장음표시 사용
131쪽
gatur planii in per E subiecto plano quidlitans, supra quod oculi alti rudo est A quare transferatur perpendiculariter punctum O in I, ut epe dictum est, ducaturque N ipsi C perpendiculatis deiicie fiat si cut SC ad Cin ita A ad N ex demonstratis erum punctum Que-
situm codemque modo inuenientur alia puncta. X quibus appalens fio gura conlurget quod facere oportebat. Quod si fuerit maior, quam SA, tunc excessus erit oculi altitudo,
Propositum autem sit vigesimo tertio modo problemata
Ea exponantur, quae in vigesimaOctava propositio ne libri prςcedentis exposita fuere sim 1hque modo intelligantur . sitque pris malis basis CD in sit bie cto plano, in quo sit sectiorinis linea AER , prismatis Veio altitudo sit P. Dein de sumantur puncta Κ, quae a linea I magis di cstent, qua in BCD . Inue αnianturque puncta L M, quae a sectione ostendant puncta .. DeincepS ducatur KC HCQ iunganrurque M L, quς se secenti O patet punctum O ipsum C repraesentare Parique ratione inueniatur punctum ipsium D ostendens ita ut figura BO Ostendat BCD. Pro altitudine autem ducatur linea E secundum altitudinem P inuenianturque quo cunque modo puncta GT, quae Ostendant puncta supra H perpendi culariter exilientia altitudine . deinde transferantur puncta Q in U ut saepe dictum cstiducantuique UT G quae se secent in N, nimbrum punctum N Ostendet punctum supra C respondens altitudine P.&ita in alijs quod iacere oportebat. In hac, veluti in alijs quoque si duceretur lineam ipsis BR V per pendicularis , altera tantum G , vel VT inuenietur punctum N viantea ostensum est.
connulli, mi datum risis in sectione repraesentent , duo semul rismata inueniunt ; pro cuius intestigentia hoc prius nouisse
132쪽
Datum si1 prisma FGH MNO. cu in ius basis FGH sit in subiecto plano .
Oporteatque prisimatis altitudinem solo puncto linearum concursuS inuenire exponatur alterum prisma D EP. Cusius bases D E sim parallelogram malitidue in in eodem plano FGH, hoc est ut in subiecto plano, amborum autem prismatum altitudine sint quales in subiecto plano perpendiculares ;erit utique basis P in eodem plano cum MNO; eruntque prisinatum altitudines G D interse aequales,&subiecto plano erectae . si igitur per Mducatur planum plano E parallelum.
ac per consequens ipsi D parallela unde& G prismatis altitudo ipsi Laequalis existit.
Datum prisma ut antea in sectione repraesentar .
Datum sit prisma, cuius basis ABC sit inibiecto plano. altirudo autem sit E. Describam circa ABC parallelogrammum DT , quod'ni dem intelligatur basis alterius prismatis, cuius altim do sit eadem DE. Intelligaturi sectionis linea, X punctum concursus ipsarum T V. sitque inuenta figura insectione apparens FGH, quae basim ABC osten, dat, quam quidem inueniunt secundo modo, ut in decimaoctaua secum di huius libri retulimus. Deinde ponatur altitudo DF perpendicularis ipsi DK, ducanturque D ES, quae tendant ad X linea utique D insectione ostendet latus D linea vero S parallelum latus ostendet ipsi
TD. Deinde ducam G parallela ipsi DK. quae secet D in I, deinde ducatur L ipsi D aequid istans, quae secet S in L ducaturque L ipsi DK aequi distans; denique ducatur Μ ipsi I parallela, quae secet M in M. nimirum puncti supra lallirudinem ex dictis insectione ostendet punctum Μή ita mali)s quod facere oportebat.
