장음표시 사용
221쪽
HL angulus angulo Maequalis , R ipsi L Haequalis ducaturq; F ad I H perpendiculariS.Iunai Ottim quidem M circuli inclinati in plano circuli cadit in F, cuius altitudo est a F. parique ratione inueniatur, Vbi cadit puniictum quod quiden1 cadat in x, cuius altituis do sit XY quae quidem puncta GV tertie hac differunt ratione , quod punctum m intelligitur infra circulum existere altitudine FR, punctum vero esse supra circulum altitudines XY. At
plano aequidistans quantitate semidiametri, ideo si intelligatur circulus PQ iii subiecto plano, ex quo describenda sit apparen Sfigura circuli inclinati, tunc punctum H habebit supra subiectum planum altitudinem , quae sit minor semidiametro quantitate R hoc est, fiat L aequalis semidiametro circuli PQ fiatque L aequalis R, reliqua quidem FG erit altitudo quaesita quare in vectibile inueniatur punctum C, quod Ostendat punctum supra F altitudine FG; tunc punctum C ostendet punctum H citculi inclinati. Sed quoniam punctum, intelligitur supra cIrculum , si insectione inueniatur punctum D, quod ostendat punctum supra , cuius altitudo sit semidiametro circuli OPO, ipsi XY simul sumptis aequalis, perspicuum est, punctum D stendere punctum V circuli in-lclinati. Omnia igitu puncta semicirculi B in sectione inueniantur lut dictum est de puncto H; quae vero in semicirculo QOP cxistunt re periantur, ut factum est de puncto V habebimum ue in sectione figuram TCD, quς datum circuluui inclinatum ostendet quod facere oportebat.
Ex hoc patet, si iungantur communia puncta IT, lineam 'r virorumque circulorum diametrum repraesen
222쪽
Aliter circulum inclinatum inuenir .
Exponatur circulus maximus BCDE, qui intelligatur subiecto plano erectus cuius, subiecti plani sit sectio communis BF cui ad is angulos rectos sit dia, meter BD huic sit perpendicularis diameter C quae quidem est tanquam ho rigontiae quidistans sit deinde circulus BCDE erectias circulo inclinato ducaturq; in hoc circulo linea GH, quesit diameter circuli inclinati, quae nimirum
non erit horizonti. quidistans quare pro ducatur , occurratque
ipsi B in F. Deinde a puncto F ducatur linea K ad F perpendicularis si igitur mamnentibus B FK in liuoiecto plano intelligatur circulus BCD subiectoi plano erectus, erunt, B ipsi K perpendiculares ; quare KF eriti plano CD erecta. quoniam inclinatus circulus est plano BCDE 'erectus,&est H in circu Io inclinato ergo erit K in plano circuli iu-lclinati sed est quoque in subiecto plano: erit igitura circuli inclinati,&subiecti plani conam unis sectio: eritque BFG angulus inclinationis; cum sint lineae H BF ipsi K perpendiculares. Qitare in linea FB fiat Laequalis G M aequalis Id , diametroque L M, describatur cir*culus LMN. Itaque intelligatur circulus LM inclinatus in angulo his, LFG circulique L MN, subiecti plani conam is sectio Κ. xijs, quae dicta sunt, dato oculo figuram apparentem in data sectione inuenire non erit difficile quod facere oportebat.
Ex hoc perspicuum est , quemlibet circulum in sphaerao subiecto plano inclinatum inueniri posse .
Hoc est siue sit GH per centrum , siue minus , codem prorsu 'O'do fiet. PROBLE-
223쪽
Ijsdem adhuc positi . ,. datoque in sphaera irculo subie-
isto plano aequi distante per centrum non transeunte, in sectione figuram apparentem inuenir
Ijsdem enim positis, intestigatur sinii liter circul his B LDE subiecto plano ere-ctu , qui subiectum pia, num contingat in B. ini tuique diameter BD 1U-.biecto plano perpendidu- laris, cui ad rectos angulOS sit linea C, quae intelligatur datIcirculi diameter , cuius planum sit sano BCDE erectum quod quidem 1ubiecto plano erit parallelum porro auiu cirisculi centrum erit . De inde quoniana in subiecto plano perperidiculares a circulo, cuius diameter est EC, cadunt in circunferentia circuli ipsi aequalis
culus describatur DPQ cuius diameter P sit ipsi C aequalis, lar quidl- stans Vis quq irii consulustis describaxur in sectiones gara TV qus cireulum
blaeto plano parallelum circuliam ostendet Gniiqnia est usi tui Iorai
224쪽
Ex conisuctione figura Tv apparet circulus ipsi quo
que MN aequi litans ἀCOROLLARIUM.
