장음표시 사용
241쪽
PROPOSITIO. XXXII. Sit rectangulum ABCD, diuidaturque A secunduata datam proportionem in E iungaturque C deinde ducatur EF ipsi AD BC parallela, quae linea AC seced, in F; ac per F ducatur FH ipsi AB aequid istans. Dico rectangulum BD secundum datam proportionem AEEB diuisum esse linea GH
Cum enim sita ipsi BC equi- distans , erit AE ad EB , t AF ad C. similiterque quoniam GH ipsi C est parallela erit AH adH , ut A ad C. quare ita est AH ad D, sicut AE ad EB. sed ut AH ad H D, ita est parallelogrammum AG ad HC parat lclogrammum igitur Ac diuisium
est linea GH secundiim datam pro portionem AE EB quod demonstrare oportebat.
Hinc sequitur, si AE est aequalis EB, similiter AG ipsi H aequalem esse. Quod si AB diuisia fuerit m AK KL LB, ductaeque fuerint M Nipsi AD parallelae. ab M linea ducantur OM QNR ipsi AB paraliciae, similiter perspicuum est, ita est A OR . sicut AK KLLB. used si AB in alias quomodocunque partes fuerit diuisa, hac rati ne & linea AD BC, ac per consequens parallelogrammum similiter diuisum prouiniet. Praeterea si ΑΚMO fuerit quadratum, deinde ducta diametro AM, productaque, si ducantur EF FH ipsi AD AB parallelae, exit Δ ΕΗl
In ei fione sit apparens figura ABCD, quae ostendat, rectangulum , oporteatque linea ipsis in D parallela
242쪽
diuidere rectangulum BD secundum apparentiam in data
Sit punctum , ubi AD BC conueniunt, tanquam in punctum con; curius sintq; AB DC sectionis lineae S perpendiculareS. cinde iun-IFatur AC; dividaturque A secundum datam proportionem in E dcla puncto E ducatur EF, quae tendat in , quippe quae ipsi AC Occia lirat in denique o F ducatur FH ipsi S perpendicularis erat rique ABCD secundum datam proportionem diuisum secundum apparentiam ita ut A. C appareant , ut se habent AE B. Nam quoniam ABCD parallelogrammum repraesentat, cuius apparens diameterest AC,lii quidem AD BC apparem parallelae, veluti quoque A DC, In eaq;.ldemde EF ipsis BC AD apparet aequi distans, ductaque est GFH ipsi S perpendicularis quae ob id ipsi AB DC est apparetque parallela eigcile procii in aemonstratis in eadem est proportione AE ad B, sicut secundum apparentiam cst AH ad D, Qvt AG ad C. quando quidem AG C parallelogramma apparent quod facere oportebat. Qxio si AB diuidatur ni KL , ducanturque M N in X tenden*tes, quae ipsi AC occurrant in MN a punctisque MN ectionis line S perpendiculares ducantur PMO NQ, perspicuum cst ita apparere BP3
quod idem omnibus aliis quibuscunqui diuisionibus similiter contingere ostendetur. Caeterum si AO apparet equalis AK, ductaque sit O linea Siem pendicularis, M vero in X tendat perspicuum est AKM quadratum PDarere . quia mea: A OM quales apparent , eluti quoque AO M sed AO appares qualis AK ergo omnes quatuor linee apparent interse equales rectus vero angulus apparet AO, ut stipsoni tur igitur AKM quadratum apparet. Itaque iungatur AM , Ua producatur deinde ducatur F ad , quae AM secet in F ducarta γQue H similiter ipsi S perpendicularis figura quoque AEFH quacia tum apparebit, Veluti quoque a LN , c. Praetere'
243쪽
UM V T quales videri, velut quoque ΚΜ, VT. ex Quibus
Aliter ea, quae in triges maprima huius proposita sunt ,
Inuelii r . Exponatur eadem gura, hoc est descripta sit tantum figura ι. inuentaque sint similiter puncta εκ in mea pu icta vero TX eodem fungantur ossicio. Ut autem inueniantur alia linea rectae cum iis arcubuS, quorum planum ad rectos an gulos cum P appareat.
