Gvidivbaldi è marchionibvs Montis Perspectivae libri sex

121쪽

LIBER SECUNDUS II 3

angulo a FG, ac per consequens angulo ς aequalis apparebit quod facere portebat.

PROBLEM PROPOSITIO. XXXV.

Idem absque obiecto inuenir .

Sit similiter oculi altitudo AS, sectionisque Iinea sit DE dataque ii sectione 'inca BC

datus vero angulus . oportet lineam ducere, quae cum BC angulamelliciat , qui oculo ipsi aequalis appareat. Ducatur linea FG parallela ipsi DB; quae a secti nis linea DE disset se cundum longitudinem SA. Deinde producatur BC quae linea FG

cto F linea ducatur Dperpendicularis DE; figaturq; DS deinceps litat angulus S angulo K aequalisci ducaturque Ea ipsi ME e irendicularis; dc a puncto C ducatur CH, quae tendat in . nimirum angulus B CH angulo SE proptereaque ipsi, aequalis apparebit si i quidem BC CH ostendunt lineas ipsis S , parallelas, quae inuicem Exa C 6. langulum constituunt ipsi K aequalem quod facere oportebat huius. Hic vero aduertendum occurrit si Elierit ipsi D parallela, lineam quoque CH eidem D parallelam esse debete similiterque si BC data fuerit ipsi DF aequi distans, hinc D ducenda crit quoque ipsi Eua trallela. in hiis casibus altero duntaxat concursus puncto praxis fiet.

COROLLARIUM I.

Ex hoc perspicuum est , si alia ducantur lineae, ut MMN, quae in F tendant, angulum LM similiter angulo AE aequalem apparer .

Nam, quoniam BC LM in F coniunguntur, apparebunt C M parallelae, veluti quoque Ob eandem causiam CH MN apparent quidistantes ex quibus sequitur angulum LM apparere, ut BCH, qui an gulo K aequalis apparet. ori Eodemque modo huiusmodi aequales anguli apparentes absque Ovicta ' plurimi inueniri poterunt.

COROL.

122쪽

Ex hoc patet etiam , nos dato pilus puncto M angulum in M, qui angulo BCH aequalis appareat, statim constituere posse/.

Dato enim puncto M lineς ducantur ML N in F tendentes, ex ijs , quae proxim dicta sunt, angulus MN angulo ACH qualis apparet.

COROLLARIVM II l.

Ex his manifestum est etiam a dat in sectione puncto data lineae visae parallelam lineam statim ducere posse.

dato enim puncto, data lineae CH statim duci potest linea, quae tendat in MN , quae quidem ipsi CP aeqviaistans apparet. Quod CH ipsi sectionis lineae E parallela tuerit, linea quoque MN pu DE. parallela duci debet quae quidem Omnia cac dictis peripicua sunt

123쪽

E MARCHIONIBUS

PERSPECTIVAE

LIBER' TERTIUS. G in sectione subiecto

plano erecta apparentes , quae obiecta in subiecto plano existentia repraesentant , superioribus demonitiationibus pluribus modis inuenire ostensum est a quippe quae obiecta referunt tantummodo secundum planas, rectilineasque figuras. Iam ad eorum altitudines inueniendas, hoc est , quomodo apparentes figurae solida repraesentent accedendum est .

PROBLEMA PROPOSITIO. . I.

oculo dato datoque prismate , cuius parallelogramma sint rectangula, hera vero eius basiis sit in subiecto plano, in proposita sectione subiecto plano erecta figuram apparentem describere .

Sit oculus Α, cuius altitudo iupra subiectum planum sit AS in subiectoq; plano sit sectionis linea H. cisma vero datum sit BCD EFG, cuius parallelogramma, ut CFE, Malia sint rectangula sitque basis BCD in subiecto plano oportet in sectione subiecto plano erecta, figuram, quae datum pris rata reprςsentet, describere. Intelligamr planum EFG productum , quod lineam AS ccci in T; sectionem autem secet secundum lineam Κ. porro punctum E in sectione existit nam cum B sit ipsis BC BD perpendicularis , siquidem prismatis parallelogramma sunt rectangula, citra subiecto plano recta punctum vero B est in

