장음표시 사용
211쪽
sexta demonstrauit, patet Boi transire per centrmai, P, C pC c immin circuli circa HKLMN descripti esseque Bo planis CDE Gil LMN erectam quod cum Jit O ubiecto plano erecta grunt Halia D EFG HKLMN ubiecto plano parallela. quare si intelligatur punctunio esse in subiecto plano punctum B. 1n subiici tum planum i erpendiculariter cadet in O . at vero quoniam ostendit Euclidc in eodem loco lineam inesse aequalem lateri decagoni in circulo Κ descripti; lver aequalem lateri hexagoni in eodem circulo descripti, PB ursi s ae qualem lateri decagoni, hoc est ipsi O aequalem erit altitudo puncti 1upra o aequalis duobus lateribus decagoni una cum latere hexagoni in circulo HKM descripti. Et quoniam planum M est ubiecto plano quidistans, cadet pentagonum KLM in lubiectum planum in alteron pentagonum aequale, si militer positum . altitudines 4; punctorum HK,
LMN erunt aequales Q, hoc est lateri decagoni in circulo LN descripti. Postea dividantur circunferentia: H Η Κ LM MN lita 1 iam in punctis TVXY . ductam erit ex eadem Euclidis propositione alano circuli HL erecta quare punctum C in planum circuli H LN perpendiculariter cadit in Parique ratione ostendetur D in T, E in V, F in , Q in Y cadere. Quare, cum sit circulus m LM subiecto plano equidistans puncta CDEFG in subiectum plani Im a. ident, tanquam in punctis TUXY quorum altitudines sunt aequales OP, hoc est lateribus decagoni, hexagoni simul sumptis squales.
Exponatur dati icosaedridatus HK. deis scribaturque penta dolatim e qui laterum , aequiangulum HKLMN. circa quod describatur circulus , Cuius Centrum O.
circunferentiaeu: NH H. L LM: MN bifariam dividantur in RTVXY iungara turque GH HT. constat, cum liti JΗ latus hexagoni, m T latus decagoni, l: puncta ico Aedri in subiectum plantini data dere in punctis IKVLXMYNRO pruimumque punctum D in subiecto plano ruabsque altitudinc existere punctoruin e ro supra HKLMN existentium altitudines eis aequales ipsi T; punctorum autem si a pra TVXY altitudines esse aequaiales ipsi OH T simul sumptis veliqui vero puncti supra O altitudinem esse aequalem lineae, quae sit aequalis duplae Tm ipsi mo quod facere in Ortcbat.
Doclecaedromato, cuius latus sit in ubi ei
212쪽
lagonaque ex utraque huius lateris parte existentia, aequalem cum subiecto plano inclinationem habeant ubi ab a noulis in subiectum planum perpendiculares cadunt, eorumque altitudines inuenir .
D NOLE . sitque latuS B in subiecto plano planaque BFKH BC AP cui subiecto plano aequalem habeant inclinationem oportet ubi
ab angulis in subiectum planum perpendiculares
cadunt, earumque altituadmes inuenire Iungan
HP, WCΡ. Deinde duocatur H in ipsi L equi. distans,in Q ipsi FH.
His ita constitutis ex iis quae in decimotertio libro demonstrauit Euclides in
propositione decimasepti H mari erunt CFL CFH FLQH quadrata Cusbi. Dividantur C FHH P bifariam in Se TU; ui3ggnturque R VS, quae se inuicem secent in I. deinde bifariam dividantur quoque C FL L in YZ punctis connectanturque XY S, quae bifariam&ipta dividantur in o R. Qitoniam igitur planum FH cum subiecto plano aequaliter inclinat, ut planum CP G lateraque BF BC, GH GP siunt aequalia. cum sint dodecaedri late-rg, angulique FB CBG, HGB G sunt aequales si quidem sunt
pentagonorum aequi laterorum anguli; erunt linea: FH C ipsi BG. ac iubiecto plano parallelae in aequaliter distantes unde quadratum CFH P su'biecto plano quid istans existi . ex quo sequitur, quadratum CFLN, veluti LQH subiecto plano erecta esse; siquidem sunt quadrato CH recta. Itaque ducatur Bae, is quadrato FH perpendiculares ex eadem Euclidis propositione B in I R. d, in I cadet ita ut I ITextrema, ac media ratione in i diuita proueniant, sintque maiores portitiones I Is quod cum sint RGT quales, erunt Q Is aequales. deinde ex eadem propositione constat lineam re ipsi re qualem esse, similiterque lue ipsi Is qualem; propterea BQ β, interse sunt aequales . similiter ducantur a punctis DF pentagoni BCDEF in planum quadrati CNLF perpendiculares DP l, quae sex eadem9 in X cadent; eruntque ovo extrema, media ratione diuisae in Pol eruntQ;9 si e portiones maiores, quibus equales sunt D 4E; Mob id PD 'Einrerse
213쪽
intersie sunt equales. Quare dividantur C R extrema, ac media ratio 3 o. Ira tinein εἰ sintque R Rc maiores portiones, erunt ρε P, aequales in plano igitur quadrati CFHP, sed extra, duc ntur ipsi1 CF perpendiculares , quae fiant aequales ' ' . Dico punctum E plano quadrati CH perpendiculariter cadere in iungantur. δἰ κ.
