장음표시 사용
111쪽
Sit parallelogiam ma figura BCD in subiecto plano; sit vero S punctum distantiae; sitque A oculus linea vero sectionis sit C; figuraque BCD in erecta sectione appareat in BCFG sumantur in D ubicunque,"cunque puncta Κ, radij que ducanturH A A, qui siccent FG in punctis L. Dico lineam G similiter esse diuisam, hoc est in eadem proportione punctis Ll, velut E punctis ΗΚ.Qupniam enim D parallelae BC, erit E parallela quoque R. quare cum L aequi- distet FH, erit H ad AL ut FH ad GL ob eandemque cau fam erit A ad AL ut Κad I unde H ad G est , ut H ad L permutando Had ΗΚ, ut L ad L pariq; ratione ostendetur H ad Dita et se, ut L ad I F. In eadem
igitur proportione diuisa est, in LI, veluti et E in x. quod
MODUS VIGESIMUS SECUNDUS. Data in subiecto plano rectilinea figura, in proposita sectione subieeto plano crecha figuram apparentem describere.
Oporteat autem problema absoluere, ut modo diximus. Data sit figura FGH in prima figura; sitque C1ectionis linea. Destribas tu quadratum, siue parallelograma figura BCDE, quae intus contineat da, tam figuram FGH Deinde per F ducantur lineae utcunque IF BFL, ita ut ad BC D pertinagere possint similiterque per vi ducantur DHM
112쪽
linearum confusionem transferatur linea BC in alium situm, ut in secunda figura intelligaturque BC sectionis linea. Inueniaturq; ex praecedentium aliqua secunduna distantiam, Ac altitudinem ocu lidatam, tanquam in erecta sectione apparenS figura BCDE, quae repraesentet figuram BCD Epri-m figurae est inuenienda, ac si BC secundae figurae etat in BC pri-m V ii quidem in hac linea BC primae figura intelligitur sectioni linea. L/em de diuidatur aequaliter C secundae figura in KMG veluti diuisa est
i ini ui x postea propρrtionaliter diuidatur insecundae figurae, hi '' 'δςit D priniae ut quam proportionem habet in prima figura di ad L, ML ad N ad D, eandem habeat in secunda ligura L ad L, ML ad N N ad D. In secundaque figu*lr iungantur similiter Κ L, quae se uriticem secent in . Dico pri-lmum punctum F Ostendere tanquam in sectione punctum F primae figur- , 4m quoniam puncta I primae figurae apparent in I secun-lu , ne irma ae figurae apparebit in linea I secunda: eademque ratione Ostendetur II primae figurae apparere in BD secundae quare di se mulcem secant punctum Furimae apparebit in F secundae figu-srcu lataque ratione in secunda figura connectantur m CN, quae sese dispescant in , matrum punctum M primae figurae apparebit in Hisecundae. Itaque iungantur m secunda figura GF FH HG quoniam punctum G existit in sectiones obiectum FGH in prima figura apparebit in FGH secundae quod facere oportebat.
vibis quoque modis humomo Lata inueniri possent, nos tamen δε- qucratem adinvenimus modum, quiperbrevis es, A Ximamdiu secum afert facilitatem.
MODUS VIGESIMUS TERTIUS. Data in subiecto plano rectilinea figura, in proposita sectione subiecto plano erecta figuram apparentem describere. Si autem conficiendum problema, ut diximus.
monitratio elucescet sed tres clarior appareat, ne fiat linearum Conis .