Diuidatur linea in in A: sitque A aequalis QS. deinde fiat AC aequalis ipsi R QC ipsi R P.
ex punctis GH in se ctione represententur; sitque exempli gratia in seὰctione inuentum punctuu , quod quidem ipsum H repraesentet. X antea demonstratis linea inuostendit lineam B, , quς quidem is apparet aequalis R. sed quoniam in P res describuntur, ut sunt, absque perspectiva; si igitur linea O ιν aequaαlis apparet ipsi QR, ergo eadem in ipsi quoque QC apparebit aequalis;
aequalis. Itaque ducatur primum μ' s.ctionisii neae perpendicularisci de inde ducatur linea CL quae tendat in X quippe quae lineam μ' secet in L.
244쪽
ctian aequalis tres igitur Cin Q M apparent equaleS, ad angulos rectos, Ut supponi κthir. ergo CL, quadrarum apparet quare linea ducatur MI praetcrea supponantur puncta Ἀνinuenta , t in trigesima-
prima huius deinde ducatur AO ad a, quae secet in duca,turque abi sectionisii, nere perpedicularis usque ad lineam in x; b c proculdubio cadet in λ; quia AO quadratum G apparet; lineaque Q ip ps aequalis apparet. quandoquidem Q ipsi ' quoque apparet squali , t antea factum fuit. Caeterum ut arcum H
inueniam uis , diuidatur D AC in quatuor parte in FIK veluti diuisa est SR; a punctisque I linea ducantur ad X. quae L
secent; a quibus punctis sectionis lineae perpendi culares ductae intelligantur; quae ducitur, trab
tendentem secet in erit utique punctum punctum apparens in arcu squaesitum. Idem enim est ducere lineam MI , t ντ eadem enim est.
perpendicularis sectionis lineae, si enim ducte essent lineς Μ M, , simi-iliter ostendetur Mis quadratum appare e . atque hac ratione puncta inuenientur is huius inodi alia ; eritque inuenta figura λαμ, quς ipsi R RS apparebit qualis Vlterius autem progrediendo, secetur simius liter linea E in N; sitque EN qualis ipsi A ac per consequens ipsi R; sitque aequalis Ein diuidaturque Eminquatuor partes partibus A FIGΚ aequalesci a quibus omnibus punctis ini exul
stentibus i meae ducantur ad , quae lineam L productam secent; cae teraque eodem modo fiant; eruntque inuentae ali clineae cum arcu quae quidem apparebunt aequales ipsi Noe . Quod si adhuc aliae lineae cuna arcu inuenire
245쪽
inuenire voluerimus, diuidatur codem modo linea NO, si pus fuerit, protrahatur, caeteraque stimiliter prorsus fiant, omni.ὶque, ut dictum est, apparebunt quod facere portebat.
Perspicuum est hinc, si Vil non esset semicirculus, neque in P semicirculum apparere. huiusmodi alios. Obseruandum autem occurrit, quod postquam inuentum fueri punctum , linea scilicet ducta a puncto N ad x, quae tineam L fecet in , tunc absque diuisione linea: N, αρε, ut describantur tineae cum arcu, hoc quoque modo em Cere poterimuS. nempe a puncto a ducatur linea εἰ lectionis lineae perpendicularis, deinde producatur CL, quaelineam siccetua r. primum quidem patet L quadratum apparerelaequale QCLu ut ex praecedenti constat. Itaque rungatur uo , quae ipsit L aequidistans, 'qualis apparet si quide quadrata QL μιν in jsdem sunt lineis constituta. Vnde apparens diameteris ipsi L equidistans, is qualis quoque apparebit. Uymobrem usdem me lineis , quae ducuntur a
punctis AF I ad , secabitur ιν ita scilicet, ut O producta secet
oi in ii, c. eritque ut in quatuor parte diuisa , ut L, 4 ea a quibus punctis in existentibus ducantur lineae sectionis lineae perpendiculares, Odem prorii Smodo inuenientur puncta, quibus poterunt arcus similiter describi. perpendiculares enim lines sectionis line ductae a punctis in j cxistentibus per puncta quoque in ρε inuenta transirent siquidem ρε ιι aequales, reparasselae, equaliter diuisite apparenti Vt vero inueniantii ratiae lineae cum alij SarcubuS secundum latitudinem, siue crassitudinem, describantur, tam trigesima prima huius, ne αβ P, quibus eadem fiet praxis eodem modo prorsiis, ut mox diximus diuidendo nempe similiter linea, que in sectione liticam supra punctum 5 subiecto plano perpendicularem representabit quippe quae simili ratione diuidenda cst, ut factum est in linea θ, nee que alis, vel tendent in , vel sectionis linee perpendicularcSerunt.
