장음표시 사용
181쪽
3 primi. subiecto plano erectae, erunt inter se paral 6. Hoc llelae lineae vero B F lineas coniungunt m H ηνιήparallela BF ΤΚ linea igitur BE iunt in plano linearum S ΕΚ quare U is 47. νηd cum planum B secetur a parallelis pia i mi. nis BD FH erunt et a parallelae. Vnde parallelogra in mum est BR ac propterea BF ΕΚ BE F interie sunt aequales parique ratione ostendetur ΚDH, MED H me interse aequales,' mluti H CG, GH deinde GBF BC FG interse aequales existere ex quibus sequitur B CG DH ΕΚ
hoc est angulorum altitudines interse equales esse. quoniam MED unt ipsis Κ ΚΗ aequidistantes, erit an-Io. undecigulus BED angulo ΚΗ aequalis siti literque ostendetur angulos EDC mi. ΚHG, in BCD FGH interse aequales esse latera vero, quae sunt circa aequales angulos ostensa sunt aequalia erit igitur figura GH aequalis figurae BCDE. atque similiter posita . quare perpendicularcs a punctis BCD in subiectum planum cadunt in punctis, quae quidem coniuncta figuram constituunt ipsi BCDE .ciualam in similiter positam perpendiculariumque altitudine sunt Interie aequales.
Deseribatur in subieicto Iano figura C ΗΚ, quae intelligatur si data figura altitudine F , quae sit
data nimirum puncta FGH Ostendunt, ubi cadunt ab angulis datae figurae in subicctum planum perpendiculares, quae quidem sunt urieri aequale S, cum sint m. ne ipsi B aequales quod facere portebat. Ex his facile erit ex secunda, undecimaq; propositio, ne Malijsmuiris praecedentis libri repraesentare figuram FG ΗΚ, cuius altitudo supra subiectum planum sit FB.
Data figura plana rectilinea subiecto plano erecta, cuius , de subiecti uni data sit communis secti , ubi ab angulis
182쪽
angialis in iubie lum planum perpendiculares ad tint, nec non eorum altitudines supra subiectunt planum inuenti
Data sit recta linea FG, quae intelligatur sido i , . ibiecti plani, ac datae figurae communis sectio quae quidem figura subiecto plano intelligitur crecta , quam quidem primum sulbiectu ita planum contingere in puncto D concipia iamia S. Deinde describatur figura BCD in subiecto plano aequalis ei, quam volumus iis . se datam,&erectam subiecto plano eodem namque modo se habeat figura BCDE id FG , quem adna sedum 9ncipimus figurassi erectam ad finderet lineam FG se habere. figura utique BCDE ideam quoque FG in
eodem puncto B conlitiget oportet puns cta in stibiecto plano, ubi ab anguli Crect. ae. sigurae in ipsium perpendicularcs cadunt, langulor 3 altitudihes supra idem planum inu Cnire. Ducantur a punctis CDE linea CF H Gad lineam FG perpendicularcs. Dico FH cste puncta, ubi caduIriper' pendicularcs ab angulis figurae in subiectum planum; Imeamque C alti tudinem anguli C supra subiectum planum ostendere, H altitudinem anguli D, ipsius . Hoc enim perspicuum cst si cnim inteli i- satiar, manente FG, figuram BCDE conuerti una cum inicis C DGE, donec figura BCDE subiecto plano fiat rccta Quae quidem erit inco situ, in quo conci Umu datam inguram sic subiccto plano rectan . tunc figura inli Oc situ existente lincar CF H EG ipsi EF perpendiculares 1imiliter remanebunt; tu equidem cum sit FG planorum communis sectio, planaque sint sibi inuicem ad angulos rectos subiccto plano
crunt erectae ergo HG sunt puncta, ubi cadunt perpondicularcsabaiὶgu- planum. 'uoalaam C ED CE sunt subie lis data figura in sit biectumcto plano erectae, linea in aliundinem anguli Cratipra tibicctuna lanum ostendet, D altitudinem anguli D, E ipsius . ii Si vero concipimus datam figuram subiectun planum non contingue in . similiter ducenda esset a puncto B ad FG perpendicula lis ciuiae itidem punctum in G, ipsiusque puncti B altitudinem ostcndor i. C hod i ac re oportebat In sectione autem ex undecima. decima tertia praecedentis libri yro positione si inueniatur, ubi apparet punctum B aliquam in subiecto p Ἀ-MO existens, deinde ubi apparet punctum supra F altitudine C sin his: ter punctum sit pram altitudinem D, punctum supra G altitudincta E quae quidem puncta, si coniungantur, erit profecto inuciata 2Pparcnssigura, qua datam figuram subiccto plano ercci ina repitassentabit.
