장음표시 사용
201쪽
Exponatur basis ABCD, quae intelligatur inclinata subiecto plano in angulo e sitque L subiecti plani, ac basis sectio communis ubi verola punctis ABCD in subiectum planum perpen diculares cadunt, ex tertia huius propositione inuenietur deinde describatur solidi quadrilaterum ABFD. ubi a puncto E in basim C perpendicularis cadit, punctum inueniatur quod fiet ex sexta huius, si in latere AD alterum solidi quadrilaterum describatur.deα inde ex eadem inuentatur altitudo puncti E supra eandem basim , quae sitori. Ducatur deinde M ad L perpendicularis similiterque ducatur N eidem K perpendicularis, erit utique Κ recta linea.&ad quam partem est inclinatio basis AC, ad eandem fiat angulus MKO aequalis es fiatque o aequalis M, exponaturque P, quae cum O rectum angulum constituati denique a puncto P ad KN perpendicularis ducatur PN, erit utique punctum, ubi cadit a puncto E in subiectu planum perpendicularis eiusu ue altitudo erit P. ut perspicuum est, si intelligatur, manente N, figura Po eleuata, itas P sit ibiecto plano erecta intelligaturque ABCD eleuata in angulo Q; eritque tunc M cum Κο linea una. denique intelligatur AEFB suo loco eleuata; eritque tunc punctum E in P. quod idem et ath punctis dati solidi. quod facere oportebat.
Unde si datum solidum fuerit pyramis, cuius basis sit ABCD, ductaque esset linea BE quae una cum B in E
202쪽
tangulum constitueret, sit militer manifestum et inueniri posse punctum N, Vbi scilicet a vertice E in subiectum, ,lanum perpendicularis cadit cum sua altitudinα
COROLLARIUM IISi vero figura AF fuerit multi latera , similiter perspicuum est, ubi ab E in subiectum planum perpendicularis
cadit cum sua altitudine , inueniri poste .
Eodem nanque modo inuenietur punctum N euiusque altitudo P.
Sit basis dati solidi ABC, duo vero plana multilarer lateribus AB AC adiacentia sint AGHΚ , de LMC Vbi ab angulis figurae GH Κ in subiectum planum em
pendiculares cadunt cum suis altitudinibus inuenire . Sit primum basis ABC subiecto plano inclinata in angulo , quorum quidem plano tum sit comunis sectio EF. Cum enim sint AGAL aequales , quae quidem pro latere solidi deseruiunt, ex proximo coroliario inueniatur punctum N, Vbi ab angulo G cadit in ubiectum planum perpendicus laris. Deinde inueniatur angulus 4
angulus scilicet inisclinationis plani AK cum basi ABC Cum itaque inuenintus sit
203쪽
tus sit angulus P, inueniatur punctum , ubi ab angulo, cadit per pendicularis in basim BC, eiusque altitudo sit sinat liter inuenta I His ita constitutis ducatur OF ad F perpendicularis fiatque angulus OFQ. aequalis angulo D fiatque aequalis O constituattirq; Rad angulos rectos cum Q ducaturq; RS ad ob perpendicularis; critutique punctum , ubi cadit ab angulo H in sit biectum planum perpendicularis, cuius altitudo est R. huius quidem ratio eadem est, quae est punctim, ut ex praecedenti perspicuum eis potest . Idem quoque fiet puncto Κ. ita in alijs. Si vero basis ABC est in subiecto plano, ex sexta huius propositione inueniatur angulus P inclinationis nempe planorum Κ, ABC, qui quidem angulus P in hoc casia erit inclinationis angulus plani AK, 'tu biecti plani, o A norum planorum est sectio communis unde ex tertia huius propositione ubi cadunt perpendiculares ab angulis figurae A in subiectum planum, facile est uenire cum suis altitudinibus. Qtuod si ABC fuerit subiecto plano quidistans, inueniantur similiter ubi cadunt perpendiculares ab angulis figur: AK in basim ABC, Vnicuique altitudini addatur altitudo basis a subiecto plano, factum erit, quod propositum fuerat.
