장음표시 사용
191쪽
intelligatur esse quadrilaterum dati solidi super l, existentis si in iliter describatur quadrilaterum IH si per c D erit utique linea CP equa lis ipsi CG, cum pro una deserviant linea. Nam si intelligantur quadrilatera C CH suo loco eleuata, linea CG CD in unam tantum coinciderent lineam . similiterque describatur quadrilaterum BV KE; quod beandem causam habebit lineam BY aequalem ipsi F. His ita conititutis,
a puncto F ad BC ducatur perpendicularis: L, d puncto Y ad Eperpendicularis ducatur N. rursus a punctis L pisis BC E perpendiculares ducantur LM M. quae vel eaedem erunt cum FG YN, vel cum his in directum existent hoc est linea quidem JI siue productae, siue non productae concurrant uim crit utique punctum ubi cadit perpendicularis puncto , a puncto Y parique ratione inueniatur punctum O, Vbi cadit perpendiculatis 1 puncto G . Deinceps exponatur linea AS aequalis ipsi N, super AS describatur emicir, culus X S, appliceturque in semicuculo linea S aequalis ipsi NM: iungariirque Ax, quae quidem cum sit AXS angulus rectus in semicirculo ex dictis erit altitudo ipsius puncti F supram, eritque angulus AS angulus inclinationis plani BK, subiecti plani ut patet,
si intestigatur linea S in M, punctum X in , lineaque Aerecta supra subiectum planum concipiatur, tunc si intelligatur plana GB suo loco eleuata erunt utique puncta FYAin puninum. Ob id erit Λ altitudo puncti , velo WAS inclinationis angulus existet, VI dictum est. Fodemque modo exponatur linea res aequalis IV, in se micirculo applicetur P aequali. O iunctaque xP, erit hae altitudo puncti M. Scipsius I supra , eritque αβ inclinationis angulis plani CH, subiecti plani. Ducatur praeterea TR ad CD perpendicu laris, factaqne linea δε aequalis T factoque semicirculo fiat angustas ista aequalis angulo Sri iungaturque R ; deinde fiat L aequalis εἰ, sitque R deam partem, ad quam est O nimirum erit punctum R, ubi cadit ab H in subicctum planum perpendicularis, lineaque δε erit eius alii tudo eodemq; modo ducatur P ad B perpendicularis, ipsiq; qualis; exponaturq; εχ,dzscriptoq; semicirculo fiat angulus εχ. equa-Is angulo ASX; iungaturque λ; deinde fiat in aequalis λ; sitque PQ ad eam partem, ad quam est NM; erit utique punctum Q. Vbi cadit perpendicularis a puncto K in subiectum planum; lineaq; e crit eius altitudo. Inuenta igitur sunt in subiecto plano puncta MORQ, altitudines vero sunt ΑΚ κ δ ρλ. quod facere oportebat.
COROLLARIVM IHinc patet, ex dato huiusmodi solido inclinationum angulos cuiuslibet quadrilatera , plani basis in ad quam,
artem inclinent, inueniri posse . Plani enim Κ, inclinatio inuenta est angulus ASx, quae qui
dem inclinatio est ad partem, extra basim,&ita in alijs.
192쪽
COROLLARIVM M. Ex hoc patet etiam , si basis dati solidi fuerit trita terata,
siue multilatera , eodem modo , ubi ab angulis alterius basi, in subiectum planum perpendiculares cadunt, eorumque altitudines , nec non planornm cum basi inclinationes , inueniri posta
Vt fidata suerit p rami S, cuius basis ABCD, describantur triangula DCEBCF nimirum lineae CE la, tus pyramidis ostedent; ductisque in
DCΚ, ad quaSdus cantur perpendiculares FG ΕΚ, quς se inuicem secenti a pyrami dis vertice insibie,ctum planum perpendicularis cadetin H. Vt autem inueniatur altitudo. fiat in aequalis FG, factoque semicirculo NM, in ipso applicetur. MN, quae sit eqtialis GH, iungaturque N erit utique Maltitudo verticis pyramidib.
Ex his quoque perspicuum est, si figurae BCF D fue
rint pentagonae, ac mutillaterae , eodem modo puncti lateris communis,m punctum
tudinem LN , praeterea inclinationis angulos planorum cum basi eodem modo inue
Est n. in his comune latus CE CF. PROBLEo
193쪽
Dato solido quadrilateris circa basim compraehenso, cuius quidem quadrilatera no excepto sint data , reliquum quadrilaterum inuenir .