y bis praxibus , et eluti etiam in sequentibus , rannitus modis describe uri figuras infectione apparentιs et timi rimus. tio si se ctio fuerit etiam subiecto ptino inclinati, vel alio modo, et ii diximuS, ex iis, quae dicta sunt, in ipsis quoque Auram apparentem descri-bmus . in sequentibus autem ob facilitatem exempti tantum Vomem a d si sectiones sint subiecto piano erecrae.
183쪽
at inclinationis angulo data figura plana rectilineae subiecto plano inclinatae, cuius, .subiecti plani data sit, lectio communis, ubi ab angulis in subiectum planum
peFendiculares cadunt, eorumque altitudines inuenire . Data sit in subiecto plano fi 'gura BCDE, quae intelligatur: aequalis ei, quae subiecto plano Iest inclinata , quae quidem adieam partem sit descripta, ad quana est inclinata sitque incli. nationis angulus H utq; puta, ctum B in iubiecto plano sit, que FB linea, quae subiecti plani, ac data figurae sit coni. munis sectio oportet puncta in subiecto plano , ubi ab angulis figurae in ipsium perpendiculares cadunt, supra eadem puncta angulorum altitudines inuenire . Ducatura puncto C ad FG perpendi. cuiaris CG deinde fiat angulus GK aequalis angulo H; atque GK aequalis ipsi C; ducaturque L ad G perpendicularis. Dico priὰmum punctum L esse, ubi ab angulos quando figura data est suo loco inclinata in subiectum planum perpendicularis cadia, superque punctim altitudinem esse lineam Κ. si enim manente L intellio a mustriangulum GL subiecto plano erectum linea L erit subiecto pla; no erecta. deinde intelligamus figuram BCD Vna cum mea CC, a nentibus punctis BG, elevari, donec sit sublecto plano inclinata in angulo H; tunc erit punctum C in puncto:K. nam cum linea K sit subiecto pla
sexti GK in plano figurae inclinatae BCDE. Cum itaque C sitae itali, ' P ψρ' quando figura intelligitur eleuata, tunc linea: GC G erunt linca una ae ρε propterea punctam crunt unum tantum punctum quod cum sit Κlsiibiecto plano erecta erit punctum L, Vbi cadit perpendicularis a puncto in subiectum planum, L erit eius altitudo eodemque modo fiat in alijs punctis, inueniemusque punctum , Vbi cadit perpendicularis a puncto D eritque MN eius altitudo similiter inuenietur punctum , rubi perpendicularis cadit abra, eius altitudo existet quod facere
Neque aliter, si B non contingeret subiectum planum, inuenietur, ubin subiectum planum ab ipso perpendiculari cadit una cum altitudine. - PROBLE
184쪽
Oculo dato dataque figura plana rectilinea subiecto plano inclinata , in proposita sectione apparent in siguram,
i dantia Exponantur eadem, sitaque iunctum distanti , SA occuli altitudo, situ ue QR sectionis linea pli Aaequi distans oportet insesctione figuram apparen te describere . Cum enim sint puncta LMO, ubi ab angulis figurae in subiectu planum perpendiculares
rum altitudines Κ ΝΟ ipsi QR aequi distantes. Vt in undecima pr cedentis libri diximu . primumque inueniatur punctum , quod in sectio, ne repraesente ipsum . Deinde inueniatur Unctum , quod Ostendat punctum supra o per pendiculariter existens altitudine P linei nem
repraesentabit punctum datae figurae punctum E quando figura est subiecto plano inclinata in angulo H. eadem due prorsu ratione inueniatur punctu X,
