장음표시 사용
151쪽
Η vero ducatur H atqui distans R. chioniam igitus a puncto exeunt lutea C CH ipsis P S parallelae , ductaeque sunt VsX, quae sese dispescunt in L perspicuum est punctum C apparere in ab intelligatur igitur C in subiecto plano xerit punctum inuentum. quod facere oportebat. Oportet autem, ut datum punctum L sit inter lineas H UX.
Eodem prorsus modo si data fuerit in sectione figura, ut LM , quomodo in stabiecto plano inueniri possit figu-gura BCD, quae in B LM appareat, manifestum est.
Facilius autem figuram in proposita sectione apparentem inueniemus Vt In praecedenti dictum est, hoc modo
Duc tura iisdem positis S ad F perpendicularis, intelliganti que R aequalis R, iungaturque SP; & secundum lineas S SP in , ueniantur puncta concursitis XV deinde a puncto inducatur H ira BF perpendicularis; fiatque H aequalis CH ducanturque similiter HX V. erit utique punctum L, ubi apparet in sectione inclinata ipsium G ducta enim CE , triangulum CH simile prouenit friangulo SR', quod cum sit CH ipsi S aequidistans, erit di CE ipsi S parallela ν' ita in alijs quod facere oportebat
Alii modi asserri possim describendi figuras in subiecto iano
existentes in inclinata lectione apparentes, praecipue vero vigesimus tertius modus8erfacilem praebebit fraxim Ied ιn hac secIrone νclina ta a solida repraesentanda accedamus
Oculo dato datoque pri ima te, cuius bas sit in subie cto plano , parallelogramma vero sint rectangula , in proposita sectione subiecto plano inclinata figuram apparentem describer .
152쪽
Datus sit oculus in A, Si inius altitudo; sitque in subiecto plano siectionis linea in prisia lavero datum sit BCD EFG sitque basis CD in subiecto plano lectio autem sit inclinata in angulo K. Oportet in sectione figuram apparentem describere, quae scilicet datum pristia reprae sentet. Ducatur bl ad I perpcndicularis fiatque angulus II X qualis a doctauu AXjpsi S aequi distante, nimiru crit X punctum
concursus earum linearum , quae ipsi Bbi erunt perpendiculares, ut antea diximus. Deinceps Vtcunque ducatur inueniaturque punctum concursu carum linearum ipsi P aequidistantium. Deinde intelligatur
planum per EF ductum, quod quidem A secet in T, R in I, VP in L. quoninmalatini EFG est aequi distans plano CD, erit planum per FG ductum subiecto plano aequi distans quare ducta linea L erit ipsi H aequi distans; eritque altitudo prismatis ipsi SI aequa-is. Praeterea ducta I erit ipsi S aequi distans, cham ASRX sit unum planum: similiter ducta linea V, erit A ipsi Sy aequi distans siquidem linea AS SP P in uno sunt plano quare erit ob eandem causam ducta TL ipsi quoque SP aequidistans. Itaque intelligatur planum per EFG ductum esse subtemim planum, in quo sit L sectionis linea, punctum punctum distantiae, A culi altitudo, FG vero sit rectilinea figura in
subiecto plano porro eadem puncta V erunt puncta concursu . nam
ducta CH ipsi H perpendiculari, ductaque N ipsi L perpendiculari, erunt urique CH N aequidistantes, quae in lineis X X apparebunt similiter diictam ipsi P aequi distante, ductaque FO ipsi j TL, vel P aequi distante, crunt similiter C M O interseae ani distantes, 'ciam sint L SP aequi distantes. Vnde apparebutit Omi, in lineis OV U. ex quibus sequitur punctum C apparere in , vero in . & quoniam B est in sectione, iuncta Y apparebit B in Y. cita in alij .
153쪽
Propter praxim autem ducatur Z ipsi S aequidistans, producaturque I in iungaturque L. Quoniam enim S ZR E sunt a quales. aequidistantes, sunt enim risinatis altitudini aequales, iubis fio latio perpendiculares, erit E ipsi BR aequidistans sed ex constructione NI est parallelogrammum ergo EGNI sunt aequales, . Drallelae velut EN I. eritque I distantia lineae I a linea TE. deinde ita se habebit figura EFG ad lineam L, ut CD ad lineam ΒΗ, hoc est angulus EF ansulo BC,' EG angulo RBD aequalis existit. ut ex ijs, quae dicta runt, perspicuum cst.
