibus similiter anguli incidentiae, S reflexionis ubique aequales reperientur: nam H, d, K. triangulum per lineam speculi . . vidissim duo triangula aequalia meit Similiter Q e R. per lineam , A similiter in f M. per lineam , . unde supra , posita demonstratio applicari poterit . In . quarto reflexum objectum prim , exvi incidet in s. secundo in h. tertio in i quarto in h. cita post quartam incidentiam inter duo specula opposita A. ra in Oculum I deveniet o denique reflexum obj ctum, quinto loco apparens, etiam quinque reflexiones inter duo specula A, AE. requiret; nam exm primo incidet in . e l. in m inde in, n, O, p,in denique reflectetur in oculum I. Mutrobiquὰ similia triangula paria elicientur, ex quibus anguli incidentiae, reflexionis aequales deprehendentur; ut supra c. a. prop. 3. de aequalitate angulorum incidentiae, reflexionis dictum est, etiam in hoc situ duorum speculorum parallele oppositorum robur suum obtinet etiamsi infinities occurrerent, ita intelligendo, non quod omnes anguli inter duo specula omnium spe- cierum apparentium aequales et se debeant; sed i solummodo inter se, qui ad unam formam, seu imaginem repraesentatam occurrunt, . g. in prima ad K. duo solummodo oecurrentes anguli ad indivisibile aequabuntur, in secunda ad L, quatuor inter se aequales anguli reperientur in tertia ad M. 1ex in quarta Octo, sic de reliquis omnibus discurrendo, quoquot anguli ex lineis incidentiae, reflexionis ad repraesentationem unius o mete consurgent, omnes aequale fore necesse es: quod etiam Rireherus in sua arte magna lucis, Mumbrae l. Io par. . propos demonstrat Multerius facile demonstratur ex sup r. dictis, praesertim prop. 3 ubi ostensum est, angulos ex incidentiae, & reflexionis lineis consilios esse aequales, si duorum triangulorum latera, quorum unum latus earum linearum commixtum sit, aequalia reperiantur sed hic talia duo triangula reperiuntur aequalia. HO.
ΝΞcundum quaesitum cur eo ordine, 'aistantia M. L M, RO
' jectum appareat, ex illo principio catoptrico resolvitur. Quod objectum apparens in tantae distantiae radio protracto apparere debeat, quanta ipsum objectum, ab ultimo puncto reflexionis abfuit juxta consec. s. prop. . quod non tantum de simplici reflexione dictum puta, sed etiam multiplicata, ubi linea incidentiae, reflexionis, ab objelio inchoando, usque ad ultimum punctum reflexionis, ejus quantitatis esse oportet, quam ta linea imaginaria usque ad obiectum apparens extitit; sic in prima, simplici reflexione a re linea tanta est, quanta a K. in secunda vero duplicata Η, b b c aequalis , L. nam L. q. est aequalisi, Η b c vero aequa lis q. c. ergo utraque Η, b c est tanta, quanta apparens . . similite lacitreio reflexo objecto M. tota linea, M. f. tanta erit, quani ares, in
160쪽
triplici reflexionem, d, e f. nam Μ, r. aequalis est vi d. d, e vero & e. f. aequales , s. 4 f. In quarto objecto reflexo N. tota linea imagina-xiam, L. aequalis erit quatuor lineis incidentiar, reflexionis Η. g. h. i. h. si quidem ex supradictis N, t. tanta est quantam. g. reliquae g. h. i. . aequales . . . k deniquein tota imaginari , p, O reliquis A. m. n. O. p.tsimul sumptis aequalis. Quod breviter ita ostendo ex hypotheti omnia specula apparentia in ea sunt distantia a se invicem, in quanta sunt vera, A, B, sed haec sunt parallela , ergo & specula apparentia erunt parallela ergo& lineae, inter duo specula vera facientes parallelogrammum peta. Prop. 34. I. Eucl: O. p. m. n. sub aequalibus punctis alternis sunt parallelae, inter se aequales, sive ejusdem quantitatis sed ita se habent, lartes linea apparentis, sicut lineae in specula vera incidente i m,n, o, p. e go lineae incidentes, reflexa simul sumptae tantae erunt longitudinis, cuius est linea protractas, . consequenter species objecti ordine dicto, ex reflexione duorum speculorum parallele oppositorum, in tanta distantia comparebunt Quod erat secundo demonstrandum .
FX his reflexionuna lineis intra duo specula , mira observatio occurrit et videlicet, singula puncta incidentiae in speculis aequaliter distare a basi, sicuti distare videntur lineae secantes inter ipsi apparentia specula: U. g. punctum incidentiae l. in speculo B. V. tantum distat a B quantum y ab F. similiter m , ab A. aequaliter uti L. ab L. itam, a B. Wae, at sicut etiam o, ab Α, ise, a C. similiter in proxima reflexione, quantum distare videtur i. aba tantum g ab A. quantum , D tantuml, B. ω C. quantum , A. cita de caeteris'.
SEcundo plurium demonstrationum occasio capitur, si singula occurrentia in dictis reflexionibus considerentur: nam si lineae incidentiae, aut reflexionis inter duo vera specula cum lineis inter apparentia specula comparentur, eaeque producantur es fient ubique parallelogrammata uti ex , o p n. inter opposita latera aequalia fit rhomboides Similiteitas, m n linea producatur, incidet in punctum apparentis speculi oe itaque
alterum parallelogrammum consurget o. p. e. i. pariter H. l. producta
incidet primo in punctum at primi speculi apparentis C. Multra dedueta in punctum ae secundi speculi apparentis D. ut utrobique anguli, lineae imo in parallelogrammata aequalia Irodibunt, quorum d monstrationes, cum ex superioribus colligi possint, etiam inde verita sapienti Lectori constabit; ideoque eas praetereo, ne multitudine Verborum res potius magis obscuretur, siquidem intento