Ijsdem positis , describatur scilicet A, ut antea in trigesim aprima M in praecedenti, determinataque sit si rura ABC , quae vel, ichnographia vel ad libitum quoque determinari poterit, in qua porteat describere lineas cum duobus, vel tribus, vel quatuor,&c arcubus, qui in
Sint vero describendi tres arcus cum suis lineis Dividatur Q ita, uti sint aequales intersie; itidemq; interualla DE FG HI sint
246쪽
stentabus, siue non sint aequalia, nihil efert. Ducaturque pri naum B Deinde ad X tanquam ad punctum concursus ducantur lineae a punctis DEFGHI; 4bim e linea lineam B dispescunt, ipsi PQ lineae ducantur perpendiculares, quae quidem PQ linea intelligatur sectionis; praefat vero lineae perpendiculares ducantur usque ad C, K. Hae quidem linea diuidunt pacium QABC secundum apparentiam veluti duus est Q cx demonstratis ut patet si dictae perpendiculares linea usque ad AB
peruenirent. Quare triai pacta micrtia lanea perpendicularc cristentia,
apparebunt inter1e aequalia; si quiscna aequalia sunt interualla DE FG HI. His ita constitutis, Ut describantur arcus, dividantur DE FG H in quatuor parte aequaleS, quandoquidem in totidem diuisum est interuallum RS . deinde a punctis inter D FG H existentibus ducantur lineae ad X caeteraque codem prorsius modo fiant, ut in praecedenti, arcusque si militer describentur; iactum erit, quod propositum fuerat. Quod si plures adhuc lineas cum pluribus arcubus inuenire voluerimus, diuidatur similiter A secundum plures diuisiones , reliquaque codem modo senapc fiant. Obseruandum autem est arcus in s BC inuentos, quamuis interse appareant aequal S, tamen arcui in P existenti aequales, ut plurimum minime apparere, nisi casu id acciderit.
Latitudo , sue crassitudo arcuum ' linearum feri similiter primum poterit. Vt a iura, ex ichnographra inueta. iis enim
247쪽
iis enim figuris, quae iuxta Am apparent, tunc quemadmodum diuisa est A, ita similiter erit diuidenda linea, quae ostendit lineam iuxta A existentem . caeteratque eodem modo sient ad quae plurimum sequentia problemata conducent ex quibus absque ichnographia haec omnia fient, .
sit deinde ΑΒ sectionis linea veuectionis lineae parallela sit X ubiab oculo insectionem perpendiculatas cadit; ac per X ducatur linea P ip si AB aequidistans; ducanturque A BD ad X; ducaturque C pa- allela ipsi AB . primum quidem ACBD parallelogrammum ostendet, tanquam in subiccto plano Deinde eriganm A BF aequales, di per pendiculares ipsi AB describaturque arcus EGF similiterque ducantur CH D ipsi AB ac per consequens ipsi inperpendiculares: ducano fuitque EH FI quae tendant in . simulte AEt C parallelogrammum erectum
248쪽
erectum repraesentabitu si qui lem AC H parallelae apparent quia in idem punctum concursus X concurrunt ob eandcmque causam FIDparallelograminum apparet Vnde ex dictis CH ipsi AE, DI vero ipsi BF apparet aequalis quare cum sint A BF aequales, erunt WDI CHaequales quare describatur similiter superi arcus planum enim CH I repraesentat planum sectioni parallelum ac propterea arcus super ΗΙ arcum similiter repraesentat. Ut vero describatur arcus, cuius termini sint EI diametropositi; altitudo vero sit secundit maltitudinem G. Diuidatur AB in plures partes equales, ut in punctis LM; a quibus perpendiis culares duct intelligantur af AB. quae arctim G secent in punctis lOGN; Rapunctis G lineae ipsi AB ducantur parallelae, quae secent linea AE B productas in punctis RST; erit utique ut antea dictum sest SON recta linea. Hisque ita conititutis iungatur AD a punctisq;ΚLM ducantur ad X lineae, quae secentis in punctis UYZ; proculis lubio in apparebit diuisa, ut AB. nam linea K LV ML BD pa-' allelae apparent;&ob id AB A in eadem proportione diuisae apparent. Itaque producta intelligatur AD, quae ipsi lineae per X ductae occurrat 'n P. Deinde ducta intelligatura punct. V perpendicularis ipsi AB. cui occurrat linea S ad I ducta in puncto ae linea vero a puncto Y simi. itc ducta occurrat lineae My in cui P tendenti perpendicularisque