Sit S punctum diu stantiae sit BP sectionis linea ; sitque Aoculi altitudo aequidi- stans P. Ducatur SRipsi BP perpendicula. ris, intelligaturque seactio subiecto plano in clinata in angulo K versus A cui aequalis fiat angulus Ro ducta.
distans , faetaque X aequalis o erit punctum concursus ea. rum linearum, quae ipsi BP perpendiculares existent sit datum pricma, cuius basis sit BCD in subiecto plano 3 altitudo autem sit squalis ST . ducaturque Laipsi S aequidistansanatq; I aequalis RLiducaturq; IN ipsi P
ducaturque E para, llela IN. Deinde fiat 1Z aequalis B; Describaturque figura EFG aequalis,& similiter posi ta ut CD, hoc est sit angulus ZEG ipsi RBD aequalis, c. His ita
constitutis, ducatur S utcunqiae, inueniaturque punctum V concur sustineae SP, earum quae ipsi P aequidistantes erunt, ex praeceden tibus. Deinde intelligatur planum, in quo sunt figura EFG, uinea Nesse subiectum planum lineaque I sectionis linea. Ducatur deinde EN perpen, 33.nnnis
154쪽
concu iis .cula canturi uel X d quae feriecent in . in nurum punctum cinsectione ostendet prissimat1S punctum supra Baltituduae T. Qu0d cum sit punctum Bonsectione , ducta Y, ostende B littus prismatis supra B cxistens.
similiter ductis CHC ipsit S SP parallelis, ductis quem a Min ad X quae se siccent in in punctum
Q Ostendet ipsum C. parique ratione ab
parallelis, ductisque ad. lineis N estque sese dispescant in punctum sane si oste idet insectione inclinata prismatis punctum supra C perpendiculariter existens. Vnde iunctis inti, erit in apparens linea, quae prismatis latus supra C existens repraeuentabit. si igitur connectantur BQ δ, Ostende BQ lineam.BC, inca vero Iesi ostendet lineam prismatis ipsi BC parallelaim. atque laac ra one Inuenietur in sectione apparens figura, quae totum Prisima πι aesentabit , quae quiolem omnia parent si intelligatur sectio PVX eleuata in alagulo K versus intelligaturque figura SA0R manente RI si ibiecto plano crecta; erit enim o in X, in I. deinde si intelligatur planum EFG perpend: culariter supra CD altitudine ST, erit uoctum E perpendiculariter stupra B altitudine S. quod si intelligatura est Lindicto plano EFG. erit E distantia puncti , lineae: a linea IN punctaque V X erunt tanquam insectione puncta concursus. quod facere oportebat.
Hinc patet, dato puncto in subiecto plano, supra quod perpendiculariter alterum sit quoque datum in sublimi, insectione inclinata utraque puncta inueniri posita.
Si enim darum sit puncturi C in subiecto plano, stupra quod perpendi- culariter
155쪽
iculariter in sublimi alterum si1 quoque datum punctum altitudine T. su matur in lectionis linea quodvis punctum , iungaturque C. tunc ea idem ratione primum inuenietur punctum , ubi scilicet apparet pium C. Demae eodem modo inueniatur linea EF, ex puncto F incis F. FP uiuenietur similiter punctum id, quod quidem ostendet punctum supra C altitudine T.
Ijsdem enim positis figuram apparentem inueniemus, si intelligatur RPaequalis S; ceteraque eodem prorsus modo construantur ducaturqueCH ipsi BP perpendicularis fiatquem aequalis CH. similiter inuenietur punctum in quod quidem ostendet ipsum C. Deinde fiat o te qualis sue, eodemque modo ductis lineis, puncturn in Ostendet punctum supra C altitudine T. hoc enim patet, quia supposito, quod CH HM sint aequales, Fo S itidem aequales, si iungerentur Μ γ, essenti C Fr, ipsi S parallelae, tante ostensum est quare iuncta fali iis, , citudinem pri sim alis supra punctum C repraesentabit & ita in alijs quod ui facere oportebat δ
rere in linea X. Recta enim linea est .F, quae ipsi N perpendicularis existit.
Ijsdem positis, impro quovis puncto a in lineam ', altitudinem puncti supra , quod appareat in , in
156쪽
Vacatur δρb, quae tendat in quippe quae lineam CP secet in ducaturque I aequidistans Hia fiatque L aequalis RI; denique ducatur iTaequi distans RS Dico punctam supra altitudine S appare
re in , Ut ex construuctione patet . etenim
cuin sii Sia inclinationis angulus sectionis inclinatae, si intelligatur supra a punis ctum altitudines ST , quoniam ducta est Laequidistanc SR factaque est' aequalis RL, Mest SI aequi- distanc RH. ipsique
ι perpendicularis est C. perspicuum est punctum supra C lautitudine T apparere in , linea sed idem punctum apparet in q, si supponitura ergo punctum supra Caltituduis S apparebit in .st quod inuenire oportebat.