quod ostendat punctum supram altitudine MN. inueniatur I; similiter punis S Actum V, quod punctum supra in altitudine aΚrepraesentet puncta utique X figurae inclinatae puncta DC repraestentabunt. Itaque iungantur puncta TVXY, nimirum figura TX datam figuram, quando est subiecto plano inclinata in angulo H, repraesentabit;
ieritque ob id X figura insectione apparens quod facere oportebat. Quoniam
185쪽
Quoniam autem de solidis rectilineis sermo habetidustem, ideo Datum solidum intelligimus , quando eius om
nia latera, omnesque laterum plani anguli noti sunt . . Ex qua cognitione solidorum ichnographiam, ut initio huius dictum
Dato solido quadrilateris contento, cuius basis sit in subiecto plano, sitque alterum planum basi parallelum , cae terorumque planorum cum plano basis inclinationum anguli sint dati; ubi cadunt ab angulis in subiectum planum
perpendiculares, eorumque altItud meminueni I . Datum solidum sit BCD FGHΚquadrilateris contentum . sitque basis BD m Iubiecto plano, FH vero sit ip si BD atquidistans 3 quorum quidem planorum latera FG BC, CH CD, reliqua erunt intersi parallela squOniam plana FH BD secatatur plano BG, &obicierunt BC FG parallelae, cita in alijs. Deinceps dati sint inclinatio num anguli planorum BG BD, BKBD, dcc oportet ubi a punctis FGHΚ in subjectum planum perpendiculareS cadunt, eorum Que altitudines inuenire. Suniratur in quavi linea lini BD, Vt in E quodvis punctum L Minplano B ducatur LM ad B perpendicularis rursus ab L eidem B in plano BD, hoc est in subiecto plano , perpendicularis agatur LN, quae qui Edem LN utrinque producatur, stima: turque L angulus ad eam partem, ubi est acutus erit utique L inclinationis angulus planorum K, is 6. Def.ν subiecti plani. Deinde ducatur MN perpendicularis ad N M pun decum.
ct m ducatur ON atqui distans ipsi BE. Parique ratione sumpto puncto Q in linea C. in B B ducantur QR QT ipsi BC perpendicularcsci ducaturque T ipsi QT perpendicularis, deinde per Hi
186쪽
nea ducatur VTO ipsi BC parassela.
eademque prorsus ratione inueniantur
V X X ipsis CD D parallelae Disco per/endiculares a punctis FGH in subiectana planum ductas In punctis OUX cadere esseque altitudine punctorum aequales ipsi N. Quoniam lignaro B sunt parallelae, atque 'BE O itidem parallela: erit O ipssis undecio F aequi distans. at vero quoniam ML cst perpendicularis Ε, ipsique Eperpendicularis est etiam L in plano BD, est MN ipsi LN perpendicu laris aerit MN plano BD, hoc est subiecto plano erecta . quare anguluSMNO rectus existit . quod cum sint O FK paraliciae , erit M rectus angulus si agitur fiat inaequalis MF, 33. prim . iunctaque O , erit utique a ipsi
FO ubiecto plano erecta. At Vero quoniam punctum F in liuea quoque FG reperitur ipsi BC parallela similiter ostendetur perpendicularem O cadere in linea O, esseque o aequalem RT; sed F Ostensa est aequalis MN, ergo MN R intersi sunt aequales constat igitur ex his punctum E cadere, ubi lineae P Use inuicem secant, ut in . eademque prorsus ratione ostendetur punctum G cadere in V, WH in X, m in P eorumque altitudines esse aequales ipsi MN, hoc est omnes punctorum FGH altitudines suspratu biectum planum eis interse aequales. Hinc colligere licet, si planorum B B CH D eum BD inclinationum anguli fuerant aequales, tunc inuenta tantum ut dictum est9 P. deinde ducatur V, quae aequaliter sit distans BC, veluti P a E. ducanturque similiter UX P aequaliter a CD ME distantes, ut Pmi primi. BE, erunt hoc modo inuenta puncta V X P, ubi scilicet cadunt perpendiculares a punctis FGH in subiectum planum . nam si angustis