Sit data dati solidi basis CDE, quς
intelligatur in 1ubiecto plano daataq; sint tria quadrilatera BERY
oporteatque quadrilaterum laeteris D inuenire; CX praecedenti puncta inueniantur
MORQ ubi sciα licet a punctis FIGH in subiectum planum perpendiculares cadunt caeteraque eodem prorsuS modo exponantur. Deinde a puncto Q. ad D perpendis cularis ducatur rursus a puncto X eidem D perpendicularis du,
catur XL erit utique XL recta linea,4 quoniam latus quadrilateri, quod quaeritur, est aequale ipsi K. ideo centro , interuallo quidem E circulus describatur KL, qui lineam XL secet in , iunctaque FZ, eiit utique L ipsi E aequalis Parique ratione ducatur a puncto Rad D perpendicularis Rα, rursiusq; a puncto α eidem E perpendicu, laris ducatur β. quoniam iam quadrilateri, quod quaeritur, est ipsitIJH aequale , idcirco facto centro D, interualloque H, circulus describatur sue, iunganturque 5 SL; erit sane ELS quadrilaterum uiuaesitum, Ut ex praecedenta demonstratione patet est enim punctum bi in plano basis cadit perpendicularis a punctis Kra, punctum ero , ubi cadit a punctis ΗΛ, ii enim quadrilatera B B CH DL intelli. xantur suo loco eleuata , ambo simul puncta Y GI H S, KL una conuenient quod facere Oportebat. Aa
194쪽
tionem, eamque, ad quam partem vergat, timeniri possG.
Haec , quae diximus , omnibus quoque prisDatibus deseruire posse non ea ambigenaum , tamen in imis quandoquefaciliussiet hoc modo.
Dato prismate , cuius basis sit in subiecto plano , eius velo parallelogramma vel omnia, vel aliqua non sint rectangulari ubi cidunt perpendiculares ab angulis alterius basis in iubie num planum , corumque altitudines inuenire.
Sit prisma BCDEFGHK, cuius basis BCl E sit insibiecto p inio, figuraeque BD GFH situ parallelae parallelogra inma crooiiania, Vel saltem aliqua non sint rectangula. Oportet, ubi a punctis FGH in stibi e ctina planum perpendiculare Cadiant, accorum altitudines inuenire. Non si parallelograminum BCGF rectangulum, cuius qui dena in subiecti plani est communis scis otio C. vel nim planum BG cst creo tum subiecto plano . vel inclinatima sit quomodocunque; a punctisque FG in sit. biectum planum perpendiculares ducantur FL Mi iungMurque M. dataq; LM, describatur figura LMNO similis nil ille posita , ut CDE. iunganturque KO N. Dico puncta LMNO esse pianacta, vo cadunt ab anguli FGH instabie ctum planum perpendiculares, lineasq; FLGM N O angulorum altitudines existere primum enim ex constra ctione patet L esse puncta ubi cadunt pci cndiculares a punctis FG simulque L M corum ecte altitudnaes. quoi ijam BCGF est paralle
195쪽
logram natam, erit G aequalis, in aeqvidist*ns ipsi BC. fissili alii ut ianeae L M lint si ibiecto plano perpendiculares, erunt threriεs atallelae , 6. nde; lineae vero in L M lineas 'L M coniungunt ergoli iret FG LM ram. in eodem itini plano. Quoniam autem FG est equidi tinns i m BG, erit 7.νndecis FG subiecto plano aequi distans, unde altitudines L CΜ erunt inter se ma quales aliunt etiam interse parallela: ergo LM est ipsi FG aequalismae quidi ilans ' quoniam BCDEFGH cst prisma, riguraque FGHK ipsi BCD aequalis est, ct equidistans, d simillic posita, .figi Ha Vero LMNO similis est , similiter posita, ut CD F; erit igitur LMNO ipsis Hia similis, similiter posita es autem LM ipsi FG aequalis ergo figura LMNO est ipsi FGH aequalis, &similiter posita a vero qu6 imam FG ci aequalis,&aequidistans AEC erit&. LM ipsi BC aeqv4lis, aequi distans. ex quo equitur figuram LMNO sme ipsi BCD aequalem, M 1m iter positam. Denique quoniam FGH est basi hoc es suobiecto plano aequi sistans , ciunt altitudine F G H Κ inter e quales. pia ta igitur LMNO sint, ubi ab angulis figurae GH in sit pie tum pia fium perpendiculares adlint, V L M NAE sim eoruna altitu clines quae quidem interse sint aequales quod facere oportebar.