Data figura rectilinea subiecto plano inclinata , datisque punctis in subie sto plano , ubi ab angulis in ipsum per
pendiculares cadunt cum suis altitudinibus I Ommunere sectionem iubiecti plani , ac plani inclinati , horum ci planorum inclinationis angulum inuenir
plano inclinata ab angulisque in subiectum planum perpendiculares cadant1n FGHK: quorum altitudines dartae sint BFCGDHAR. oportet coismunem lectionem subiecti plani, ac plani BD, angu Glumque inclinationis horum planorum inuenire Iun
gatur G. quae ipsis D C perpendicularis existet.' quoniam ii ineae vi DC coniungunt lineas H CG parallatas erunt quatuor li-
204쪽
tur DC non est, qui distas ipsi HGliquo crit, si D G non fuerint aequales si profluvcantur DC G
simul utique conuenient producatur itaque concurvii an q; in E inloaniam igitur punctu
est in linea HG; erit E in subiecto
plano . quia Vero lidem panctum E est in linea DC, erit punctum E in plano quoque BD. Parique ratione iungatur K. quod si D A non fuerint aequales, producantur M DA . atque concurrant in M. similiter ostendetur, punctam vi esse in subiecto plano, in plano BD. Quare ducta M, erit ΕΜ insubiecto platio,&in plano BD ac propterea est ΕΜ horum planorum sectio communis. Deinde dircatur N ad Emperpendicularis: iungaturque N. Qiaoniam igitur C est subiccto plano perpendicularis, erit CN angulus rectus: est G ipsi M perpendialcularis , Ut igitur C ipsi quoque M perpendicularis . quare CNGlinclinationis est angulus subiecti plani, ac plani BD est enim C in plano D, T quidem punctum C, meaque a sunt in plano BD. lineaque G cst in subiecto plano. 3. sexti
Data sit figura ABCD, quae subjecto plano intelligatur inclinata, sed non suo loco colloca.ta ab angulis vero cadant perpendiculares in FGHK, quo. rum altitudines data sint Oc P Q. KR, quaru na quidem duae sumantur in equales sibi proxi)aae, ut GP Q, quae consstituantur ad rectos angulos ipsi H ductae Iungaturque Q. Deinde producantur H QP quae concurrant in F erit utique punctum , in subiecto plano,&in dato plano inclinato Deinceps aliae similiter duce/ltitudines sumantur, vim rup iae ductae H constituantur ad an-
205쪽
o iungaturque R producan gulos iec OS . quod fiet si fiat HS dicularis. Deleruiet enim HS proturque ΗΚ i , quae conueniant in Mi ductaq; EM: erit M omni uni lectio scio tecti plani, ac plani inclinati. ltaque a puncto G ducatur perite ridicularis ipsi ΕΜ. deinde ipsi GI' ad rectos angulos ducatur GT, quae cum H coincidet fiatque I aequalis ipsi GNil iungaturque P, erit lane T inclinationis anaulus iubiecti olani ac dati plani inclinati quod facere oportebat. Hic aduertendum est, quod si ducta linea M transiret per punctum , tunc figura inclinata subiectum planum contingeret essetque hoc punctii absque altitudine O.
ljsdem positis, oporteat figuram ABCD suo loco it
suo te no plano constitue I . Ducatur H ad M perpendicularis deinde ducatur H ad HI ὰ
militer perpendiculatas, fiatque HL aequalis in uuagaturque L deinde fiat I aequalis I eodeinque prorsus modo fiat punctis CFΚ ex quibus Oriantur puncta YZ lineaeque ducantur V X XY L LV. Quoniam igitur ME cst communis sectio subiecti plani, ac plani inclinati ex tortia huius propositione punctum figurae erit in linea H. quia vero a puncto figur: in subiectum planum perpendicularis cadit in H; erit altiotudo pr. efati puncti in meam ipti H perpendicularis quae quidem H sit aequalis, , Vistipponitur. quoniam IV est aequalis IL, tit figurae punctum, quod perpendiculariter in subicctum planum cadit H, cuius altitudo est L. Scita in alijs Collocata est igitur figura X. YZ suo loco in sit biecto plano quae quidem intelligi potest ubiccto plano inclinata in ansul GTP, cuius,' subiecti plani sit communis sectio EM ab angulisque figura in subiectum planum perpendiculares cadunt in punctis HGFΚ. quod facere Oportebat.