a punctora occurrat lineae re in P. lineaque ducatur αβ 'I nimi- .rum ostendet aest, PI arcum quaesitum nam quoniam linea AD Ostendit lineam subiecto plano existentem, Omnes lineae huic liacae sequi di. stantes habebunt punctum concursus in inca P sed D tendit in P. ergo punctum P cst punctum concurius dictarum im mi quare AD aequealtuMi apparci, Ut Punctum
Sur A parallelae apparent. Vnde punctum ε
249쪽
punctum quae est altitudo punctim punctaque P aequealia , ut Punctum S apparebunt, quae est altitudo punctorum m. ostendit igitu L. cum quaesitum. Parique ratione si connectatur BC, quae lineam X secet in , quae quidem C similiter diuisa proueniet a lineis V LY L, ut AB. Tiemde a punctis T lineae ducantur ad O , quae secent similiter lineas ductas a punctis in linea BC existentibus, ipsique A perpendiculares;
codem prorsus modo alter inuςnietur arcus, cius termini crunt FH, alti ludoque itidem G Quomodo autem inueniantur arcus super EH FI, ex trigesimaprima huius perspicuum est linea enim, quae in punctum concursu tendunt, omnes in X concurrere debent siquidem ipsi AC BD parallelae apparere debent quae quidem AC BD inquatuor similiter partes diuisae apparebunt, ducendo lineas per .puncta YL ipsi A parallelas caetera vero eodem prorsus modo, ut in trigesimaprima huius fiant; quae quidem Omi ni perspicuadunt. Hi vero arcus inuenientur quoque ex trigesimaquarta huius, diuidendo nempe lineas Q BR, veluti diuisa est AB; ex quibus diuisionibus non solum inuenientur arcus stupra EH, I; verum etiam&multi ali ipsis in directum.
Vt vero praefati omites arcus, & insuper alij, secundum latitudinem , siue crassitudinem absque ichnographia deicribantur, hoc modo fieri poterit . M
250쪽
dinem oculi, quae quidem sectionis lineae est parallela describaturque si militer figula ACD parallelograimmum repraesentans, cuius lineae BCD si1nt1ectionis lineae parallelae apparentes vero diariaetri AD BC cndant in puncta si ducaturque linea F ipsi AB aequidistans ad libitum, secundum nempe apparentiam latitudinis, siue crassitudinis arcuum, quam apparere volumus secetque E lineam AD 3 G QB ut Hia punctisque GH ducantur ad X lineae G ΗΚ. secet vero H lineam A in linea vero G secet C in I. Deinde ducatur I, que a p, parebit , ritu ue parallela ipsi AB, meaeque usque ah AC DA eitin, gant. Postea producantur linea AC GI HOBD, ut quidet onmes tendunt in X. deinde ducatur CL, quae tendat in ubi CL productas lineas secat, ab his punctis lineae ipsi AK parallela ducantur figuraque C ML parallelograminum Ostendet equale ipsi CD B. Nam lineae ABCD ML aequales,&aequi distantes apparent, AM BL itidem parallelae videntur; ergo CDB ML parallelogramma apparc bunt. sed quoniam line CL A similiter equid istantes apparent, quia tcndunt in idem punctum P, apparebit ACLD parallelogrammum quare lineae AC DL aequales apparent . scd DL M , veluti quoquc AC BD apparent aequales ergo QB DL aequales apparcnt . aequale igitur apparet CD ipsi MI pariquc ratione ostendetur O parallelogrammum apparere aequale ipsi Gl H. Ducta itaque I M, ex ijs, quae in praecedenti dicta sunt, super omne lineaSciectae lineae cum suis aruciabus describi poterunt quod idem fiet, si adhuc plures similiter constitutae fuerint quod facere oportebat.
PROBLEMA PROPOSITIO. XXXVIII. 1 Data vero sit linea se ionis, artih que sit id in litigiun