quoniam igitur il sint quales, Sparallelae, cum in minoreS por; tiones aequalium linearum Y RF, quae lint extrema, mediaque ratione diuisis in i x' erit δ' ' parallela F. sed F latus ubi est plano F H erecta ergo Mil: est plano CH erecta quoniam autem is est in plano CH, est perpendicularis line CF, erit c plano CNL crecta, cui etiani est erecta δ. Vnde δ sunt interse parallelae sed sunt etiam aequales , ergo ipsi id est aequalis ' aequidistans ostensum autem est in esse plano CH erectam ; erit igitur a plano CH ere cta . quare punctum E perpendiculariter cadit in Parique ratione Ostcndetur punctum D cadere in is, altitudinemque punctorum Εsupra θ est lineam aequalen F dimidio lateri cubi, siquidem sunt Y lis interse aequales ex quibus sequitur puncta pentagoni BCDEF in planum CFH P cadere in C/κF. Iuncta enim CF in ipso me sunt plano FH P. Nunc autem, ubi cadunt in idem planum H perpendi. culares pentagoni BFKHa considerare possumus ac prim lini constat punci a B in αβ cadere, FH in ipso plano existere a puncto autem ducatur K ad planum LM H perpendicularis, exauclide in eodem
loco elicitia punctum Messe in linea I S, quae ino extrema, ac media ratione diuisa prouenit, maiotemque portionem esse λ, Teque K λaequales si igitur a puncto S in plano CH, sed extra ducatur u perpendicularis FH, quae fiat aequalis λ; crit . Si plano H recta ψEx38. vix propterea ipsi K aequalis,' qui distans quare ductam erit ipsi ἈSDeoivit. aequalis,&e quid1stans .est vero S plano CH erecta, cum iii LS Fparallelae ergo punctum K in planum. CH cadit in cuius altitudo est qualis S, hoc est minori portioni linea: si extrema, mediaque ratione diuisae. Itaque habemus puncta FAH6, ubi cadunt puncta pen*tagoni BFΚH in planum CH . Nunc igitur transeamus ad pentagonum ELMΚF. primumque patet punctum E in planum H cadere in , cuius altitudo est FY, hoc est R. siue I R, punctum est in ipso plano, iunctum K in i cader cuius altitudo est S hoc est R. sunt quippe RS I aequales M aequalitc diuisae in λα deinde perspi culini est punctum L in F cadere, cuius altitudo est L , vel CF est enim L latus cubi reliquum igitur est inuenire, ubi cadit punctum M. quare ab ipso M ad planum H perpendiculari ducatur Mν, quae ex eadem Euclidis propositione fr cadet , eritque L in ν extrema &media ratione diuisa, maior portio erit ν; cui quidem est aequalis kM. unde cum sint IE RS aequales M ob id R P aequales, linea νM erit aequalis, aequidistans ipsis K Q. quare punctum M in pla num H cadet in idem punctum , ubi nempe cadit punctum K alti. tudo autem punctim, cum sit M, erit aequalis 4ν, quae est aequalis Tα. quidem sim SL TR aequales,&aequaliter diuisa in punctis Ηὲν, α 5Iα. Denique ad pentagonum DELON sermonem conuertamus Iamque ostensiam cst puncta D in planum H cadere in κ; L e ro cadunt in F; quorum altitudines sunt CN L, hoc est cubi latus CF; ut autem inueniatur, ubi cadit punctum O, diuidatur L bifariam in m. Min plano per L Q transeunte, qu6d est cubi planum ipsi CH parallelum, ducatur ae ipsi L perpendicularis, quae quidem me sit aequalis I dimidio cubilateri patet utique puncta de in planum CH cadere in I. Deinde ab O ad planum per L Q. ductum Perpendicularis
214쪽