113쪽
Obiectum quidem ad unam, figuram vero appparentem at alteram sectio nis lineae partem describemus; quae tamen obiectum ostendet, ut initio huius adnotauimus. Itaque data sit figura BCDE; sectionisque linea sit FG, sumantur in subiecto plano duo utcunque puncta HK, ita tamen ut punctam longius a sectionis linea distent, quam figura BCD oportet in plano tanquam in scinione figuram apparentem deicribere. Si autem notum punctum distantiae, necnon Oculi altitudo, & ex praecedentium
aliqua, ut magis libuerit, inueniatur tanquam infectione punctum L ipssum H repraesentans,i punctum M. ipsum K similiter ostendens. His itaque inuentis, si data figurae punctum aliquod inuenite voluerimus, ubi videlicet punctum B apparet insectione ducantur H BG BF usque adsectionis lineam inuentisque punctis FG, nunc accipiatur Planum prosectione , iunganturque L M, quae se secent in N. Dico primum punctum N insectione ipsium B representare. Nam quoniam punctum ipsum H repraesentat, G vero cum sit in sectionis linea, insectione reperitura ac propterea seipsum ostendit linea igitur L ipsam GH te, praesentabit Parique ratione, quoniam punctum M ipsum K repraesentat, F vero est in sectione, linea M ipsam K reprςsentabit at cropunctum B in utraque extitit lineam KF ergo punctum N, ubi GL F se inuicem secant, ipsum B representabit eodemque prorsit Sm Odoinuenietur punctum, ipsum C Ostendens P vero ipsum D, mipsum . Quocirca iunctis No OP PQ QN, figura quippe NoPQ
erit figura in lectione apparens quod facere oportebat. Est quoque obseruandum in hoc casu nos poste accipere puncta BH, siue ΒΚ, quae nobis deserviant loco punctorum HK, ut inueniamus , ubi
apparent puncta CD in sectione, qucmadmodum etiam nobis puncta Bo deseruient ad inuenienduna, ubi apparent puncta C, ita in alij S. Magis enim puncta H, necnon puncta BK distant a sectionis linea FG, quam puncta CDE; in sectione inuentum est punctum N ip ssum B repraesentanS; unde si ducantur, exempli gratia, H BD usque ad sectionis lineam FG, a quibus ducantur lineae ad N similiter transibunt per punctum P, quod inuectione ipsum D ostendit parique a tione, cum puncta BD. longius absint a linea FG, quam puncta D, auxilio punctorum BD, P, alia puncta O , ubi scilicet C in sectione apparent, similitcrinuenienui S atque ita a puncta, quae a sicctio nis linea magis distant, ad inueniendum inuectione puncta sectionis lineae propinquiora, optime delerulCnt.
114쪽
quibus figuras in sectione apparentes describere posumus orassiti sint, in inuemendis aliis modis immorandum amplius minime vide- tum ne assectata prolixitate taedium legentibus asserramus cum adhuc multi alii, ac ferme ut ita dicam 9 innumerabiles modi a describendas in sectione figuras apparentes inueniri pyΠυς s ac jacile aliormn in uiuis demouurationes , praxesque ex iis, quae dicta sunt ;in me ιun a ferri possu ut i it a nobis prolitum fuit , γ' ea praeci- pu me bori neminei quod i e viderim I hactenus meditata nec ireuit iuramuibus fere propossitis ordinibus , multa , ὰm iu demon stratiombus, tum iust xibus, repetere ut hac raraone quaelibet dem infra 'io rivis seorsun intestgι, perficique possis 3 siqui emnetiue a te ira a tera dest de , sed uniuersabis ex D , ac mu 'alterius adnimculo per se co ubi fere pote Z od videre primum oe liueis , d iuri Per puncta , ρυ- haec modo liveis aegi id ιχ tyus',
per udi uiaribus , movi trisque , nec non in aliis quibusi si=urus at o tre vies describere docuimus; frout maria in pra-xibus con scienis assumpta sunt fluucta . . Et, quamuis mod aliquitutem ii emisse mι eantur, nonnulli mero parum discreBIes , eos tame dictincte attulimus , tum it praxes migis eluce canti quando si eis modica in bis digerentia alterum ab ialtero ae uer timis inere potecto tum quia eadem puncta , quibus assoluuntur , diuerstmo- ά collocautur . in Huc Yoniam a quis mosis tribus,quo sonuerae pvuctis ad praxim absoluendum, leus mero duobus tantum unctis qua udoque perficitur. Ampitis seqmum alterum ab altero collocant oeus, it Varatim separeat operandi facilitas, breuitas, quaei, ac facultate summopere attendendae ἰut . Iodi enim . qui hucis utuntur perpendicularibus sirum habent punctorum concurseus determinatum maguamque exibent commoditatem , ac jacili tuem quo ad praxi quanda operandi securit tem secum a feruui . Insuper eos ita eiunctos collocatumus , it modi ab aliistra it seorsum Ure scantu , etsi perpauci sint a quibus ea tantum elegim ι , qua uiuersalia sunt quandoquidem circa multa articularia multum tempus conteratur , quod propterea factum a nobis ut viso Tris rincipiis eorum modorum prae cFue rationes , ac de mauctrationes erspicuae quoque reddantur cum fere ab altis δε-
mou 2 rationes prorsus omisae sint siquidem praxes tantum dociserunt. quod si ab aliquo circa demonstrationem aliqui prolatumsuit, vix t
115쪽
me id , UT' obscure , ne Iminute dicam, factum fuit. isod quidem