Dato solido ex pluribus datis quotcunque quomodocunque planis rectilineis constante , cuius quidem unum sit, vel in subiecto plano, vel ipsi parallel , vel inclinato cuius inclinatio sit data . dataque sit huius plani, ac subiecti
206쪽
biecti plani sectio communis, ubi ab angulis dati solidi
in subiectum planum perpendicula I es cadurit, eorum due
altitudines inuenir . Datum sit solidum quos
adiaciat planum CD, hoc autem sequatur planu DE, quod quidem contingat planum EF cc. Rursus pla, num C sit iuxta BC de
ficiat dati solidi partem ostedere sit vero BC, vel in subiecto plano, vel ipsic qui distans, vel ipsi inclinat ira, cuius quidem inclinatio sit
data, nec non ipsius C ac subiecti plani data sit O, munis sectio . oportet ubi
ab angulis dati solidi inciti ibiectum planum perpendi .culare cadunt , intac ni re
simulque liorum alii tudinnes notas reddere. Prinatim quidem inueniatur exprima huius, si planum BC est subiecto plano. equi distans, vel ex tertia, si est inclinatum, ubi caudunt perpendiculares ab angulis ipsius B cum suis altitudinibus in 1 ibi e ctum planum. Deinde, cum sint data plana C CD G, inueniatur g 6.ibua incluaationiSangulus planorum CD B; exundecima huius proposiα ius. tione ubi cadunt perpendicularc ab . angulis plani CD, stibicctum pia lnum cum suis altitudinibus inueniatur quod idem fiat plano CG hoc est uento inclinationis angulo plasiorum C CB, ubi a iunt perpendiculares ab angulis plani CG in subiectum planum una cum suis altitudiαε 6. hu inibus inueniatur. Deinde quoniam data sunt plana C GH, inueniaturius in cimationis anguliis planorum G CC dc quoniam sunt iiiiienta, propterea nota sunt puncta, ubi ab angulis figurae C in subiectum plauia huius at um perpendiculares cadunt cum sivis altitudinibus, inueniatur communis sectio plani CG, ac subiecti plani , horumque planorum inclinationis quoque angulus inueniatur, deinde ex undecima huius inueniatur, hi cadunt ab angulis figurae G in subiectum planum perpendiculares cum suis' altitudinibus quod idem quoque fiat plano GH. Postea eodem prorsus lmodo inuenta inclinatione planam adsitabiectum planum, simulq; horum siectione communi inuenta, planorumque FH EG inclinationis angulo inuento, similiter, ubi ab angulis figura: H in subiectum planum perpendiculares cadunt cum suis altitudinabus, inueniri poterunt. cita in alijs, donec ex omnibus planis cognitis dati solidi, ubi ab omnibus angulis in subiectum planum perpendiculares cadunt cum suis altitudinibus
207쪽
Quodsi contingeret, omnes alicuius plani v ΕΗ9 perpendiculares risubiectum planum ductas esse iiIterse quales, signiim esset, Pt num Hesse subiecto plano quidistans.
Exponatur primum basis BC, quae intelligatur, vel in subiecto plano existere, vel esse subiecto plano aequi distans, vel ipsi inclinata, cuius quidem inclinatio sit data dataque sit horum planorum 1ecti communis. deinde datae sint iuxta BC aliae figura: CD CG, postea inueniantur puncta, ubi ab angulis figurarum BC CD in subiectum planum perpendicuo lares cadunt simul Que corum altitudines notae reddantur quod idem fiat cum alijs figuris, quae sint undique circa basim C. Deinde cum sint nota puncta, ubi ab angulis figurae CD in subiectum planum perpendicula res cadunt cum suis altitudinibus, inueniatur angulu inclinationis figurae 1a huius. CD cum subiecto plano, horum Que planorum inueniatur communi S se ctio. Deinde collocetur figuram suo loco ut in praecedenti dictum est, quae intelligatur, tanquam basis. ωquoniam cognitae sunt aliae figurae dati solidi, quae sunt iuxta CD, oportet eas describcre iuxta CD uoloco col locata atque his ita constitutiS, inueniatntur similiter, ubi ab harum figurarum angulis perpendiculares cadunt in subiectum planum, eorumque antitudines notae fiant. Deinde accipiatur altera figura pro basii quae sitio loco collocetur,& ita deinceps, donec inueniatur, ubi ab omnibus aligulis dati solidi in subiectum planum perpendiculare cadunt eoru tuque altitudines notae reddantur quod facere Oportebat.
Ex iis , et a dicta sunt perspicuum ess bi inluni erpendicu
208쪽
inuenire, eorum ue altitudines notas e cre post , unde in sertione apparentes figuras desicribere non erit luotum . Uer- quoniam cia
lius iis aliquibus casibus describi possunt, idcirco haec quoque praeter.