P 4 sectione,

124쪽

sectiori 1cmoqi est subiecto quoque plano erecta erit igitur linea Et insectione, ac per consequens punctum . hioniam itaque datum est punctum S punctum distantiae S altitudo oculi Α, dataque est sicctionis linea BH, figura duc in subiecto plano data est CD, aliquo prςdictorum modorum figuram insectione apparentem describere poterimus, ut BL M, quae ipsam BCD repraesentet si igitur altitudinem prismatis in sectione te praetentare voluerimuS , eodem proisus modo in plano per EFG transeunte operabumur nil ait enim est aliud planum per EFG, per T transens, nisi ubiectum planum, in quo punctum T est punctum distantiae. iii pra quod est oculi altitudo A; in thoc plano intelligatur sectionis linea K ditavero figura EFG . Cum haec igitur Omnia sint data eo modo quo inuenta est figura apparens LM. Odem I Ortus inuenietur figura in sectione apparens ENO, quae ipsam FG rc praesentet quare iunctis L O linea C apparebit in L GD in OM . ergo B LM NO est figura in sectione apparens, quae qui lcm latum prismia

repraetentabit.

Hic vero considerandum occurrit, primum K parallelam ei se ipsi BH; quoniam sectio parallelis planis per BCD EF ductis clividitur quod idem contingeret etiam si B in lectione non existerct deinde quoniam EFC cst parallelogrammum , ac per consequens EF cst ipsi BC parrallela lineae L EN, quae ipsa BC EF in sectione repraesentant, in idem punctum concursiis coibunt, velut etiam laudi CDFG fuerint sectioni parallelae, in sectione secundum lineas ipsis CD FG parallelas ostendentur hoc est tum ipsis CD, FG, ac ipsis HEK, parallelae crunt. Praeterea, quoniam C ut ostentii m est subiecto plano est erecta, veluti etiam D. si quidem c D ipsi F parallela existit; ipsa vero C apparet in L GD autem in OM ergo L in non solum sint subiecto plano erectae, sed ipsi quoque lineae Η, ac per consequens ipsi K perpendiculares; ut est etiam linea B, quaecum sit in sectione, sic ipsam repraesentabit. Praetcrea quoniam figura EFG qua

125쪽

llis est &similis ipsi BCD, eodem modo se habebit EFG ad lineam Κ, ut CD ad H. cum sint anguli EF HBC, atque EG BD aequa. Io vndex tes: si quidem sunt Era ipsis vi BC, deinde BG ipsis Belini. BD parallelae. His cognitis adpraxes mcedamus .

PROBLEM, PROPOSITIO. II.

Propositum sit problema absoluere decimo quinto

modo. Sit sectionis linea II; sitque BCD assis prismatis in subiecto plano , cuius altitudo sit P. Cum enim propositum sit operari decimo quinto modo, ideo secunduna datam distantiam , oculique altitudinem primum inueniantur puncta V X ut in ea propositione dictum fuit.

deinde ducta CH ipsi BF

perpendiculari, factaque H in ipsi CH aequali, duoctisq; H QL, quae tendant ad X, punctum ipsum C ostendet eodemque modo inuenietur punctum M ipsum Diste, dens; figuraque LM ipsam BCD repraesentabit. Ad inueniendam autem altitudinem ducatur lanea E ipsi H quidistans; ita ut ducta ipsis HE Oerpcndicularis, sit . equalis ipsi P. quoniam punctum B est in linea H , a puncto B ipsi H perpendicularis ducatur BE; atquc angulus EF angulo BC aequalis; fiatuue EF ipsi BC aequalis, constituaturque triangulum EFG triangulo CD aequale, ac similiter positum. eodem enim modo se habebit triangulum FG ad lineam Κ, ut BCD ad H . quare eodem modo ducatur F ipsi K perpendicularis fiatque R aequalis F, ducanturque X RV, quae se inuicem secent in N, punctum quidem ostendet ipsum ex praecedenti eodem v modo inuenietur punctum O ipsum G ostendens Iunctis igitur punctis ENO, iit ENO figura in se bone apparens; quae alteram prismatis ba, sim repraescntabit, quae ex contraria parte ipsi BCD respondet, ipsique est parallela, atquc supra C perpendiculariter existit altitudine P. Qus circa iunctis L M, figura LM NO datum prisma reprςsentabit.