Ijsdem constructis Q ioniam enim FGH est subiecto plano equidi. stans, perpendiculares L At hi, O crunt interse aequales, qu*qui dem in uoiectum planum cadent inclis ura m equalem, imiliter positam 1psi FH. ergo LMNO est aequali, ii militei Que polita, V FGHK. . a qui H est qualis, ac similiter posita, ut B DE. cadunt igitur perpen dicularcs in MN aequali, d similiter posita, ut CDE . quo Iacere
Sit inibie o plauno basis talmatiSisCDE, cuius quidem
auo de cribantur a rallelogramma CFC . inueniaturque ex sexta huiu pro N positione pianctu iri M ubi nempe cadit perpendkisiaris astri: AGDqctio o G tan lassiectu iri Ni Dplanum . simulo ue is nisi inuenta sit. altitudo Q lugno.
dem sit MX deinde fiat M aequalis; aeqiudistans ipsi CB describa
196쪽
turque figura LMNO ipsi BCDE qualis, imiliter posita erunt uti. que punA LMNO, ubi ab angulis alterius basis in subiectum planum Ierpendiculares cadunt, quorum quidem altitudines sunt ipsi, aequa. es quod facere oportuit.
Dat prismata , cuius parallelogramma sint rei angula basis vero sit subiecto plano inclinata , cuius inclinatio sit data , sitque communis sectio basis, abiectique plani data ob cadunt ab angulis in subiectum planum .
perpendiculares eorumque altitudines inuenir . Sit BCDEFGΗΚ prisina , cuius basis CD sit sebiecto plano
clinata, quae quidem data intelligatur, sitque primum punctum B in Q biecto plano: sitque B plani BD, ac subiecti plani sectio communis parallelogramman BG Κ c. sint rectangula oportet, ubi a punctis CDEFGH in labiectum planum perpendiculares cadunt, O-rumque altitudines inuenire. Dueantur a punctis CD in ubiectum
197쪽
planum perpendiculares DM SN. iii militer a punctis FGHI huius. in idem planum perpendiculares ducantur FO Grim KR qui .ehi . ,adesi quidem perpendiculares omnes sunt angulorum supra subiectum plo, num altitudines quoniam BG i sunt rectangula , erit ita p, si BC E perpendicularis . unt autem BC B ut plano a , cr-go F plano i in est erecta quar ipsi B perpendiculari existit, si1 quidem est B in plano BD. Ducatur ipsi T in plano BD perpenήdicularis X, similiter in subiecto plano ducatur BY idem B perpen, dicularis Quoniam igitur B ipsis B B BF est perpendicularis, erunt lineae Y X B in uno, Meodem plano subiectum autem pia num pertransit per T, subiectum igitur planum, re planum per B BX
B transiens erunt inuicem erecta. Sed quoniam planum per SP FOtransiens est subiecto plano erectum, siquidem est O subiecto plano ere,cta erunt linea: O FB X B in uno, eodem plano vnde produ/cta Y cum JO in conueniet quandoquidem linea B, ac putamctum meodem sunt subiecto plano quod quiden punctum O abi tur etenim cum sit 'BO recta linea, erunt tres anguli BX BF FBO duobus rectis aequales quorum, cum sit BF rectus est nisi FB pla,no i erecta, in quo linea B reperitur, ergo anguli FBO BYciunt uni recto aequales angulus vero a B cognitus est, quoniam est angulus inclinationis planorum D, subiecti plani quandoquidem est L plano BD, ipsi v perpeti diculatis, estque B in subiecto plano itidemque ipsi I perpendiculari S. quare angulus B daoitur , cum sit complementum ad rectum angulum ipsi cis BY deinde notus citetiam angulus O rectus; cum iit O stibiecto plano erecta. datus est prismatis latus BF ergo trianguli FO duo anguli ad O dati ciuiit cum latere BF. unde linea O data erit . ac per consequeri punctum O. Deinde ducatur planum per a subiecto plano aeqvidi stans , quod quide adinciun G a ceti H Q iiR L, S B H, I iung-ntur
piariis dividantur parallelis, lim aeque PQ GP in KI sit, parallelae, propterea quod funisti biecto plano erectae. Qtioniam igitur F. R I sunt parallelae, erit E ipsi OR aequiniis, qitidista0s M ita abi. . ex qui
est latet 1 TR aequale; lattis igitur I lateri s cst aequale, aequi distans quoque propterea quod triangillum dia triangulo BE aequi distati cum lineae F K sint lineis E N parallelae, ut Ostentiam est cademque ratione ostendetur aequalem aequi distantem est apii a L. Qiuod autem Q sit aeq'alis Maequi distans MN, patet, quia D obprisma est aequalis,&aequi distans ipsi H lineae vero EN M sim ipsis K HL parallelae, sunt enim omnes subiecto plano perpendiculare , quarum N ostensa est aequalis ipsi I. anguli ciende NM MN ecti rectis KIL LI sunt aequales, erit utique quadrilaterum DENM qua- .uit rex HKI qualio, si liter politum. Qinei a Ipsi . NMerit qualis, S ς quid .stan S serique Pisone OstendetR TV suu a lana, ςqviqistantem eis ipsi. L, sic quil u iuq igni g. - .i y 31sis Ra em,&fi liter positam eli. v. .. N. ic , opta , cii equὴlis . , famili erposita, ut UZI; eigo figurato PQ ζ q. ausi est, di similiter posita , ut