Quieunque enim dati sphaerae circuli ex dictis repraesentari possunt.
Hae , quae dista sunt, non solum ellipsibus, verum etiam omniabus curvilineis figuris quomodocunque scriptis deseruire possunt siquidem per puncta inueniri similiter omnia debent. Hae de circulis dicta sufficere poterunt, aliquot tamen ad cpraxes per puncta concursus sebiicere misum est, quae quorundam etiam aliorum faciliori minui deseruient; uitata praesertim in exemplis afferendistanearum confusione 3 quod praestari poterit iuxta secundum modum initio secundi libri explicatum .
Oculo dato , datoque circulo in subiecto plano, in proposita sectione figuram apparentem describereo.
Sit punctum S unistum distantiae in subiecto plano oculi vero altim do intelligam AS; sit sectionis linea FG circulus vero in subiecto pla no sit BCDE cuius centrum . portet in sectione figuram apparentem describere. Ducamur ad rectos angulos diametri BD C. ita insmen, ut expunctis B productae sectionis lineae G occurrere possint. Deinde circunferentiae simantur ex utraque parte B BL aequales, itidemque M N aequales, aliae, si libuerit Iunganturque L Ν, quae interse, ipsi C parallelae erunt , a punctisque KLN ipsi BD parallelae ducantur, quae circunferentias assument ex utraque parte ipsius aequales quae deinde iungantur; erunt utique omnes incar, Vel ipsi
225쪽
BD, vel ipsi E parallelae; quippe quae omnes producantur usque ad se. ctionis lineant; a punctis C ipsi BD a punctis vero BD ipsi Cparallelae ducanturi diametrique producti sint CEL DBI. His ita inuenistis, ut puncta concursu inueniamus, quoniam obiectum, nempe circulus
est ad partem puncti , intelligatur ad alteram sectionis partem punctum T ita ut si duceretur T , esset haec ipsi FG perpendicularis; sitque punctum T distans a linea FG, vim Deinde intelligantur lineae LT da istae; a punctoque S ducatur linea S ipsi L aequid1stans, Ruero ipsi I parallela. Nunc vero planum intelligatur sectio, in quo ducatur' ipsi FG perpendicularis, quae fiat aequalis A erit utique V punctum concursis ipsius I, earum, quae sunt ipsi I aequidistantes; I. a. st quarum loco sunt DBI, quae sunt ipsi BD parallelae similiterque in-cundi his, ueniatur punctum X concursus ipsius L, ipsi L aequidistantium; ius. quarum vice desieruiunt EZ, quae sunt ipsi CE parallelae. Itaque a punctis inlinea FG existentibus, ubi occurrunt lineae ipsi BD parallelς. ducantur lineae ad punctum V ab alijs ei punctis, ubi scilicet occuris sunt lineae ipsi CE parallelae, lineae ducantur ad X; 4bi eiusdem pun-cii lineae se inuicem secant, erunt puncta in sectione apparentia; veluti apparebit in O K in P, centrum H in es Mita in aliis S per fiς clinuenta puncta linea ducatur curua habebimusque in sectione figuram apparentem circulum repraesentantem ut perspicuum est, si intellagatur ΑS, sectio subiecto plano erectae, fueritque Oculus in A. intelligaturque circulus ad alteram sectionis partem, ut mitio secundi libri dictum filii.
226쪽
Hanc statuimus in circulo BCD dis uisionem, ut quaelibet linea duobus punctis deseruire possit ut facilior sit praxis. quae quidem diuisio alijs quoque modis fieri potest ut scilicet diuidatur circulus ABCD in quotcunque parte aequale , Mnumero pares fitque sectionis linea EF deinde in circulo duo iungantur puαcta AD, ita ut producta sectionis lineae occurrere possit postea iungantur BC, Malia contermina puncta erunt quidem hae ductae lineae interse parallelae, cum sit circunferentia AB circunferentiae DC
aequalis . cita in alijs. Deinde alia similiter duo sumantur puncta AB; ita ut ducta linea AB, producta ipsi EFoccurrere quoque possit aliaque iungano tur similiteriequentia puncta . nimirum
hae quoque lineae ob eandem causam crunt intersi parallelae . quamuis hae lineae sibi inuicem haud perpendiculares existant, nihilominus eodem prorsus modo inuentis harum linearum punctis concursus, figura insectio ne apparens inueniri poterit.