PROBLEMA PROPOSITIO. X. Vigesimo primo modo praefatum prisma in section
133쪽
Exponantur ea, quae in vigesimasexta propositione praecedentis libri exposita fuere; visit A culus, S punctum distantiae, H sectionis linea, pruina cro, ut antea, datum sit BCDEFΚ ducaturque S ipsi Haequidistans, de ipsi S aequalis oportet figuram inscctione apparentem inuenire, quae datum prisma repraesentet. Primum quidem inueniatur punctum L, ubi scilicet apparet punctum C; nempe ductis SQ GHC, lactaque Q in sectione ipsi H perpendiculari, ipsi RH aequali. Pro altitudine autem utimieniamus, ubi punctum Frinsectione apparet,
ducatur in subiecto plano linea CP ad partem a quae fiat ipsi CF qualis o ipsi H parallela iungaturque P, quae H secet in R; producaturuue L in N; atque L aequalis HR. Dico punctum in N apparere. Quoniam enim SA G sunt aequales.' L H aequacies, erit A ad Q ut G ad Η ut autem A ad Q. ita AC ad CL, Qv SG ad H, tam ad CH ergo ita est AC ad L, ut G ad CH per conuersionem rationis C ad AL ut C ad GH Qusniam autem CF CP sunt aequales, veluti Ni equales aerit CF ad LN ut CP ad R; ut autem P ad HR, ita est CG ad GH, hoc est C ad AL ergo C ad N est, ut C ad ΛL. Quare visualis radius A per N transibit sunt quippe CF Q paralleie punctum igitura in mapparet, lineaque C in L; cita in alijs,
quibus figuram insectione apparetem inueniemus. quod facere oportebat.
D fuerint inaequales, eodem prorsus modo operationem perfici posita, . PRO ET
134쪽
Oculo dato datoque solido, cuius altera basis sit in subiecto plano , stantes Vero sint subiecto plano erect ae , quael interse sint in quales in proposita sectione subiecto plano erecta figuram apparentem describer Problema vero fieri debeat, ut in praecedenti
Sit S punctum distan, tiae, SA culi altitudo ipsi II sectionis lineae a rallela basiis vero solidi in subiecto plano sit BCD , altitudo autem puncti supra Q perpendiculariter existentis sit ipsi F aequa llis ι puncti vero supra natistitudo sit aequalis G puncti autem stipra exi- i
ne figura BL M, quae ipsam BCD repraesentet deinde ibi lducatur CP ipsi i H equi. L GF
ducaturque ML in N, fiatque I N aequalis HR; punctum utique Nostendet solidi puninim supra C existens altitudine . similiter ducatur DT aequalis Κ, ipsi Bi parallela d secundum altitudinem Tinueniatur punctum O, ducta O. Ostendet utique punctum O solidi punctum supra D existens altitudine . Quoniam autem punctum est in sectione , ducatur B ipsi H perpendicularis , quae fiat aequalis G punctum quidem Mostendet solidi punctum sit pra B existens alti tudine G. Iunctis igitur punctis NEO figura BLMEN O datum solidum repraesentabit; eritque propterea LMEN O figura in sectione apparens quod sicei oportebat.
Ijsdem positis, dato ubicunque puncto I in quolibet latere , quod solidi latus erectum ostendat, punctum solidi inuenire, quod appareat in I.
135쪽
Quoniam igitur I est in linea NLQ, a QV aequalis I ducatu tique AUX, qua CP secet in X. Quoniam enim C apparet in L, MX est Aeae Bia quaesistans, ductassu est XVA, 'Mest L aequalis QH ergo reliqua L ipsi H aequalis existet quare punctum supra C aiti tuainc CX apparet in I. quod facere oportebat.
Figuram apparentem , quae similiter datum , antea Isolidum repraesentet L cuius stantes sint inςquales , in
Problema autem fieri debeat secundum decimumquin
tum modunti oti XI a i I et Exemplum attulim Us, ut secundo modo ibi leni diximus sit enim H sectionis linea , basi vero solidi sit BCD altitudo autem puncti supra D exi. ste: itis sit aequalis F punis it vero B sit ipsi G qualis; puncti vero C sit ipsi K aequalis inueniania itur ut in Vigesima propositione Lecundi libri pun-lcta, concursuS; inueciniatur lite figura BLMb sim BCD repraesental S. deinde ducatur 4 ecundum altitudinem Fcip. si H aequi distans Mex secunda huius propositione inueniatur puctum ,
quod ostendat punctum supra D existens altitudiisne F deinde ducatur' secundum altitudinem ipsi H parallela; inueniaturque similiter punctum , quod repraestentet punctum supra existens altitudine . deinde ducatur B ipsi H perpendicularis, quae fiat aequalis G punctum quidem E erit punctum solidi, ac propterea ostendet punctum supra B existens altitudine . iunctis igitur punctis NEO, ductisque L MO, erit LMNEO figura in sectione apparens quandoquidem datum solidum repraelamat quod facere oportebat. Omnibus aliis quoque modis describendi figuras insectione apparentes datum liuiusmodi solidum describere ex dictis facile poterimus.