Data pyramide aequalium laterum , ubi a vertice in planum basis perpeti dicularis cadit cum sua altitudine in
uenire, Sit pyramis ABCD, cuius latera sint aequalia oportet ubi a vertice A cadit in B D perpendicularis, eiusque altitudinem inuenire. Describatur circa triangulu BCD circulus, cuius centrum . rinatim enim liquet, perPendicularem a vertice Λ in
cadere, ut AE si enim intelligantur AB AD AC coni recti latera, erit AE axis Deinde a puncto E ipsi CD perpendiculariS ducatur EF nimirum punctum ii cfariam diuidet meam CD: 1 militer puncto A ad CD perpendicularis ducatur quae quidem in F cadet , siquidem latera AC A sunt aequalia . ducta igitur F. erit ipsi CD perpendicularis. Itaque quoniam AE est plano C ere cta, erit angulus AEF rectus, quod cum sint EF A longitudine inuen ta , erit A nota.
Exponatur pyramis latus . BCι fiatq; triangulum quilater BCD,
circa quod describatur circulus, cuius centrum . alterum deinde tria-gulum aequilaterum constituatur
DCA. ducaturq; AF ad CD per pendicularis; iungaturque EF, quae similiter ipsi Da perpendicularis existet. Inuentisque lineis E FAexponatur linea L aequalis Asemicirculusque describatur ML, in quo applicetur linea M aequali p. '
209쪽
EF, iungaturque ML. quoniam enim angulus ML est rectus, ex de 3. tertii. monstratis patet perpendicularem avertice pyramidis in planum BCD in
cadere, eiusque altitudinem, ipsi ML aequalem existere quod face
De pyramide in clibata in aeciis fiuius proposition O
dietum fuit, . De tabo similiter ex ijs, quae in praecedenti libro, praecipue in decima quinta, S decima septima propositione dicta sunt, figuram apparentem inueniemus. Quod si cubus fuerit inclinatus, ex decima huius propositione ubi cadunt, perpendiculares in subiectum planum cum suis altitudini bus inueniri poterunt; ex quibus apparentis in sectione stigura facilis est descriptio
O fhaedro dato , cuius linea oppositos angulos connectetis sit subiecto plano erecta, ubi ab angulis in subiectum planum perpendicularescidunt , eorumque altitudines inueniri Datum Ut octaedrum BCDEFG linea vero ducta BG sit sibi eisto plano recta sitque punctum G in subiecto plano Oporatet, ubi ab angulis in subiectum planum perpendiculares cadunt, eorumque altitudines inuenire . Quoniam igitur octaedri latera BC BD BE BF unt aequalia, angulique ad B unt aequales erit CDF quadratum ductis igitur diametris D CE , linea BG per punctum Α, ubi diametri se inuicem secant, transibit quae quidem erit plano CD EF erecta . sed BG supponitur esse subie, ct plano erecta , ergo quadratum C DEFest subiecto plano aequidistans ex quibusue - qnitur punctum Λ in subiectum planum perpendiculariter cadere in G, cuius altitudo est GA similiter punctum B cadere lin G, cuius altitudo est B. puncta vero CDEF in subiecto plano e dere in alterum quadratum aequale similiterque positum, cuius omnes autitudines sunt aequales ipsi A. Quocirca quoniam propter octaedrum
210쪽
est aequalis A ipsi AC, rit altitudo ipsiura', per consequetns punctoruin CDEF a subiecto plano aequalis AD puncti vero B altitudo erit aequalis duplae AD, Vt iden Onst auit Euclides in decimaquarta pro politione decimitertii libri clementorum.
R. i. ix .X: Mi. 26. . Dim IUExponaturistaedri latus CD describarurtiue quadratum CDEF Qque punctum A, ubi diametri CE DF se invicem secant. Itaque intelligata Λ csse in subiecto plano ; porro altitudo punctorum CPE eriis qualis D. reliqui vero puncti stupra A altitudo erit dupla ipsius AD,
Icosaedro dato, cuius in ea oppositos angulos nectens sit subiecto plano erecta, ubi ab angulis in subiectum planum
perpendiculares cadun x. eo Iana lue altitudiues inuenir Si ico aedrum BCDE FGHKLMNO. sitque licnea O , quae ana, ilΟSoppositos nectit, subiecto plano ereia . oportet ubi ab angulis octaedri in Q. biectum planum perpen diculares cadunt, Corum que altitudines inuenire Q Ioniam enim lineae BC BD E B BG sint . e- quales , triangulorumque anguli ad B sunt aequaleS; erit CDEFG pentagonum aequi laterum ' sequiano gulam circa quod circuislus describatur, cuius en triam . ex ijs autem, quς Euclides in decimotcrtio libro propositione decima