198쪽
UR. sed quoniam K est aequalis ipsi EN, erit Κ maior, qu mTNi
quantitate I R. ii militer ostendetur H ma:orem esset quantitate ZQ. GP maiorem , quam quantitates VP. Iuncturn autem altius est, quam B upra subiectum planum quantitate Or innoniam O VP Z I sunt equales, erunt altitudines punctorum FGHς maiores, quam altitudines punctorum BCD quantitate O.' quς quidem est data, quoniam datum est triangulum Fo ut ostensima est. quod facere oportebat Quod si punctum B non tetigerit planum stiliteistum, simili moebrari nibus altitudinibus addendo altitudinem ipsius B, omnia inuenientur il
. Exponatur prismatis basis BCDF, tangatque primiim punctum m rabiectum planum . Ducaturque X, quaesit communis fectio huius hasis, subiecti plani horumque planorum inclinationis datus angulus sit . Itaq)ie inueniantur in subjecto plano puncta LMN, ubi nem re aspiinctis CD in subiectum planum perpendiculares cadunt quorum quidem altitudines sint T M NY . ducanturque lineae 'B LM MN NB. Deinde ducatur B ipsi B perpendicularis exponaturque angulus 9
199쪽
itavi ambo anguli A simul sumpti sint uni recto equales. Deinceps fiat OBF angulus angulo ς aequalis fiatque BF aequalis lateri dati prismatis; ducaturque FO ad O perpendicularis ψε Postea ducatur OP aequallis,&aequidistans ipsi BL fiatque figura PQR ipsi BLMN aequalis,& similiter posita deinde ducantur U, QT, I, quae fiant ipsi OF aequales; ipsique V dijciatur V aequalis L , H aequalis S, I aequalis Y erunt utique puncta PQR Vbi ab angulis alterius basis prisimatis insibiectum planum perpendiculare cadunt'. me que FPG MI R eorum altitudincSOstendent. Si vero intelligatur punctum B noli contingere ibiectum planum,adiluciatur ipsi B, alijs altitudinibus altitudinem ipsius B altitudini aequa. i
tem caeteris eodem modo factiS, eruntque omnia, quae proposita sunt, iniicnta quod facere oportebat.
Dato solido , cuius basis sit subiecto plano inclinata, cuius inclinatio sit data . dataque sit communis cclio basis, ac subiecti plani , plana velo solidi circa basim sigia ras quadrilateras constituant Pubi ab angulis in subiectum, planum perpendiculares cadunt, οἱ umque alii iudines in
200쪽
dum , cuius basis A sit subiecto plano inclinata cuius inclinatio sit data, ianeaque L sit basis , ac sii biecti plani communis sectio. plana vero E GCH AH in quadrilate-Ia oportet, ubi ab angu Glis ibi id AG in subiectum planum perpendiculares
cadunt, eorumque altitudines inuenire. Ducatura
puncto a ad basim AG perpendicularis 4M deinde ab M ad ἘL perpendicularis ducatur K, quae quidem erit in plano basis . deinde in ubiecto plano itidem ipsi L per pendicularis ducatur N,lcula punctora perpendicularis ducatur EN, connectatur ΕΚ. Quoniam enim M Κ sunt ipsi L perpendiculares, est, 1 in plano basis,& N in subiecto iplano, erit K datus angulus inclinationis basis, ac subiecti plani si ta-lmen Κ est angulus rectus, vel acutus quod si est obtusus, producas turm in S; tunc edim K erit angulus inclinationis .in quoniam EM est erecta plano AC, crit MK angulus rectus, sed M perpendi cularis est ipsi L, quae quidem L est in plano AC, ergo crit Κipsi K perpendicularis . at vero quoniam L est tribus lineis M E N perpendicularis, crunt lineae M E N in uno,&codem plano. Vnde lineae EM MK N NE iiivno quoque sint plano sed quoniam ΕΚ st ipsi L perpendicularis, veluti quoque est KN quae quidem est in subiecto plano, est N ipsi N pcrpendicularis, erit igitur Nsubiccto plano perpendicularis, quae quidem est altitudo ipsius puncti E; eritque punctum N, ubi ab angulo E in subiectu in planum caciit pcrpendicularis quod idem fiet alijs punctis FGH. Vbi vero ab angulis ABCD in subiectum planum cadunt perpendiculares, cx tertia huius inueuientur.
Ex hoe patet si datum solidum fuerit pyramis, eodem modo , bita vertice in subiectum planum perpendicula
ris cadit, eiusque altitudinem inucniri post S. Vt si basis fuerit ABCD, vertex verba