pendicularis ducatur Ox.c eadem propositione Elementorum constat punctum ex eis in lineata extrema in media ratione diuisa cu ius maior portio est x, quippe quae es ip11 o Oaequalis existit. Cum itauque puncta re in plaunum H cadant in RI; nimirum punctum e camdetinis quandoquidem eo Ι sunt aequales, 'ix ad eandem partem aequas liter diuisae in σα. Quo niam igitur planum per
ae quidistans, lineaq; crest plano per N Lincredia, producta re erit H &ipsi CH recta. quare manifestum cst punctum in planum H cadere in , cuiu altitudo est aequalis lineis simul sumptis N O. nam si ducta esset σα, es σset ipsi CN aequalis . unde sequitur puncti O altitudinem stapsa uia ctum csse aequalem lineis simul simplis CFIα. Fademque Orsiis a tione ad alteras partes, ubi reliqua dodecaedri puncta cadunt, inueniri poterunt. Caeterum hucusque puncta inuenta sunt in plano CH, altit; ai-nesque supra hoc planum repertae sunt quoniam autem planu in Id est subiecto plano aequi distans , Omnia in subiecto plano perpendicularatcr ca dent in figuram aequalem, similiter positam mi nicuique alti radini in uentre necessc cst addere quantitatem re, hoc est α, quandoquidCm planum H a subiecto plano distat quantitare re si igitur inteli zamr. planum H una cum ρκιχ. esse in subiecto plano primum quidem O lpirum BG puncta σε di scrutent , punctaque με ciunt in subiectolplano absque ulla altitudinc pulicta vero supra FH habcbtili altitudi nem hi prasubiectum plantinii seqiralem es alia veri puncta supra CFH Phabebunt altitudinem aequalem lineis CF I simul sumptis; uno avero supra θ altitudine ni habebunt C Ist, hoc ost R I simul sum ptis aequalem puncti autem supra' erit altili id aequalis ipsis α R, hoccst ipsi IR aequalis, alterius vero puncti stupra it altitudo erit aequalis ipsis T α simul sumptis; denique punctum sit a re altitudinen haMbebit lineis CF αβ simul sumptis aqualem. Quoi is ad alter. SpartCSca dem construantur, clim sint ut supponitur dodecac di i atrauli hinCInde aequalitCr constituti, ubi cadunt omnes clodecaedri anguli pess diadiculari ter ii subiectum planum cum suis altitudinibus, criunt intrenti.
Hinc ex Odcm Euclidis inco coli igitur latus CF, quod est sane latus ubi, qua diau Fbs P, . angulum
Ex quibus omnibus ficili breuisque consurgir praxis hoc na Udo
215쪽
tas C; atque pentagona an gulus CBF ponaturque BF aqnalis BC iungaturque F Deinde quadratun describam a QCFHin cuius latera bifariam di ,..uidantur in RSTV iungatur. quo T, quae bifariam diuida tur in Ita deinde diuidatur. IR. - eXtrema, ac media ratiotie in in Vsita E I maior portior alitii ''
a pulictis autem ri S XY V qua idrati lateriboes extra tamen ierpendiculares ducantur u
T Y VO, quae quidem m- ων nes fiant aequales ipsi Ια. ex deis monstratis constat dodecaedriangulos, insibiecto plano cade re in punctis 5 CFH εκ G. KO prim)que punita a rei esse . , ilia ubietio plano absque altitudine: vh a vero supra CFH altitudinem habere α; deinde puncta supra O altitudinem habere IR; postea punctorum supra εκG altitudinem esse lineis RI , simul simplis aqualem; rursus alia duo punci a supra uo ipsis Totis simul sumptis aequalem habere altitudinem; aliorum vero punctorum supra CFH altitu dinem esse lineis CF Ια simul sumptis aequalem denique altitudinem duorum punctorum supra S lineis Cp simul sumptis aequalem exi. stere . Inirentum est igitur, ubi ab angulis dati dodecaedri in subiectum planu interpendiculare cadiJntcu suis altati/dinibVS . qμOdiaςexe OPQr ebat.