136쪽
Ex his constat dato puncto in subiecto plano , suprα quod pei pendiculariter alterum sit quoque datum in sublimi, in se stione subiecto plano erecta Omnibus modis ambo repraesentari posita.
hsdem positis , Dato in linea, ubicunque punctoo, hoc quoque modo altitudinem punia supra , quod appareat in , inuenir .
Ducam linea O deinde a puncto D ducatur
cularis, quae producta ipsi Ooccurrat in Q. Dico punct uiri stipra D lGtitudinem, apparere in . ut pater, si intelliga irtur linea P. quidistans ΗΒ matri ex dicti punis ctu in supra in altitudine H apparet in linea QX, sed apparet etiana in cli ne i in; erSO apparet in . quod iacere Oporistebat.
ίμη ex is quae tragra sunt, solida omnia , quae latera subiecto piaro Meant erecta , in erecta sectione repr sentare docuerimos q-b s solida quoque compraebenduntur rectangulas quia tamen δε- ibora actu quodam modo describi pollunta ideo haec quandoque pro-
137쪽
Oculo datori datoque solido re stangulo ex solidis re- stangulis constans, cuius basis in subielio plano existat, habeatque unum latus seivionis lineae atqui distans, in ere- ista sectione figuram apparentem describer .
exemplum autem sit, Vt initio praecedentis libri de secundo modo proposuimus I&in C sit linea ex ipsi B parallela ex vero ipsi BC aequi distans:
deinde ex vigesima non libri praecedentis in sectione inueniatur fisara ΗΚ, quae ipsam BD cum si1is parat telogrammi repraesCnte i deinde inueniatur punctum quod in sectione osteΠ- dat punctum stipra D altiutudine P ita vi P sit altitudo solidi data ab angulis ique figurae H ipsi FG
perpendiculares ducantur, Jca punctora ducatur QT, quae tendat ad v, d QVipsi FG aequi distans , quae ductas perpendiculareS secent eodemque modo fiat ab alijs angulis; erit. que e ijs, quae antea Ostenta sunt, Q apparens figura . quod facere oportebat. Quod si bases fuerint parallelogrammae, etiam si non fuerint rectangu lete, praetereaque nullum latus sectionis lineae fuerit equidistans, duobus punctis concursus facile ibit dum apparens, ex ijs, quae dicta sunt, praecipue vero ex trigesima praecedentis libri describetur.
PROPOSITIO. VI si pyramis secetur plano basi aequi distante
sectione basi similis erit, similiter posita . figura
Sit pyramidis vertex , basisque BCDE; seceturque pyramis plano basi quidistanteri figuraque in sectione sit FGHK. Dico FGH ipsi BCD similem esse, ac similiter possitain. Quoniam enim B C pla
138쪽
iiis diuiduntur parallelis, erit B ad A, ut C ad GA ouare FG est ipsi BC
parallela . codemqtie modo ostendetur
si EB parallelam existere. Quoniam igitur FG GH sunt ipsis BC CD parallelae, erit angulus FGH angulo Cinae,
Qualis ob candemque causam angulus
aequalis cxistet. At vero quoniam JGςst ipsi AE parallela , erit triangulum ABC trangulo FG ssimile Peritq; A ad G ut B ad FG. eademque ratione ostendetur C ad AG ita esse ut CD ad G H. ergo erit BC ad FG, vj CD ad GH. permutando C ad CD ut FG ad GH parique ratione ostendetur CD ad D ita esse, ut GH ad K, ad EB, Vt H ad MF. Cum igitur figura FGH angulos habeat aequales ipsi BCDE, circa aequales angulos latera proportionalia; erit FGH similis ipsi BCDE. Est autem similiterposita, quoniam anguli, proportionalia latera ad easdem sunt partes quod demonstrare portebat. Quod si BCD fuerit basis coni, cuius vertex Α, ex Apollonio inquar ta propositione primi libri pater figuram FGHK circulum quoque esse.