id nobi ex noctris principiis , aliter , . ciariὰs demonstratum es . .are multis fortasse rationes minus cognitae fuerunt: siquidem in praxibus ibis nonnum admittunt supersu , it quando circa obre- ictum describunt quadratum , siue rectangulum cum suis diametris 'dum autem ad praxim accedunt, multa remanent supersua inultilia; nonnulla erx, quae necessaria sunt, quandoque omittant uti dictuntia punctum, oculi situm, in alia , intiqui Der diminute operantun tu describendis Muris a parentibus, tar propterea non exa-lctam horum notitiam explicant , od quidem etiam contingit, quia
punctorum concursus natura proprie nota nondum erat nam tametsi huc que nomen puncti concursus ferme fuerat tanquam ignotum at-ltam/n quia nonnulli in describendi sperspectiti nonnunquam ἰά utun tar punctu , quamuis ab que illorum propria cognitione id e sciant, propterea tιid tu modi puncta, eorumq; praecipuum huic negocio absoluendo munus straestant,aahuc ignotum D se per picuum est quandoquidem nonnusti haec puncta pro punctis horizontalibus ac piunt uineasq; haec puncta conivugentes , quassectionis lineae parallelas scimperos ribere intelligunt , horizontales nuncupant . ii tame multa , ac
pene infinita esse possint puncta concursis in sectione diuersimode secundum maiorem, minoremque altitudinem collocata, ut an primo libro osse um ivit. Ideoque quando sunt duo puncta concursus, alterum quandoque Vocant oculum , in alterum dimni iam minas ta-we apposite , quamuis quae inter haec puncta interlicitur infantia esse possit aequalis ei, quae inter punctum di Iantiae , ac uectionis lineam Intercipitur in decimoquinto modo praecipue factam fuit. Alia quoque sent , quae conssulto omittenda duximus, neque enim ad omnia articularia sendenda deuenire placuit 3 ne quempiam culpare cogeremur unquam ab hoc enim longe abhorret animus . Gamui autem in praefatis modis superius traditu , alter altero ad praxes conficiendas expeditior faciliorque ideatur elutifextus, septimψ, undecimus , decimubquintus, decimus octau , Viges inprimει , ac viges intertius inter quos jacillim unx septimui, decimi quintus , Piges naprimus , ac gesimu stertis non spropterea aliisunt aspernandi; cum ex iis praxes artas diuersis 'unctis diuersimode perfici posse innotescat, tim quia eiusmo i interdum situs dissositio nobis sese o ferre poterit , mi in praxibus conficiendis aliquando oportunii. , imo necessarium fuerit , minus faciles facilio-
116쪽
ribus operationis , atque sus gratia praepouere . u quidem omisnia , si a nobis recte cognita fuerint, ad alia multa conducenti mitexempli oratia , possismus vigesimoprinno modo quamuis 'in Hiis ex horoDei horizontali quodlibet verticale maximafacilitate describere intestigendo nempe hormas liueas esse obiectum, gnomonem ocuti altitudinem , pedem vero gnomonis punctum HLiantiae , sectionis Due lineam esse eam, quae horologii horizontalis , ac verticatis esscommu vis sectio . uod si ex horietuentati horologio, horologium inplano horinout intainato describere voluerimus , Per Puncta concursus facilus siet. ut ex propositione vigesimaquarta sequentis libri elici poterit anaque huiusmodi multa inueniri porerunt. At Nero quoniam exictentibus ob/ectissiguris parallelogrammis,si gurae in ectione apparentes ex iis, quae a uobis traditasunt , facitio ribus quibusdam modis describi possunt , idcirco huiuse H quoque adiicere non erit inutile
Oculo dato , dataque figura ex parallelogrammis constans , cuius latus sit se Orionis lineae aequi distans, saguram in erecta sectione apparentem describere .
Sit S punctum distantie oculi alii tudo . sit figura parallelogiam ma BCD , quae contineat octo parallelo. gramma . sintque lineae
parallelae linea Vero ex ipsis B CD aequi diis stans sit hie B sectionis linea FG parallela. Primum quidem lineae B CD, quae ex M, ita sectione in lineas appare bunt ipsi FG parallelis lineae vero C ED, quς sunt ex HKL, in lineiS, que in punctum concursius conuenient, apparebunt. Quapropter inueniatur punctum X pun-
117쪽
ctum concursius ipsarum BC ED, aliarum ipsis equidistantium. Deinceps ex aliquo predictorum modorum iuueniatur puniutina N ipsum Brepresentans, O ipsum H, P ipsium Κ, Q ipsum L, in ipsum E, V ipsium M M ipsum C. a punctis autem O PQ lineae ducantur ad , a punctis vero V ipsi FGiequidis an res ducantur. completaque erit ligura RT. Vnde manifestum est, figuram T appa rentem figuram existere, ipsamque BD cum uis parallogrammis repre
Iisdem costractis iuxta secundi modi exemptu, ut initio huius diximus binueniatur insectione tantum tria puncta, punctum scilicci N ipsima B representans V ipsum M ,α ipsum C. Deinde linea DE, qu sint ex KH producanturusque ad sectionis linea, a quibus punctis ducantur line ad v, a punctisque NVT ipsi FG
qui distante ducantur que lineas ad X ductas secent; completa lique erit figura T que qui- quem figura in sectione apparens existet ipsamq; BCDE ea tamen consideratione, ut initio huius diximusὶ reprς sentabit quod fieri oportebat.