RQ est aequalis MLN, quoniam anguli TR LN sunt recti, &-- quales, lineaque R est ipsi MN aeqvialis ut ostensium cst crit triangulum triangulo , lineaque QT ipsi L aequalis quare V aequaliter distata B, vestiti P a BE. Odemque modo ostendetur V X ae qualiter C DE distare, ut O a BF. Hic quoque obseruandum occurrit, eandem posse fieri praxim si loco inclinatiouum anguli υ ML data fuerit proportio Q. ad QT. SML ad N ex hoc enim inueniri facile potest perpendicularis MN, perpendicularis T. quidem LM rectum angulum subtendit, veluti QR. Praeterea si supra planum GK aliud fuerit similiter datum solidum, quorum quadrilatera sint plano K inclinata , eodem modo supra planum GK inueniemus punctorum altitudines, quibus addantur altitudines punctorum FGH Κ, quae sunt interse aequales ut ostensum Meruntque si. militer inuentae punctorum altitudines supra planum BD ex quibus, bia ipsis cadunt perpendiculares in planum BD , inuenire non erit dissicile.
187쪽
Data sit basis solidi in subiecto plano BCDE circa quam sint data quadrilatera BKB CH DI. erit vitaque linea D ipsi BE aequidistans, Lipsi BC, in reliquae reliquis eritque aequalis EI, B ipsi BL , c. siquidem si intelli eantur plana R
Y in , iungaturque RT; deinde tanquam in subiecto plano ducatur LN ipsi B per 'E0disulatis. Au Rad caiypartem ducatur, ubi est inclinatio planorum B sDi fiatini L aequasi μή ho erit MN recta
linea; a puncto N ducatur ON parallela BE; perspicuum est a forulidi punctis K in subiectum planum perpendiculares ductae in linea P cadere, corumque altitudine esse ipsi Tl aequales eodemque prorsius modo , siauetat planorum BC, BD inclinatio in inueniatur lii a Vipsi BC pa fallela . unde constar punctum 'pi 'ubiectum planum per Pendiculariter cadct in V., citius altitudo est TR. Parietus ratione si de. scribanitar reliqui anguli inclin aenum Lipuenientur line: V X ipsi, CD DE parallelae; eritque proptete a V Vbi cadit perpendicularis 'apuncto G X vero ubi puncto H, ubi a puncto, quoruna quidem altitudines omnes sunt ipsi TR aequales quod facere oportebat. Quod si dati inclinationum anguli planorum cum basi fuerint intersi aequales, inuenta tantum linea P, ut dictum est, ducantur OV V X P, quae aequaliter distent a b CD DE, veluti P a BE; erunt utique puncta VX thues, a 'stitudines autem sirisi similite ipsi TR qquales. Qnodii loco dati ilic in Stronis anguli data fiserit proportio linearum LM LN qu, quidem similiter ducta sma ip BE perpendicula res ex puncto, uel potest . ON ipsi BE aequi distans p&vt in ueniatur altinrdo puncti M. quoniam LM est ea linea, qua subtendit angu*lum remim, cxportatur UR aequalis T M, fiatdue semicirciuus TR, in quo applicetur linea Y aequalis N patet ducta TR, amulam esse rectum, unde angulus ad Y erit inclinationis angulus plani Κ, basis BD eritque ob id TR altitudo punctim, quod intelligitur esse supra . Quapropter caetera eodem modo sient;& hac ratione, ex data proportione in alijs planis eadem inueniri poterunt. a Sed
188쪽
Sed hoc quoque modo fieri poterit, nempe exponatur TY aequalis LN ipsique perpendicularis, ducatur TR, centro Y secundum ionis Mudiner L describatur circunserenti RS, quae TR secet, ira erit similaesinuenta IV, quae altitudinem puncti H ostendet. . . .