lia quoque tum ex Euclide, tum ex Pappo de corporibus regu-Dribus in medium afferre possemus . sed ne circa eadem , quam parsit , nimis Immoremur. , .ea omittere duximus . Misenim sufficere misium est , ea , quae Miliora mise an seluspera, ut eorum se quendo ordinem, qua dicta sunt , ibi cadunt perpendii uiares in subiectum ptivum ab angulis cuiuslilet corporis reguiaris , cuius lami sui sit datum, cum suis altitudinibus inuεmri possis . μ' ii r in sectiove apparentes describi facile poterunt uamui autem iiii γωvi i s quasi crasunt vir rectilineis tantum
216쪽
tum verba facta sint, omnia tamen circidis, eugsibus , aliusque iuris curvilineis, ac etiam mixtis deseruire quoque possunt; etenim suum curvilineae ad rectilineas reducuntur propterea possvnins quem- Iibet circulum , vi quamlitet Auram curvilineam omnibus modis aurea secun o libro expositis in sectione repraesentare, ut cateras μturas rectilineas sumptis enim in circunferentia quotlibet punctis, quae in sectione repraesententur , C per puncta linea curua di enter aucatum, habebimus in sectione Auram apparentem γ' quo plura erunt puncta in circunserεntia circuni assumpta, e opportunius erit. Attamen exempla nonnulla in Mimis afferemus , m euidentius appareat , quemado facile in subiectis an disponendi sint circu-llii quod ad ichnographiam pertinet it ex ipsis in sectione vetueniri 'oselut apparentes figurae ita it circust appareant erecti , incisasi
aliis modis . quae quidem conis cylindris, aliisque Auris maxi-l me deseruient praxes tamEn tanquam in erecta sectione fient; quam-luis ex iis , quae dicta Iunt, in sectione inclinata , o in aliis fieri
oculo dato , datisque duobus circulis cum diametris sese tangentibus , ibique inuicem inclinatis, quorum inclinatio sit datari utque alter circulus in subiecto plano , in proposita sectione figuram apparentem describer .
Sit circulus BCDE in subiecto plano F sectionis linea S punctum
distantiae, A culi altitudo, ex antedictis in secundo libro inueniatur figura LMI, quae citculum BCDE repraesentci pluribus nempe sumptis punctis in BCDE, ut diximu, deinde intedigatur circulus BCD esse duo circuli, quorum unus sit in subiecto plano, alter vero sit huic inclinatus in angulo , tangantque sese hicirculi in puncto B ducaturque dia meter BD cui a puncto B perpendicularis ducatur H quae erit in Ex Io. teνVtroque plano horum circulorum, quoniam H utrosque circulos contra itinget; unde ipsorum erit communis sectio. Cum itaque intelligamus circulum
217쪽
culum BCDE inclinatum in angulo γ, erit Busubiecti plani, in quo
intelligitur esse alius circulus, accirculi inclinati communis sectio quare inueniatur figura LNR, quae circulum BCDEinis clinatum repraesentet; texempli gratia, a puncto circuli ducatur Eo ad ΒΗ perpendicularis, fiatque OP angulus squaolis , fiatu OP qua lis E, ducaturque PQ ad E perpendicularis Deinde in lectione inu niatur punctum R, quod ostendat punctum supra altitudine in punctum quidem' ostenodet punctum E circuli inclinati,& ita fiet in alijs; veluti punctum Moste '' dat punctum D circiali inclinati, iunctum ostendat punctum B in subiecto plano existens , veluti punctum M ostendat punctum m circuli in subiecto similiter pla no existentis iungantur que LM N. ex quiabus sequitur lineam LM diametrum BD in subiecto plano existentem ostendere, Nisero diametrum I inclinatum . unde angulum mLM inclinationis angulum ostendere perspicuum est figura igitur ex MI LN composita erit insectione apparens figura. quod facere oportebat.
Oculo dato , datisque tribus circulis aequalibus sese ad angulos rectos secantibus , quorum duo subiectuna Ianum contingant, alie vero ut subiecto plano equid istans in proposita sectione figuram apparentem describere .
218쪽
itelligatur erectu , con- litigatque subiectum planum iii . si igitur an plano circuli ducaturi circulum contingen S, erit laa: circuli, ac subiecti plani communis dictio , quae si crit quidl- stans sectionis linea FG ctat planan BCD tamquam sectioni aequi di- s. unde ligura in se
praesentans erit simillis p. iii BCDE; quare circulus erit. Itaque inuenia,tur punctum M ipsum B repraesentans deinde inueniatur punctum K, quod ostendat punctum
centro igitur K, intero uallo autem H, circulus describatur H MLN pro lucaturq; HK in L punctum quidem L punctum supra B altitudine BD ostendet ductaque MK ipsi HL perpendiculari linea ipsam TC repraesentabit.