Ex his perspicuum est, si stantes fuerint inaequales ire, proposita se istione sit biecto plano inclinata figuram appa
rente in eodem modo descri Dere posscit. Eodem enim modo ex altitudinibus inra existentibus quodlibet altitudinis punctum inueniri poterit .
Oculo dato , dataque figura rectilinea in plano , quod per sectionis lineam transeat, sitque subiecto, plano inclinatum , in proposita sectione figuram apparentem de
157쪽
Sit oculus in A, cuius supra subiectum planum altitudo sit AS in quo plano sit B lectionis linea. data vero figura sit BCD, quae sit in plano, quod subiecto plano sit inclinatum in angulo, sitque Piso Ix
rum planorum communis sectio in
telligaturque planum C esse suis pra subiectum lamina oportet insectione figuram apparentem describere. Ducatur SP ipsi BP perpen dicularis . iungaturque AP, in in lano per C transeunte ducatur initidem ipsi BP perpendicularis: erit utique PQ inclinationis anguis lus planorum,&ob id angulo Κ .
qualis; dReaturque Q ipsi PQ expendicularis. Quoniam igitur AS est subiecto plano erecta, QSP ad BP perpendicularis existit, erit ΑΡΣ . Ictri eidem P perpendicularis. Cum autem AP sit perpendicularis P ibsi γὰρpiductaque est PQ itidem ipsi si perpendiculari , denique ducta est A ad PQ persendicularis, erit frae A plano per QP B ducto, hoc estri. addi,
plano per figuram BCD transeunte erecta. Quapropter si accipiatur hoc eimia planum pro subiecto plano sitque B sectionis linea, A Oculus, AQoculi altitudo, punctum inpunctum distantiar, quod quid ei distat 1 sectionis linea quantitate P cum sit QP ipsi BP perpendiculaeis si is x sectio fuerit hoc plano erecta, omnibus modis descri odi figuras insectione praecedenti libro traditis operari poterimus. si vero sectio fuerit huic plano inclinata ex antedictis figura inuenietur apparens quod fieri oportebat. Similiter si figura data fuerit prisma, cuius basis sit in plano pς sectionis lineam transeunte, subiectoque plano inclinato, quod quidem parallelogramma habeat rectangula, figuram insectione apparentem inueniemus, ut si secti fuerit plano inclinato erecta, operabimur, ut initio huius, si v ro inclinato, ut in praecedentibus dictum fuit
Sit S punctum distantiae in sub leocto plano oculi vero altitudo sit SE, quaesit sectionis lineae P aequidi- stans sit vero data figura BCD, quς intelligatur eme in plano ipsi subiecto ςlano inclinato in angulo Κ, ita ut
Ducatur SP ipsi BP perpendicula. ris. Deinde fiat SPH angulusqqualis . Ducaturque id ipsi PH ad rectos angulos. inuentisque PHME, sia PQ aequalis Id deinde ducatur A parallela BP quae fiat aequalis ipsi HE. His ita constitutis intelligatur punctum distantiae,
158쪽
Q oculi altitudo, B sectionis linea. BCD giua data . hisque cognitis si sectio merit hoc plano recta dictorum modorum aliquo de αscribendi figuras in sectione operabimur, vitia praecedenti libro tradio tum est si vero sectio fuerit inclinata, ut in praecedentibus dictum est, fieri poterit.
Qus di figura data fuerit solida,
ut antea dictum est, sectioque fuerit erecta . figuram apparentem inueniemuS , ut initio huius multis modis diximus, si inclinata, Vt in praecedenti IL S. Caeterutri hic considerandum occurrit, quod linea PH ducenda est ad eam partem , ubi est planum inclinatum ut si planum, in quo data est figura, inclinatum metit sipra subiectum planum, recte ducta erit H . tunc enim pars huius plani ad partemPH erit infra subicctum planum, si quidem est BP planorum sectio communis. si vero planum BCD fuerit in 1ra subicctuna planum, tune pars huius plani ad alteram partem ipsius B esset supra subiectum planum,in in hoc cassiducenda esset linea L, ita ut SP L angulus sit aequalis , ipsi L ducenda esset linea EL perpendicularis , deinde ponere lineam ΡM aequalem P L, ducereduc MN ipsi BP parallelam, re ipsi L aeὰ qualem efferque punctum M punctum distantia: o MN oculi altitudo.
Tombae aliae quoque sectiones considerandae occurrunt primum autem sequens roblema ostendemul
Sit primum datum ui actum S distantiae , sitque Aoculi altitudo , dataque sit linea EF sectionis linea , quae non sit ipsi AS aequi distans figura rectilinea vero in subiecto plano sit BCD Oportet in erecta sectione figuram apparentem describer .