Possumus quoque, quamuis S distantiae punctum datum non fuerit, ducere lineam V ipsi FG parallelam, quae quidem ab G ita distet,
227쪽
quantum intelligimus esse altitudinem oculi supra subicctum planum; &in linea V sumere ubicunque duo puncta V X similiterque ad V lineas ducere ab IG, ab .alijs punctis in F existentibus, quae lineis BD, ipsique parallelis inueniuntur, ut prius factumeit similiterque ad XIineas ducere a punctis Fra, ab alijs punctis in F existentibus, quae
a linea CE ipsique parallelis cssiciuntur eritque itidem inuenta figura insectione ut dictum est. Assumpta vero sunt puncta X, ut sint puncta concursius, quod qui dem assumi posse hoc modo demonstrabitur; inueniendo nempe situm puncti distantiae, atque oculi, ita ut oculo puncta V puncta concursus appareant. Sit enim punctum , ut prius collocatum . ducanturQue a punctis
V X ad FG perpendiculares V XY deinde ducatur linea S lineae T ductae parallelaci linea vero ducatur' lineae I ductae ς quid. stans lineaeque S RS sibi ipsis occurrant in S. Fiatque linea A qualis V. Nunc igitur intelligatur S punctum distantiae, ocu
Italtitudo. ne paulo ante dicta repetamus, ex constructione patet puncta V csse puncta concurius, linearum scilicet BD CE ipusq; aequi- distantium quod quidem ostendere oportebat.
Oculo dato , datoque circulo in subiecto plano , cuius centruna in sedi ionis linea existat , figuram apparent m
deictaber . Sit circulus BCDE cuius diametri interse perpendiculares sint BD EC; sitque centum F sectionis ver linea BFD. Dividatur quaelibet quarta in partes aequales Vt quarta E diuidatur punctis ΗΚ ira aliae quartae. Ducanturque lineae L id, c. quae ipsi BD aequi di, stantes erunt. Iunganturque N I, c. quae ipsi CE parallelae erunt. omnesque sibi inuicem ad rectos angulo existent. Deinde iungantur puncta, quae in BD CE reperiuntur ducantur scilicet FB O DC,& c. quae omnes erunt inters parallelae. Nam cum sint circunfeientiae KDid ipsis G C aequales; erit K aequaliter a centro distans, ut G I.
unde F est ipsi F aequalis. quoniam E est B aequalis, erit EF ad O , ut B ad FP druidendoq; O ad OF sic BP ad PF. Qiiaὰ
rem est ipsi B aequid istans. Hacque ratione omnes ostendetur ipsis EB DC parallelas esse unde sequitur, etiam intersese parallelas ille. His cognitis, ut figuram in sectione apparentem describamuS, primum constat, puncta, quae sunt in diametro B in ij idem me punctis apparere cum sint in sectione . deinde inueniendum est punctum concursius, ipsarum scilicet N EC, Maliarum ipsis equidistantium similiter repe riendum est punctum concursus B O DC, Maliarum ipsis aequi distantium. 'capunctis, ubi hae secant lineam, quae repraesente Ea ipsi
228쪽
rebit punctuna in Mita in aliis.' At vero si hoc
loco, ibicctum BCDE, apparens figura caei stet.