quod fieri oportebat. Caeterum

ao secum

126쪽

PERSPECTIVAE

Caeterum pro faciliori Operatione oseruandum et t. quod cum sint duo anguli nempe EF, angulus ad K rectus, tria

guli E KF duobus trianguli BHC angulis BC,&recto ad H aequaleS, latusque E lateri BC aequale erit triangulum ΚEFiciansul, HBC aequale, latusque ac lateri SH quale . est autem' Κip11 AElin equidistans , si igitur ducatur H , erunt BE H inuicem equales, parallelae sed quoniam B est ipsi BH, ac perconsequens ipsi FG perpendicularis, erit m ipsis BH E perpendicularis siI

militer obequalitate trian

gulorum ΕΚ ΒΗ latus Flaterim est aequale, quibus quales intΚR H Q, unde, R insunt aequales;&quoniam sunt parallelae, si itaque duceretur RQ, esset QR ipsi H aequalis, parallela ipsisque ΕΚΒΗ perpendicularis . cum ostensium sit, H ipsis perpendicularem esse ire ut in linea E inueniantur puncta Res quibus ducuntur RUNX. Vt inueniatur punctum N prius describere triangulum EFG, ut factum est, non est necesse, immo stuperfluum potius sic tantum transferenda sunt punctam in KR, ita ut sibi inuicem perpendiculariter Iespondeant, hoc est sint lineae ΚΗ RQ si duccrentur Pipsis Η ΕΚ perpendiculares quod idem faciendum est cum alijs punctis perfacilisque

hoc modo erit PraxiS.

PROBLEMA PROPOSITIO. III.

Alio hioque modo altitudinem solo duntaxat puncto

concurliis inuenir .

Ex proxime demonstraris, si prismadatima in sectione repraesentare voluerimus, exponantur cadem, quae prius codemque modo inueniatur figura BL obiectum BCD repraesentans. sinueniendam autem autitiadmena punctum tantum X deseruire potest . ducta similiter K, in qua tranSferatur tantum punctum H in Q ut dictum est 2 deinde durcam LN quae ipsis Ha sit perpendicularis . ductaque X, qu .ae ipsam L secet in N, erit ex proxim demonstratis si quidem LN latus prismatis Ostendit punctum Ni ctum quaesitum. eodemque modo inuenietur punctum O figuraque L ENO risina repraesenta- Ibit quod facere oportebat i

127쪽

Parique ratione lin altitudine inuenienda deseritire tantum potest puli ctum V, ut scilicet in non transieratur punctam, sed punctum Q a quo postea ducatur linea ad V, quae ipsam LN similiter ex ijs quae supra dicta sunt, secabit in N; ut factum est linea V, hic lineam L ipsis H E perpendicularem secat similister in N puncto. quod re ipraesentat uidem punctum priimaris supra C et endiculariter existens. Caeteram si prii malis altitudo tuerit aequalis oculi altitudini, in hoc casu puncta, essent in linea in quoniam X sectionis linea BF distarent quantitate astitudinis oculi, cum sint puncta concuHus. At vero quoniam oculus est in plano per K transdunte . quod quidem intelligitur subiecto plano aequi distans, Omnes lineae, ae figuli in hoc plano exul en tes ut in primo libro diximus in natantum linea apparebunt, quae qui 'dem linea erit,in sectionis, dicti plani comImnis Hectio quare omnes in linea E apparebunt. Altera igitur basis prismatis ipsi BCD caduerso respondens apparebit in linea E, punctorumque aiὶguli appar bunt, ubi N, ipsi K occurretent. vi ... ia Quod si altitudo P fuerit maior, quam oculi altitu, do, tunc puncta V X inter lineas K H existent;

eritque oculu infra planum per E pertransienS. praαxis tamen fiet eodem mo' ido transferendo scilicet in

linea E punctam per 'pedicularitet in punctis KR; ducanturque X RV, cVbile inuicem secant, ut in N, erit Minii a lineam ΕΚ punctum quaesitum . quod idem fiat in alijs punctis figuraq; LMEN O prisma datum repraesentabit. Idem quoque assequemur ducendo lineam N ipsi H perpendicularem, ductaque tantum X, Vel RV, quae Noecet in . quae quideat omnia obseruanda iunt in inrubus.

COROLLARIUM. Ex his perspicuum est , si supra datum prisma aliud si-imili modo prilina datum fuerit, eodem modo figuram ar- parentem describere posse.

Inuenta sit eodem modo apparens figura BLMENO, quae pessima repraesentet, cuius basis sit BCD, altitudo a si supra hoc pristina aliud

E ia 29. primi huius. In ras. Ex 20 primi huius.

128쪽

PER SPECTI UAE

prilia I altitudine , secundit in altitudine utrius i

stans lacinde eodena modo umentatur puncta RT, ita ut ostendat punctum supra C altitudine PQ , T Vero ostenda: punctam supra. D adein altituditae PQ a produ

duo pris Lata repraesentabit, ut dictum est. Eodem quoque mod fiet, si dat T fuerint adlluc alia prismata.

unc mero ad alia ex pia transeamus.