Oculo dato , datoque solido rectangulo , cuius basis sit , in subiecto plano , numque latus sit sectionis lineae atqui id istans, in erecta sectione figuram apparentem describer j
sit datum punita una distantiae, oculique altitu-- do SA; sitque: sectionis linea FG; basisque solidi BD, cuius latus ita sit FG aequi distans oportet in erecta sectione figuram apparentem describere. Quoniam enim soliduin rectangulum est datum data quoque criti figura supra E ad rectos angu los plano BD. quare ex . cponatur linea H quaa
lis E, supra H describatur figura rectangula HL quae sit aequalis ei, quae supra E plano BD- est recta . Deinde inue 29. secun niatur figura MNOP, quς di i u in siectione ipsam BD Gyraesentet.
139쪽
praesentet . ironiam B FG i unt parallelae, sectioque supra FG uirilbiecto plano intelligitur recta similiter planum rectanguli supra TE existentis est eidem 1iibiecto plano erectum , erit igitur hoc planum se. ctioni equi distans . si igitur intelligantur visuales radi a terminis fi-lseturae supra E existentis ad oculum, quia sectione diuisi intelligantur: figura m sectione similis erit,in similiter posita , ut ea , quae est supra Ex praeeuBE . hoc est similis figur. HL. At vero quoniam MN in sectione ip-denti. sam B ostendit, si igitur super lineam desicribatur figura MNQR4-jmilis ipsi L, similiter posita, ostendet siguram iguram , quae est sit pra E. Parique ratione Ostendetur solidi figuram, qu: est supra CD Iescctioni aequi distantem; ac propterea inscctione apparere in figura sibi simili. Cum autem datum solidum sit rectangulum, figura, quae est supra CD, erit prorsius aequaliSei, quae est stupra E , quare aequalis erit ip- i L. quoniam insectione inuenta est O ipsam C repraesentans, si igitur supra P fiat figura OTU similis, similiter posita, vim L, constat figuram PT figuram, quae est supra CD, repraesentare . iunctis igitur QT G figura T datum solidum in sectione Ostendet ergo MI figura insectione apparens cxistit. quod facere oportebat.
Fraxis bus modi orembus quoque ' matibus accommodari poterit sed hoc modo .
Oculo dato , datoque prismate, cuius parallelogramma sint rectangula , quorum alierum in si biecto su plano, iquod quidem basis latus habeat sectionis lineae aequid istans, ita erecta sectione figuram apparentem describer .
Sit ut in praecedenti Spai ctum distatiae, Se oculi altita do; alterumque prismatis . l. .
hasis latus BE sit sectionis linea FG qui-
tet merecta sectione figura apparenterni desicriberci exin
140쪽
Assipram figura describatur H L, quaesit aequalis basi pristinatis deinde insectione figura inueniatur ΜNOP, quae BD repraesentet . it in prς cedenti, ostendetur basis pristatis sepra E existens esse sectioni equi distans, veluti etiam cst balis supra C existens; cum prismatis papallelo-;ramma sint rectangula, lupesticiunt, Vt bases parallelogrammis ad rectos sint angulos; quae quidem bases interse, ac per consequens ipsi L quales existunt.&quoniam in sectionem ipsam B ostendit, ipsam CD, si igitur supra MN O figurae describantur MQ. PT similcs,& similiter positae, ut HL constat a basim prismatis supra D existentem repraesentare, T vero eam, quae supra CD existit quaremia, ctis lineis ab angulis figurae in ad angulos figurae T quae angulis qualibus respondeant, ut QT, c. figura T datum pristina repraesentabit eritque propterea, figura in sectione apparens . quod facere oportebat.
In describendis in sectione figuris , ex obiecto apparentem e
ram inuenire tanqtiam necessarium videtur; ut, quemadmodum ocu
lo se fert obiectiram in ectione scribi possit quod quamuis me rum sit, tamen non est necessario intelligendum, ut actu semper obiectum existat nam aliquando illud mente tantum concipere, scit mi ex eo apparens figura in emri possit ita mi absque obiecto actu existente apparens Aura inuenta sit, Pt insequenti.
Per puncta concursus absque obiee o figuram in erecta sectione