sum lx pCnatur sectionis linea I ; sitque S uni tum distantiae oculi vero altitudo inteli gatur AS
fiatque QR qualis BD & ut diuidi cst BD, ita diuidatur M. Dcinde fiat RQT aequalis
ui cxistere mente concipere Oportet. Vn de V iit cinctum concursus ipsius E, omnium ipsi BE qui distantium . dc quoniam CUN Cli Sco vin ipsi BD perpendiculares Linueniatur punctum X, quod sit pVinc Ul' concurius, lin axu; scilicet, qψssint ipsi QR perpenes dicit hirci i Sit Licia Uncti ii, R existentibuς ducantur linea ad punctum L, S ad functum MYbi lineae ad punctum V tendentes secant linea n Y L, quae r Uraescia it cir xiij ij metra EC, ab his punctis 1 na exi' pDubu . V I9 sit 3n cto si ipsa QR rarallelae dri coimu quς linea GL Mc ostende . nimirum hoc pacto ii Dcniem iis puncta quesita ut punctum V reprς sentabis cinctiani, quod ipsi, resipondet quod si intelligant sol tio subiecto plapio recta, pars Y supra tibicctum planum semicirculum ED repr aesentabit, pars vero in semicirculum BCD Ostendet. una modo nempe intelinigatur B in in lino uiae BD in Q R exi' itere, cuculusque BCD in subjςΠo plauo,sic quod facere oportebat Sinuli quoque modo, viju prae cedenti diximus uineam possenuis duces re X ipsi QR parallelam ς undum altitudinem oculi inrisso nunc puncto M. deinde in ipsi X ubicunque sumer puncta XV, quae in telligantur puncta concursus ad ipsaque puncta ducere lineas, Ut dictum cst . eruque similiter apparcnβ inuenta figura quod quidem eodcio mo do demonstrabitur. angulus angulo
229쪽
Dato circulo subiecto plano recto , ipsumque contingente , fguram in proposita lectione apparentem reprae
sentar Exponatur circulus ABCD, cu nutu centruna E; tu quidem intel- ligatur contingere subiectum planum in A. Ducatur linea AG ,
quae circuli1ua contingat in A. critutique luae F communis sectiocrecti circuli, iubiecti plani. Ducatur dejnceps AEC, quae sit ipsi FG perpendiculari ; . rectos angulos ipsi A ducatur altera dia- 'imeter BED, ducanturq; B DG ipsi AC parallelaeci fiantque HB D DL circunferentia aequales ducanturq; IHM LUN, que quidem crunt 1 militer ipsit Aia Iallelae connectanturque H IL, quae ipsi BD parallelaec unt; eruntque propterea L BD HK ipsi FG parallelae. His constructis sit se clionis linea O, cui aequi distansi ducatii linea VX . ita distans a li- .hca O, quanta st oculi altitudo iiipta subiectum planum quam quidem altitudinem datam intelli mus. Deinde ex ijs, quae diximus si vigesima secundi huius pro Idosi tione, constituantur puncta Rin linea UX, ita ut V e regione oculi eae istat i hoe est siu , ubi ab Ocnto in fectionem perpendicu Hii cadit: sitque R aequalis lineae ait i ipuucto distantiae ad sectioni lii P ducte. Hisque ita constitutis in sectione inucia latur linea PT que piam FG in subiecto plano cxillantem repr.eiciatet in Tinueniantur puncta RS, quae MAN ostendant quod quidem breuiter hoc me io fiet ducendo nempe ab A linea O perpendicularis, quia:
230쪽
eadat exempli gratia in O; ab ,κhoc inuento puncto O ticam li-nea ad V, quae secet PT in porro punctum' ipsum Aosten, det quia cum sit iunctum concursu S, incarum scilicet, quae lint sectionis line O perpendicularcs. apparebit punctum A in linea si duceretur OV 1ed apparet quoque in T, si quidem P ollen. dita . ergo punctum A in Map. parebit quod idem fiet in alijs. At vero quoniam intelligimus circuum subiecto plano erectum, lineae FB MI AC L G tanquam subiecto plano rectae intelligendae iunt quare in sectione lineς, quaenas FB MI AC L D reprς sentant, sectionis line O perpendiculares esse debent . Quare ipsi . O perpendiculares ducantur lineae P R T M ε deinde inli. nea L, qu ipsam AC ostendit, inueniantur puncta αἷPL , quae ostendant puncta EθC. ita tamen, ut α ostendat punctum sit pra A altitudine vero punctum supra A altitudine A reprς senutet; P autem punctum supra Maltitudine Aha punctumq; istendat punctum Iupra A altitudine AC. deinde quoniam lineae I BD HK sint parallel ipsi FG in subiecto plano existenti , habcbunt
nimirum omnes punctum concumsitis in linea X. quare ducatur PT sique addictam lineam in X, a punctis αε linee ducantur, quae tendant in , quae lineas prius ductas ipsi O pcrpendiculares siccent in κλ δε lineaque ducatur κYδZε0 λ haec utique circulum subiecto plano erectum reprHientabit ut propositum fuerat quod quidem facerre oportebat.
Quod si FG ipsi D parallela existeret, tunc T; omnes λ o flo ipsi in quidistantes cssent faciende; figuraque in sectione circulus
existeret. Facilitas in hoc consistit, quia expedite inueniri pos Itint, non solum punucta Zε0λRκYδ, Verum etiam alia multa nam quo plura erunt in circulo ABCD eodem modo assumpta puncta , eo melius , faciliusque figura ZORY describetur quod idem euenit insequenti veluti quoque in prςc dentibus contigit.