Hac constructione vigesimoprimo modo describendi figuras in sectione apparente utendo operabimur. Itaque ducatur C , quae sectionis lineam secet in F ducaturque FG ipsi S atquidistans; ducaturque C deo inde fiat L ipsi FG perpendicularis,' ipsi FG aequalis, tunc videtur punctum L ostendere ipsit C. Nam si intelligatur L subjecto plano erecta, intelliganturque duo plana, planum scilicet sectionis per Ftransiens, alterum planum per FG transiens, quae sint subiecto plano erecta,
159쪽
erecta,sii FL intelligatur subiecto plano erecta, tunc hia esset ipsorum planorum communis sectio. si igitur FG intelligaturcsse sectionis incae cum sit FG ipsi Ar, quidl- stans, punctum in in hoc plano ipsu in C repraesentabit eodemque modo inuenietur pun
dens induertendum est tamen, si iungantur puncta BL M, figuram BLΜnon esse figuram in se αctione proprie appare tem namquam ui quW,
lineae L A boc modusunt insiti iecto p podemissae, Iaphat Altibere debent nam quando sunt stibicctio planin crςct. sunt qne rectionis lineae si perpendiculares, i ita VPI FEMEF sint anguli recti quodi Wisi biecto plano existentes anguli Fh nun sunt recti unde neque possumus manente F conciperisectionein vitia cum LM elevatam es si figuranique LM stellio 4co collocatam; nam FB non Let n*gulus rectus, ut Oportet inlare ut describamus proprie figuram apparentem ducantur FP O ptii F perpendiculares. fiatque I ipsi L lio est ipsi FG aequalis E autem fiat aequalis ML iunganturque puncta BPO, erit ane figura BP proprie figura in sectione apparens. ut perspicuum est, si intelligatur, manente EBF, sectio POE nactam figura BP subiecto plano erecta; sitque eidem plano AS pe diculais ris, Moculus in A. quod facere Oportebat '. .' .
Oculo dato , dataque figura in subiecto plauo, in sectione pluribus planis iubiecto plano erectis constante figuram apparentem describer .
Eadem intelligantur exposita, loco autem rectae sectionis, doco sectionis lineae, quae erat recta linea, intelli tu sectio pluribus planis subiecto plano erecti constanS; quae in ubiecto plano esticia EFGH, ita ut FFG GH sint rectae lineae; quae quidem tot erunt sectionis lineae oportet in
160쪽
sectione figuram apparentem describere Daucatur SC, quae lineaim EF secet in I. ducatar
pensicularis i intestiga iturque I in plano per
EF transeunte subiecto inque plano erecta . pri murn hoc modo puncta
ipsi Q repraesentabit. Deinde ducatur SF, quae lineam CD secet in Μ, B vero in N; du, ictaque F ipsi AS aequi distante, iunctisque M AN, similiter inueniatur punctum I ipsum ostendens, Qvero ipsum . quod si in itelligatur FQ subiecto plano erecta erit FP in angulo, hoc est erit comunis sectio planorum per EF FG transeuntium . similiter ductis GXT, QSD, inueniatur punctum' ipsum T ostendens V vero ipsum X, α Y ipsum D. Itaque si intelligantur puncta L PRYU suis locis in planis per EF FG GH transeuntibus, iunganturque in ML L PRRY U B erit haec apparens figura. Verum figura BQLPRY in subiecto plano existens non ostendit proprie figuram apparentem . oportet enim, ut in praecedenti diximus lineas I FP esse ipsi F perpendiculares similiter eandem P, ipsi FG perpendiculares; itidemque GR HY ipsi GH perpendiculares. quae quidem ut in secunda figura aptas ri poterunt ut scilicet fiati FP ipsi E perpenediculares , sitque in FP Dpunctum in ut insupe
punctum , ut insit peis riori figura, iungaturque
perpendiculares fiatque CZ qualis G R, Moequalis V iungantur-uue ZY o. Hoc namque modo per partes liguram BCD repraesenta' bimus etenim figura LPQ proprie partem MN repraestentabit, inritea quae describenda est in plano stupra EF figura vero OKRV ipsam BNMTU Ostendet, eritque ea. quae in plano supra I describenda est; figuraques YZ ipsam DTX repraesentabit . eritu ue YZi figura describenda in plano supra H. Qi'ae quidem omnia patent, si intelligastu primum S subiecto plano erecta, oculusoue fuerit in constitu tus deinde manente I intelligatur planum ILP subiccto plano ere'i