Ex hoc constat eadem similiter inueniri posse, etiam si basi fuerit e trilatera , ves pentagona , vel quomo docunqueri dummodo, cluae cire basimsunt planari siti L.
Ex his inuentis figuris BD OX, cum datae strualtitudines punctorum supra POUX perpendiculariter existentrum, quae quidem altitudine sunt: intersi &ipsi TR aequales, facillimam erit data sectionis linea, unas que distantiae, oculique altitudine data figuram apparentem describere ' Hanc quoque apparentem figuram ex quarta huius propositione inueniemus, delicribendo in se ne securas B :M quarum fici,
189쪽
Dato solido quadrilateris compraehenso , cuius basis sit in subiecto plano, ubi ab angulis alterius basis in subier
ctum planum perpendiculares cadunt, eorumque altitudi' nes inuenirυ.
Sit solidum BCDEFGH quadrilaterili onstans, cuius basis BCDE si
in subiecto plano oportet ubi a punctis FGH in subiectum planum perpendicu Lires cadunt, eorumque altitudines uenire. Ducatura puncto ad BC perpendi calaris L, quae erit in plano quadrilateri BFG C. deo inde in i 3 bieca O plano ipsi BC perpendicularis ducatur M. si igitur a puncto F in subiectum planum perpendicularis ducatur, Cadctvr 'que In linea in I similiter ab F ad lineam B perpendicularis ducatur FN quae erit in plano quadril ter BFKE, a puncto N ipsi B in abiecto plano perpendicularis ducatur NM eadem ratione perpendiculari S a pundi cho F in subjectum planum ducta, cadet in M. ergo in puncto , ubi lineae LM NM se inuicem ecant, adit per radicularis a puncto F lsubiectum planum . quare iuncta IM, erit M subiecto plano erecta Et quoniam inuentaἰsiunt puncta LM, data erit positione linea M. quare trianguli FLΜ lineae L LM longitudine in nota angulusquc FM ci 'ognitus, cum iit rectus; angulta Sigitur LM notus existet quilest angulus inclinationis plani BCG, subrecti plani cum sint L FLM 6 6
ipsi BC planorum communi iectioni perpendiculares; ac propterea FAh 'altitudo puncti F nota erit Parique ratione inuenietur punctum O, i, 'cadit perpendi vi/ris atritam, sta in i bis in isti' 'n' , hi u Coierit eius altitudo. Vs aut δὲ nucinatur, Vbi a Phincto' perpencuculari cadit,
190쪽
ma cadit, eodem prorsus modo fieri poterit tamen propter praxim omissa cognitione quadrilateri EΚHD ducatur P ad B perpendicularis, c . in subiecto plano ducatur PQ eidem B perpendicularis, ductaque Q3M ηος lipsi P perpendicularis, erit utique punctum , ubi cadit mrpendicula' is in subiectum planum lineaque Q. eius altitudo triangulique PQ iota erit linea P. deinde angulus QP est rectus,& cognitus, anguus vero PQ innotus, quia est angulus inclinationis planorum BFKΕ, subiecti plani; qui quidem angulus i quamuis non sit datus est cognis, quia estπqualis inuento angulo NM quandoquidem FN P, NM PQ sunt parallelae eademque ratione inuenietur punctum R, 1ς neaque H R. quippe cum triangulum T sit triangulo GV simile. Si autem datum solidum fuerit pyramis, cuius basis sit BCDE, vertex vero ut F. eodem modo inuenietur punctum M ubi scilicet cadit avertice in subiectum planum perpendicularis, cuius altirudo est FΜ.
Exponamrbasis dati solidi BCDE, quae intelligatur in subiecto plano; deinde super latus G notum describatur quadrilaterum FG C, quod