PROBLEMA PROPOSITIO. IIII.

Propositum autem sit undecimo modo problema ab

soluere . Exponantur ea, quae iadecimasiexta propolitione secundi libri exposita fuere sintque puncta X quibus praxi conficitur, dc in subiristo plano sit sectionis linea B H deinde inueniatur punctum L ipsum repraesentans , ductis scilicet QC; deinde ductis CH L ipsi H perpendicularibus , ductaque HX quae Q secet in L; patet enim punctum L ipsum C repraesentare quod est quidem punctum basis BCD prismatis dati, quae quidem basis in sibi echo plano esse intelligenda est. Circa vero altitudinem inueniendam, ut si punctum

prismatis

129쪽

LIBER TERTIUS.

prismatis stipram respondentem altitudine P inuenire voluerimus, duae catur similiter K ipsi H aequi distans , quae quidem a se inuicem diastent, ut altitudo data P, in E cxponantur puncta I, quae per pendiculariter respondeant supra H in similiterq; ducatur I ipsi ΕΚ perpendicularis, quam quidem I secet ducta X in N; erit sane punctum N, ubi apparet pristinatis punctum supra C perpendiculariter extostens; quod dem fiet in alijs punctis inueniendis, figuraque apparens pris ma ostendens inuenta erit quod facere oportebat.

PROBLEMA PROPOSITIO. V.

Propositum sit problema perficere modo decimos ti

mo, ut in secunda praxi.

Eadem prorsius exponatur, ut in vigesimasecunda propositione pra cedentis Rubrim Ecunda praxi, intcl-hgaturque basis prisinatis BCD , cuius altitul o sit KF quar ducatur Eripissi G aequi distanS, trans: feraturque punctum in

F, hoc est fiat E aequalis G ducaturque AE, quae lineam K secet in bin ducaturque similiter H pcipendicularis Q, fiatque I aequalis N hoc est ipsi L; nimirum punctum I Ostendet iris e ctione punctum supra altitudinem . eodemq;imodo inuenietur punctui c ostendera punctum sura pra D altitudine F Denique fiat F aequalis ΚΒ, ducaturque ad A linea T, punctum quidem T ostendet punctum stupra B altitudine F Iungantur igitur QTI Q II erit an LPM IT dati prismatis apparens figura. quod facere Oportebat. Ut autem in cadem vigesimasecunda propositione adnotaumaus eodem loco potius apparens figura ad alteram incae F partem ei lineanda.

PROBLEM PROPOSITIO. VI.

Idem absoluere decimo octauo modo , ut in secundata praxi.

Eadem

130쪽

Eadein exponantur , t in secunda operatione vigessimae tertiae propositionis secundi libri liuius; telligaturque lue basis prismatIS, cuius altitudo P. quare ducatur per P linea PQ ipsi K parallela tran1- feraturuue punctum G in R, hoc est fiat R. aequastis G, ducatarque A, quae meam P secet in T; producaturque L ,

fiatque, aequalis T. siue quod idem est LUaequalis OT; punctum quidem V ostendet prissematis punctum supra Galatii id me P. adenaque ratione alia inuenientur puncta; eritque apparens figura M. quod est intelligendum, ac si H esset in N, planumque Hs ierit subiecto plano erectum , fueritque SF, planumque PGRQ subiecto plano rectum, lineaque D similiter erecta tunc si faerit E quoque erecta , runt puncta TY unum punctum si igitur per lineam Q intelligatur planum ubiccto plano aequAtillan S, in quo quidem intelligitur altera basis prismatis, constat lineam pri malis supra L altitudm K in sectione a parere in V, ut ex cadcin demonstra, tione colligere licet quod facere oportebat. Praxi autem , quae a an sequitur , fiet absque lineis D GR T. quarum loco deseruient L C N. ut in eodem problemate diximus.

PROBLEMA PROPOSITIO. VII.

Propositum sit decimo nono modo problema ab

soliter . Sit punctum S distantie, QS oculi altitudo, atquc BH sectionis linea. ut in vigesimaquarta secundi huius ducatur QC ducaturque L ipsi H perpen, dicularis; fiatque ut SC ad CQ, ita SA ad L. punia. ctana quidem L ipsium

repraesentabit. At pro alti atridine inuenienda ducatur

E ipsi H aequi distans

secundum altitudinem P. quae quidem sit prismatis ab titudo. Deinde fiat ST , qualis ipsi , Nunc intelliuaegatur