Oculo dato , dataque in subiecto plano figura ex parallelogiam mi constans, quae illum habeat latus sectionis lineae aequi distans, in erecta sectione figuram apparentem describer .
Sit punctum s distantis: oculique altitudo SA sit sectiqnis linea BG. dataque sit figura, ut in pr cedenti, BCDI, uptamen nullum habeat ladi
118쪽
tus ipsi BG aequidistans. Inueniatur punishum punctum concursus ipsarum B CD, eius , quae est ex . Deinde inueniatur punctum V militer concursus ipsarum BC ID, Mearum , quae sunt ex FH . in sectioneq; inueniantur puncta EL-NOM, quae ostendantipissa HICK a punctisqueBEL ducantur lineae ad V a punctis vero Molineae ducantur ad cifiguraque ex his constans , nempe N erit in sectione apparens figura, quae ipsi BD ostendet . quod fieri oporteo
Ijsdem construistis fietisque iuxta secundum ni Ο- dum initio huius dictum facile propositum assequemur, ex primo modo
tur lineae I, quae sunt ipsi parallela usque ad sectionis lineam BG, 1 quibus punctis, puncto lineae ducantur ad V. similiter producatur linea DC, quae est ex K,vsque ad sectionis lineam BG a quibus puncti S, d uiacto B lineae ducantur ad X, quae secent linea duuctas ad . consurget ex his lineis figura ON, quae quidem erit figura in sectione apparenS, ipsamq; BD, ut initio huius dictum fuit, repraesentabit quod facere
Oculo dato , dataq; sectionis linea . datoq; in erecta sta
119쪽
ctinione puncto, in subiecto plano punctum, quod appareata
ludo; sitque D siectionis linea. Datum autem in ei ςcta bicctione punctum sit B . Oportet an subiecto plano inuenire punctum, quod appareat in B. collocetur SA aequidistans D ducaturque BD perpendicularis D, ad partem A fiat E aequalis B; ducanturque D AE, quae sibi inuicem occurrant in C. Dico in subiecto plano punctuin C apparere in B. X construoctione enim quoniam ducta sunt lineae CDSCEA, factaq; est D ip11 D aequalis, tempendicularis, ergo C apparet in B. quod facere portebat Oportet autem, ut BD minor sit, quam Δ,
Idem inuenire per puncta concursus. Sit enim similiter S distantiae pun
ctum, oculique altitudo A sintq, V duo puncta linearum concursuS; sitque TR sectionis linea Daxumq: infectione punctum sit B . istin subiecto plano inueniamu punctum quod a parci in B , ducantur XRVT ad TR perpendiuul le , quae quidem S sunt aequasses, connectan turque T R. deinde ducantur XBDVBE, Ma puncto D ducatur DC parallela R, abra vero ducatur EC ipsi T aequi distans . nimirum punctum C in subiecto plano existens apparebit in B. Namqtioniam a puncto
ductae sunt CD CE ipsis S STparallelae, ductaeq; sunt D EU, quae se inuicem secant in B, patet punctum C apparere in . quod facere oportebat. Oportet autem in his punctum B propinquius esse U TR quam
Ex his, si data fuerit apparens linea , siue figura, pate in subiecto plano obiectum inueniri posita.
120쪽
Data in subiecto plano linea , dataque apparente linea in erecta Echione , dataque sit sectionis linea punctu distantiae, oculi qua altitudinem supra subiectum planum ,
inuenire . - Data sit linea Ba apparens eoro linea DE, sitque sectionis linea FG. Oportet punctum distantiae , oculique ahitudinem inuenire. D cantur D EG ipsi GF perpendiculares fiatque FH aequalis FD. QGK quasi GE; sintq; GK Had eandem partem . ducantur BFS, CGS, HA, CKA. iungaturq; SA. irm enim constat in lineis BF., CG et se punctam distantiae. cx quibus quitur A esse aequa Glem altitudini oculi supra subiectum planum quadoquidem ductae siunt ΑΚ AHB, suntque E D p. 1, GK FH aequales quae quideminuenire oportebat.
Apparente data linea in erecta sectione , aliam ducere, lineam , quae cum data imperatum augulum efiicere oculo
dato appareata. Sit oculi altitudo Sisitque S distantiae punctii:
sitque sectionis lineam data vero in erecta sectione lionea sit C; datusque angulus sit . oportet inca inuenire, quae cum BC angulum repraesentet, qui oculo ipsi K aequalis apparem. Inueniatur tanquam in subiecto plano linea F, quam linea BC insectione repraesentet fiatque angulus EFG ipsi, aequalis; in sectioneque inueniatur CH, quae ostendat lineam