At vero quoniam intelli αgimu tre circulo esse angulo recto , cirisculumque, BCDE, esse ubiecto plano erecti im ii culus igitur ipsi BCDE aequalis, in erectus , subsectoque plano aequi distans , transibit per AEC. perpendiculare,' igitur ab hoc circulo in subiectum planum cadent in circulum arqiuilem , sed quoniam punctum cadit in B, cum intelligatur Ba subiecto plano recta a centro igitur i, Circuulus describat ii OP aequalis ipsi BCDE. in sectione autem figura in ueniatur NT, quae circulum repraesentet, qui supra circulum MPO,pssique aequi distans ex stat altitudine B ti deinde ipsi in perpeia dicularis ducatur BR , ii, fiat aequalis ipsi BD . tametroque R. discribaαtur circulus B PRE, qu intelligatur erectus stupra subiectum planum quod quidem planum in puncto B contingat intelligaturque linea BQ huius circuli, iubiecti plani communis sectio. Itaque inscctione figura describatur H T, quae circulum DPREV tanquam subiecto plano erectum rei, praesentet nimirum figura ex . NT MI NLHT constans tres circuos sibi inuicem ad rectos angulos existentes repraesentabit, punctumque H tibicctum planum contingere ostendet. Indenta est igitur figura in se
Quod si linea OB non fuerit ipsi FG equid istans, tunc LMHN non
erit circulus, qui quidem in sectione repraesentabitur, ut factum est circi OBPRE queant in semoi ostendit L Ha .ia
219쪽
Patet ex hoc datos circulos esse in pluera minimos.
Ex hoc manifestum est etiam, si Connectantur communia puncta MN TLLH, lineas L H MN TI circulorum diametros sibi inuicem ad rectos angulos in sectione ostendere.
Ijsdem positis, datoque in sphaera circulo subiecto plano erecto non per centrua ducto , ipsique BDE reeio in lectione apparentem figuram describere .
Quoniam intelligitur circulus BD subiecto
plano erectus , ducatur in circulo linea CF p, si BD aequidistanS quae inteIligatur diameter cirsculi dati circulo BDE, ac subiecto plano erecti cadent utique a punctis E in subiectum planum perpendiculare in . quoniam B intelligitur circuli BDE, ac subiecti plani communis siecti . quoniam communis
sectio circuli dati circulo BDE, ac subiecto plano erecti, ipsiusque subiecti plani est mea ipsi BOperpendicularis est aute Co ipsi O perpen-idicularis, ergo O est communis sectio dati cir/lculi per C transeuntIS, 'ac subiecti plani. Itaque in linea O fiat OP et qualis C d PQ - qualis CF deinde diametro PQ circulus de, scribatur PQR quod si A s manentes intelli eantur BDE&OQ subie
220쪽
cho plano erectae, diameater P erit in E erilsique circulus PQR ciruculo BDE ac subiecto plano crectus cuius , C. 1labiecti plani communis sectio est Me quare in Ex a. hi sectione inueniatur figuratus. X, quae ostendat circaulum PQR, tanquam siu*biecto plano erectum; cu itis, ac subiecti plani comismnis sectio sit Κ qu Cquidcm V ipsi HMapparebit erecta . Inuemia est igitur X apparens figura quod facere Opori rebat olli : Quoniam autem dia.
Ijsdem positis, datoque in sphaera circulo per centrum ducto , subiectoque plano iii clinato , in lectione figura
apparentem iuueni r . Ostendat, ut antea, TIN in sectione circulum P N origonti'qui
distantem, ducaturque diameter PQ secundum situm, quem intelligimus habere circulum inclinatum, cuius inclinatio sit angulus M. innoniam circulus PQ intelligitur horizonti aequi dictans eandem habebit: inclinationem circulus inclinatus ad circulum PQO, vehit habet ad Q-biectum planum hoc tamen modo, ut Diedietas, puta BP sit infraci culii , altera vero QOP sit supra circulum eritque propterea PQ sectio communis circuli inclinati, ac circuli horizonti equidistantis. Itaque sumpto pucto H in circunferetia,ducatur HL ad PQ perpendicularis atq; -- LR